2011年高考数学试卷 山东理

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页，满分150分。

考试用时120分钟，考试结束后，将 本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按能上能下要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。

圆柱的侧面积公式：S cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长。

球的体积公式：343V R π=，其中R 是球的半径。

球的表面积公式：24S Rπ=，其中R 是球的半径。

用最小二乘法求线性回归方程系数公式：12241ˆˆ,ni ii ni x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑， 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．设集合 M ={x|260x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A ．[1,2）B ．[1,2]C ．（ 2,3]D ．[2,3]2．复数z=22ii-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为A ．0 B．3C ．1D4．不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A ．[-5，7]B ．[-4，6]C ．(][),57,-∞-+∞D ．(][),46,-∞-+∞5．对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要6．若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= A ．3B ．2C ．32D ．237根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63．6万元B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元8．已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -= 9．函数2sin 2xy x =-的图象大致是10．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 A ．6 B ．7 C ．8 D ．911．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命 题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ= （μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值是14．若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .15．设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .16．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．（本小题满分12分）在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cos A-2cos C2c-a=cos B b．（I）求sinsinCA的值；（II）若cosB=14，b=2，ABC∆的面积S。

山东理科1.(2011山东,理1)设集合M={x|x 2+x-6<0},N={x|1≤x ≤3},则M ∩N=( ). A.[1,2) B.[1,2] C.(2,3] D.[2,3]2.(2011山东,理2)复数z=2-i 2+i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(2011山东,理3)若点(a,9)在函数y=3x 的图象上,则tan a π6的值为( ). A.0 B. 33C.1D. 34.(2011山东,理4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是( ). A.[-5,7] B.[-4,6]C.(-∞,-5]∪[7,+∞)D.(-∞,-4]∪[6,+∞)5.(2011山东,理5)对于函数y=f(x),x ∈R,“y=|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.(2011山东,理6)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,则ω=( ). A.3 B.2 C.32 D.23根据上表可得回归方程y ＾=b ＾x+a ＾中的b ＾为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ). A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元D.72.0万元8.(2011山东,理8)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x 2+y 2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为( ). A.x 25-y 24=1 B.x 24-y 25=1C.x 23-y 26=1 D.x 26-y 23=19.(2011山东,理9)函数y=x2-2sin x 的图象大致是( ).10.(2011山东,理10)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( ).A.6B.7C.8D.911.(2011山东,理11)右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如右图.其中真命题的个数是( ).A.3B.2C.1D.012.(2011山东,理12)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R),且1λ+1μ=2,则称A3,A4调和分割A1,A2.已知平面上的点C,D调和分割点A,B,则下面说法正确的是( ).A.C可能是线段AB的中点B.D可能是线段AB的中点C.C,D可能同时在线段AB上D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上13.(2011山东,理13)执行下图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是.14.(2011山东,理14)若(x-ax2)6展开式的常数项为60,则常数a的值为.15.(2011山东,理15)设函数f(x)=xx+2(x>0),观察:f 1(x)=f(x)=xx+2,f 2(x)=f(f 1(x))=x3x+4, f 3(x)=f(f 2(x))=x7x+8, f 4(x)=f(f 3(x))=x15x+16,……根据以上事实,由归纳推理可得:当n ∈N *且n ≥2时,f n (x)=f(f n-1(x))= .16.(2011山东,理16)已知函数f(x)=log a x+x-b(a>0,且a ≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x 0∈(n,n+1),n ∈N *,则n= .17.(2011山东,理17)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知cos A-2cos C cos B=2c-a b.(1)求sin Csin A的值;(2)若cos B=14,b=2,求△ABC 的面积S.18.(2011山东,理18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛,甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘.已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立. (1)求红队至少两名队员获胜的概率;(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望E ξ.19.(2011山东,理19)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为平行四边形,∠ACB=90°,EA ⊥平面ABCD,EF ∥AB,FG ∥BC,EG ∥AC,AB=2EF.(1)若M 是线段AD 的中点,求证:GM ∥平面ABFE;(2)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.20.(2011山东,理20)等比数列{a n}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足:b n=a n+(-1)n ln a n,求数列{b n}的前n项和S n.21.(2011山东,理21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80π3面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.22.(2011山东,理22)已知动直线l 与椭圆C:x 23+y 22=1交于P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)两不同点,且△OPQ 的面积S△OPQ= 62,其中O 为坐标原点.(1)证明:x 12+x 22和y 12+y 22均为定值;(2)设线段PQ 的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;(3)椭圆C 上是否存在三点D,E,G,使得S △ODE =S △ODG =S △OEG = 62?若存在,判断△DEG 的形状;若不存在,请说明理由.山东理科1.A ∵M={x|x 2+x-6<0}={x|(x+3)(x-2)<0}={x|-3<x<2},N={x|1≤x ≤3},∴M ∩N={x|1≤x<2}.2.D ∵z=2-i2+i =(2-i)2(2+i)(2-i)=3-4i 5=35-45i, ∴复数z 在复平面内对应的点在第四象限.3.D 由题意知9=3a ,∴a=2. ∴tan a π6=tan π3= 3.4.D (法一)令y=|x-5|+|x+3|, 则函数对应的图象为令y=10,即|x-5|+|x+3|=10,得x=-4或x=6,结合图象可知|x-5|+|x+3|≥10的解集为(-∞,-4]∪[6,+∞).(法二)将x=6代入可知适合,故排除C;将x=0代入可知不适合,故排除A,B. 5.B 若f(x)是奇函数,则对任意的x ∈R,均有f(-x)=-f(x),即|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|, 所以y=|f(x)|是偶函数,即y=|f(x)|的图象关于y 轴对称.反过来,若y=|f(x)|关于y 轴对称,则不能得出y=f(x)一定是奇函数,比如y=|x 2|,显然,其图象关于y 轴对称,但是y=x 2是偶函数.故“y=|f(x)|的图象关于y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的必要而不充分条件.6.C 根据函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,可知ωπ3=π2,即ω=32.7.B ∵a ＾=y -b ＾x =49+26+39+544-9.4×4+2+3+54=9.1, ∴回归方程为y ＾=9.4x+9.1,令x=6,得y ＾=9.4×6+9.1=65.5(万元).8.A 由题意得,x 2a -y 2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±b ax,即bx ±ay=0, 又圆C 的标准方程为(x-3)2+y 2=4,半径为2,圆心坐标为(3,0). ∴a 2+b 2=32=9,且=2,解得a 2=5,b 2=4.∴该双曲线的方程为x 25-y 24=1. 9.C 令f(x)=x 2-2sin x,x ∈R, 则可知f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,故排除A. 又f'(x)=12-2cos x, 可知f'(x)有无穷多个零点,即f(x)有无穷多个极值点, 故排除B,D.选C.10.B 当0≤x<2时,令f(x)=x 3-x=0,得x=0或x=1. 根据周期函数的性质,由f(x)的最小正周期为2, 可知y=f(x)在[0,6)上有6个零点, 又f(6)=f(3×2)=f(0)=0,所以f(x)在[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 11.A ①正确,如图一直三棱柱,其中四边形BCC 1B 1与四边形BAA 1B 1是全等的矩形,且面BCC 1B 1⊥面BAA 1B 1,即满足要求. ②正确,如图一正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,即满足要求.