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用数学规划方法解决变压器铁心截面设计问题
邓昌瑞
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2014(000)001
【摘要】针对电力变压器铁心柱截面设计所涉及的截面的级数、各级的宽度和厚度的确定等问题,可以用数学规划的方法制定其优化方案,并在此基础上能对线圈内筒直径和铁心柱外接圆直径的公差带以及增加油道优化设计给出合理的方案.【总页数】2页(P124-125)
【作者】邓昌瑞
【作者单位】江西渝州科技职业学院
【正文语种】中文
【中图分类】O221
【相关文献】
1.基于两种混合智能算法对变压器铁心截面设计的优化研究
2.立体卷铁心变压器铁心柱截面的优化设计
3.采用Excel表格快捷、优化计算小容量变压器圆截面铁心柱的方法
4.电力变压器铁心柱截面优化设计
5.电力变压器铁心柱截面优化设计
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油浸式立体卷铁心变压器的优化设计研究在能源日益紧缺、节能已成为基本国策的今天，降低配电变压器的损耗、节省生产成本，将给全社会带来巨大的经济和环保效益。
油浸式立体卷铁心变压器耗材少、效率高，在节能降耗方面可以发挥很大的作用，研究其电磁优化设计方法、开发出通用的优化设计程序，极有意义。
本文针对油浸式立体卷铁心变压器，主要完成了以下几个方面的研究工作：（1）明确了电磁优化的任务和结构，介绍了相关设计理论，采用磁场能量法详细计算了高、低压绕组均有油道时的短路阻抗。
（2）在油浸式立体卷铁心变压器的优化设计中，铁心的设计对于其节能、节材十分关键。
在文中针对立体卷铁心柱截面为多边形的优化问题，提出了一种新的优化方案。
相比现有方案，新方案的铁心柱截面积更大，可节省铁心制造成本、减少铁心损耗。
（3）根据中小型电力变压器的设计流程和方法，基于Excel中的VBA编程语言，开发了集电磁优化设计、手工调整计算、油箱结构计算、自动输出计算单和自动绘图于一体的油浸式立体卷铁心变压器优化程序系统。
电磁优化设计是该程序系统的主体部分，它将硅钢片和导线成本之和设为目标函数，采用循环遍历法以获得全局最优解。
本程序最大的特点是功能强大、实用性强。
（4）讨论了立体卷铁心变压器中漏磁场的类型和作用，并借助大型有限元分析软件ANSYS对漏磁场进行了二维非线性谐波磁—路耦合分析。
详细介绍了二维仿真过程，对仿真结果进行了深入分析，得出了有关结论。
该优化程序系统已在实际中得到初步应用，实践表明：该系统能有效降低2.5%～
5%的铜铁成本，缩短设计周期、极大提高设计效率，为公司带来实际效益。
【关键字】优化电力变压器铁心柱截面的优化设计[摘要]:针对变压器铁心柱截面优化设计，建立数学模型并用matlab函数constr编程与搜索法求解，有计算速度快，稳定性好等特点，铁心利用率比较原设计图纸算法可提高 3.8%左右，具有一定的实用价值。
对于直径为的铁心柱，原设计级数为17级，通过对模型求解，发现级数为12级时，仍能达到96%的铁心截面积利用率，则可减少10级叠片的叠压，因此可在生产设计时考虑采用12级的叠片设计方案。
关键词:铁心利用率;非线整数性规划;搜索领域;尾数调整1 问题的提出电力变压器设计中一个很重要的环节就是铁心柱的截面如何设计。
变压器铁心截面在圆形的线圈里。
为充分利用线圈内空间，心式铁心柱截面常采用多级阶梯型结构，如图1：各小阶梯（又称为“级”）均为矩形。
截面在圆内是上下轴对称的，阶梯的每级都是由许多种宽度的硅钢片迭起来的，如何构造各个小矩形，使几何截面积最大？这就是电力变压器铁心柱截面积的优化问题。
为了改善铁心柱内部的散热，在某些相邻阶梯形之间留下一些水平空隙，放入冷却油。
油道的位置应使其分割的各部分铁心柱截面积近似相等。
因此在确定各级的设计后，还要考虑油道的设计。
2 符号约定铁心柱截面积第级宽度的一半第级的厚度各级面积尾数，为5或10外接圆直径外接圆半径油道分开各部分的面积3 问题的分析与模型的建立我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸，根据多年的生产经验，各生产厂存在着对已有设计方案的疑问：能否改进及如何改进这些设计，才能在提高使用效益的同时降低变压器成本。
所以以往在设计大直径多级铁心柱时，工厂一般采用作图法，即在图纸上经过反复核算，画出较好的铁心截面积设计方案，实际上与最优解的偏差较大；近年来由于计算机的应用及数学软件的发展，产生了建立数学模型并利用计算机使用多种方法求解的思想。
本文的重点主要在计算机求解与数据分析。
对于变压器铁心柱的级宽，都可以通过已知的直径算出相应的厚度，因此可以转化为以各级的宽度为变量的数学模型。
