2011届高考数学考前突击练25(含详解)新人教A版

2011届高三原创月考试题一数 学适用地区：新课标地区 考查范围：集合、逻辑、函数与导数本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22－24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

）1. (2010·济南外国语学校高三3月质量检测)设1:-<x p 或1>x ，2:-<x q 或1>x ，则p ⌝是q ⌝的 （ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. （2010·莆田高中毕业班教学质量检查）下列既是奇函数，又在区间[]11-，上为减函数的是 （ ）A ．()sin 2f x x =-B ．()|1|f x x =-+C ．()22xxf x -=- D ．2()ln2xf x x-=+ 3．(2010·厦门3月高三质量检查）已知函数m x m x m x f +-+-=)4()2()(22是偶函数，函数52)(23+++-=mx x x x g 在),(+∞-∞内单调递减，则实数m 等于（ ）A ．2B ．-2C ．2±D ．04．（2010·宁德四县市）已知集合}0,2|{)},2lg(|{2>==-==x y y B x x y x A x，Ｒ是实数集，则 (R BA = （ ）A ．[]1,0B ．(]1,0 Ｃ．(]0,∞- Ｄ．以上都不对5．（理）（2010·合肥高三第二次教学质量检测理）已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()2'230x x f x --<的解集为 （ ） A ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞ B ．(,2)(1,2)-∞-⋃C ．(,1)(1,0)(2,)-∞-⋃-⋃+∞D ．(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞（文）（2010·合肥高三第二次教学质量检测文）函数()y f x =的图像如右图所示，则()y f x '=的图像可能是 （ ）6．（2010·天津文）设函数2()2(R),g x x x =-∈()f x =()4,()(),()g x x x g x g x x x g x ++<⎧⎨-≥⎩则()f x 的值域是 （ ）A 9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ B [0,)+∞ C 9[,)4-+∞D 9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦7．（2010·广东理）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 （ ） A ．充分非必要条件 B.充分必要条件 C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件8．（理）（2010·宁德四县市4月高三第一次联考）函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( )A ．32B. 1C. 2D.12（文）（2010·泉州高三质量检查文）函数'()y f x =是函数()y f x =的导函数，且函数()y f x =在点00(,())p x f x 处的切线000:()'()()(),()()()l y g x f x x x f x F x f x g x ==-+=-，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像如图所示，且0a x b <<，那么 （ ）A ．00'()0,F x x x ==是()F x 的极大值点B ．0'()F x =00,x x =是()F x 的极小值点C ．00'()0,F x x x ≠=不是()F x 极值点D ．00'()0,F x x x ≠=是()F x 极值点9．（2010·安徽高三六校联考理）函数)2sin(3log )(2x x x f π-=的零点的个数是（ ） A 13 B 14 C 15 D16 10．（2010·陕西）某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为A.10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B.310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C.410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D.510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11．(2010·厦门高三质量检查理）已知函数)1(-=x f y 的图象关于点（1，0）对称，且当)0,(-∞∈x 时，()'()f x xf x +0<成立，（其中)()('x f x f 是的导函数），若)3(log )3(log ),3()3(3.03.0ππf b f a ⋅=⋅=，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a>b>CB ．c>b>aC ．c>a>bD ．a>c>b12．（广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数。

