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四川省凉山州2016-2017学年高一（下）期末数学试卷（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（3分）在△ABC中，若AC=2，BC=2，AB=2，则∠C=（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（3分）四边形ABCD为平行四边形，若=（2，3），=（﹣1，2），则+=（）A．（﹣2，4）B．（4，6）C．（﹣6，﹣2）D．（﹣1，9）3．（3分）若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A．＞B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞ab4．（3分）设m、n是二条不同的直线，α、β是二个不同的平面，说法正确的是（）A．若m∥n，n∥α，则m∥αB．若m∥β，n∥β，则m∥nC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，则m⊥β5．（3分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），则a20=（）A．0 B．2 C．﹣1 D．6．（3分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）A．10日B．20日C．30日D．40日7．（3分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣58．（3分）若向量，满足||=1，（+2）⊥，（2+）⊥，则||=（）A．2 B．C．1 D．9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1D，DD1的中点，则异面直线CM 与AN所成角的大小是（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．（3分）已知实数a＞0，b＞0，若2a+b=1，则的最小值是（）A．B．C．4 D．811．（3分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）A．8 B．C．D．12．（3分）设数列{a n}满足a1=1，a n=2a n+1，设b n=log2a n，则数列{b n}的前n项之和是（）A．B．C．n﹣1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分）.13．（4分）不等式x2﹣1＞0的解集为．14．（4分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cos B=．15．（4分）已知三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直且SA=SB=SC=1，则该三棱锥的外接球的体积为．16．（4分）已知向量，满足||=4，||=2，（﹣3）（+）≤0，则在上的投影长度取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（8分）已知非零向量和不共线．（1）如果=﹣，=2+，=3（﹣2），求证：A，B，D三点共线；（2）欲使向量K+与+K平行，试确定实数K的值．18．（8分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C形成等差数列．（1）求cos B的值；（2）若b=，a=2，求△ABC的面积．19．（10分）如图所示，多面体ABCDMN的底面ABCD是AB=2，AD=1的矩形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB余ND交于P点，点Q在AB上，且BQ=．（1）求证：QP∥平面AMD；（2）求三棱锥M﹣BCN的体积．20．（10分）已知函数f（x）=ax2+ax+2．（1）对任意的x∈R．f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（2）若对于a∈[﹣1，1]，f（x）＜﹣a+5恒成立，求x的取值范围．21．（12分）已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n+3，数列{b n}的前n项和为S n，且满足2S n=1﹣b n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【参考答案】一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．A【解析】在△ABC中，若AC=2，BC=2，AB=2，则cos C===．由0°＜C＜180°，可得C=30°．故选A．2．A【解析】根据题意，平行四边形ABCD中，=+，=﹣，则+=（+）+（﹣）=2，而=（﹣1，2），则+=2=（﹣2，4），故选A．3．B【解析】∵a＜b＜0，∴，|a|＞|b|，a2＞ab．因此A，C，D正确．对于B：只有0＞b＞a时，可得，因此B不正确．故选B．4．C【解析】对于A，当m⊂α时，显然结论错误，故A错误；对于B，若m∥β，n∥β，则直线m，n可能平行，可能相交也可能异面，故B错误；对于C，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，又n⊥α，故m⊥α，故C正确；对于D，若m⊥n，n⊥β，则m⊂β或m∥β，故D错误．5．B【解析】∵数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），∴=2，=﹣1，=，=2，…∴数列{a n}是以3为周期的周期数列，∴a20=a2=2．故选B．6．C【解析】设此数列为等差数列{a n}，a1=5，a n=1，S n=90．∴=90，解得n=30．故选C．7．A【解析】由变量x，y满足约束条件，作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选A．8．C【解析】∵向量，满足||=1，（+2）⊥，（2+）⊥，∴，∴，∴||=||=1．故选C．9．C【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则C（0，2，0），N（0，0，1），A（2，0，0），M（1，0，2），=（1，﹣2，2），=（﹣2，0，1），设异面直线CM与AN所成角为θ，则cosθ===0，∴θ=90°．故选C．10．D【解析】∵实数a＞0，b＞0，2a+b=1，则=（2a+b）=4+≥4+2=8，当且仅当b=2a=时取等号．故选D．11．D【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底的四棱锥底面面积S=2×（2+2）=8高h=，故该四棱锥的体积V=；故选D.12．B【解析】由a n=2a n+1，得，又a1=1，∴数列{a n}是以1为首项，以为公比的等比数列，则．∴b n=log2a n=．∴数列{b n}的前n项之和是S n=（1﹣1）+（1﹣2）+（1﹣3）+…+（1﹣n）=n﹣（1+2+3+…+n）=n﹣=．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分）.13．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解析】根据题意，x2﹣1＞0，即x2＞1，解可得：x＜﹣1或x＞1，即不等式x2﹣1＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故答案为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．14．【解析】由正弦定理可得=，∴sin B=，再由b＜a，可得B为锐角，∴cos B==，故答案为．15．【解析】三棱锥S﹣ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=SB=SC=1，则该三棱锥的外接球，就是三棱锥扩展为长方体的外接球，所以长方体的对角线的长度为：，所以该三棱锥的外接球的半径r=．三棱锥的外接球的体积为=故答案为．16．≤||cosθ≤2【解析】||=4，||=2，（﹣3）（+）≤0，∴﹣2•﹣3≤0，∴16﹣2•﹣3×4≤0，∴•≥2，∴在方向的投影是||cosθ=||×=≥=，又∵cosθ≤1，∴||cosθ≤2，∴在上的投影长度取值范围是≤||cosθ≤2．故答案为≤||cosθ≤2．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（1）证明：∵非零向量和不共线．=﹣，=2+，=3（﹣2），==﹣5=5（）=5，∴与平行，又与有公共点B，∴A，B，D三点共线．（2）解：∵非零向量和不共线．K+与+K平行，∴K+=λ（+K），∴，解得K=．18．解：（1）△ABC中，三内角A，B，C形成等差数列，故有2B=A+C，结合三角形内角和公式可得B=，A+C=，∴cos B=．（2）b=，a=2，∴B＞A，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac•cos B，即7=4+c2﹣4c•，即（c﹣3）（c+1）=0，∴c=3．∴△ABC的面积为•ac•sin B=•2•3•=．19．（1）证明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．∴，又，∴∴在△MAB中，QP∥AM．又QP⊄平面AMD，AM⊂平面AMD．∴QP∥平面AMD．（2）解：连接DB，过C作CO⊥DB于O，又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥OC，又BD∩MD=D，∴OC⊥平面MNBD．∴CO为四棱锥C﹣MNBD的高，且CO=，又S MNBD=．V C﹣MNBD=V M=BCD=，∴V M﹣BCN=V C﹣MNBD﹣V M﹣BDC=1﹣20．解：（1）对任意的x∈R．f（x）＞0恒成立，即为ax2+ax+2＞0恒成立，可得当a=0时，2＞0恒成立；当a＞0，判别式△=a2﹣8a＜0，解得0＜a＜8，当a＜0时，ax2+ax+2＞0不恒成立．综上可得a的范围是0≤a＜8；（2）对于a∈[﹣1，1]，f（x）＜﹣a+5恒成立，即为ax2+ax+2＜﹣a+5，在a∈[﹣1，1]恒成立，即有a（x2+x+1）﹣3＜0，令g（a）=a（x2+x+1）﹣3，a∈[﹣1，1]，则g（﹣1）＜0，且g（1）＜0，即有﹣（x2+x+1）﹣3＜0，且（x2+x+1）﹣3＜0，即为x∈R且﹣2＜x＜1，则x的范围是（﹣2，1）．21．解：（1）∵数列{a n}满足a1=3，a n+1=a n+3，即a n+1﹣a n=3，∴数列{a n}为等差数列，首项与公差都为3．∴a n=3+3（n﹣1）=3n．∵数列{b n}的前n项和为S n，且满足2S n=1﹣b n．∴n≥2时，2b n=2（S n﹣S n﹣1）=1﹣b n﹣（1﹣b n﹣1），化为：b n=b n﹣1．n=1时，2b1=1﹣b1，解得b1=．∴数列{b n}为等比数列，首项与公比都为．∴b n=．（2）c n==n•3n+1，∴数列{c n}的前n项和T n=32+2×33+3×34+…+n•3n+1，∴3T n=33+2×34+…+（n﹣1）•3n+1+n•3n+2，∴﹣2T n=32+33+…+3n+1﹣n•3n+2=﹣n•3n+2，∴T n=•3n+2+．。
木里中学2016-2017学年度下期高二6月月考检测数学（文科）命题人：邓国华 审题人:邱强生一、选择题（每题5分，共60分)1．已知全集U=R ，集合A=｛x ｜1〈2x〈4}，B={x ｜x 2—1≥0}，则()U AC B ＝（)A.｛x ｜1〈x 〈2}B.｛x ｜0〈x<1｝C. {x|1≤x 〈2｝D.{x ｜0〈x ≤1｝2．已知()()31z m m i=++-复平面内对应的点在第四象限， 则实数m 的取值范围是( )A ．()1,+∞B ．()1,3- C.()3,1- D ．(),3-∞- 3.已知f （x)=x 4+mx 3+3x 2+1，且2)1(=-'f ，则m 的值为( ) A 。
1 B 。
2 C.3D 。
44。
袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( ）A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球;至少有一个红球C ．至少有一个白球；红、黑球各一个D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球5。
如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是（ ）A.9B 。
10 C.5D 。
76.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）,可得这个几何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm7。