③正确,横卧的圆柱即可,如图.12.D ∵C,D 调和分割点A,B, ∴AC=λAB ,AD =μAB ,且1λ+1μ=2(*), 不妨设A(0,0),B(1,0),则C(λ,0),D(μ,0),对A,若C 为AB 的中点,则AC=12AB ,即λ=12,将其代入(*)式,得1μ=0,这是无意义的,故A 错误;对B,若D 为AB 的中点,则μ=12,同理得1λ=0,故B 错误; 对C,要使C,D 同时在线段AB 上,则0<λ<1且0<μ<1,∴1λ>1,1μ>1,∴1λ+1μ>2,这与1λ+1μ=2矛盾;故C 错误;显然D 正确.13.68 由程序框图可知,y 的变化情况为y=70×2+21×3+15×5=278,进入循环,显然278>105, 因此y=278-105=173;此时173>105,故y=173-105=68. 经判断68>105不成立,输出此时y 的值68.14.4 由二项式定理可知T r+1=C 6r x 6-r (- a x )r =C 6r (- a )r x 6-3r , 令6-3r=0,得r=2,∴T 3=C 62(- a )2=60.∴15a=60.∴a=4.15.x(2n -1)x+2n 由已知可归纳如下:f 1(x)=x (21-1)x+21,f 2(x)=x (22-1)x+22,f 3(x)=x (23-1)x+23,f 4(x)=x (24-1)x+24,…,f n (x)=x(2n-1)x+2n . 16.2 ∵a>2,∴f(x)=log a x+x-b 在(0,+∞)上为增函数,且f(2)=log a 2+2-b,f(3)=log a 3+3-b, ∵2<a<3<b<4,∴0<log a 2<1,-2<2-b<-1. ∴-2<log a 2+2-b<0.又1<log a 3<2,-1<3-b<0,∴0<log a 3+3-b<2,即f(2)<0,f(3)>0. 又∵f(x)在(0,+∞)上是单调函数, ∴f(x)在(2,3)必存在唯一零点.17.解:(1)由正弦定理,设asin A =b sin B =c sin C =k, 则2c-a b=2k sin C-k sin A k sin B =2sin C-sin Asin B , 所以cos A-2cos C cos B=2sin C-sin Asin B , 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B.化简可得sin(A+B)=2sin(B+C), 又A+B+C=π,所以sin C=2sin A.因此sin Csin A=2. (2)由sin C sin A=2得c=2a. 由余弦定理b 2=a 2+c 2-2accos B 及cos B=14,b=2, 得4=a 2+4a 2-4a 2×14. 解得a=1.从而c=2.又因为cos B=14,且0<B<π,所以sin B=154.因此S=12acsin B=12×1×2×154=154.18.解:(1)设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,则D,E,F分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,由对立事件的概率公式知P()=0.4,P()=0.5,P()=0.5.红队至少两人获胜的事件有:DE F、D E F、D EF、DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,因此红队至少两人获胜的概率为P=P(DE F)+P(D E F)+P(D EF)+P(DEF)=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知F、E、D是两两互斥事件,且各盘比赛的结果相互独立, 因此P(ξ=0)=P()=0.4×0.5×0.5=0.1,P(ξ=1)=P(DE F)+P(D E F)+P(D EF)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35,P(ξ=3)=P(DEF)=0.6×0.5×0.5=0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=0.4.因此Eξ=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.19.(1)证法一:因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG.由于AB=2EF,因此BC=2FG.连接AF,由于FG∥BC,FG=12BC,在▱ABCD中,M是线段AD的中点,BC,则AM∥BC,且AM=12因此FG∥AM且FG=AM.所以四边形AFGM为平行四边形.因此GM∥FA.又FA⊂平面ABFE,GM⊄平面ABFE,所以GM∥平面ABFE.证法二:因为EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以∠EGF=90°,△ABC∽△EFG,由于AB=2EF,所以BC=2FG.取BC的中点N,连接GN,因此四边形BNGF为平行四边形,所以GN∥FB.在▱ABCD中,M是线段AD的中点,连接MN,则MN∥AB.因为MN∩GN=N,所以平面GMN∥平面ABFE.又GM⊂平面GMN,所以GM∥平面ABFE.(2)解法一:因为∠ACB=90°,所以∠CAD=90°.又EA⊥平面ABCD,所以AC,AD,AE两两垂直.分别以AC,AD,AE所在直线为x轴、y轴和z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AC=BC=2AE=2,则由题意得A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),E(0,0,1),所以AB=(2,-2,0),BC=(0,2,0).AB,所以F(1,-1,1),BF=(-1,1,1).又EF=12设平面BFC的法向量为m=(x1,y1,z1),则m·BC=0,m·BF=0,所以 y 1=0,x 1=z 1.取z 1=1,得x 1=1,所以m=(1,0,1).设平面ABF 的法向量为n=(x 2,y 2,z 2), 则n ·AB=0,n ·BF =0, 所以 x 2=y 2,z 2=0.取y 2=1,得x 2=1, 则n=(1,1,0). 所以cos<m,n>=m ·n |m|·|n|=12. 因此二面角A-BF-C 的大小为60°.解法二:由题意知,平面ABFE ⊥平面ABCD, 取AB 的中点H,连接CH,因为AC=BC,所以CH ⊥AB. 则CH ⊥平面ABFE.过H 向BF 引垂线交BF 于R,连接CR, 则CR ⊥BF.所以∠HRC 为二面角A-BF-C 的平面角. 由题意,不妨设AC=BC=2AE=2,在直角梯形ABFE 中,连接FH,则FH ⊥AB. 又AB=2 2,所以HF=AE=1,BH= 2. 因此在Rt △BHF 中,HR= 63. 由于CH=12AB= 2, 所以在Rt △CHR 中,tan ∠HRC= 2 63= 3.因此二面角A-BF-C 的大小为60°. 20.解:(1)当a 1=3时,不合题意;当a 1=2时,当且仅当a 2=6,a 3=18时,符合题意; 当a 1=10时,不合题意. 因此a 1=2,a 2=6,a 3=18. 所以公比q=3.故a n =2·3n-1. (2)因为b n =a n +(-1)n ln a n =2·3n-1+(-1)n ln(2·3n-1)=2·3n-1+(-1)n [ln 2+(n-1)ln 3]=2·3n-1+(-1)n (ln 2-ln 3)+(-1)n nln 3,所以S n =2(1+3+…+3n-1)+[-1+1-1+…+(-1)n ](ln 2-ln 3)+[-1+2-3+…+(-1)n n]ln 3,所以当n 为偶数时,S n =2×1-3n1-3+n 2ln 3=3n +n 2ln 3-1;当n为奇数时,S n =2×1-3n 1-3-(ln 2-ln 3)+(n-12-n)ln 3=3n -n-12ln 3-ln 2-1. 综上所述,S n =3n +n 2ln 3-1,n 为偶数,3n-n -12ln 3-ln 2-1,n 为奇数.21.解:(1)设容器的容积为V, 由题意知V=πr 2l+43πr 3, 又V=80π3, 故l=V-43πr 3πr 2=803r 2-43r=43(20r 2-r). 由于l ≥2r,因此0<r ≤2.所以建造费用y=2πrl ×3+4πr 2c=2πr ×43(20r -r)×3+4πr 2c. 因此y=4π(c-2)r 2+160πr ,0<r ≤2. (2)由(1)得y'=8π(c-2)r-160πr2=8π(c-2)r 2(r 3-20c-2).0<r<2. 由于c>3,所以c-2>0. 当r 3-20c-2=0时,r= 20c-23. 令 20c-23=m,得m>0, 所以y'=8π(c-2)r 2(r-m)(r 2+rm+m 2). ①当0<m<2即c>92时, 当r=m 时,y'=0;当r ∈(0,m)时,y'<0; 当r ∈(m,2)时,y'>0.所以r=m 是函数y 的极小值点,也是最小值点. (2)当m ≥2即3<c ≤92时, 当r ∈(0,2)时,y'<0,函数单调递减. 所以r=2是函数y 的最小值点.综上所述,当3<c ≤92时,建造费用最小时r=2;当c>92时,建造费用最小时r= 20c-23. 22.解:(1)当直线l 的斜率不存在时,P 、Q 两点关于x 轴对称, 所以x 2=x 1,y 2=-y 1.因为P(x 1,y 1)在椭圆上,因此x 123+y 122=1.①又因为S △OPQ = 62,所以|x 1|·|y 1|= 62.② 由①、②得|x 1|= 62,|y 1|=1,此时x 12+x 22=3,y 12+y 22=2.(2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+m,由题意知m ≠0,将其代入x 23+y 22=1得(2+3k 2)x 2+6kmx+3(m 2-2)=0, 其中Δ=36k 2m 2-12(2+3k 2)(m 2-2)>0,即3k 2+2>m 2.(*) 又x 1+x 2=-6km 2+3k2,x 1x 2=3(m 2-2)2+3k2,所以|PQ|= 1+k 2· (x 1+x 2)2-4x 1x 2 = 2 6 3k 2+2-m 22+3k2.因为点O 到直线l 的距离为d=1+k .所以S △OPQ =12|PQ|·d =12 1+k 2·6 222·=6|m| 3k 2+2-m 22+3k2.又S △OPQ = 62.整理得3k 2+2=2m 2,且符合(*)式,此时x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=(-6km 2+3k2)2-2×3(m 2-2)2+3k2=3,y 12+y 22=23(3-x 12)+23(3-x 22)=4-23(x 12+x 22)=2. 综上所述,x 12+x 22=3,y 12+y 22=2,结论成立.(2)解法一:①当直线l 的斜率不存在时, 由(1)知|OM|=|x 1|= 62,|PQ|=2|y 1|=2, 因此|OM|·|PQ|= 62×2= 6. ②当直线l 的斜率存在时,由(1)知,x 1+x 22=-3k2m , y 1+y 22=k(x 1+x22)+m=-3k 22m+m=-3k 2+2m 22m=1m , |OM|2=(x 1+x22)2+(y 1+y 22)2=9k 24m 2+1m 2=6m 2-24m 2=12(3-1m 2),|PQ|2=(1+k 2)24(3k 2+2-m 2)(2+3k 2)=2(2m 2+1)m =2(2+1m ),所以|OM|2·|PQ|2=12×(3-1m 2)×2×(2+1m 2) =(3-1m 2)(2+1m 2)≤(3-1m 2+2+1m 22)2=254. 所以|OM|·|PQ|≤52,当且仅当3-1m =2+1m ,即m=± 2时,等号成立. 综合①②得|OM|·|PQ|的最大值为52. 解法二:因为4|OM|2+|PQ|2=(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2+(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2=2[(x 12+x 22)+(y 12+y 22)]=10.所以2|OM|·|PQ|≤4|OM|2+|PQ|22=102=5, 即|OM|·|PQ|≤52. 当且仅当2|OM|=|PQ|= 5时等号成立. 因此|OM|·|PQ|的最大值为52. (3)椭圆C 上不存在三点D,E,G,使得S △ODE =S △ODG =S △OEG = 62. 证明:假设存在D(u,v),E(x 1,y 1),G(x 2,y 2)满足S △ODE =S △ODG =S △OEG = 62, 由(1)得u 2+x 12=3,u 2+x 22=3,x 12+x 22=3;v 2+y 12=2,v 2+y 22=2,y 12+y 22=2, 解得u 2=x 12=x 22=32;v 2=y 12=y 22=1.因此u,x 1,x 2只能从± 62中选取,v,y 1,y 2只能从±1中选取, 因此D,E,G 只能在(± 62,±1)这四点中选取三个不同点, 而这三点的两两连线中必有一条过原点, 与S △ODE =S △ODG =S △OEG = 62矛盾.所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D,E,G.。