高三数学冲刺过关（25）1.集合{3,2},{,},{2},aA B a b AB A B ====若则 ．2.“1x >”是“2x x >”的 条件．3.在△ABC 中，若（a ＋b ＋c ）(b ＋c －a ）＝3bc ，则A 等于_______．4.已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，则a =___ ____.5.已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点,若1222=+B F A F ，则AB =___________.6.阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 . 7已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t=________. 8.已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为__ . 9.如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ， AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于___________. 10.定义：区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -.已知函数|l o g |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值为 .11.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ， 则AF =__________.12. 设{a n }是正项数列，其前n 项和S n 满足：4S n =(a n -1)(a n +3), 则数列{}n a 的通项公式n a = .13.若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点1M 、2M 与点1N 、2N ，则三角形面积之比为：21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆. 若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点1P 、2P 与点1Q 、2Q 和1R 、2R ，则类似的结论为：__14.的线段，在该几何ABCDA体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为_______. 15.已知向量(sin a θ=,(1,cos )b θ=,(,)22ππθ∈-. （1）若a b ⊥,求θ；（2）求||a b +的最大值.16．如图所示,在直四棱柱1111D C B A ABCD -中, DB=BC,DB AC ⊥,点M 是棱1BB 上一点.（1）求证：//11D B 面BD A 1；（2）求证：MD AC ⊥； （3）试确定点M 的位置,使得平面1DMC ⊥平面D D CC 11.17.已知圆O :x 2+y 2=2交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为2的椭圆,其左焦点为F .若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 的坐标为（1,1）,求证:直线PQ 与圆O 相切；*（3）试探究:当点P 在圆O 上运动时（不与A 、B 重合）,直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.MAB CD A 1B 1C 1D 1漆桥中学高三数学练习（4）1. {1,2,3};2.充分非必要;3.3π; 4.1; 5. 8; 6. (历史) 5049; (物理) 3215; 7. 1; 8.114⎛⎫- ⎪⎝⎭，9.9π2;10.154; 11.2133+a b ; 12.21n +;13.222111R Q P O R Q P O V V --212121OR OR OQ OQ OP OP ⋅⋅=;14. 4.15. 解：（1）因为a b ⊥,所以sin 0θθ=…………（3分）得tan θ=（用辅助角得到0)3sin(=π+θ同样给分） ………（5分）又(,)22ππθ∈-,所以θ=3π- ……………………………………（7分）（2）因为222||(sin 1)(cos a b θθ+=++ ………………………（9分）=54sin()3πθ++…………………………………………（11分）所以当θ=6π时, 2||a b +的最大值为5＋4=9 …………………（13分）故||a b +的最大值为3………………………………………（14分）16. （1）证明：由直四棱柱,得1111//,BB DD BB DD =且, 所以11BB D D 是平行四边形,所以11//B D BD…………………（3分）而1BD A BD ⊂平面,111B D A BD ⊄平面,所以//11D B 面BD A 1 ………（4分） （2）证明：因为1BB ⊥⊂面ABCD,AC 面ABCD , 所以1BB ⊥AC ……（6分） 又因为BD ⊥AC ,且1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥1面BB D ……… ……（8分）而MD ⊂1面BB D ，所以MD AC ⊥…………………………（9分）（3）当点M 为棱1BB 的中点时,平面1DMC ⊥平面D D CC 11…………………（10分）取DC 的中点N,11D C 1的中点N ,连结1NN 交1DC 于O ,连结OM . 因为N 是DC 中点,BD=BC,所以BN DC ⊥；又因为DC 是面ABCD 与面11DCC D 的交线,而面ABCD ⊥面11DCC D , 所以11BN DCC D ⊥面……………（12分）又可证得,O 是1NN 的中点,所以BM ∥ON 且BM=ON,即BMON 是平行四边形,所以BN ∥OM,所以OM ⊥平面D D CC 11, 因为OM面DMC 1,所以平面1DMC ⊥平面D D CC 11………………………（14分）17. 解：（1）因为a e ==,所以c=1……………………（2分） 则b=1,即椭圆C 的标准方程为2212x y +=…………………………（4分） （2）因为P （1,1）,所以12PF k =,所以2OQ k =-,所以直线OQ 的方程为y=－2x （6分） 又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q （－2,4） …………………………（7分） 所以1PQ k =-,又1OP k =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥, 故直线PQ 与圆O 相切……………………………………………………（9分） （3）当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切………（10分）证明:设00(,)P x y（0x ≠）,则22002y x =-,所以001PF y k x =+,001OQ x k y +=-, 所以直线OQ 的方程为001x y x y +=-……………（12分）所以点Q （－2,0022x y +）……………… （13分）所以002200000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x xk x x y x y y +--+--====-+++,又0OP y k x =,所以1k k PQ OP -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 始终与圆O 相切……（15分） MABCD A 1B 1C 1D 1 NN 1O。

2011年高考数学最后冲刺必读题解析（28）(20)（本题满分14分）数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项的和n S 满足()12-=n n n S a S .（Ⅰ）证明：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）设22+=n nn S S log b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足6≥n T 的最小正整数n . (20)解（Ⅰ）()12-=n n n S a S()21()(1)2n n n n S S S S n -∴=--≥11,n n n n S S S S --∴=-即1111,n n S S --= 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是1为首项，1为公差的等差数列. ………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知212,log n n n S b n n+=∴=， ()()221234562log log 6,12342n n n n T n +++⎛⎫∴=⨯⨯⨯⨯⨯=≥ ⎪⎝⎭ 128)1)(2(≥++∴n nn N +∈ 10≥∴n ,所以满足6≥n T 的最小正整数为10. ………………………………14分(21)（本题满分15分）已知函数()().a x x x h ,x ln x x f +-=-=222 （Ⅰ）求函数()x f 的极值；（Ⅱ）设函数()()(),x h x f x k -=若函数()x k 在[]31,上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围.(21)解: （Ⅰ）xx x f 22)('-= ，令'()0,01f x x x =>∴=所以)(x f 的极小值为1,无极大值. ……………………………………7分 （Ⅱ）12)(ln 2)()()('+-=∴-+-=-=xx k a x x x h x f x k ,若2,0)('==x x k 则 当[)1,2x ∈时，()'0f x <；当(]2,3x ∈时，()'0f x >．故()k x 在[)1,2x ∈上递减，在(]2,3x ∈上递增． ……………………………10分(1)0,1,(2)0,22ln 2,22ln 232ln 3.(3)0,32ln 3,k a k a a k a ≥≤⎧⎧⎪⎪∴<∴>-∴-<≤-⎨⎨⎪⎪≥≤-⎩⎩所以实数 a 的取值范围是(]22ln 2,32ln3-- ………………………………15分 (22)（本题满分15分）已知曲线C 上的动点(),P x y 满足到点()1,0F 的距离比到直线:2l y =-的距离小1．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）动点E 在直线l 上，过点E 分别作曲线C 的切线,EA EB ，切点为A 、B ．（ⅰ）求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；（ⅱ）在直线l 上是否存在一点E ，使得ABM ∆为等边三角形（M 点也在直线l上）？若存在,求出点E 坐标,若不存在,请说明理由.(22)解:（Ⅰ） 曲线C 的方程 y x 42= …………………………………………5分（Ⅱ）（ⅰ）设),2,(-a E )4,(),4,(222211x x B x x A ，x y x y 214'2=∴=,)(2141121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(21421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x同理可得：222280x ax --=8,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程)24,(2+a a AB 中点为可得又2212121212124442ABx x y y x x a k x x x x --+====-- 2(2)()22a aAB y x a ∴-+=-直线的方程为()22ay x AB =+∴即过定点0,2 ………………………………10分 （ⅱ）由（ⅰ）知AB 中点)24,(2+a a N ，22a AB y x =+直线的方程为 当0a ≠时，则AB 的中垂线方程为)(2242a x a a y --=+- AB ∴的中垂线与直线2-=y 的交点312(,2)4a aM +-322222221241()(2)(8)(4)4216a a a MN a a a ++∴=-+--=++)8)(4(4)(4122212212++=-++=a a x x x x a AB若ABM ∆为等边三角形，则MN =),8)(4(43)4()8(16122222++=++∴a a a a 解得,2,42±=∴=a a 此时(2,2)E ±-, 当0a =时，经检验不存在满足条件的点E综上可得：满足条件的点E 存在，坐标为(2,2)E ±-. ……………………15分20．（本题满分12分）已知实数ａ≠０，函数)()2()(2R x x ax x f ∈-=有极大值32.（1）求实数a 的值； （2）求函数)(x f 的单调区间.20． 解（Ⅰ）,44)(23ax ax ax x f +-=)2)(23(483)(2--=+-='∴x x a a ax ax x f 令0)(='x f ，得32=x 或2. ∵函数)()2()(2R x x ax x f ∈-=有极大值32， )(,0)2(x f f ∴=∴在32=x 时取得极大值. .322732)32(==a f 解得.27=a ).2)(23(27)(--='∴x x x f当32<x 时，,0)(>'x f 当232<<x 时，,0)(<'x f )(x f ∴在32=x 时，有极大值32. 27=∴a 时函数)(x f 有极大值32. ……7分（Ⅱ）由,0)2)(23(27)(>--='x x x f 得32<x 或.2>x∴函数)(x f 的单调增区间是（－),2(),32,+∞∞；单调减区间是（).2,3221．（本题满分12分）已知曲线C上任意一点到直线2x =的距离与它到点的距离(I)求曲线C 的方程； (II)设B 为曲线C 与y 轴负半轴的交点，问：是否存在方向向量为(1,)(0)m k k =≠的直线l ，l 与曲线C 相交于M N 、两点，使||||BM BN =，且BM 与BN 夹角为60?若存在，求出k 值，并写出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