电力变压器铁心柱截面的优化设计之程序实现（MATLAB）附录7.1 附录 1funf='f=-1*(x(1)*sqrt(325^2-x(1)^2)+x(2)*(sqrt(325^2-x(2)^2)-sqrt(325 ^2-x(1)^2))+x(3)*(sqrt(325^2-x(3)^2)-sqrt(325^2-x(2)^2))+x(4)*(sqrt(3 25^2-x(4)^2)-sqrt(325^2-x(3)^2))+x(5)*(sqrt(325^2-x(5)^2)-sqrt(325^2-x(4)^2))+x(6)*(sqrt(325^2-x(6)^2)-sqrt(325^2-x(5)^2))+x(7)*(sqrt(325^ 2-x(7)^2)-sqrt(325^2-x(6)^2))+x(8)*(sqrt(325^2-x(8)^2)-sqrt(325^2-x(7 )^2))+x(9)*(sqrt(325^2-x(9)^2)-sqrt(325^2-x(8)^2))+x(10)*(sqrt(325^2-x(10)^2)-sqrt(325^2-x(9)^2))+x(11)*(sqrt(325^2-x(11)^2)-sqrt(325^2-x( 10)^2))+x(12)*(sqrt(325^2-x(12)^2)-sqrt(325^2-x(11)^2))+x(13)*(sqrt(3 25^2-x(13)^2)-sqrt(325^2-x(12)^2))+x(14)*(sqrt(325^2-x(14)^2)-sqrt(32 5^2-x(13)^2)));' ; %最大面积的目标函数fung='g=[x(2)-x(1)+5;x(3)-x(2)+5;x(4)-x(3)+5;x(5)-x(4)+5;x(6)-x(5)+5; x(7)-x(6)+5;x(8)-x(7)+5;x(9)-x(8)+5;x(10)-x(9)+5;x(11)-x(10)+5;x(12)-x(11)+5;x(13)-x(12)+5;x(14)-x(13)+5];'; %宽度逐级递减的约束条件fun=[funf fung];x0=[180 185 190 195 200 205 210 215 225 225 230 235 240 245]; %初始值options=[];vlb=[85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20]; %下界vub=[395 390 385 380 375 370 365 360 355 350 345 340 335 330]; %上界[x,options]=constr(fun,x0,options,vlb,vub);y=zeros(1,14);x=x.*2;x=(round(x./10)).*10; %以10 为倍数的宽度for i=1:14yy=sum(y',1);y(i)=sqrt(325^2-x(i)^2)-yy;endy=round(y);xys=x.*y;sum(s',1)(ans)/((325^2)*pi)7.2 附录 2max=0;hh1=395;yy1=(325^2-hh1^2)^(1/2);ss1=hh1*yy1;for b=1:6hh2=385+(b-3)*5;yy2=(325^2-(hh2)^2)^(1/2)-yy1;ss2=hh2*yy2;for c=1:6hh3=375+(c-3)*5;yy3=(325^2-(hh3)^2)^(1/2)-yy1-yy2;ss3=hh3*yy3;for d=1:6hh4=365+(d-3)*5;yy4=(325^2-(hh4)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3;ss4=hh4*yy4;for e=1:6hh5=355+(e-3)*5;yy5=(325^2-(hh5)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4;ss5=hh5*yy5;for f=1:6hh6=345+(f-3)*5;yy6=(325^2-(hh6)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5;ss6=hh6*yy6;for g=1:6hh7=335+(g-3)*5;yy7=(325^2-(hh7)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6;ss7=hh7*yy7;for h=1:6hh8=325+(h-3)*5;yy8=(325^2-(hh8)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7;ss8=hh8*yy8;for i=1:6hh9=315+(i-3)*5;yy9=(325^2-(hh9)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8;ss9=hh9*yy9;for j=1:6hh10=305+(j-3)*5;yy10=(325^2-(hh10)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9;ss10=hh10*yy10;for