已知:|2|3p x ->，:5q x >，则p ⌝是q ⌝成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e;②（log 2x ）′＝1ln 2x ⋅;③(e x ）′＝e x ;④（1ln x ）′＝x ；⑤(x·e x )′＝e x ＋1。
A ．1 B ．2C ．3 D ．49.椭圆⎩⎨⎧==θθsin 3cos 5y x 的焦距为（）A ．5 B ．10 C ．4 D ．810。
2016-2017学年四川省凉山州西昌市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设i是虚数单位，则复数z=的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知函数f（x）=x3+2x2﹣3的导函数为f′（x），则f′（﹣2）等于（）A．4 B．6 C．10 D．203．若20件产品中有3件次品，现从中任取2件，其中是互斥事件的是（）A．恰有1件正品和恰有1件次品B．恰有1件次品和至少有1件次品C．至少有1件次品和至少有1件正品D．全部是次品和至少有1件正品4．一袋子中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中45个红球，从中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（）A．0.35 B．0.32 C．0.55 D．0.685．已知复数z满足=（a∈R），若z的实部是虚部的2倍，则a等于（）A．﹣2 B．2 C．4 D．66．袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球3个白球，现从中随机抽取2个小球，则这2个球中既有红球也有白球的概率为（）A．B．C．D．7．已知复数z=（3a+2i）（b﹣i）的实部为4，其中a、b为正实数，则2a+b的最小值为（）A．2 B．4 C．D．8．已知a≥1，曲线f（x）=ax3﹣在点（1，f（1））处的切线的斜率为k，则k的最小值为（）A．B．2 C．2 D．49．已知在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点．在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率是（）A．B．C．D．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣4处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．11．若在区间[﹣1，5]上任取一个数b，则函数f（x）=（x﹣b﹣1）e x在（3，+∞）上是单调函数的概率为（）A．B．C．D．12．若函数f（x）=lnx+（a∈N）在（1，3）上只有一个极值点，则a的取值个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上13．从3男1女共4名学生中选出2人参加学校组织的环保活动，则女生被选中的概率为．14．复数z满足（z+2i）i=3﹣i，则|z|= ．15．函数f（x）=﹣x﹣cosx在[0，]上的最大值为．16．已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥O﹣PAB的体积不小于的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．18．已知l﹣2i是关于x的方程x2+a=bx的一个根．（1）求a，b的值；（2）同时掷两个骰子，记它们向上的点数分别为m、n，求复数（m﹣a）+（n﹣b）i在复平面内对应的点位于第二象限的概率．19．已知函数f（x）=x3﹣x2+x．（1）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间．20．设不等式组表示的平面区域为P，不等式组，表示的平面区域为Q（1）在区域P中任取一点M，求M∈Q的概率；（2）在区域Q中任取一点N（x，y），求≥的概率．21．已知函数f（x）=e x+ax，g（x）=ax﹣lnx，其中 a＜0．（1）若函数f（x）是（l，ln 5）上的单调函数，求a的取值范围；（2）若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围．22．已知函数f（x）=ax﹣lnx，函数g（x）=﹣bx，a∈R，b∈R且b≠0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，且对任意的x1（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）+g（x2）=0成立，求实数b的取值范围．2016-2017学年四川省凉山州西昌市高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设i是虚数单位，则复数z=的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的四则运算进行化简，结合复数的几何意义即可得到结论．【解答】解：复数z====﹣1+i，∴共轭复数=﹣1﹣i，∴在复平面内对应的点（﹣1，﹣1），故共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限．故选：C2．已知函数f（x）=x3+2x2﹣3的导函数为f′（x），则f′（﹣2）等于（）A．4 B．6 C．10 D．20【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=﹣2时，即可求得f′（﹣2）．【解答】解：f（x）=x3+2x2﹣3，求导f′（x）=3x2+4x，f′（﹣2）=3×（﹣2）2+4（﹣2）=4，故选A．3．若20件产品中有3件次品，现从中任取2件，其中是互斥事件的是（）A．恰有1件正品和恰有1件次品B．恰有1件次品和至少有1件次品C．至少有1件次品和至少有1件正品D．全部是次品和至少有1件正品【考点】C4：互斥事件与对立事件．【分析】利用互斥事件的定义直接求解．【解答】解：20件产品中有3件次品，现从中任取2件，在A中，恰有1件正品和恰有1件次品能同时发生，故A不是互斥事件；在B中，恰有1件次品和至少有1件次品能同时发生，故B不是互斥事件；在C中，至少有1件次品和至少有1件正品同时发生，故C不是互斥事件；在D中，全部是次品和至少有1件正品不能同时发生，故D是互斥事件．故选：D．4．一袋子中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中45个红球，从中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（）A．0.35 B．0.32 C．0.55 D．0.68【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】利用对立事件概率计算公式能求出摸出黑球的概率．【解答】解：∵一袋子中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中45个红球，从中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，∴摸出黑球的概率为p=1﹣0.23﹣=0.32．故选：B．5．已知复数z满足=（a∈R），若z的实部是虚部的2倍，则a等于（）A．﹣2 B．2 C．4 D．6【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z满足=（a∈R），∴z==2+a+（a﹣2）i，∵z的实部是虚部的2倍，∴2+a=2（a﹣2），解得a=6．故选：D．6．袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球3个白球，现从中随机抽取2个小球，则这2个球中既有红球也有白球的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】2个红球分别为a，b，设3个白球分别为A，B，C，从中随机抽取2个，利用列举法求出基本事件个数和既有红球又有白球的基本事件个数，由此能求出既有红球又有白球的概率．【解答】解：设2个红球分别为a，b，设3个白球分别为A，B，C，从中随机抽取2个，则有（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共10个基本事件，其中既有红球又有白球的基本事件有6个，∴既有红球又有白球的概率=，故选：D．7．已知复数z=（3a+2i）（b﹣i）的实部为4，其中a、b为正实数，则2a+b的最小值为（）A．2 B．4 C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】先化简z，根据复数的定义求出ab=，利用基本不等式即可求出答案．【解答】解：z=（3a+2i）（b﹣i）=3ab+2+（2b﹣3a）i，∴3ab+2=4，∴ab=，∴2a+b≥2=2=，当且仅当a=，b=时取等号，故2a+b的最小值为，故选：D8．已知a≥1，曲线f（x）=ax3﹣在点（1，f（1））处的切线的斜率为k，则k的最小值为（）A．B．2 C．2 D．4【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由对勾函数的单调性，可得斜率k的最小值．【解答】解：f（x）=ax3﹣的导数为f′（x）=3ax2+，可得在点（1，f（1））处的切线的斜率k=3a+，k=3a+的导数为3﹣，由a≥1，可得3﹣＞0，则函数k在[1，+∞）递增，可得k的最小值为3+1=4．故选：D．9．已知在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点．在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】根据题意，利用S△ADF：S△BFE≥1时，可得≥，由此结合几何概型计算公式，即可算出使△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率【解答】解：由题意，S△ADF=AD•AFsinA，S△BFE=BE•BFsinB，因为sinA=sinB，BE=AD，所以当S△ADF：S△BFE≥1时，可得≥，∴△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率P=．故选C．10．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣4处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由题意可得f′（﹣4）=0，且函数f′（x）在x=﹣2处的符号左负右正，故函数y=xf′（x）在x=﹣4处的符号左正右负，结合所给的选项，得出结论．【解答】解：由函数f（x）在x=﹣4处取得极小值，可得f′（﹣4）=0，且函数f′（x）在x=﹣4处的符号左负右正，故函数y=xf′（x）在x=﹣4处的符号左正右负，结合所给的选项，故选：C．11．若在区间[﹣1，5]上任取一个数b，则函数f（x）=（x﹣b﹣1）e x在（3，+∞）上是单调函数的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】利用几何概型的公式，首先求出满足函数f（x）=（x﹣b﹣1）e x在（3，+∞）上是单调函数的x范围，利用区间长度比求概率．【解答】解：因为函数f（x）=（x﹣b﹣1）e x在（3，+∞）上是单调函数，所以f'（x）≥0在（3，+∞）上恒成立，即x﹣b≥0，所以x≥b，所以b≤3，所以在区间[﹣1，5]上任取一个数b，则函数f（x）=（x﹣b﹣1）e x在（3，+∞）上是单调函数的概率为：；故选C12．若函数f（x）=lnx+（a∈N）在（1，3）上只有一个极值点，则a的取值个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，由函数的零点存在定理可得f′（1）f′（3）＜0，进而验证a=4与a=时是否符合题意，即可求答案．【解答】解：f（x）的导数为f′（x）=﹣，当f′（1）f′（3）＜0时，函数f（x）在区间（1，3）上只有一个极值点，即为（1﹣a）（﹣a）＜0，解得4＜a＜；当a=4时，f′（x）=﹣=0，解得x=1∉（1，3），当a=时，f′（x）=﹣=0在（1，3）上无实根，则a的取值范围是4＜a＜，且a∈N，即为a=5．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上13．从3男1女共4名学生中选出2人参加学校组织的环保活动，则女生被选中的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n==6，女生被选中的对立事件是选中的两人都是男生，由此能求出女生被选中的概率．【解答】解：从3男1女共4名学生中选出2人参加学校组织的环保活动，基本事件总数n==6，女生被选中的对立事件是选中的两人都是男生，∴女生被选中的概率p=1﹣=．故答案为：．14．复数z满足（z+2i）i=3﹣i，则|z|= ．