2011年普通高等学校全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的.1．设集合2{60}M x x x =+-<，{13}N x x =≤≤，则M N = （ ）A.[1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3] 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两集合（描述法），求解两集合的交集. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】{32}M x x =-<<，[1,2)M N = ，答案应选A. 2．复数2i(i 2iz -=+为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【测量目标】复平面.【考查方式】给出复数的分数形式，通过化简判断复数对应的点在第几象限. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】22i (2i)34i2i 55z ---===+对应的点为34(,)55-在第四象限，答案应选D.3．若点(,9)a 在函数3xy =的图象上，则πtan6a 的值为 ( )A.0B.3C. 1D. 【测量目标】任意角的三角函数值.【考查方式】给出函数图象上的点，判断出a 的值，求π3的正切值. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】2393a ==，2a =，ππtantan 63a == D. 4．不等式5310x x -++≥的解集是 ( ) A.[5,7]- B. [4,6] C. (,5][7,)-∞-+∞ D. (,4][6,)-∞-+∞ 【测量目标】绝对值不等式.【考查方式】直接求解绝对值不等式. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】当5x >时，原不等式可化为2210x -≥，解得6x ≥；（步骤1） 当35x -≤≤时，原不等式可化为810≥，不成立；（步骤2）当3x <-时，原不等式可化为2210x -+≥，解得4x -≤.综上可知6x ≥，或4x -≤，答案应选D.（步骤3）另解1：可以作出函数53y x x =-++的图象，（步骤1） 令5310x x -++=可得4x -=或6x =，（步骤2）观察图象可得6x ≥，或4x -≤可使5310x x -++≥成立，答案应选D.（步骤3）另解2：利用绝对值的几何意义，53x x -++表示实数轴上的点x 到点3x =-与5x =的距离之和，要使点x 到点3x =-与5x =的距离之和等于10，只需4x -=或6x =，于是当6x ≥，或4x -≤可使5310x x -++≥成立，答案应选D.5．对于函数()y f x =，x ∈R ，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ( ) A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】判断已知两个命题的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】若()y f x =是奇函数，则()y f x =的图象关于y 轴对称；反之不成立，比如偶函数()y f x =，满足()y f x =的图象关于y 轴对称，但不一定是奇函数，答案应选B.6．若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π[0,]3上单调递增，在区间ππ[,]32上单调递减，则ω= ( ) A.3 B. 2 C.32 D. 23【测量目标】三角函数的单调性.【考查方式】给出含参量的三角函数的单调区间，求解未知参量. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π[0,]2ω上单调递增，在区间π3π[,]22ωω上单调递减， 则ππ23ω=，即32ω=，答案应选C. 另解1：令ππ[2π,2π]()22x k k k ω∈-+∈Z 得函数()f x 在2ππ2ππ[,]22k k x ωωωω∈-+为增函数，同理可得函数()f x 在2ππ2π3π[,]22k k x ωωωω∈++为减函数，则当ππ0,23k ω==时符合题意，即32ω=，答案应选C.另解2：由题意可知当π3x =时，函数()sin (0)f x x ωω=>取得极大值，则π()03f '=，即πco s 03ωω=，即πππ()32k k ω=+∈Z ，结合选择项即可得答案应选C. 另解3：由题意可知当π3x =时，函数()sin (0)f x x ωω=>取得最大值，则ππ2π()32k k ω=+∈Z ，36()2k k ω=+∈Z ，结合选择项即可得答案应选C.7．某产品的广告费用与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为( ) A.63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元【测量目标】线性回归方程.【考查方式】给出实际应用中的数学模型数据，建立线性回归方程，求对应的函数值. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由题意可知 3.5,42x y ==，则 429.4 3.5,9.1,a a =⨯+= 9.469.165.5y =⨯+=，答案应选B.8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( )A.22154x y -= B. 22145x y -= C. 22136x y -= D. 22163x y -= 【测量目标】双曲线的标准方程.【考查方式】给出双曲线的两条渐近线与圆的位置关系，判断双曲线的标准方程. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】圆22:(3)4C x y -+=，3,c =而32bc=，则22,5b a ==，答案应选A. 9．函数2sin 2xy x =-的图象大致是 ( )A B C D 【测量目标】三角函数的图象.【考查方式】给出三角函数解析式判断其图象.【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】函数2sin 2x y x =-为奇函数，且12cos 2y x '=-，令0y '=得1cos 4x =，（步骤1） 由于函数cos y x =为周期函数，而当2πx >时，2sin 02x y x =->，当2πx <-时，2sin 02xy x =-<，则答案应选C.（步骤2）10.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x <≤时，3()f x x x =-，则函数()f x 的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9【测量目标】函数的零点.【考查方式】给出函数一个区间内的函数解析式及函数周期，判断函数在某个区间段内函数图象与x 轴的交点.【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】当02x <≤时32()(1)f x x x x x =-=-，则(0)(1)0f f ==，（步骤1）而()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，则(2)(4)(6)(0)0f f f f ====，(3)(5)(1)0f f f ===，答案应选B.（步骤2）11．如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定三个命题： ①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图； ②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图； ③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图.其中真，命题的个数是 ( )第11题图A.3B.2C.1D.0 【测量目标】平面图形的直观图与三视图.【考查方式】给出正（主）视图、俯视图，判断可能的几何体图形. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】①②③均是正确的，只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱， 让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②直四棱柱的两个侧面 是正方形或一正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真， 答案选A.12．设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312()A A A A λλ=∈R,1412()A A A A μμ=∈R ,且112λμ+=，则称34,A A 调和分割12,A A ，已知平面上的点(,0),(,0),(,C c D d c d ∈R 调和分割点(0,0),A B ，则下面说法正确的是( )A. C 可能是线段AB 的中点B. D 可能是线段AB 的中点C. C 、D 可能同时在线段AB 上D. C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】给出平面向量的数量关系，判断平面中线段的数量关系. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】根据题意可知112c d +=，若C 或D 是线段AB 的中点，则12c =，或12d =，矛盾；（步骤1）若C,D 可能同时在线段AB 上，则01,01,c d <<<<则112c d +>矛盾，（步骤2） 若C,D 同时在线段AB 的延长线上，则1,1c d >>，1102c d<+<，故C,D 不可能同时在线段AB 的延长线上，答案选D.（步骤3） 二、填空题：本大题共4小题·，每小题4分，共16分. 13．执行如图所示的程序框图，输入2,3,5l m n ===， 则输出的y 的值是 .第13题图【测量目标】循环结构程序框图.【考查方式】给出程序框图输入值，判断输出值. 【难易程度】容易 【参考答案】68【试题解析】1406375278,y =++=（步骤1）278105173,17310568y y =-==-=.（步骤2）答案应填：68.14．若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .【测量目标】二项式定理【考查方式】给出二项式常数项的值，判断二项式中未知参量的值. 【难易程度】中等 【参考答案】4【试题解析】6(x 的展开式616C (k kk k T x -+=636C (kk k x -=，（步骤1）令630,2,k k -==226C (1560,4a a ===，答案应填：4.（步骤2）15．设函数()(0)2xf x x x =>+，观察： 1()()2x f x f x x ==+，21()(())34x f x f f x x ==+，32()(())78x f x f f x x ==+， 43()(())1516xf x f f x x ==+，……根据上述事实，由归纳推理可得：当*n ∈N ，且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== . 【测量目标】已知递推关系求通项.【考查方式】给出()f x 函数解析式，利用递推关系判断()n f x 的函数关系式. 【难易程度】较难 【参考答案】(21)2n nxx -+【试题解析】2122()(())(21)2x f x f f x x ==-+，3233()(())(21)2xf x f f x x ==-+， 4344()(())(21)2x f x f f x x ==-+，以此类推可得1()(())(21)2n n n nxf x f f x x -==-+. 答案应填：(21)2n nxx -+. 16.已知函数()log (0,a f x x x b a =+->且1)a ≠.当234a b <<<<时函数()f x 的零点为*0(,1)()x n n n ∈+∈N ，则n = .【测量目标】对数函数的图象与性质.【考查方式】给出含参量的对数函数关系式，通过对参量的范围讨论，判断函数零点的取值范围. 【难易程度】较难 【参考答案】2【试题解析】根据(2)log 22log 230a a f b a =+-<+-=，(3)log 32log 340a a f b a =+->+-=，(步骤1)而函数()f x 在(0,)+∞上连续，单调递增，故函数()f x 的零点在区间(2,3)内，故2n =.答案应填：2.（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.（本小题满分12分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=，（Ⅰ）求sin sin C A 的值；（Ⅱ）若1cos ,24B b ==，求ABC △的面积S . 【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，余弦定理.【考查方式】给出一个三角形内角边的三角函数关系式，通过三角函数变换，求解两个角的正弦比值及三角形面积.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）在ABC △中，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=及正弦定理可得cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=，（步骤1）即cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos A B C B C B A B -=-则cos sin sin cos 2sin cos 2cos sin A B A B C B C B +=+(步骤2)sin()2sin()A B C B +=+，而πA B C ++=，则sin 2sin C A =，即sin 2sin CA=.（步骤3） 另解1：在ABC △中，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-（步骤1）由余弦定理可得22222222222222b c a a b c a c b a c b c a a c +-+-+-+--=-，整理可得2c a =，由正弦定理可得sin 2sin C cA a==.（步骤2） 另解2：利用教材习题结论解题，在ABC △中有结论cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b c A a C c a B b A =+=+=+.（步骤1） 由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-（步骤2）即cos cos 2cos 2cos b A a B c B b C +=+，则2c a =，由正弦定理可得sin 2sin C cA a==.（步骤3） （Ⅱ）由2c a =及1cos ,24B b ==可得22222242cos 44,c a ac B a a a a =+-=+-=则1a =，2c =，（步骤4）S 11sin 1222ac B ==⨯⨯=，即S =（步骤5）18．