k=1:6hh11=285+(k-3)*5;yy11=(325^2-(hh11)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10; ss11=hh11*yy11;for l=1:6hh12=265+(l-3)*5;yy12=(325^2-(hh12)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10-yy11;ss12=hh12*yy12;for m=1:6hh13=245+(m-3)*5;yy13=(325^2-(hh13)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10-yy11-yy12;ss13=hh13*yy13;for n=1:6hh14=225+(n-3)*5;yy14=(325^2-(hh14)^2)^(1/2)-yy1-yy2-yy3-yy4-yy5-yy6-yy7-yy8-yy9-yy10-yy11-yy12-yy13;ss14=hh14*yy14;ss=ss1+ss2+ss3+ss4+ss5+ss6+ss7+ss8+ss9+ss10+ss11+ss12+ss13+ss14;if max<ssmax=ss;hh=[hh1,hh2,hh3,hh4,hh5,hh6,hh7,hh8,hh9,hh10,hh11,hh12,hh13,hh14]; yy=[yy1,yy2,yy3,yy4,yy5,yy6,yy7,yy8,yy9,yy10,yy11,yy12,yy13,yy14]; sss=[ss1,ss2,ss3,ss4,ss5,ss6,ss7,ss8,ss9,ss10,ss11,ss12,ss13,ss14]; endend，end，end，end，end，end，end，end，end，end，endendend7.3 附录 3t=s;for i=length(s)-1:-1:1t=[t s(i)]; %将23 级面积全部合并为一数组endnn=squre/7; %平均分割时的面积ss=0;w=30000; %误差设置的初始值sss=[];while length(sss)~=7w=w-1000;for i=1:23ss=ss+t(i);if nn-w<=ss<=nn+wsss=union(sss,ss);ss=0;endendendsss %油道分割的各级面积。
电力变压器铁芯柱截面的优化设计电力变压器铁芯柱截面的优化设计是指通过调整变压器铁芯柱的截面形状和尺寸，以提高变压器的效率和功率因素，减少能量损耗和材料成本，并满足电力系统对变压器的性能要求。
下面将从设计原理、优化方法和实例应用三个方面进行阐述。
设计原理：电力变压器的铁芯柱由硅钢片叠压而成，用于传导磁场并提供磁耦合效果。
铁芯柱的优化设计是在保持磁路特性不变的前提下，寻找最佳的截面形状和尺寸，以提高变压器的性能。
常用的设计原理包括：最小损耗设计原理、最小材料成本设计原理、最佳功率因素设计原理等。
优化方法：1.目标函数选择：优化设计的第一步是选择适当的目标函数，如变压器的效率、功率因素、磁损耗、铁芯材料成本等。
2.参数选择：确定需要优化的设计参数，如铁芯柱的截面形状和尺寸、硅钢片的厚度等。
3.优化算法选择：根据设计要求和目标函数选择合适的优化算法，如遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
4.建立数学模型：根据电磁学原理和变压器的特性建立数学模型，包括磁场方程、电流方程、能量损耗方程等。
5.参数求解：利用所选的优化算法对数学模型进行求解，得到最优的设计参数。
6.优化结果分析：对优化结果进行分析，包括目标函数值、设计参数值的变化情况等。
实例应用：以提高变压器效率为目标，假设需要优化的设计参数为铁芯柱的截面形状和尺寸。
首先，在建立数学模型时考虑铁芯柱的几何形状和磁导率等因素，并确定合适的目标函数，如功率因素。
然后，选择适当的优化算法对数学模型进行求解，得到最优的设计参数。
最后，将优化结果与初始设计进行对比，分析优化效果。
总结：电力变压器铁芯柱截面的优化设计是一项复杂的任务，需要综合考虑磁路特性、电力系统要求和经济性等因素。
通过选择合适的目标函数和优化算法，建立数学模型并进行参数求解，可以得到最优的设计参数，提高变压器的性能和经济效益。
在实际应用中，还需考虑制造工艺、材料特性和现实情况等因素，以实现优化设计的有效落地。
电力变压器铁心柱截面的优化设计摘要本文研究的是电力变压器心式铁心柱截面的优化设计问题，通过对问题的透彻分析，分别利用数理统计知识，高等数学知识和目标函数规划建立数学模型，利用C 语言和lingo 软件编写程序对问题进行求解，分析整理可以得出针对不同条件下电压器铁心柱截面的最优解。
针对问题一以铁心柱外接圆直径为650毫米为研究对象，求解铁心柱的有效截面面积取最大值情况下确定铁心柱截面级数及此时各级的宽度和厚度。