【考点】A8：复数求模．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，代入复数模的计算公式求解．【解答】解：∵（z+2i）i=3﹣i，∴z+2i=，则z=﹣1﹣5i，∴|z|=．故答案为：．15．函数f（x）=﹣x﹣cosx在[0，]上的最大值为﹣1 ．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，得到函数f（x）的单调性，求出函数的最大值即可．【解答】解：f′（x）=﹣+sinx，∵x∈[0，]，∴sinx∈[0，]，∴f′（x）＜0，f（x）在[0，]递减，故f（x）max=f（0）=﹣1，故答案为：﹣1．16．已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥O﹣PAB的体积不小于的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用对应的体积比值求出对应的概率．【解答】解：如图所示，AD、BC、PC、PD的中点分别为E、F、G、H，当点O在几何体CDEFGH内部或表面上时，V三棱锥O﹣PAB≥；在几何体CDEFGH中，连接GD、GE，则V多面体CDEFGH=V四棱锥G﹣CDEF+V三棱锥G﹣DEH=，又V四棱锥P﹣ABCD=，则所求的概率为P==．故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．【考点】C7：等可能事件的概率；B7：频率分布表．【分析】（I）根据题意，由（5.1，5.4]一组频数为2，频率为0.04，可得，解可得n的值，进而由，可得x的值，由频数之和为50，可得y的值，由频率、频数的关系可得z的值；（II）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c，样本视力在（5.1，5.4]的2人为d，e；由题意列举从5人中任取两人的基本事件空间Ω，可得其基本事件的数目，设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，由Ω可得基本事件数目，由等可能事件的概率，计算可得答案．【解答】解：（I）由表可知，样本容量为n，由（5.1，5.4]一组频数为2，频率为0.04，则，得n=50由0；y=50﹣3﹣6﹣25﹣2=14，，（II）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为a，b，c；样本视力在（5.1，5.4]的2人为d，e．由题意从5人中任取两人的基本事件空间为：Ω={（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（a，b），（a，c），（b，c），（d，e）}，共10个基本事件；设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包含的基本事件有：（a，b），（a，c），（b，c），（d，e），共4个基本事件；P（A）==，故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为．18．已知l﹣2i是关于x的方程x2+a=bx的一个根．（1）求a，b的值；（2）同时掷两个骰子，记它们向上的点数分别为m、n，求复数（m﹣a）+（n﹣b）i在复平面内对应的点位于第二象限的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】（1）由已知得x==1﹣2i，利用复数定义列出方程组，能求出a，b的值，由此能求出结果．（2）同时掷两个骰子，记它们向上的点数分别为m、n，基本事件（m，n）的总数N=6×6=36，由复数（m﹣a）+（n﹣b）i即复数（m﹣5）+（n﹣2）i在复平面内对应的点位于第二象限，得到，由此利用列举法能求出复数（m﹣a）+（n﹣b）i在复平面内对应的点位于第二象限的概率．【解答】解：（1）∵l﹣2i是关于x的方程x2+a=bx的一个根，∴x==1﹣2i，∴，解得a=5，b=2．（2）同时掷两个骰子，记它们向上的点数分别为m、n，基本事件（m，n）的总数N=6×6=36，∵复数（m﹣a）+（n﹣b）i即复数（m﹣5）+（n﹣2）i在复平面内对应的点位于第二象限，∴，即，∴复数（m﹣a）+（n﹣b）i在复平面内对应的点位于第二象限包含的基本事件（m，n）有：（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），共16个，∴复数（m﹣a）+（n﹣b）i在复平面内对应的点位于第二象限的概率p=．19．已知函数f（x）=x3﹣x2+x．（1）求函数f（x）在[﹣1，2]上的最大值和最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最值即可；（2）求出函数g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2x+1≥0，故f（x）在[﹣1，2]递增，f（x）max=f（2）=，f（x）min=f（﹣1）=﹣；（2）g（x）=f（x）﹣4x=x3﹣x2﹣3x，x∈[﹣3，2]，g′（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1），令g′（x）＞0，解得：x＜﹣1，令g′（x）＜0，解得：x＞﹣1，故g（x）在[﹣3，﹣1]递增，在[﹣1，2]递减．20．设不等式组表示的平面区域为P，不等式组，表示的平面区域为Q（1）在区域P中任取一点M，求M∈Q的概率；（2）在区域Q中任取一点N（x，y），求≥的概率．【考点】CF：几何概型．【分析】首先画出可行域，由题意，分别利用几何意义求出大圆区域的面积，利用面积比求概率．【解答】解：平面区域如图得到区域P的面积为9，不等式组，由得到A（，），所以平面区域为Q的面积为，则（1）在区域P中任取一点M，求M∈Q的概率；（2）在区域Q中任取一点N（x，y），≥的区域如图中区域ACED，其中E（2，），D（，1），所以面积为，所以所求概率为．21．已知函数f（x）=e x+ax，g（x）=ax﹣lnx，其中 a＜0．（1）若函数f（x）是（l，ln 5）上的单调函数，求a的取值范围；（2）若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出原函数的导函数，由导函数在区间（l，ln 5）上恒大于等于0或恒小于等于0，利用分离参数法求得a的取值范围；（2）求出函数f（x）的单调区间，求导可知，a＜0时g（x）在定义域内为减函数，再由f （x）的减区间非空求得a的范围．【解答】解：（1）f′（x）=e x+a，∵函数f（x）是（l，ln 5）上的单调函数，∴f′（x）=e x+a在（l，ln 5）上恒大于等于0或恒小于等于0．由f′（x）=e x+a≥0，得a≥﹣e x，∵当x∈（l，ln 5）时，﹣e x∈（﹣5，﹣e），∴a∈[﹣e，0）；由f′（x）=e x+a≤0，得a≤﹣e x，∵当x∈（l，ln 5）时，﹣e x∈（﹣5，﹣e），∴a∈（﹣∞，﹣5]．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[﹣e，0）；（2）f′（x）=e x+a，令f′（x）=e x+a=0，得x=ln﹣a，当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f′（x）＜0，当x∈（ln（﹣a），+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）的减区间为（﹣∞，ln（﹣a）），增区间为（ln（﹣a），+∞）；g′（x）=a﹣（x＞0），∵a＜0，∴g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减．若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，则ln（﹣a）＞0，即﹣a＞1，得a＜﹣1．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．22．已知函数f（x）=ax﹣lnx，函数g（x）=﹣bx，a∈R，b∈R且b≠0．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a=1，且对任意的x1（1，2），总存在x2∈（1，2），使f（x1）+g（x2）=0成立，求实数b的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先确定函数f（x）的定义域，然后对函数f（x）求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求出单调区间．（2）分别表示出函数h（x）=﹣f（x）、g（x）的值域，根据f（x）的值域应为g（x）的值域的子集可得答案．【解答】解：（1）f（x）=lnx﹣ax，∴x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞）∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数当a＞0时，∵f'（x）=﹣a=，∵f′（x）＞0，则1﹣ax＞0，ax＜1，x＜，f′（x）＜0，则1﹣ax＜0，ax＞1，x＞即当a＞0时f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．（2）则由已知，对于任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），使﹣f（x1）=g（x2），设h（x）=﹣f（x）在（1，2）的值域为A，g（x）在（1，2）的值域为B，得A⊆B由（1）知a=1时，h′（x）=＜0在（1，2）1上是减函数，∴h（x）在x∈（1，2）上单调递减，∴h（x）的值域为A=（ln2﹣2，﹣1）∵g'（x）=bx2﹣b=b（x﹣1）（x+1）∴（i）当b＜0时，g（x）在（1，2）上是减函数，此时，g（x）的值域为B=（b，﹣b）为满足A⊆B，又﹣b≥0＞﹣1∴b≤ln2﹣2．即b≤ln2﹣3．（ii）当b＞0时，g（x）在（1，2）上是单调递增函数，此时，g（x）的值域为B=（﹣b， b）为满足A⊆B，又b≥0＞﹣1．∴﹣b≤ln2﹣2∴b≥﹣（ln2﹣2）=3﹣ln2，综上可知b的取值范围是（﹣∞， ln2﹣3]∪[3﹣ln2，+∞）．。
2016-2017学年度下期高二6月月考检测数学（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1．已知全集U=R ，集合A={x|1<2x<4}，B={x|x 2-1≥0}，则()U AC B ＝（）A.{x|1<x<2}B.{x|0<x<1}C. {x|1≤x<2}D.{x|0<x ≤1}2．已知()()31z m m i =++-复平面内对应的点在第四象限， 则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()1,3- C.()3,1- D ．(),3-∞- 3.已知f(x)=x 4+mx 3+3x 2+1，且2)1(=-'f ，则m 的值为（ ）A.1B.2C.3D.44.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球 C ．至少有一个白球；红、黑球各一个 D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球5.如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是（ ）A.9B.10C.5D.76.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cm 7.已知:|2|3p x ->，:5q x >，则p ⌝是q ⌝成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′＝3xlog 3e ；②(log 2x)′＝1ln 2x ⋅；③(e x )′＝e x ；④(1ln x)′＝x ；⑤(x·e x )′＝e x＋1.2020正视图20 侧视图101020 俯视图A ．1B ．2C ．3D ．4 9.椭圆⎩⎨⎧==θθsin 3cos 5y x 的焦距为（ ）A ．5 B ．10 C ．4 D ．810.设等差数列｛a n ｝，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则a 7 =（）A ．2B ．8C ．16D ．18 11．在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，在CD 上任取一点P ， 则 ΔABP 的最大边是AB 的概率是（ ）．A B 1- D 1-12．点P 是曲线323+-=x x y 上的动点，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．30,,224πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D ．3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题（每题5分，共20分）13.在数列{n a }中，112,223n n a a a +=-=+，则n a ﹦．14.在极坐标系下，已知圆θθρsin cos :+=O 和直线:l 22)4sin(=-πθρ。