高三数学强化训练（25）1．已知θ为锐角，且sin 2a θ=，则sin cos θθ+的值为(A ()1)1B a + ()C ± (D2．若cos cos 0,442πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则sin 2θ为()A ()B ()C ()D3．函数3sin 63y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是 (A ()B ()C ()D 非以上答案4．要得到函数sin cos y x x =-的图象，可以把函数sin cos y x x =+的图象 ()A 右移2π ()B 右移4π ()C 左移2π ()D 左移4π5．若对任意实数a ，函数215sin 36k y x ππ+⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()k N ∈在区间[],3a a +上的值54出现不少于４次且不多于８次，则k 的值为()2A ()4B ()3C 或4 ()2D 或36．tan 30x -≥的解集区间为_____________________7．下列命题中正确的序号为______________________（你认为正确的都写出来） ①sin cos y x x =的周期为π，最大值为12②若x 是第一象限的角，则sin y x =是增函数③在ABC ∆中若sin sin A B =则A B =④()sin cos f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数⑤.0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且cos sin αβ 则2παβ+ ⑥cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴为8x π=-8．已知函数()25sin cos f x x x x =- x R ∈ ⑴求()f x 的最小正周期 ⑵确定函数()f x 的递减区间 ⑶确定()f x 的最大值与最小值，并写出对应的x 的集合⑷该函数图象可由函数sin 2y x =图象经过怎样的变换得到？参考答案ABBAD 6．arctan3,.2k k k Z πππ⎡⎫++∈⎪⎢⎣⎭， 7．①③④⑤⑥ 8.⑴．T π=，⑵．511,.1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，⑶．当.12x k k Z ππ=-∈时，()f x 的最小值为－５，当5.12x k k Z ππ=+∈时，()f x 的最大值为５。