（本题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘.已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ. 【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差.【考查方式】给出数学模型，列出随机变量的分布列并求数学期望. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）记甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘中甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 分别为事件,,D E F ,则甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 分别为事件,,D E F ，（步骤1） 根据各盘比赛结果相互独立可得故红队至少两名队员获胜的概率为()()()()P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++()()()()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F P D P E P F =+++0.60.5(10.5)0.6(10.5)0.5(10.6)0.50.50.60.50.5=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯0.55=.（步骤2）（Ⅱ）依题意可知0,1,2,3ξ=，(0)()()()()(10.6)(10.5)(10.5)0.1P P DEF P D P E P F ξ====-⨯-⨯-=； (1)()()()P P DEF P DEF P DEF ξ==++0.6(10.5)(10.5)(10.6)0.5(10.5)(10.6)(10.5)0.50.35=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=;(2)()()()P P DEF P DEF P DEF ξ==++0.60.5(10.5)(10.6)0.50.50.6(10.5)0.50.4=⨯⨯-+-⨯⨯+⨯-⨯=; (3)()0.60.50.50.15P P DEF ξ===⨯⨯=.故ξ的分布列为（步骤3）故00.110.3520.430.15 1.6E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.（步骤4） 19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ACB ∠= ，EA ⊥平面ABCD ，//EF AB ， //FG BC ，//EG AC ，2AB EF =．（I ）若M 是线段AD 的中点，求证：//GM 平面ABFE ； （II ）若2AC BC AE ==，求二面角A BF C --的大小第19题图【测量目标】空间立体几何线面平行，二面角.【考查方式】给出空间几何体线面垂直，线线平行及线段之间的长度关系，判断线面平行及二面角大小. 【难易程度】中等【试题解析】几何法：证明：（Ⅰ）//EF AB ，2AB EF =可知延长BF 交AE 于点P ，而//FG BC ，//EG AC ，则P BF ∈⊂平面,BFGC P AE ∈⊂平面AEGC ，即P ∈平面BFGC 平面AEGC GC =，（步骤1） 于是,,BF CG AE 三线共点，1//2FG BC ，若M 是线段AD 的中点，而//AD BC , 则//FG AM ，（步骤2）四边形AMGF 为平行四边形，则//GM AF ，又GM ⊄平面ABFE ，所以//GM 平面ABFE ；（步骤3）（Ⅱ）由EA ⊥平面ABCD ，作C H A B ⊥，则CH ⊥平面ABFE ，作H T B F ⊥，连接CT ，则CT B F ⊥，于是CTH ∠为二面角A BF C --的平面角.（步骤4）若2AC BC AE ==，设1AE =，则2A C B C==，AB CH ==，H 为AB 的中点，2t a n2AE AE FBA AB EF AB ∠====-，sin FBA ∠=（步骤5）sin HT BH ABF =∠==Rt CHT △中tan CH CTH HT ∠==则60CTH ∠=，即二面角A BF C --的大小为60.（步骤6）坐标法：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为平行四边形， 090ACB ∠=，EA ⊥平面ABCD ，可得以点A 为坐标原点，,,AC AD AE 所在直线分别为,,x y z 建立直角坐标系，（步骤1）设=,,AC a AD b AE c ==，则(0,0,0)A ,1(,0,0),(0,,0),(0,,0),(,,0)2C aD b M b B a b -.（步骤2）由//EG AC 可得()EG AC λλ=∈R ，1(,,)2GM GE EA AM a b c λ=++=-- （步骤3）由//FG BC 可得()FG BC AD μμμ==∈R,1122GM GF FA AM AD BA EA AD μ=++=-+++1(,(1),)2a b c μ=---，则12λμ==，12GM BA EA =+，而GM ⊄平面ABFE ，所以//GM 平面ABFE ；（步骤4）（Ⅱ）若2AC BC AE ==，设1AE =，则2AC BC ==，(2,0,0),(0,0,1),(2,2,0),(1,1,1)C E B F --,则(0,2,0)BC AD == ,(1,1,1)BF =-,（步骤5） (2,2,0)AB =-,设11112222(,,),(,,)x y z x y z =n =n 分别为平面ABF 与平面CBF 的法向量.则11111220x y x y z -=⎧⎨-++=⎩，令11x =，则111,0y z ==，1(1,1,0)n =；2222200y x y z =⎧⎨-++=⎩，令21x =，则220,1y z ==，2(1,0,1)=n .（步骤6） 于是1212121cos 2<>== n n n ,n n n ，则1260<>= n ,n ，即二面角A BF C --的大小为60.（步骤7）20. （本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1ln nn n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【测量目标】数列的通项及前n 项和.【考查方式】给出等比数列前三项求数列的通项，并求组合数列{}n b 的前n 项和. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意可知1232,6,18a a a ===，公比32123a a q a a ===， 通项公式为123n n a -= ；（步骤1） （Ⅱ）()1111ln 23(1)ln 2323(1)[ln 2(1)ln 3]nn n n n n n n n b a a n ---=+-=+-=+-+-当*2()n k k =∈N 时，122n k S b b b =+++212(133)[1(23)((22)(21))]ln3k k k -=+++++-+++--+- 2132ln 331ln 3132k n nk -=+=-+-（步骤2）当*21()n k k =-∈N 时1221n k S b b b -=+++222(133)[(12)((23)(22))]ln3ln 2k k k -=++++-++----21132(1)ln 3ln 213k k --=----(1)31ln 3ln 22n n -=---（步骤3） 故31ln 3,2(1)31ln 3ln 22nn n n n S n n ⎧-+⎪⎪=⎨-⎪---⎪⎩为偶数；，为奇数.（步骤4）另解：令11(1)ln 23nnn n T -=-⋅∑，即11(1)ln 2(1)(1)ln 3nnnn n T n =-+--∑∑（步骤1）223[1(1)(1)]ln 2[(1)1(1)2(1)(1)]ln3n n n T n =-+-++-+-+-++-- 231341[(1)(1)(1)]ln 2[(1)1(1)2(1)(1)]ln3n n n T n ++-=-+-++-+-+-++--则12312[1(1)]ln 2[(1)(1)(1)(1)(1)]ln3n n n n T n ++=---+-+-++----211111(1)(1)[1(1)]ln 2[(1)(1)]ln 3222n n n n T n +++---=---+---12111[1(1)]ln 2[(1)(1)(21)]ln 324n n n T n ++=---+----（步骤2）故1122(133)n n n n S b b b T -=+++=++++1211131[1(1)]ln 2[(1)(1)(21)]ln 324n n n n ++=-+---+----.（步骤3）21. （本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且2l r …．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元． （Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．第21题图【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】给出实际问题，建立函数模型运用导数解决实际问题. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意可知2324π80ππ()33r l r l r +=…，即2804233l r r r =-≥，则02r <≤.（步骤1）容器的建造费用为2228042π34π6π()4π33y rl r c r r r c r =⨯+⨯=-+， 即22160π8π4πy r r c r=-+，定义域为{02}r r <≤.（步骤2）（Ⅱ）2160π16π8πy r rc r '=--+，令0y '=，得r =令2,r ==即 4.5c =，（步骤3）（1）当34.5c <≤2,当02r <≤，0y '<，函数y 为减函数，当2r =时y 有最小值；（步骤4）（2）当 4.5c >2,<当0r <<0y '<；当r >0y '>，此时当r =y 有最小值.（步骤5） 22. （本小题满分12分）已知动直线l 与椭圆C ：22132x y +=交于()()1122,,,P x y Q x y 两不同点，且OPQ △的面积2OPQ S =△O 为坐标原点．（Ⅰ）证明：2212x x +和2212y y +均为定值；（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ 的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点,,D E G ，使得ODE ODG OEG S S S ===△△△？若存在，判断DEG △的形状；若不存在，请说明理由．【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出直线与椭圆的位置关系，根据椭圆的几何性质，讨论坐标的定值及线段积的最值等综合问题.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，（步骤1）由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而11OPQ S x y ==△，则111x y == 于是22123x x +=，22122y y +=.（步骤2）当直线l 的斜率存在，设直线l 为y kx m =+，代入22132x y +=可得（步骤3） 2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x km m +++-=，0>△，即2232k m +>2121222636,2323km m x x x x k k -+=-=++（步骤4）12PQ x =-==d =1122POQS d PQ === △（步骤5） 则22322k m +=，满足0>△222221212122263(2)()2()232323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++，222222*********(3)(3)4()2333y y x x x x +=-+-=-+=， 综上可知22123x x +=，22122y y +=.（步骤6）（Ⅱ））当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知12OM x PQ === （步骤7）当直线l 的斜率存在时，由（Ⅰ）知12322x x km+=-， 2121231()222y y x x k k m m m m ++=+=-+=，（步骤8） 222212122229111()()(3)2242x x y y k OM m m m++=+=+=- 22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++（步骤9）22221125(3)(2)4OMPQ m m =-+≤，当且仅当221132m m -=+，即m =时等号成立，综上可知OM PQ 的最大值为52.（步骤10）（Ⅲ）假设椭圆上存在三点,,D E G ，使得2ODE ODG OEG S S S ===△△△， 由（Ⅰ）知2222223,3,3D E E G G D x x x x x x +=+=+=，2222222,2,2D E E G G D y y y y y y +=+=+=.解得22232D E G x x x ===,2221D E G y y y ===，（步骤11）因此,,D E G x x x 只能从,,D E G y y y 只能从1±中选取，因此,,D E G 只能从(,1)±中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与2O D E O D G O E GS S S ===△△△相矛盾，故椭圆上不存在三点,,D E G ，使得2ODE ODG OEG S S S ===△△△.（步骤12）。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学解析版注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.【解析】因为22(2)34255i i iz i ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D. 3.若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为（A ）0 (B) (C) 1 (D) 【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 663a πππ===故选D.5. 对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要 【答案】C【解析】由奇函数定义,容易得选项C 正确. 6.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23【答案】C【解析】由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin3ωπ,故选C.7.