2016-2017学年四川省凉山州木里中学高二（下）6月月考数学试卷（文科）一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）已知集合U＝R，集合A＝{x|1＜2x＜4}，B＝{x|x2﹣1≥0}则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|0＜x＜1|}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x≤1} 2．（5分）已知z＝（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）3．（5分）已知f（x）＝x4+mx3+3x2+1，且f′（﹣1）＝2，则m的值为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是（）A．9B．10C．5D．76．（5分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2000cm3D．4000cm37．（5分）已知p：|x﹣2|＞3，q：x＞5，则￢p是￢q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）下列函数求导运算正确的个数为（）①（3x）′＝3x log3e；②（log2x）′＝③（e x）′＝e x；④（）′＝x；⑤（x•e x）′＝e x+1．A．1B．2C．3D．49．（5分）椭圆的焦距为（）A．5B．10C．4D．810．（5分）设等差数列{a n}，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则a7＝（）A．2B．8C．16D．1811．（5分）在矩形中ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一点P，△ABP的最大边是AB的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）点P在曲线y＝x3﹣x+上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，]B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．（，]二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）在数列{a n}中，a1＝﹣2，2a n+1＝2a n+3，则a n＝．14．（5分）在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ+sinθ和直线l：．则圆O和直线l的位置关系是．15．（5分）调查了某地若干户家庭的年收x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，井由调查数据得到y对x的回归直线方程．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元．16．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等差数列，则有数列（n∈N*）也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{c n}是等比数列，且c n＞0，则有数列d n ＝（n∈N*）也是等比数列．三、解答题（17题10分，其余每题12分）17．（10分）以直角坐标系的原点为极点，X轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度．已知直线l的方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，曲线C的参数方程为（θ为参数），（1）求直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最小值．18．（12分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练的提高”数学应题“得分率”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练〕，乙班为对比班（常规教学，无额外训练）．在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致．试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整放）如下表所示：现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀（Ⅰ）试分别估计两个班级的优秀率：（Ⅱ）用以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为．加强“语史阅读理解”训练对提高“数学应题”得分率有帮助？参考个公式K2＝，其中n＝a+b+c+d参考数据：19．（12分）某市电视台为了宣传，举办问答活动，随机对该市15至65岁的人群进行抽样，频率分布直方图及回答问题统计结果如表所示：（1）分别求出a，b，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取3人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第3组至少有1人获得幸运奖的概率．20．（12分）已知数列{a n}是首项为，公比为的等比数列，设（n∈N*），数列{c n}满足c n＝a n b n（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和S n．21．（12分）已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y＝kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣（m+3）x2+（m+6）x，x∈R（m为常数）．（Ⅰ）当m＝4时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围．2016-2017学年四川省凉山州木里中学高二（下）6月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）已知集合U＝R，集合A＝{x|1＜2x＜4}，B＝{x|x2﹣1≥0}则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|0＜x＜1|}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x≤1}【解答】解：由A中不等式变形得：20＝1＜2x＜4＝22，解得：0＜x＜2，即A＝{x|0＜x＜2}，由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥1，即B＝{x|x≤﹣1或x≥1}，∴∁U B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩（∁U B）＝{x|0＜x＜1}，故选：B．2．（5分）已知z＝（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）【解答】解：z＝（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得﹣3＜m＜1．故选：A．3．（5分）已知f（x）＝x4+mx3+3x2+1，且f′（﹣1）＝2，则m的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）＝x4+mx3+3x2+1，f′（x）＝4x3+3mx2+6x．f′（﹣1）＝﹣4+3m﹣6＝2，解得m＝4故选：D．4．（5分）袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球【解答】解：袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C成立；在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．故选：C．5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是（）A．9B．10C．5D．7【解答】解：当x＝1，y＝9时，不满足x＞y，故x＝5，y＝7，当x＝5，y＝7时，不满足x＞y，故x＝9，y＝5当x＝9，y＝5时，满足x＞y，故输出的x值为9，故选：A．6．（5分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．2000cm3D．4000cm3【解答】解：如图，几何体是四棱锥，一个侧面PBC⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，．故选：B．7．（5分）已知p：|x﹣2|＞3，q：x＞5，则￢p是￢q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵p：|x﹣2|＞3，解得：x＞5或x＜﹣1，而q：x＞5，∴p是q的必要不充分条件，故￢p是￢q成立的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）下列函数求导运算正确的个数为（）①（3x）′＝3x log3e；②（log2x）′＝③（e x）′＝e x；④（）′＝x；⑤（x•e x）′＝e x+1．A．1B．2C．3D．4【解答】解：①（3x）′＝3x ln3，故错误；②（log2x）′＝，故正确；③（e x）'＝e x，故正确；④（）′＝﹣，故错误；⑤（x•e x）′＝e x+x•e x，故错误．故选：B．9．（5分）椭圆的焦距为（）A．5B．10C．4D．8【解答】解：根据题意，椭圆的参数方程为，则其普通方程为：+＝1；其中c＝＝4，则其焦距2c＝8；故选：D．10．（5分）设等差数列{a n}，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则a7＝（）A．2B．8C．16D．18【解答】解：设等差数列{a n}的项数n，∵等差数列{a n}，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，∴＝234，解得n＝13，∴＝234，解得a7＝18．故选：D．11．（5分）在矩形中ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一点P，△ABP的最大边是AB的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：分别以A、B为圆心，AB为半径作弧，交C、D于P1，P2，当P在线段P1P2间运动时，能使得△ABP的最大边为AB，∵在矩形中ABCD中，AB＝2AD，设AB＝2AD＝2，∴AP1＝BP2＝2，∴CP1＝DP2＝2﹣＝2﹣，∴P1P2＝2﹣2（2﹣）＝2﹣2，∴△ABP的最大边是AB的概率：p＝＝．故选：D．12．（5分）点P在曲线y＝x3﹣x+上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，]B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．（，]【解答】解：∵tanα＝3x2﹣1，∴tanα∈[﹣1，+∞）．当tanα∈[0，+∞）时，α∈[0，）；当tanα∈[﹣1，0）时，α∈[，π）．∴α∈[0，）∪[，π）故选：B．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）在数列{a n}中，a1＝﹣2，2a n+1＝2a n+3，则a n＝﹣．【解答】解：∵2a n+1＝2a n+3，∴a n+1﹣a n＝，∴数列{a n}是等差数列，公差为．∴a n＝﹣2+（n﹣1）＝﹣．故答案为：﹣．14．（5分）在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ+sinθ和直线l：．则圆O和直线l的位置关系是相切．【解答】解：已知圆O的极坐标方程ρ＝cosθ+sinθ，转化为：ρ2＝ρcosθ+ρsinθ，即：x2+y2﹣x﹣y＝0，整理得：，所以该圆是以（，）为圆心，r＝为半径的圆．已知直线l：．转化为：y﹣x﹣1＝0．则：圆心（，）到直线的距离d＝．所以：直线和圆相切．故答案为：相切．15．（5分）调查了某地若干户家庭的年收x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，井由调查数据得到y对x的回归直线方程．