2011年福建省某校高考考前热身数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1. 设集合M ={x|0≤x <3}，N ={x|x 2−3x −4<0}，则集合M ∩N 等于( ) A {x|0≤x <1} B {x|0≤x ≤1} C {x|0≤x <3} D {x|0≤x ≤3}2. 已知x ∈R ，i 为虚数单位，若(1+i)i =−1+xi ，则x 的值等于 （ ） A 0 B −1 C 1 D 23. 数列{a n }中，a 1=1，对于所有的n ≥2，n ∈N 都有a 1⋅a 2⋅a 3•…•a n =n 2，则a 3+a 5等于（ ）A 6116 B 259 C 2516 D 31154. 已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确命题是（ ） A 若α⊥β，l ⊥β，则l // α B 若l 上有两个点到α的距离相等，则l // α C 若l ⊥α，l // β，则α⊥β D 若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β5. 已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆 上，且满足OA →+OB →=0→（O 为坐标原点），AF 2→⋅F 1F 2→=0，若椭圆的离心率等于√22，则直线AB 的方程是 （ ） A y =√22x B y =−√22x C y =−√32x D y =√32x 6. 函数f(x)＝Asin(ωx +φ)（其中A >0,|φ|<π2）的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin2x 的图象，则只需将f(x)的图象（ ）A 向右平移π6个长度单位 B 向右平移π12个长度单位 C 向左平移π6个长度单位 D 向左平移π12个长度单位7. 天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n+4910元(n ∈N ∗)，使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的日平均耗资最少）为止，一共使用了（ ）A 600天B 800天C 1000天D 1200天8. 已知√2<a <2，则函数f(x)=√a 2−x 2+|x|−2的零点个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 49. 实数a ∈[−1, 1]，b ∈[0, 2]．设函数f(x)=−13x 3+12ax 2+bx 的两个极值点为x 1，x 2，现向点(a, b)所在平面区域投掷一个飞镖，则飞镖恰好落入使x 1≤−1且x 2≥1的区域的概率为 （ ）A 12B 13C 14D 1510. 如图，从双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO|−|MT|与b −a 的大小关系为（ ）A |MO|−|MT|>b −aB |MO|−|MT|<b −aC |MO|−|MT|=b −aD 以上三种可能都有二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 已知函数f(x)={2x (x >0)f(x +3)(x ≤0)，则f(−8)=________．12. 某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x 分钟．有1000名小学生参加了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0∼60分钟内的学生的频率是________． 13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=a 3⋅∫(202x +12)dx ，则S9S 5=________．14. 已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF // BC ，实数x ，y 满足PA →+xPB →+yPC →=0．设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S1S =λ1，S 2S =λ2，S3S=λ3．则λ2⋅λ3取最大值时，2x +y 的值为________．15. “点动成线，线动成面，面动成体”．如图，x 轴上有一条单位长度的线段AB ，沿着与其垂直的y 轴方向平移一个单位长度，线段扫过的区域形成一个二维方体（正方形ABCD ），再把正方形沿着与其所在的平面垂直的z 轴方向平移一个单位长度，则正方形扫过的区域形成一个三维方体（正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1）．请你设想存在四维空间，将正方体向第四个维度平移得到四维方体，若一个四维方体有m 个顶点，n 条棱，P 个面，则n ，m ，p 的值分别为________．三、解答题（共6小题，满分80分）16. 在锐角△ABC中，A、B、C三内角所对的边分别为a、b、c．设m→=(cosA,sinA)，n→=(cosA,−sinA)，a=√7，且m→⋅n→=−12（1）若b=3，求△ABC的面积；（2）求b+c的最大值．17. 已知圆M：(x+√3)2+y2=225的圆心为M，圆N：(x−√3)2+y2=的圆心为N，一动16圆与圆M内切，与圆N外切．（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）在（1）所求轨迹上是否存在一点Q，使得∠MQN为钝角？若存在，求出点Q横坐标的取值范围；若不存在，说明理由．18. 某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x，y(x, y∈{1, 2, 3})，随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．（1）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；（2）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；（3）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．19. 某设计部门承接一产品包装盒的设计（如图所示），客户除了要求AB、BE 边的长分别为20cm 和30cm 外，还特别要求包装盒必需满足：①平面ADE ⊥平面ADC ；②平面ADE 与平面ABC 所成的二面角不小于60∘；③包装盒的体积尽可能大．若设计部门设计出的样品满足：∠ACB 与∠ACD 均为直角且AB 长20cm ，矩形DCBE 的一边长为30cm ，请你判断该包装盒的设计是否能符合客户的要求？说明理由． 20. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a nan +1，(n ≥1)，数列{b n }满足b n =lna n ，数列{c n }满足c n =a n +b n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）S n =a 1+a 2+...+a n ，T n =b 1+b 2+...+b n ，试比较S n −n 与T n 的大小，并证明； （3）我们知道数列{a n }如果是等差数列，则公差d =a n −a m n−m(n ≠m)是一个常数，显然在本题的数列{c n }中c n −c m n−m(n ≠m)不是一个常数，但c n −c m n−m(n ≠m)是否会小于等于一个常数k呢，若会，请求出k 的范围，若不会，请说明理由．21. 本题有(1)、(2)、(3)三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． (1)选修4−2：矩阵与变换已知矩阵M =[7−64−3]，向量ξ→=[65]．(I)求矩阵M 的特征值λ1、λ2和特征向量ξ→1和ξ2→； (II)求M 6ξ→的值．(2)选修4−4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα(α为参数)．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=2√2．