根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 (A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 【答案】B【解析】由表可计算4235742x +++==,49263954424y +++==,因为点7(,42)2在回归直线ˆˆˆybx a =+上,且ˆb 为9.4，所以7ˆ429.42a =⨯+, 解得 9.1a =,故回归方程为ˆ9.49.1y x =+, 令x=6得ˆy=65.5,选B. 8.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为(A)22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163x y -=【答案】A【解析】由圆C:22650x y x +-+=得:22(3)4x y -+=,因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线0bx ay ±=均和圆C 相切,2=,即32bc=,又因为c=3,所以b=2,即25a =,所以该双曲线的方程为22154x y -=,故选A.9. 函数2sin 2xy x =-的图象大致是【答案】C 【解析】因为'12cos 2y x =-,所以令'12cos 02y x =->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令'12cos 02y x =-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C 正确.10. 已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】A【解析】因为当02x ≤<时, 3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为6个,选A.11.下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】A【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.12.设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=(λ∈R)，1412A A A A μ= (μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d ∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是 (A)C 可能是线段AB 的中点(B)D 可能是线段AB 的中点(C)C ，D 可能同时在线段AB 上(D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D【解析】由1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)知:四点1A ，2A ，3A ，4A 在同一条直线上,因为C,D 调和分割点A,B,所以A,B,C,D 四点在同一直线上,且112c d+=,故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5， 则输出的y 的值是 . 【答案】68【解析】由输入l=2，m=3，n=5，计算得出y=278,第一次得新的y=173;第二次得新的y=68<105,输出y.14. 若62(x x -展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .【答案】4【解析】因为616(r rr r T C x -+=⋅⋅,所以r=2, 常数项为26a C ⨯=60,解得4a =.15. 设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== . 【答案】22(1)xn x n-+ 【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为2,34,78,15x x x x ++++,即(21)2,(41)4,(81)8,(161)16x x x x -+-+-+-+,所以归纳出分母为1()(())n n f x f f x -=的分母为22(1)n x n -+,故当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -==22(1)xn x n-+. 16.已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 . 【答案】5【解析】方程log (0a 1)a x x b a +-≠＞，且=0的根为0x ,即函数log (23)a y x a =<<的图象与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且*0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图象,因为当(23)x a a =<<时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈;当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图象上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,故所求的5n =.三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17.（本小题满分12分）在 ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.（I ） 求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，2b =,求ABC ∆的面积.【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2s i n a R A =2s i n b R B =2s i n c R C =所以c o s A -2c o s C 2c -a=c o s B b =2sin sin sin C A B-,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知: sin sin c C a A==2,即c=2a,又因为2b =,所以由余弦定理得： 2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯,解得1a =,所以c=2,又因为cosB=14，所以sinB=4，故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯4=4.18.（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学解析版注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.【解析】因为22(2)34255i i iz i ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D. 3.若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为（A ）0 (B) (C) 1 (D) 【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 663a πππ===故选D.5. 对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要 【答案】C【解析】由奇函数定义,容易得选项C 正确. 6.若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= （A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23【答案】C【解析】由题意知,函数在3x π=处取得最大值1,所以1=sin3ωπ,故选C.7.根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 (A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 【答案】B【解析】由表可计算4235742x +++==,49263954424y +++==,因为点7(,42)2在回归直线ˆˆˆybx a =+上,且ˆb 为9.4，所以7ˆ429.42a =⨯+, 解得 9.1a =,故回归方程为ˆ9.49.1y x =+, 令x=6得ˆy=65.5,选B. 8.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为(A)22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163x y -=【答案】A【解析】由圆C:22650x y x +-+=得:22(3)4x y -+=,因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线0bx ay ±=均和圆C 相切,2=,即32bc=,又因为c=3,所以b=2,即25a =,所以该双曲线的方程为22154x y -=,故选A.9. 函数2sin 2xy x =-的图象大致是【答案】C 【解析】因为'12cos 2y x =-,所以令'12cos 02y x =->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令'12cos 02y x =-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C 正确.10. 已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】A【解析】因为当02x ≤<时, 3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为6个,选A.11.下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】A【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.12.设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=(λ∈R)，1412A A A A μ= (μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d ∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是 (A)C 可能是线段AB 的中点(B)D 可能是线段AB 的中点(C)C ，D 可能同时在线段AB 上(D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D【解析】由1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)知:四点1A ，2A ，3A ，4A 在同一条直线上,因为C,D 调和分割点A,B,所以A,B,C,D 四点在同一直线上,且112c d+=,故选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13.执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5， 则输出的y 的值是 . 【答案】68【解析】由输入l=2，m=3，n=5，计算得出y=278,第一次得新的y=173;第二次得新的y=68<105,输出y.14. 若62(x x -展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .【答案】4【解析】因为616(r rr r T C x -+=⋅⋅,所以r=2, 常数项为26a C ⨯=60,解得4a =.15. 设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== . 【答案】22(1)xn x n-+ 【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为2,34,78,15x x x x ++++,即(21)2,(41)4,(81)8,(161)16x x x x -+-+-+-+,所以归纳出分母为1()(())n n f x f f x -=的分母为22(1)n x n -+,故当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -==22(1)xn x n-+. 16.已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 . 【答案】5【解析】方程log (0a 1)a x x b a +-≠＞，且=0的根为0x ,即函数log (23)a y x a =<<的图象与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且*0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图象,因为当(23)x a a =<<时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈;当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图象上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,故所求的5n =.三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17.（本小题满分12分）在 ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b.（I ） 求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，2b =,求ABC ∆的面积.【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2s i n a R A =2s i n b R B =2s i n c R C =所以c o s A -2c o s C 2c -a=c o s B b =2sin sin sin C A B-,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知: sin sin c C a A==2,即c=2a,又因为2b =,所以由余弦定理得： 2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯,解得1a =,所以c=2,又因为cosB=14，所以sinB=4，故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯4=4.18.（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第I卷和第□卷两部分，共4页，满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2、第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3、第n卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：柱体的体积公式：V =Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。