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．【解答】解：∵对x的回归直线方程．∴＝0.254（x+1）+0.321，∴﹣＝0.254（x+1）+0.321﹣0.254x﹣0.321＝0.254．故答案为：0.254．16．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等差数列，则有数列（n∈N*）也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{c n}是等比数列，且c n＞0，则有数列d n＝（n∈N*）也是等比数列．【解答】解：数列{a n}，（n∈N*）是等差数列，则有数列（n∈N*）也是等差数列．类比推断：若数列{c n}是各项均为正数的等比数列，则当d n＝时，数列{d n}也是等比数列．故答案为：．三、解答题（17题10分，其余每题12分）17．（10分）以直角坐标系的原点为极点，X轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度．已知直线l的方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，曲线C的参数方程为（θ为参数），（1）求直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）由直线l的方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣1＝0，得x﹣y﹣1＝0，∴直线l的直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0．由曲线C的参数方程为（θ为参数），得x2+（y﹣2）2＝4，∴曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4；（2）直线l的直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0，曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4，表示以（0，2）为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心（0，2）到直线l的距离减去半径，设所求最小距离为d，则d＝．因此曲线C上的点到直线l的距离的最小值为．18．（12分）某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练的提高”数学应题“得分率”的试验，其中甲班为试验班（加强语文阅读理解训练〕，乙班为对比班（常规教学，无额外训练）．在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致．试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩（均取整放）如下表所示：现规定平均成绩在80分以上（不含80分）的为优秀（Ⅰ）试分别估计两个班级的优秀率：（Ⅱ）用以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为．加强“语史阅读理解”训练对提高“数学应题”得分率有帮助？参考个公式K2＝，其中n＝a+b+c+d参考数据：【解答】解：（1）由题意，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为＝50%，∴甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%．（2）根据题意做出列联表∵K2＝100×（30×25﹣20×25）2÷（50×50×55×45）＝≈1.010，∴由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．19．（12分）某市电视台为了宣传，举办问答活动，随机对该市15至65岁的人群进行抽样，频率分布直方图及回答问题统计结果如表所示：（1）分别求出a，b，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取3人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第3组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5＝10，所以n＝10÷0.1＝100，第2组人数100×0.2＝20，所以a＝20×0.9＝18，第3组人数100×0.3＝30，所以x＝27÷30＝0.9，第4组人数100×0.25＝25，所以b＝25×0.36＝9，第5组人数100×0.15＝15，所以y＝3÷15＝0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为180：270：90＝2：3：1，从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取3名的所有可能的情况有20种，它们是：其中记“第3组至少有1人”为事件A，则A的对立事件是“第3组的没有选到”，其基本事件个数是1个，即（a1，a2，c），故所抽取的人中第3组至少有1人获得幸运奖的概率为．20．（12分）已知数列{a n}是首项为，公比为的等比数列，设（n∈N*），数列{c n}满足c n＝a n b n（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由等比数列通项公式可得：，且：，∴b n＝3n﹣2．（2）结合（1）的结论可得：，则：，，两式做差可得：，则：．21．（12分）已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y＝kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．【解答】解：（1）依题意，设椭圆C的方程为．∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a＝|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|＝4，a＝2．又∵c＝1，∴b2＝3．∴椭圆C的方程为．（2）将直线l的方程y＝kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2＝12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12＝0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△＝64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＝0，化简得：m2＝4k2+3．设，，法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|＝|MN|×|tanθ|，∴，＝，∵m2＝4k2+3，∴当k≠0时，，，．当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为．法二：∵，．∴＝．四边形F1MNF2的面积＝，＝．当且仅当k＝0时，，故．所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为．22．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣（m+3）x2+（m+6）x，x∈R（m为常数）．（Ⅰ）当m＝4时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围．【解答】解：函数的定义域为R（Ⅰ）当m＝4时，f（x）＝x3﹣x2+10x，∴f′（x）＝x2﹣7x+10，令f′（x）＞0，解得x＞5或x＜2．令f′（x）＜0，解得2＜x＜5，列表如下：故f（x）在（﹣∞，2）递增，在（2，5）递减，在（5，+∞）递增．（Ⅱ）f′（x）＝x2﹣（m+3）x+m+6，要使函数y＝f（x）在（0，+∞）有两个极值点，则，解得m＞3．故实数m的取值范围为（3，+∞）。
2015-2016学年四川省凉山州高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．“a ＞b ，c ＞0”是“ac ＞bc ”的（ ）条件． A ．必要不充分 B ．充分不必要 C ．充要 D ．既不充分也不必要2．直线x +y +1=0的斜率为（ ）A ．B ．﹣C ．﹣D ．3．下列算法的理解不正确的是（ ）A ．算法需要一步步执行，且每一步都能得到唯一的结果B ．算法的一个共同特点是对一类问题都有效而不是个别问题C ．任何问题都可以用算法来解决D ．算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它的优点是一种通法4．抛物线x 2=﹣y 的准线方程是（ ）A ．x=B ．x=C ．y=D ．y=5．为了了解全校1740名学生的身高情况，从中抽取140名学生进行测量，下列说法正确的是（ ）A ．总体是1740B ．个体是每一个学生C ．样本是140名学生D ．样本容量是1406．圆x 2+y 2=﹣4y 和圆（x ﹣1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相离 C ．外切 D ．内切7．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，那么输出的S 值为（ ）A ．1024B ．2036C ．1023D ．5118．空间直角坐标系xOy中，x轴上的一点M到点A（1，﹣3，1）与点B（2，0，2）的距离相等，则点M的坐标（）A．（﹣，0，0）B．（3，0，0）C．（，0，0）D．（0，﹣3，0）9．动点P到点M（3，0）及点N（1，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（）A．210 B．211.5 C．212 D．212.511．直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，π）B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[0，]∪（，π）12．方程+=1表示椭圆的一个必要不充分条件是（）A．m∈（﹣5，3）B．m∈（﹣3，5）C．m∈（﹣3，1）∪（1，5）D．m∈（﹣5，1）∪（1，3）二、填空题(每小题5分，共20分)13．点（0，﹣1）到直线x+2y﹣3=0的距离为．14．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5：2：3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中甲型号产品共15件，那么样本容量n=．15．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为．16．已知四边形ABCD，对角线AC，BD互相垂直且内接于圆O，AB+BC+CD+DA=8，则点O到四边形各边距离之和为．三、解答题（6道题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．求经过直线l1：3x+2y﹣1=0和l2：5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3：3x﹣5y+6=0的直线l的方程．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的一条弦所在的直线的方程为x﹣y+3=0，弦的中点坐标为（﹣2，1），求椭圆的离心率．19．某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，良种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：品种A：367，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454，品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430（1）完成数据的茎叶图；（2）现从品种A中随机抽取了6个数据：359，367，400，388，434，392，计算该组数据的平均值、方差、标准差；（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量极其稳定性进行比较，写出统计结论．20．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F是一条直线l和抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：y1y2为定值．21．已知：命题p：函数y=a x（a＞0，且a≠1）为R上的单调递减函数，命题q：函数y=lg （ax2﹣x+a）值域为R，若“p且q”为假，求a的取值范围．