(I)求直线l 的直角坐标方程；(II)点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． (3)选修4−5：不等式选讲(I)已知：a 、b 、c ∈R +，求证：a 2+b 2+c 2≥13(a +b +c)2；(II)某长方体从一个顶点出发的三条棱长之和等于3，求其对角线长的最小值．2011年福建省某校高考考前热身数学试卷（理科）答案1. C2. C3. A4. C5. A6. A7. B8. D9. C 10. C 11. 2 12. 0.32 13. 9 14. 3215. 16，32，2416. 解：（1）由m →⋅n →=−12得cos 2A −sin 2A =−12 即cos2A =−12，∵ 0<A <π20<2A <π∴ 2A =2π3，A =π3由a 2=b 2+c 2−2bccosA得c 2−3c +2=0∴ c =1或2∵ c =1时，cosB <0，∴ c =1舍去， ∴ c =2∴ S =12b ⋅c ⋅sinA =12×3×2×sin π3=3√32． （2）a 2=b 2+c 2−2bccosA∴ b 2+c 2−bc =7(b +c)2=3bc +7≤3(b +c 2)2+7∴ (b +c)2≤28b +c ≤2√7 当且仅当时b =c 取等号∴ (b +c)max =2√7． 17. 解：（1）设动圆P 的半径为r ，则|PM|=154−r ，|PN|=r +14两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN|由椭圆定义知，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，焦距为2√3，实轴长为4的椭圆 其方程为x 24+y 2=1…（2）假设存在，设Q(x, y)．则因为∠MQN 为钝角，所以QM →⋅QN →<0QM →=(−√3−x,−y)，QN →=(√3−x,−y)，QM →⋅QN →=x 2+y 2−3<0 又因为Q 点在椭圆上，所以x 24+y 21=1联立两式得：x 2+1−x 24−3<0化简得：x 2<83，解得：x ∈(−2√63，2√63)，所以存在．… 18. 解：（1）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)共9个，…设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件A ，且事件A 所包含的基本事件有(3, 1)，(3, 3)共2个， ∴ P(A)=29．…（2）设小叶参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为−100，900，9900．… P(ξ=−100)=9991000，P(ξ=900)=11000⋅79=79000，P(ξ=9900)=11000⋅29=29000．∴ ξ的分布列为∴ Eξ=−100×9991000+900×79000+9900×29000=−97． …（3）由（2）可知，购票者每人收益期望为−97． ∵ 有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，∴ 该机构此次收益期望为97×10000=970000元=97万元， ∵ 97>96，∴ 该慈善机构此次募捐能达到预期目标．… 19. 解：该包装盒的样品设计符合客户的要求． 以下证明满足条件①的要求．∵ 四边形DCBE 为矩形，∠ACB 与∠ACD 均为直角， ∴ CB ⊥AC 且CB ⊥DC∴ CB ⊥面ADC ， 在矩形DCBE 中，DE // CB∴ DE ⊥面ADC∴ 面ADE ⊥面ADC… 以下证明满足条件②、③的要求． ∵ 矩形DCBE 的一边长为30cm ，而直角三角形ABC 的斜边AB 长为20cm ，∴ BE =30设BC =t ，则AC =√400−t 2，以C 为原点，CA 、CB 、CD 分别为x 、y 、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系C −xyz ， 则A(√400−t 2，0，0)，B(0, t, 0)，D(0, 0, 30)，E(0, t, 30)， 设面ADE 的一个法向量为n 1=(x, y, z)，DA →=(√400−t 2,0,−30)，DE→=(0,t,0)∵ n 1⋅DA →=0且n 1⋅DE →=0∴ {√400−t 2x −30z =0ty =0，取x =1，则n 1=(1,0,√400−t 230)…而面ABC 的一个法向量为n 2=(0, 0, 1)，设面ADE 与面ABC 所成的二面角为θ，则cosθ≤12，∴ cosθ=|cos <n 1，n 2>|=√400−t 230√1+2900⋅1≤12，∴ t ≥10，即当t ≥10时，面ADE 与面ABC 所成的二面角不小于60∘．…又，由∠ACB 与∠ACD 均为直角知，AC ⊥面DCBE ，该包装盒可视为四棱锥A −BCDE ，∴ V A−BCDE =13S BCDE ⋅AC =13⋅30t ⋅√400−t 2=10√t 2(400−t 2)≤10√(t 2+400−t 22)2=2000当且仅当t 2=400−t 2，即t =10√2cm 时，V A−BCDE 的体积最大，最大值为2000cm 3．… 而t =10√2>10，可以满足面ADE 与面ABC 所成的二面角不小于60∘的要求， 综上，该包装盒的设计符合客户的要求． … 20. 解：（1）根据题意，可得1a n+1=1a n+1，所以{1a n}是等差数列，则其首项1a 1=1，公差d =1，所以1a n=1+(n −1)×1=n ，从而a n =1n ；（2）由（1）得b n =ln 1n ，构造函数f(x)=lnx −x +1，则f′(x)=1x −1=1−x x；当0<x <1时，f′(x)>0，f(x)为增函数， 当x >1时，f′(x)<0，f(x)为减函数， 即当x ≥1时，函数f(x)单调递减，所以f(x)≤f(1)=0，即任意x >0，有lnx ≤x −1成立，当且仅当x =1时取等号； 又由n >0，则1n >0，令x =1n ，可得ln 1n ≤1n −1，即b n ≤a n −1，当且仅当n =1时取等号，所以S n −n =(a 1−1)+(a 2−1)+...+(a n −1)≥b 1+b 2+...+b n =T n ，当且仅当n =1时取等号；即S n −n ≥T n ，n =1时等号成立；（3）由（1）知c n =1n +ln 1n ，不妨设c n −cmn−m ≤k 恒成立，且n >m ≥1，则c n −c m ≤k(n −m)，等价于c n −kn ≤c m −km ， 记f(n)=c n −kn ，则f(n)在N ∗上单调递减，所以f(n +1)−f(n)=c n+1−c n −k ≤0恒成立； 所以k ≥(c n+1−c n )max =−[1n(n+1)+lnn(n +1)]max记t =n(n +1)≥2，g(t)=lnt +1t ，所以g′(t)=1t −1t 2=t−1t 2>0，所以g(t)在[2, +∞)上单调递增，所以g(t)min =g(2)=ln2+12所以k ≥−(ln2+12)为所求范围．21. (1)解：(I)M =[7−64−3]的特征多项式为f(λ)=|λ−76−4λ+3|=λ2−4λ+3令f(λ)=0，得λ1=2，λ2=31，λ1=2，λ2=3…当λ1=2，λ2=31时，得ξ1→=[11]；当λ2=3时，得ξ2→=[32]…(II)由ξ→=mξ1→+nξ2→得{m +3n =6m +2n =5，得m =3，n =1…∴ M 6ξ→=M 6(3ξ1→+ξ2→)=3(λ16ξ1→)+λ26ξ2→=[21901460]… (2)解：(I)ρcos(θ−π4)=2√2化简为ρcosθ+ρsinθ=4， ∴ 直线l 的直角坐标方程为x +y =4； … (II)设点P 的坐标为(2cosα, sinα)， 得P 到直线l 的距离d =√2，…即d =√5sin(α+φ)−4|√2，其中cosφ=√5sinφ=√5．当sin(α+φ)=−1时，d max =2√2+√102． … (3)解：(I)a ，b ，c ∈R +，根据柯西不等式有：(a 2+b 2+c 2)(12+12+12)≥(a ⋅1+b ⋅1+c ⋅1)2，即a 2+b 2+c 2≥13(a +b +c)2，当且a =b =c 时等式成立．… (II)不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a 、b 、c ，故有a +b +c =3，其对角线长l =√a 2+b 2+c 2≥√13(a +b +c)2=√3，当且仅当a =b =c =1时对角线长取得最小值√3．…。