圆柱的侧面积公式：S二cl，其中c是圆柱的地面周长，丨是圆柱的母线长。

4 3球的体积公式：V R ,其中R是球的半径。

3球的表面积公式：错误！未找到引用源。

，其中R是球的半径。

nZ X i Y - nx y 用最小二乘法求线性回归方程系数公式：错误！未找到引用源。

=号w = y-bX.2 2 X j _nxi d如果事件A、B互斥，那么P(A B)二P(A)+P(B);如果事件A、B独立，那么P(AB) = P(A)：P(B)。

第I卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设集合M = ：x | x2 x - 6 ：： 0』，N = \x |1 乞x 乞3.',则M N 二(A) [1,2) (B) [1,2] (C) (2,3] (D) [2,3]2、复数z= — (i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(A) 第一象限(B)第二象限3、若点(a,9 )在函数y = 3的图象上，贝U(A) 0 (B) 丁(C) 1(C)第三象限(D)第四象限a"tan 的值为6(D) 34、不等式x -5 x 3 _10的解集是(C) -二，-5| 〔7, ：： (D) 16,二5、 对于函数y=f(x),x^R ，“y=|f (x)的图象关于y 轴对称”是“ y=f(x)是奇函数”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6、 若函数f(x) =sin 「x (门、0)在区间 0,上单调递增，在区间 ，一 上单调递减，则-■=_ 3.[3 23 2 (A) 3 (B) 2(C)-(D)-237、 某产品的广告费用 x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万兀)4 235销售额y (万兀)49263954图象在区间10,6 1上与x 轴的交点的个数为 (A) 6(B) 7(C) 8(D) 911、右图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：① 存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；② 存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③ 存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页，满分150分.考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2、第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3、第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按能上能下要求作答的答案无效.4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.圆柱的侧面积公式：S cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长.球的体积公式：343V R π=，其中R 是球的半径. 球的表面积公式：24S Rπ=，其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式：12241ˆˆ,ni ii ni x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑， 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题、每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的、 1、设集合 M ={x|260x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A 、[1,2）B 、[1,2]C 、[2,3]D 、[2,3]2、复数z=22ii-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为A 、0B 、3C 、1D 4、不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A 、[-5，7]B 、[-4，6]C 、(][),57,-∞-+∞ D 、(][),46,-∞-+∞5、对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要6、若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= A 、3B 、2C 、32D 、237、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 42 3 5销售额y （万元）49 26 3954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9、4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A 、63、6万元B 、65、5万元C 、67、7万元D 、72、0万元8、已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A 、22154x y -= B 、22145x y -= C 、22136x y -= D 、22163x y -= 9、函数2sin 2xy x =-的图象大致是10、已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A 、6B 、7C 、8D 、911、右图是长和宽分别相等的两个矩形、给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图、其中真命 题的个数是 A 、3 B 、2 C 、1 D 、012、设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A 、C 可能是线段AB 的中点 B 、D 可能是线段AB 的中点C 、C ，D 可能同时在线段AB 上D 、C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分、13、执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值是14、若62(x x-展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .15、设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .16、已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分、 17、（本小题满分12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 、已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b、（I ）求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，b=2，ABC ∆的面积S.18、（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立. （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.19、（本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小、20、（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列、（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S 、21、（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r ≥、假设该容器的建造费用仅与其表面积有关、已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c ＞千元，设该容器的建造费用为y 千元、 （Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r 、22、（本小题满分14分）已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1—12 ADDDBCBACBAD 二、填空题13、68 14、4 15、(21)2n nxx -+ 16、2 三、解答题 17、解：（I ）由正弦定理，设,sin sin sin a b ck A B C=== 则22sin sin 2sin sin ,sin sin c a k C k A C Ab k B B---==所以cos 2cos 2sin sin .cos sin A C C AB B--=即(cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C A B -=-， 化简可得sin()2sin().A B B C +=+ 又A B C π++=，所以sin 2sin C A =因此sin 2.sin CA = （II ）由sin 2sin CA=得2.c a = 由余弦定理22222212cos cos ,2,4144.4b ac ac B B b a a =+-==+-⨯及得4=a解得a=1. 因此c=2 又因为1cos ,.4B G B π=<<且所以sin B =因此11sin 122244S ac B ==⨯⨯⨯=18、解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件. 因为()0.6,()0.5,()0.5,P D P E P F === 由对立事件的概率公式知()0.4,()0.5,()0.5,P D P E P F ===红队至少两人获胜的事件有：,,,.DEF DEF DEF DEF由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为()()()()0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= （II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3.