22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），左焦点为F1（﹣，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．2015-2016学年四川省凉山州高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．“a＞b，c＞0”是“ac＞bc”的（）条件．A．必要不充分B．充分不必要C．充要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用不等式的简单性质，以及充要条件判断即可．【解答】解：“a＞b，c＞0”⇒“ac＞bc”，“ac＞bc”可以推出a＞b，c＞0或a＜b，c＜0．“a＞b，c＞0”是“ac＞bc”的充分不必要条件．故选：B．2．直线x+y+1=0的斜率为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】直线的斜率．【分析】直接化简直线方程为斜截式方程，即可得到直线的斜率．【解答】解：直线x+y+1=0化为：y=﹣x+．直线的斜率为：﹣．故选：C．3．下列算法的理解不正确的是（）A．算法需要一步步执行，且每一步都能得到唯一的结果B．算法的一个共同特点是对一类问题都有效而不是个别问题C．任何问题都可以用算法来解决D．算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它的优点是一种通法【考点】算法的特点．【分析】直接由算法的特性可判断四个选项中说法的正误即可得出正确答案．【解答】解：A，由算法的有序性及明确性可知：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一步都只能有一个确定的继任者，只有执行完前一步才能进入到后一步，并且每一步都确定无误后，才能解决问题，且算法中的每一个步骤都是确切的，能有效地执行且得到确定的结果，不能模棱两可．故A正确；B，由算法的普遍性：写出的算法必须能解决一类问题，并且能重复使用，这是设计算法的一条基本原则，这样才能使算法更有价值，故正确；C，算法通常是指用计算机按照一定规则解决一类问题的明确和有限的步骤，并不是任何问题都可以用算法来解决，故不正确；D，算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，算法必须能解决一类问题，是一种通法，故正确．故选：C．4．抛物线x2=﹣y的准线方程是（）A．x= B．x= C．y= D．y=【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线的标准方程求解P，然后求出准线方程．【解答】解：抛物线x2=﹣y，可得p=，抛物线x2=﹣y的准线方程是：y=．故选：D．5．为了了解全校1740名学生的身高情况，从中抽取140名学生进行测量，下列说法正确的是（）A．总体是1740 B．个体是每一个学生C．样本是140名学生 D．样本容量是140【考点】简单随机抽样；用样本的数字特征估计总体的数字特征．【分析】根据总体、个体、样本与样本容量的概念，对选项判断即可．【解答】解：为了解全校1740名学生的身高情况，从中抽取140名学生进行测量，总体是1740名学生的身高，个体是每一个学生的身高；样本是抽取的140名学生的身高，样本容量是140；所以，A、B、C错误，D正确．故选：D．6．圆x2+y2=﹣4y和圆（x﹣1）2+y2=1的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】分别求出两圆的圆心和半径，由圆心距大于两圆半径之差的绝对值，小于半径之和，由此能判断两圆的位置关系．【解答】解：圆x2+y2=﹣4y的圆心C1（0，﹣2），半径r1==2，圆（x﹣1）2+y2=1的圆心C2（1，0），半径r2=1，∵|C1C2|==，2﹣1＜2+1，∴圆x2+y2=﹣4y和圆（x﹣1）2+y2=1的位置关系是相交．故选：A．7．阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，那么输出的S值为（）A．1024 B．2036 C．1023 D．511【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，i=1，k=10，S=1+2×0=1；i=2，i＞k？，否，S=1+2×1=3；i=3，i＞k？，否，S=1+2×3=7；i=4，i＞k？，否，S=1+2×7=15；i=5，i＞k？，否，S=1+2×15=31；i=6，i＞k？，否，S=1+2×31=63；i=7，i＞k？，否，S=1+2×63=127；i=8，i＞k？，否，S=1+2×127=255；i=9，i＞k？，否，S=1+2×255=511；i=10，i＞k？，否，S=1+2×511=1023；i=11，i＞k？，是，输出S=1023．故选：C．8．空间直角坐标系xOy中，x轴上的一点M到点A（1，﹣3，1）与点B（2，0，2）的距离相等，则点M的坐标（）A．（﹣，0，0）B．（3，0，0）C．（，0，0）D．（0，﹣3，0）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】设出M的坐标，利用空间距离公式求解即可．【解答】解：设M（x，0，0），M到点A（1，﹣3，1）与点B（2，0，2）的距离相等，可得：=，解得：x=．点M的坐标：（﹣，0，0）．故选：A．9．动点P到点M（3，0）及点N（1，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线【考点】轨迹方程．【分析】结合已知条件，列出关系式判断即可．【解答】解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|，点P的轨迹为一条射线故选：D．根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（）A．210 B．211.5 C．212 D．212.5【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心，然后确定回归直线方程，即可求解预测当x=20时，y的估计值．【解答】解：由题意可知：==5，==54．因为回归直线方程经过样本中心，所以54=10.5×5+，=1.5，回归直线方程为：=10.5x+1.5，当x=20时，y的估计值为：10.5×20+1.5=211.5．故选：B．11．直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，π）B．[0，]∪[，π） C．[0，] D．[0，]∪（，π）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．【解答】解：直线xsinα+y+2=0的斜率为k=﹣sinα，∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣1≤k≤1∴倾斜角的取值范围是[0，]∪[π，π）故选B12．方程+=1表示椭圆的一个必要不充分条件是（）A．m∈（﹣5，3）B．m∈（﹣3，5）C．m∈（﹣3，1）∪（1，5）D．m∈（﹣5，1）∪（1，3）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由方程+=1表示椭圆，可得，解得：m即可判断出结论．【解答】解：由方程+=1表示椭圆，可得，解得：﹣3＜m＜5，且m≠1，∴方程+=1表示椭圆的一个必要不充分条件是m∈（﹣3，5），故选：B．二、填空题(每小题5分，共20分)13．点（0，﹣1）到直线x+2y﹣3=0的距离为．【考点】点到直线的距离公式．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点（0，﹣1）到直线x+2y﹣3=0的距离d==，故答案为：．14．某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5：2：3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中甲型号产品共15件，那么样本容量n=30．【考点】分层抽样方法．【分析】利用分层抽样的性质求解．【解答】解：∵某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为5：2：3，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中甲型号产品共15件，∴，解得n=30．故答案为：30．15．设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则正数a的值为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】确定双曲线的渐近线方程，与条件比较，即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±即3x±ay=0∵双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，∴a=2故答案为：216．已知四边形ABCD，对角线AC，BD互相垂直且内接于圆O，AB+BC+CD+DA=8，则点O到四边形各边距离之和为4．【考点】三角形中的几何计算．【分析】取特殊值，令四边形ABCD是边长为2的正方形，则点O是对角线AC、BD的交点，由此能求出点O到四边形各边距离之和．【解答】解：∵四边形ABCD，对角线AC，BD互相垂直且内接于圆O，AB+BC+CD+DA=8，∴取特殊值，令四边形ABCD是边长为2的正方形，则点O是对角线AC、BD的交点，∴点O到四边形各边距离之和为4×1=4．故答案为：4．三、解答题（6道题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．求经过直线l1：3x+2y﹣1=0和l2：5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3：3x﹣5y+6=0的直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】联立方程组可得交点坐标，由垂直关系可得l的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得．【解答】解：联立方程组，解得∴l1、l2的交点坐标为（﹣1，2），由l3的斜率可得l的斜率为﹣，∴所求直线的方程为：y﹣2=﹣（x+1），化为一般式可得5x+3y﹣1=018．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的一条弦所在的直线的方程为x﹣y+3=0，弦的中点坐标为（﹣2，1），求椭圆的离心率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出以M为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与a，b的关系式．从而求得椭圆的离心率．【解答】解：显然M（﹣2，1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则，，相减得： +=0，整理得：k=﹣=1，又弦的中点坐标是（﹣2，1），∴，∴=，则椭圆的离心率是e===．椭圆的离心率：．19．某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A，将其与原有的一个优良品种B进行对照试验，良种小麦各种植了25亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：品种A：367，359，367，368，375，388，392，399，400，405，412，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，445，451，454，品种B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，394，395，397，397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430（1）完成数据的茎叶图；（2）现从品种A中随机抽取了6个数据：359，367，400，388，434，392，计算该组数据的平均值、方差、标准差；（3）通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量极其稳定性进行比较，写出统计结论．【考点】茎叶图．【分析】（1）由已知条件利用十位和百位作茎，利用个位作叶，能作出茎叶图．（2）由已知条件能求出该组数据的平均值、方差、标准差．（3）通过观察茎叶图得出对品种A与B的亩产量极其稳定性进行比较．【解答】解：（1）由已知条件作出茎叶图，如下：（2）该组数据的平均值：==390．该组数据的方差：S2= [2+2+2+2+2+2]=3534，该组数据的标准差：S=．（3）通过观察茎叶图得出：①品种A的亩产平均数（或均值）比品种B高．②品种A的亩产标准准差（或方差）比品种B大，故品种A的亩产稳定性较差．20．