2011年高三冲刺阶段解答题训练题集4 ——解析几何部分一、理科解析几何解答题及参考答案1、实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－.(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)当m＝时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？解: (1)设S(x，y)，那么k SA＝，k SB＝.由题意得＝－，即＋y2＝1(x≠±m)．∵m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.(2)当m＝时，曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．由消去y得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.①令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3，∵t>0，∴t＝3.此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．②令Δ>0且直线2x－y＋t＝0恰好过点(－，0)时，t＝2.此时直线与曲线C有且只有一个公共点．综上所述，当t＝3或2时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．2、椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕假设P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

解： (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由得，所以椭圆的标准方程为.〔Ⅱ〕设，其中。

由及点在椭圆上可得。

整理得，其中。

〔i〕时,化简得所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。

〔ii〕时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分.当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆.3、矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．〔I〕求边所在直线的方程；〔II〕求矩形外接圆的方程；〔III〕假设动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．解：〔I〕因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．即．〔II〕由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心．又．从而矩形外接圆的方程为．〔III〕因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即．故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．从而动圆的圆心的轨迹方程为．4、菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；(2)当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值．解: (1)由题意得直线BD的方程为y＝x＋1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.因为A，C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64>0，解得－<n<.设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么x1＋x2＝，x1x2＝，y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝.所以AC的中点坐标为.由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y＝x＋1上，所以＝＋1，解得n＝－2.所以直线AC的方程为y＝－x－2，即x＋y＋2＝0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|.所以菱形ABCD的面积S＝|AC|2.由(1)可得|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以S＝(－3n2＋16)3.所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值4.5、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值X围；(2) 设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.解: (1)由条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>.即k的取值X围为∪.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么由方程①得x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2，③而所以与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝.由(1)知k<－或k>，故没有符合题意的常数k.6、向量，动点M到定直线的距离等于，并且满足，其中O为坐标原点，K为参数；〔1〕求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；〔2〕当k=时，求的最大值和最小值；〔3〕在〔2〕的条件下，将曲线向左平移一个单位，在x轴上是否存在一点P〔m，0〕使得过点P的直线交该曲线于D、E两点、并且以DE为直径的圆经过原点，假设存在，请求出的最小值；假设不存在，请说明理由.解：〔1〕设，那么由，且O为原点得A〔2，0〕，B〔2，1〕，C〔0，1〕从而代入得为所求轨迹方程当K=1时，=0 轨迹为一条直线当K1时，，假设K=0，那么为圆；假设K，那么为双曲线〔2〕当K=时，假设或那么为椭圆方程为，即且从而又∴当时，取最小值，当时，取最大值16故，〔3〕在〔2〕的条件下，将曲线向左平移一个单位后曲线方程为假设存在过P〔m,0〕直线满足题意条件，不妨设过P〔m,0〕直线方程为设D〔x1,y1〕,E(x2,y2)，消去x得：即由韦达定理，得由于以DE为直径的圆都过原点那么,即又因为即显然能满足故当7、椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点．(1)求椭圆C的标准方程；C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，假设求λ1＋λ2的值．解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，抛物线方程为x2＝4y，其焦点为(0,1)，椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1，由e＝＝＝，得a2＝5，∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由(1)得椭圆C的右焦点为F(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，代入＋y2＝1，并整理得：(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝.又＝(x1，y1－y0)，＝(x2，y2－y0)，＝(2－x1，－y1)， (2－x2，－y2) 由得(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)，(x2，y2－y0)＝λ2(2－x2，－y2)，∴λ1＝，λ2＝，∴λ1＋λ2＝＋＝＝－10.8、设椭圆E: 〔a,b>0〕过M〔2，〕，N(,1)两点，O为坐标原点，〔I〕求椭圆E的方程；〔II〕是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B, 且？假设存在，写出该圆的方程，假设不存在说明理由。