又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件， 且各盘比赛的结果相互独立，因此(0)()0.40.50.50.1,P P DEF ξ===⨯⨯=(1)()()()P P DEF P DEF P DEF ξ==++0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(3)()0.60.50.50.15.P P DEF ξ===⨯⨯=由对立事件的概率公式得(2)1(0)(1)(3)0.4,P P P P ξξξξ==-=-=--=所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P0、10、350、40、15因此00.110.3520.430.15 1.6.E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 19、（I ）证法一：因为EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ，90ACB ∠=︒，所以90,EGF ABC ∠=︒∆∽.EFG ∆ 由于AB=2EF ， 因此，BC=2FC ，连接AF ，由于FG//BC ，1,2FG BC =在ABCD 中，M 是线段AD 的中点， 则AM//BC ，且1,2AM BC =因此FG//AM 且FG=AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM//FA.又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ， 所以GM//平面AB. 证法二：因为EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ，90ACB ∠=︒， 所以90,EGF ABC ∠=︒∆∽.EFG ∆由于AB=2EF ， 因此，BC=2FC ，取BC 的中点N ，连接GN ，因此四边形BNGF 为平行四边形， 所以GN//FB ，在ABCD 中，M 是线段AD 的中点，连接MN ， 则MN//AB ， 因为,MNGN N =所以平面GMN//平面ABFE. 又GM ⊂平面GMN ， 所以GM//平面ABFE. （II ）解法一：因为90,ACB ∠=︒∠︒所以CAD=90，又EA ⊥平面ABCD ，所以AC ，AD ，AE 两两垂直，分别以AC ，AD ，AE 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所法的空间直角坐标系， 不妨设22,AC BC AE ===则由题意得A （0，0，0，），B （2，-2，0），C （2，0，0，），E （0，0，1），所以(2,2,0),(0,2,0),AB BC =-= 又1,2EF AB =所以(1,1,1),(1,1,1).F BF -=- 设平面BFC 的法向量为111(,,),m x y z = 则0,0,m BC m BF ⋅=⋅=所以1110,,y x z =⎧⎨=⎩取1111,z x ==得所以(1,0,1),m =设平面ABF 的法向量为222(,,)n x y z =， 则0,0,n AB n BF ⋅=⋅=所以22222,1,1,0,x y y x z =⎧==⎨=⎩取得则(1,1,0)n =，所以1cos ,.||||2m n m n m n ⋅==⋅因此二面角A —BF —C 的大小为60.︒ 解法二：由题意知，平面ABFE ⊥平面ABCD ， 取AB 的中点H ，连接CH ， 因为AC=BC ， 所以CH AB ⊥， 则CH ⊥平面ABFE ，过H 向BF 引垂线交BF 于R ，连接CR ， 则.CR BF ⊥所以HRC ∠为二面角A —BF —C 的平面角. 由题意，不妨设AC=BC=2AE=2. 在直角梯形ABFE 中，连接FH ， 则FH AB ⊥，又AB =所以1,HF AE BH ===因此在Rt BHF ∆中，3HR =由于12CH AB == 所以在Rt CHR ∆中，tan HRC ∠== 因此二面角A —BF —C 的大小为60.︒ 20、解：（I ）当13a =时，不合题意；当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意； 当110a =时，不合题意.因此1232,6,18,a a a ===所以公式q=3，故123.n n a -=⋅（II ）因为(1)ln n n n n b a a =+-111123(1)(23)23(1)[ln 2(1)ln 3]23(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3,n n n n n n n n n n ----=⋅+-⋅=⋅+-+-=⋅+--+-所以 21222(133)[111(1)](ln 2ln3)[125(1)]ln3,n n n n S n -=++++-+-++--+-+-++- 所以 当n 为偶数时，132ln 3132n n n S -=⨯+- 3ln 31;2n n =+- 当n 为奇数时，1312(ln 2ln 3)()ln 3132n n n S n --=⨯--+-- 13ln 3ln 2 1.2n n -=--- 综上所述，3ln 31,212n n n n n S n ⎧+-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为偶数3-ln3-ln2-1,n 为奇数21、解：（I ）设容器的容积为V ， 由题意知23480,,33V r l r V πππ=+=又 故322248044203()333V r l r r r r rππ-==-=- 由于2l r ≥因此0 2.r <≤ 所以建造费用2224202342()34,3y rl r c r r r c r ππππ=⨯+=⨯-⨯+ 因此21604(2),0 2.y c r r rππ=-+<≤（II ）由（I ）得3221608(2)20'8(2)(),0 2.2c y c r r r r r c πππ-=--=-<<- 由于3,20,c c >->所以当3200,2r r c -==-时,m =则0m > 所以2228(2)'()().c y r m r rm m rπ-=-++ （1）当9022m c <<>即时， ∈∈当r=m 时,y'=0;当r (0,m)时,y'<0;当r (m,2)时,y'>0.所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点.（2）当2m ≥即932c <≤时， 当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减，所以r=2是函数y 的最小值点， 综上所述，当932c <≤时，建造费用最小时2;r = 当92c >时，建造费用最小时r = 22、（I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以2121,.x x y y ==-因为11(,)P x y 在椭圆上， 因此2211132x y += ①又因为OPQ S ∆=所以11||||2x y ⋅=②由①、②得11||| 1.2x y == 此时222212123,2,x x y y +=+=（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+由题意知m 0≠，将其代入22132x y +=，得 222(23)63(2)0k x kmx m +++-=，其中22223612(23)(2)0,k m k m ∆=-+->即2232k m +> …………（*） 又212122263(2),,2323km m x x x x k k -+=-=++所以||PQ == 因为点O 到直线l 的距离为d =所以1||2OPQ S PQ d ∆=⋅=2|23m k =+又2OPQ S ∆=整理得22322,k m +=且符合（*）式， 此时222221212122263(2)()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++ 222222*********(3)(3)4() 2.333y y x x x x +=-+-=-+= 综上所述，222212123;2,x x y y +=+=结论成立.（II ）解法一：（1）当直线l 的斜率存在时，由（I）知11|||||2||2,OM x PQ y ====因此||||22OM PQ ⋅=⨯= （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知123,22x x k m+= 22212122222212122222222222222332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2),(23)y y x x k k m k m m m m mx x y y k m OM m m m mk m m PQ k k m m++-+1=+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++ 所以2222111||||(3)2(2)2OM PQ m m⋅=⨯-⨯⨯+ 2222211(3)(2)113225().24m m m m =-+-++≤= 所以5||||2OM PQ ⋅≤，当且仅当221132,m m m-=+=即. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5.2 解法二：因为222222*********||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+- 222212122[()()]10.x x y y =+++= 所以224||||102|||| 5.25OM PQ OM PQ +⋅≤== 即5||||,2OM PQ ⋅≤当且仅当2||||OM PQ ==. 因此 |OM|·|PQ|的最大值为5.2（III ）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G，使得2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===证明：假设存在1122(,),(,),(,)2ODE ODG OEG D u v E x y G x y S S S ∆∆∆===满足， 由（I ）得22222222222212121212222222121212123,3,3;2,2,2,3; 1.2,,,,,1,u x u x x x v y v y y y u x x v y y u x x v y y +=+=+=+=+=+=======±±解得因此只能从只能从中选取 因此D ，E ，G只能在(1)2±±这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点，与ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===矛盾， 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G.。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页，满分150分。