已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F是一条直线l和抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证：y1y2为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】根据直线过焦点，写出直线的方程，根据根和系数的关系得到结果．【解答】证明：经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两不同点，抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0）设直线为x﹣=ky，即x=ky+，代入抛物线y2=2px得：y2=2p（ky+），即y2﹣2pky﹣p2，由韦达定理得：y1•y2=﹣p2；21．已知：命题p：函数y=a x（a＞0，且a≠1）为R上的单调递减函数，命题q：函数y=lg （ax2﹣x+a）值域为R，若“p且q”为假，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】因为“p且q”为假命题，所以p真q假或p假q真或都为假命题．【解答】解：∵命题p：函数y=a x（a＞0，且a≠1）为R上的单调递减函数，∴0＜a＜1；∵命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）值域为R，∴△=≥0，∴﹣＜a＜若“p且q”为假，所以：a≥22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点（1，），左焦点为F1（﹣，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用已知条件c=，由椭圆的性质可知a2=b2+3，将椭圆方程转化成，，将点（1，）代入方程即可求得a和b的值，即可求椭圆C的方程；（2）利用直线的斜率存在与不存在，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理，以及弦长公式表示弦长|AB|表示为m的函数，通过基本不等式求解弦长的最大值．【解答】解：（1）椭圆的焦点为F1（﹣，0），则c=．a2=b2+c2，即a2=b2+3，则椭圆的方程为：，将点（1，）代入椭圆方程得：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆C的方程：．（2）由题意知，|m|≥1．当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为（1，），（1，﹣）此时丨AB丨=；当m=﹣1时，同理可丨AB丨=，…当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x﹣m），（k≠0），由得：（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0，设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则△=64k4m2﹣16（1+4k2）（4k2m2﹣4）=48k2＞0，∴x1+x2=，x1•x2=，由与x2+y2=1相切，=1，即m2k2=k2+1，得k2=，∴|AB|===，∴|AB|=，|m|＞1，|AB|==≤2，当且仅当m=±时，|AB|=2，由于当m=±1时，|AB|=，综上可知：|AB|的最大值为2．2016年8月2日。
凉山州2017届高中毕业班第二次诊断性检数学（文科）参考答案及评分标准一．选择题 （共60分） 二．填空题 （共20分） 13 .2n －1 14.Nn π 15.8 16.），（21521-5+ 三．解答题 （共70分）17.解 :（1） 安分层抽样的方法抽取，抽样比为6:300=1:50∴A 地区抽取数为100×501=2 B 地区抽取数为50×501=1C 地区抽取数为150×501=3即6件样品中来自A,B,C 地区商品数分别为2,1,3. .............................................6分 （2）6件样品，来自A 地区的2件记为A1,A2,来自B 地区的记为B1,来自C 地区的3件记 为C1,C2,C3.从中抽2件的所有可能抽取结果有：（A1,A2）,(A1,B1),(A1,C1),(A1,C2),(A1,C3),(A2,B1),(A2,C1),(A2,C2),(A2,C3),(B1,C1),(B1,C2),(B1,C3),(C1,C2),(C1,C3),(C2,C3)共15种.这2件商品来自相同地区的结果有：(A1,A2),(C1,C2),(C1,C3),(C2,C3)共4种 ∴P=154 即这2件商品来自相同地区的概率为154.................................12分 18、解：(1)∵ sin(A －B)=b a a +sinA ﹒cosB －ba b +sinB ﹒cosA ∴sin A ﹒cosB －cosA ﹒sinB=b a a +sinA ﹒cosB －ba b+sinB ﹒cosA移项整理得：bsin A ﹒cosB = acosA ﹒sinB由正弦定理得：sin B ﹒sin A ﹒cosB = sin A ﹒cosA ﹒sinB∵△ABC 中，A ，B ∈（0，π） ∴ sin B ﹥0 ，sin A ﹥0∴ cosB =cosA ∴A =B ……………………………………6分 (2)由题可知A =B=125247ππ=C ，，6==b a∴)sin cos cos sin sin(sin C sin ab S ABC64643643215321ππ+ππ=π+π=π==∆（）4263)(+= ……………………………………12分19.解.(1)证明：∆PDC 中，PD=PC 且DE=EC ∴PE ⊥DC 即PE ⊥AC.又平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC, PE ⊂平面PAC ∴PE ⊥平面ABC.又AB ⊂平面ABC 故AB ⊥PE ...................................3分 ∆ABC 中，EF ∥BC, ∠ABC=2π ∴EF ⊥AB, 又PE EF=E, PE ⊂平面PFE, EF ⊂平面PFE∴AB ⊥平面PFE...................................................6分(2).直角∆ABC 中， BC=3, AC=3, EF ∥BC ∴AB=6, BF=36, AF=362, D 到AF 的距离为31BC=33 ∴SDFBC四边形=S ABC∆-SADF∆=21×3×6－21×362×33=627 (10)由（1）可知PE 是四棱锥P-DFBC 的高且PE=3∴VDFBCP -=31SDFBC四边形×PE=31×627×3=1867...................................12分20.解：（1）函数ƒ(x)的定义域为（0，＋∞） 且ƒ′(x)=x2－a .......................................2分 ∵曲线y=ƒ(x)在点P(1,ƒ(1))处的切线与2x ＋y －1=0垂直 ∴切线的斜率k=21 即ƒ′（1）=2－a=21 ∴a=23 (6)(2)∵ ƒ′(x)=x 2－a=xax -2(x>0) 1´当a ≤0时，ƒ′（x ）>0在x>0时恒成立.∴ƒ(x)在（0，＋∞）上单调递增.....................................8分 2´ 当a >0时，令ƒ′（x ）=0 ,得x=a2. ∴x ∈(0,a2)时，ƒ′（x ）>0 ,ƒ(x)单调递增. x ∈(a2,＋∞)时，ƒ′（x ）<0 ,ƒ(x)单调递减 ....................11分 综上：a ≤0时，ƒ（x ）在（0，＋∞）上单调递增.a >0时，ƒ（x ）在（0，a 2）上单调递增，在（a2，＋∞）上单调递减. 12分21、解：(1)由21=e 知c b ,c a a c 3221==⇒=， ∵右焦点),c F 02（到直线1=+by a x 即03223=-+c y x 的距离为721， ∴7217323=-cc 解得321===b ,a ,c ∴椭圆E 的标准方程为13422=+y x ……………………………………5分(2)由题可知直线l 的斜率存在，故设过点）（00y ,x P 的直线l ：)x x (k y y 00-=- ∵直线l 与圆1122=++y )x (相切，∴111200=++-kx k y ）（ ……………………7分整理得：0112220002020=-++-+y k )x (y k )x x ( （*） 关于k 的（*）方程的两根21k ,k 即为两条切线的斜率，）（10124140200202020≥>-+-+=∆x )y )(x x ()x (y 恒成立∴0200021212x x )x (y k k ++=+，02022121x x y k k o+-=⋅ ……………………9分 由题易知)x k y ,(A 0100-，)x k y ,(B 0200-）（10≥x ∴0020202020********210212142144x x x y x x )x (y x k k )k k (x k k AB ⋅+--++=⋅-+=-=）（）（……………10分20020202002020202022222112)x (x x y )x ()x x )(y ()x (y +++=++--+= ∵点）（00y ,x P 在椭圆13422=+y x 上，∴1342020=+y x 即4332020x y -=∴2412128020020++=+++=x )x (x x AB ∵210≤≤x ，∴342410≤+≤x 故3212≤≤AB ∴AB 的取值范围是[3212，] …………………………………………12分22、解：(1)由⎩⎨⎧-==t y tx 4（t 为参数）消去参数得直线l 的普通方程为x +y -4=0由2=ρ得曲线C 的直角坐标方程为422=+y x …………………………………………5分 （2）圆心C (0,0)到直线l 的距离2224==d , ∴圆C 上点Q 到直线l 的距离的最大值等于22+2. ……………………………10分23、解：⎪⎩⎪⎨⎧≥+<≤--<--=--+=）（）（）（2421314222x x x x x x x x )x (f（1）由2>)x (f 得⎩⎨⎧>---<241x x 或⎩⎨⎧><≤-2321x x 或⎩⎨⎧>+≥24x x 解得36>-<x x 或所以2>)x (f 的解集为）（）（+∞⋃-∞-,,326 ……………………………………5分 （2）由图可知3-=min )x (f ∴由题可知3272-≤-t t 即06722≤+-t t 解得223≤≤t ∴ t 的取值范围是[223，] …………………………………………10分。
2016-2017学年四川省凉山州高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M＝{x|x+1＞0}，N＝{x|x﹣2＜0}，则M∩N＝（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]2．（5分）已知复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，若，则＝（）A．B．C．i D．﹣i3．（5分）要得到函数y＝sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y＝sin4x的图象（）个单位．A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移4．（5分）已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E（X）＝（）A．B．2C．D．35．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为＝（﹣2，0，﹣4），则（）A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S是（）A．18B．50C．78D．3067．（5分）若某人每次射击击中目标的概率均为，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝（）A．2B．﹣2C．D．﹣9．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种10．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则其表面中，直角三角形的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（5分）已知实数a满足﹣3＜a＜4，函数f（x）＝lg（x2+ax+1）的值域为R的概率为P1，定义域为R的概率为P2，则（）A．P1＞P2B．P1＝P2C．P1＜P2D．P1与P2的大小不确定12．（5分）已知函数f（x）＝有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣e2，0]B．（﹣∞，﹣e2）C．[﹣e2，0]D．