高考数学最后冲刺必读题解析（19）20．（本小题满分14分）已知函数(),()x kf x e x x R -=-∈（1）当0k =时，若函数1()()g x f x m=+的定义域是R ，求实数m 的取值范围；（2）试判断当1k >时，函数()f x 在(,2)k k 内是否存在零点.20、解：（1）当0k =时，()xf x e x =-，()1xf x e '=- ∴()f x 在(),0-∞上单调减，在[)0,+∞上单调增. ∴min ()(0)1f x f ==, ………5分,()1()10x R f x f x ∀∈≥⇔-≥成立，1m ∴>-………7分（2）当1k >时， ()x kf x ex -=-，()10x k f x e -'=->在(,2)k k 上恒成立. …9分∴ ()f x 在(,2)k k 上单调增.(且连续)且()10k kf k ek k -=-=-<，…………10分2(2)22k k k f k e k e k -=-=-(2)20k f k e '=->,(2)f k 在1k >时单调增，∴(2)20f k e >->………13分∴由零点存在定理知，函数()f x 在(,2)k k 内存在零点. …………14分21．（本小题满分14分）已知曲线1C ：2x y e e=+（e 为自然对数的底数），曲线2C ：2ln y e x =和直线l ：2y x =．（1）求证：直线l 与曲线1C ，2C 都相切，且切于同一点；（2）设直线)0(>=t t x 与曲线1C ，2C 及直线l 分别相交于,,M N P ，记()||||f t PM NP =-，求)(t f 在33[,]e e -上的最大值；（3）设直线mx e =（m 为自然数）与曲线1C 和2C 的交点分别为m A 和m B ，问是否存在正整数n ，使得00n n A B A B =？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由. (本小题参考数据e ≈2.7) ．21． 解（1）证：2x y e e =+ 2'x y e = 由2'2x y e== 得e x =…………2分 在1C 上点)2,(e e 处的切线为22()y e x e -=-，即2y x = …………3分 又在2C 上点)2,(e e 处切线可计算得22()y e x e -=-，即2y x =∴直线l 与1C 、2C 都相切，且切于同一点（,2e e ） …………………4分（2）22()2(22ln )2ln 4t t f t e t t e t e t t e e e=+---=+-+222212242()'()240t t e et t e f t e e t et et+--=+-==≥ …………………6分 ∴)(t f 在[]33,e e -上递增 ∴当3t e =时e e e e e e e ee tf 744ln 2)(35336max+-=+-+=……………8分 （3）ne e ee e e e e e B A n nn n n 2)(ln 2)(22-+=-+= 设上式为)(n g ，假设n 取正实数，则ee n g n )()('2=·e e e e e n )(22ln 222-=-当)1,0(∈n 时，0)('<n g ，()g n ∴递减；当),1(+∞∈n ，0)('>n g ，()g n ∴递增． ……………………………………12分ee B A g 1)0(00+==022)1(=-=e e g ee e e e e e e e e g 1237.234)2(233+>>-≈-=-+=∴不存在正整数n ，使得)0()(g m g =即00B A B A n n = …………………………………………14分20. （本小题共12分）在直角坐标系xOy 中，动点P 到两定点(0 ，，(0的距离之和等于4，设动点P 的轨迹为C ，过点(0的直线与C 交于A ，B 两点．（1）写出C 的方程；（2）设d 为A 、B 两点间的距离，d 是否存在最大值、最小值；若存在， 求出d 的最大值、最小值． 20．（本小题满分12分）解：（1）设P( x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0 ，，(0为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=． ……4分（2）①设过点(0的直线方程为1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2214y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y并整理得22(4)10k x ++-=. ……6分 ∴12212()x x y k x x +=+=++=+1y∴ 221212||()()2()a a d AF BF e y e y a e y y c c =+=-+-=-+=422334k k +-+=21244k -+。

《2011届高三数学考前指导》参考答案专题一二、考题剖析例1．解:（1）设x 1、x 2∈R 且x1<x2，则x 2-x 1>0，∴f(x 2-x 1)>1 f(x 2)-f(x 1)=f[(x 2-x 1)+x 1]-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-1-f(x 1)=f(x 2-x 1)-1>0 ∴f(x 1)<f(x 2) 即f(x)是R 上的增函数。