考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证证、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按能上能下要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。

圆柱的侧面积公式：S cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长。

球的体积公式：343V R π=，其中R 是球的半径。

球的表面积公式：24S Rπ=，其中R 是球的半径。

用最小二乘法求线性回归方程系数公式：12241ˆˆ,ni ii ni x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑， 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．设集合 M ={x|260x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A ．[1,2）B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[2,3]2．复数z=22ii-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为A ．0B ．3C ．1D 4．不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A ．[-5，7]B ．[-4，6]C ．(][),57,-∞-+∞D ．(][),46,-∞-+∞5．对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要6．若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= A ．3B ．2C ．32D ．237．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 42 3 5销售额y （万元）49 26 3954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63．6万元B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元8．已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -= 9．函数2sin 2xy x =-的图象大致是10．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．911．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命 题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值是14．若62(x x-展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .15．设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .16．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b．（I ）求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，b=2，ABC ∆的面积S 。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．设集合 M ={x|260x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A ．[1,2）B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[2,3]2．复数z=22ii-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为A ．0BC ．1D 4．不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A ．[-5，7]B ．[-4，6]C ．(][),57,-∞-+∞D ．(][),46,-∞-+∞5．对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要6．若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= A ．3B ．2C ．32D ．237．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 42 3 5销售额y （万元）49 26 3954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63．6万元B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元8．已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -= 9．函数2sin 2xy x =-的图象大致是10．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．911．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯 视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命 题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值是14．若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .15．设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .16．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b．（I ）求sin sin CA的值； （II ）若cosB=14，b=2，ABC ∆的面积S 。

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长.球的体积公式V=34R 3π, 其中R 是球的半径.球的表面积公式：S=4πR 2,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第1卷（共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =（A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3]（2）复数z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）若点（a,9）在函数3xy =的图象上，则tan=6a π的值为： （A ）0 （B ）33（C ）1 （D ）3 (4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A ）[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞) （5）对于函数y=f （x ），x ∈R ，“y=|f(x)|的图像关于y 轴”是“y=f （x ）是奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23（7）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（A ）63.6万元 （B ）65.5万元 （C ）67.7万元 （D ）72.0万元（8）已知双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（A ）22154x y -= （B ）22145x y -= （C ）221x y 36-= （D ）221x y 63-= （9）函数2sin 2xy x =-的图象大致是（10）已知f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f （x ）=x 3-x ，则函数y=f （x ）的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为 （A ）6（B ）7（C ）8（D ）9（11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是（A ）3 （B ）2（C ）1 （D ）0（12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是 （A ）C 可能是线段AB 的中点 （B ）D 可能是线段AB 的中点（C ）C ，D 可能同时在线段AB 上（D ）C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）执行右图所示的程序框图，输入2l =，m=3，n=5，则输出的y 的值是 .(14)若62x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .（15）设函数()2xf x x =+（x ＞0），观察： ()()12x f x f x x ==+ f 2 (x)=f(f 1（x ）)= 34xx +f 3 (x)=f(f 2（x ）)= 78xx +f 4 (x)=f(f 3（x ）)= 1516xx +……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f m （x ）=f （f m-1（x ））= . （16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.（18）（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。