[﹣e2，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）14．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝3x﹣y的最大值为．15．（5分）曲线与直线y＝x﹣1及x＝4所围成的封闭图形的面积为．16．（5分）若实数a，b，c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c＝0上的投影为M，点N（3，3），则线段MN长度的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，cos B ＝．（1）求b的值；（2）求sin C的值．18．（12分）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：（参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c＝d）19．（12分）已知点P n（a n，b n）满足a n+1＝a n•b n+1，b n+1＝（n∈N*）且点P1的坐标为（1，﹣1）．（1）求过点P1，P2的直线l的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点P n都在（1）中的直线l上．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，P A⊥底面ABCD，P A＝3，AD＝2，AB＝4，∠ABC＝60°．（1）求证：BC⊥平面P AC；（2）E是侧棱PB上一点，记＝λ（0＜λ＜1），是否存在实数λ，使平面ADE与平面P AD所成的二面角为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F（1，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若，求直线l的方程．22．（12分）设函数f（x）＝xlnx（x＞0）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）f′（x）为f（x）的导函数，设F（x）＝ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（3）若斜率为k的直线与曲线y＝f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．2016-2017学年四川省凉山州高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：∵M＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，N＝{x|x﹣2＜0}＝{x|x＜2}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2）．故选：C．2．【解答】解：∵复数z1＝2+i，z2＝1﹣2i，∴＝＝＝＝i，则＝﹣i．故选：D．3．【解答】解：因为函数y＝sin（4x﹣）＝sin[4（x﹣）]，要得到函数y＝sin（4x﹣）的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移单位．故选：B．4．【解答】解：由数学期望的计算公式即可得出：E（X）＝＝．故选：A．5．【解答】解：∵直线l的方向向量为，平面α的法向量为＝（﹣2，0，﹣4），∴，∴l⊥α．故选：B．6．【解答】解：模拟执行程序，可得n＝1，S＝0，k＝5执行循环体，S＝2，n＝2不满足条件n≥5，执行循环体，S＝6，n＝3不满足条件n≥5，执行循环体，S＝2，n＝4不满足条件n≥5，执行循环体，S＝18，n＝5满足条件n≥5，退出循环，输出S的值为18．故选：A．7．【解答】解：恰有2次击中目标的概率为•×＝，恰有3次击中目标的概率为＝，故至少有两次击中目标的概率为+＝，故选：A．8．【解答】解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1＝a1，S2＝2a1﹣1，S4＝4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．9．【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有＝2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有＝6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1＝12种故选：A．10．【解答】解：由三视图知三棱锥的最里面的侧面与底面垂直，如图：底面△ABC为直角三角形，侧面△SAC为直角三角形，∵平面SAC⊥平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥平面SAC，∴BC⊥SC，∴△SBC为直角三角形；又SA⊥SC，SA⊥BC，∴SA⊥平面SBC，∴SA⊥SB，∴△SAB为直角三角形．故选：D．11．【解答】解：（1）要使定义域为R，只需x2+ax+1＞0恒成立，所以判别式a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2；在实数a满足﹣3＜a＜4的前提下，定义域为R 的概率为P2的概率为；（2）要使值域为R，只需真数x2+ax+1取遍所有正实数，则应有a2﹣4≥0，解得a≥2或a≤﹣2，在实数a满足﹣3＜a＜4的前提下，值域为R的概率为P1的概率为；所以P1＜P2，故选：C．12．【解答】解：f（x）＝，令f（x）＝0，可得a（x﹣1）＝﹣e x，当x＝1时，上式显然不成立；可得a＝在x≠1有且只有2个不等实根，等价为函数g（x）＝的图象和直线y＝a有且只有两个交点．由g′（x）＝，可得x＞2时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＜1或1＜x＜2时，g′（x）＞0，g（x）递增．即有x＝2处，g（x）取得极大值﹣e2．作出函数g（x）的图象，如右：由图象可得a＜﹣e2时，直线y＝a和y＝g（x）的图象有两个交点．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1＝＝；要求展开式中含x5的项的系数，∴21﹣4r＝5，∴r＝4，可得：＝35．故答案为：35．14．【解答】解：作出满足不等式组的可行域，如图所示的阴影部分由z＝3x﹣y可得y＝3x﹣z可得﹣z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，作直线L：3x﹣y＝0，可知把直线平移到A（2，2）时，Z最大，故z max＝4．故答案为：4．15．【解答】解：由曲线与直线y＝x﹣1联立，解得，x＝﹣1，x＝2，故所求图形的面积为S＝＝＝4﹣2ln2．故答案为：4﹣2ln2．16．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a+c，即a﹣2b+c＝0，可得方程ax+by+c＝0恒过Q（1，﹣2），又点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c＝0上的射影为M，∴∠PMQ＝90°，∴M在以PQ为直径的圆上，∴此圆的圆心A坐标为（，），即A（0，﹣1），半径r＝|PQ|＝＝，又N（3，3），∴|AN|＝5，则|MN|max＝5+，最小值为5﹣，所以线段MN的范围为：[5﹣，5+]．故答案为：[5﹣，5+]．三、解答题（共6小题，满分70分）17．【解答】解：（1）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，代入数据可得b2＝4+25﹣2×2×5×＝17，∴b＝；（2）∵cos B＝，∴sin B＝＝由正弦定理＝，即＝，解得sin C＝18．【解答】解：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，，∴x＝6…（3分）（2）由已知数据可求得：K2＝≈8.522＞7.879，因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF．故抽出一男一女的概率是P＝﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．【解答】解：（1）由P1的坐标为（1，﹣1）知a1＝1，b1＝﹣1．∴b2＝＝．a2＝a1•b2＝．∴点P2的坐标为（，）∴直线l的方程为2x+y＝1．（2）①当n＝1时，2a1+b1＝2×1+（﹣1）＝1成立．②假设n＝k（k∈N*，k≥1）时，2a k+b k＝1成立，则2a k+1+b k+1＝2a k•b k+1+b k+1＝（2a k+1）＝＝＝1，∴当n＝k+1时，命题也成立．由①②知，对n∈N*，都有2a n+b n＝1，即点P n在直线l上．20．【解答】（1）证明：∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥BC，在三角形ABC中，由AB＝4，BC＝2，∠ABC＝60°，得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°＝16+4﹣8＝12．∴AC2+BC2＝12+4＝16＝AB2，即AB⊥BC．又P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC；（2）解：以A为原点，分别以AD，AC，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵P A＝3，AD＝2，AC＝，∴A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，3），B（﹣2，，0）．设E（x，y，z），由＝λ，得．∴（x，y，z﹣3）＝λ（﹣2，，﹣3）＝（﹣2λ，λ，﹣3λ），∴x＝﹣2λ，y＝，z＝3﹣3λ．则E（﹣2λ，，3﹣3λ）．，＝（﹣2λ，，3﹣3λ），．设平面ADE的一个法向量为，由，取z1＝1，得；设平面ADP的一个法向量为，由|cos＜＞|＝||＝||＝，得5λ2﹣18λ+9＝0，解得λ＝3（舍）或λ＝．∴存在实数，使平面ADE与平面P AD所成的二面角为60°．21．【解答】解：（1）依题意椭圆E：（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F （1，0）．得，c＝1，∴，解得a＝，则b＝1；…（2分）∴椭圆E的标准方程为：；…（4分）（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x＝1，不符题意；…（5分）②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y＝k（x﹣1）；…（6分）由，消去y得：[1+2k2]x2﹣4k2x+2（k2﹣1）＝0，…（8分）∴x1+x2＝，x1•x2＝；…（10分）∴y1•y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]＝；又∵；∴x1•x2+y1y2＝＝0，解得k＝±，…（13分）∴直线l的方程为：y＝±（x﹣1）．…（14分）22．【解答】解：（1）：f′（x）＝lnx+1（x＞0），令f′（x）＝0，得x＝．∵当x∈（0，）时，f′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴当x＝时，f（x）min＝f（）＝ln＝﹣（2）F（x）＝ax2+lnx+1（x＞0），F′（x）＝2ax+．①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得0＜x＜；令F′（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得x＞．综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（3）证明：k＝＝要证：，即证x1＜＜x2，等价于证1＜＜，令t＝，则只要证1＜＜t，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．①设g（t）＝t﹣1﹣lnt（t≥1），则g′（t）＝1﹣，故g（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，g（t）＝t﹣1﹣lnt＞g（1）＝0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．②设h（t）＝tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h′（t）＝lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，h（t）＝tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）＝0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．由①②知（*）成立，得证．。