（2）f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，∴f(2)=3∴原不等式可转换为f(3m 2-m-2)<f(2) ∵f(x)是R 上的增函数，于是有3m 2-m-2<2 解得-1<m<43例2．解: （I ）,2)(xax x f -='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ① ………………2分又xax g 21)(-=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x .∵上式恒成立,∴.2≥a ② …………4分由①②得2=a . ∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-= …………5分（II ）由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1122)(xx x x h +--='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 列表分析知)(x h 在当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解.即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解. …………10分（III ）设2'23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x xϕϕ=--+=---<则, ()x ϕ∴在(0,1]为减函数min()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥ 又1b >-所以：11≤<-b 为所求范围. …………16分例3．解:（1）212S R θ=扇，21sin 2OCD S R θ∆=, 21()(sin )2S f R θθθ==-弓.又12S Rl =扇，21sin 2OCD l S R R∆=,1()(sin )2lS g l R l R R==-弓.(2)设总利润为y 元，草皮利润为1y 元，花木地利润为2y ，观赏样板地成本为3y21113()22y R lR π=-，221sin 82y R θ=⋅，31(sin )22y R l R θ=-⋅,222212311113()sin 8(sin )22222y y y y R R R R πθθθθ∴=+-=-+⋅--⋅ .21[3(510sin )]2R πθθ=--.设()510sin g θθθ=- (0,)θπ∈.'()510cos g θθ=- , …………12分'1()0,cos ,()2g g πθθθθ<>∈在（0, ）3上为减函数； '1()0,cos ,()2g g πθθθθπ><∈在（，）3上为增函数. 当3πθ=时，()g θ取到最小值,此时总利润最大.所以当园林公司把扇形的圆心角设计成3π时，总利润最大. 【说明】本题考查导数，函数性质，考查运算能力和分析问题和解决问题的能力.三、热身冲刺1．解: 解：（1）函数xxx f ln )(=的定义域为),1()1,0(+∞ ， 2ln 1()ln x f x x-'=，……………3分 令()0f x '=，解得e x =，列表所以极小值为)(e f ＝e ，无极大值.（2）当0x ≤时，对任意0a ≠，不等式恒成立； 当0x >时，在x ae x >两边取自然对数，得ln xx a>，1当01x <≤时，ln 0x ≤，当0a >，不等式恒成立；如果0a <，ln 0x <， ln 0a x >，不等式等价于ln xa x<，由(1)得，此时(,0)ln xx∈-∞，不等式不恒成立.2当1x >时，ln 0x >，则0a >,不等式等价于ln xa x<, 由(1)得，此时ln xx的最小值为e ，得0a e <<.…………14分综上：a 的取值范围是0a e <<.【说明】本题考查用导数判断函数单调性、求极值、对数函数的性质、转化化归思想、分类讨论思想、不等式的性质、恒成立问题处理方法2．解：（1）22(2),,()2(2),,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-⎪=-+=⎨-++<⎪⎩≥由()f x 在R 上是增函数，则2,22,2a a a a -⎧-⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≥≤即22a -≤≤，则a 范围为22a -≤≤；…4分（2）由题意得对任意的实数[1,2]x ∈，()()f x g x <恒成立，即1x x a -<，当[1,2]x ∈恒成立，即1x a x -<，11x a x x-<-<， 11x a x x x -<<+，故只要1x a x-<且1a x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可，在[1,2]x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1x x+的最小值大于a 即可，………6分而当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，1x x -为增函数，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，1x x +为增函数，min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以322a <<； …………………10分（3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x t f a =不可能有三个不等的实数根； ……… 11分则当(2,4]a ∈时，由22(2),,()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+-⎪=⎨-++<⎪⎩≥得x a ≥时，2()(2)f x x a x =+-对称轴22a x a -=<， 则()f x 在[,)x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为[(),)[2,)f a a +∞=+∞，x a <时，2()(2)f x x a x =-++对称轴22a x a +=<， 则()f x 在2,2a x +⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦， ()f x 在2,2a x a +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦；由存在(2,4]a ∈，方程()()2f x t f a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 即存在(2,4]a ∈，使得2(2)1,8a t a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭即可，令2(2)14()488a g a a a a +⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(2,4]a ∈上是增函数，()max 9()(4)8g a g ==，故实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭； ………………… 15分同理可求当[4,2)a ∈--时，t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述，实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭． ……………16分专题二二、考题剖析例1．解：（Ⅰ）),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==分即分分6.53)cos(.54)cos(224,552)sin (sin )cos (cos ,552||2).sin sin cos (cos 22 =-∴=--=-+-∴=---=-∴βαβαβαβαβαβα （Ⅱ）分7.0,02,20 πβαβππα<-<∴<<-<<分分分12.6533)135(53131254sin )cos(cos )sin(])sin[(sin 9.1312cos ,135sin 8.54)sin(,53)cos( =-⋅+⋅=-+-=+-=∴=∴-==-∴=-ββαββαββααβββαβα 例2．分析：由向量n m ,的关系可得三角形三个内角的正弦值的等量关系，再利用正弦定理可以实现边角的互化，再联立三角形周长等量关系可求得边c ；角C 的范围可由其余弦值确定。

高考数学最后冲刺必读题解析（21）20．（本小题满分12分）已知等比数列}{n a 中，432,,a a a 分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且,211=a 公比.1≠q （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）已知数列}{n b 满足n n n S a b ,log 221=是数列}{n b 的前n 项和，求证：当.1,5<≥n n S a n 时20．解：（1）由已知得).(24332a a a a -=- 从而得01322=+-q q解得121==q q 或（舍去） …………4分 所以.)21(4na =…………6分（2）由于.2)1(),1(2)21(log 221nn n n nn n n S a n n S n b +=+=⋅== 因此所证不等式等价于：.)5()1(2≥+>n n n n①当n=5时，因为左边=32，右边=30，所以不等式成立； ②假设)5(≥=k k n 时不等式成立，即),1(2+>k k k两边同乘以2得).2)(1(21++>+k k k这说明当n=k+1时也不等式成立。

由①②知，当)1(25+>≥n n n n时成立。

因此，当1,5<≥n n S a n 时成立。

…………12分21．（本小题满分12分）已知函数)('),(4)(23x f R a ax x x f ∈-+-=是)(x f 的导函数。

（1）当a=2时，对于任意的)(')(],1,1[],1,1[n f m f n m +-∈-∈求的最小值； （2）若存在),0(0+∞∈x ，使,0)(0>x f 求a 的取值范围。

21．解：（1）由题意知.43)(',42)(223x x x f x x x f +-=-+-=令.340,0)('或得==x x f当x 在[-1，1]上变化时，)(),('x f x f 随x 的变化情况如下表：)(],1,1[m f m -∈∴对于的最小值为,4)0(-=f x x x f 43)('2+-= 的对称轴为,22=x 且抛物线开口向下)('],1,1[n f n -∈∴对于的最小值为.7)1('-=-f)(')(n f m f +∴的最小值为-11。