经过对问题一定分析，显然得出铁心柱截面级数为14时截面面积最大。
利用数理统计知识和高等数学知识建立数学模型（模型详见5.1）。
利用C 语言编写程序可以求出铁心柱截面面积的所有情况，取出max A 320595.0998=2mm ，最后通过执行程序我们得出各级的宽度和厚度(详细数据见模型Ⅰ求解)。
针对问题二由于实际生产中，硅钢片和绝缘漆的厚度不可能达到我们所需要的理论厚度，因此会影响铁心柱截面的形状。
所以在求解过程中会产生一定的偏差。
所以我们取硅钢片和绝缘漆厚度之和为0.5毫米为定值。
考虑到公差带对铁心柱截面设计的影响，经过对问题的分析，利用高等数学知识建立数学模型（模型详见5.2）。
利用模型一所得出的相关结论进行求解，可以得到公差带max min 337.67337.260.41r r γ=-=-=。
针对问题三，由于实际生产中考虑到铁心内部的散热情况，故我们要建立目标规划模型，对于问题一我们运用模型Ⅰ同理得出各级的宽度和厚度(详细数据见模型Ⅲ)，并运用lingo 软件编程得出油道应设计在第1、2级之间和第4、5级之间；对于问题二，我们运用模型Ⅱ的思想，算出了公差带为max min 0.4642r r γ=-=。
关键词：铁心柱截面 角坐标系 数理统计 高等数学 目标函数规划 C 语言lingo 软件一、问题重述电力变压器铁心柱截面的优化设计电力变压器的设计中很重要的一个环节就是铁心柱的截面如何设计。
我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸。
根据多年的生产经验，各生产厂存在着对已有设计方案的疑问：能否改进及如何改进这些设计，才能在提高使用效果的同时降低变压器的成本。
现在以心式铁心柱为例试图进行优化设计。
电力变压器铁心柱截面在圆形的线圈筒里面。
为了充分利用线圈内空间又便于生产管理，心式铁心柱截面常采用多级阶梯形结构，如图1所示。
截面在圆内上下轴对称，左右也轴对称。
阶梯形的每级都是由许多同种宽度的硅钢片迭起来的。
由于制造工艺的要求，硅钢片的宽度一般取为5的倍数（单位：毫米）。
因为在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以一般要求第一级的厚度最小为26毫米，硅钢片的宽度最小为20毫米。
铁心柱有效截面的面积，等于多级铁心柱的几何截面积（不包括油道）乘以叠片系数。
而叠片系数通常与硅钢片厚度、表面的绝缘漆膜厚度、硅钢片的平整度以及压紧程度有关。
设计时希望有效截面尽量大，既节省材料又减少能量损耗。
显然铁心柱的级数愈多，其截面愈接近于圆形，在一定的直径下铁心柱有效截面也愈大。
但这样制造也工艺复杂，一般情况下铁心柱的级数可参照表1选取。
表1 铁心柱截面级数的选择表2 冷却油道数的选择问题一：当铁心柱外接圆直径为650毫米时，如何确定铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度，才能使铁心柱的有效截面积最大。
问题二：实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，而留有一定的间隙以便于安装和维修，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带。
因此可以在设计铁心截面时稍微增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状。
请结合铁心柱截面的设计而设计出二者的公差带。
问题三：铜导线在电流流过时发热造成的功率损耗简称为铜损；铁心在磁力线通过时发热造成的功率损耗简称为铁损。
为了改善铁心内部的散热，铁心柱直径为380毫米以上时须设置冷却油道。
简单地说，就是在某些相邻阶梯形之间留下6毫米厚的水平空隙（如图2所示），空隙里充满油，变压器工作时油上下循环带走铁心里的热量。
具体油道数可按表2选取。
油道的位置应使其分割的相邻两部分铁心柱截面积近似相等。
分别针对问题一和问题二的情况，增加油道要求再给出设计，并指出油道的位置。
二、问题分析本文研究的是电力变压器心式铁心柱截面的最优设计问题，即在不同条件约束下对电力变压器心式铁心柱有效面积的最大化设计问题。
借助数理统计知识和高等数学知识建立数学模型，并且更具建立的数学模型所利用的基本原理在C++环境下开发相关软件，得出不同条件下，铁心柱截面有效面积的最大化设计。
对于问题一分析，当铁心柱外接圆直径为650毫米时，研究铁心柱有效截面面积最大值问题，根据题意可以知道，当铁心柱直径为400—700毫米时，铁心柱截面级数可能取12—14级，显然铁心柱级数愈多其截面面积愈接近于圆形就，集合面积就愈大，经查阅资料可以得出，工业生产中碟片系数一般去0.97为常数，所以在铁心柱外接圆直径大小一定的条件下，级数越多有效截面面积越大。
所以铁心柱截面级数为14级时截面面积最大，确定级数后，由于硅钢片的宽度为5毫米的倍数，又因为第一级厚度最小为26毫米，硅钢片的最小宽度为20毫米。
运用勾股定理求得第一级的宽度最大为645毫米，第n级的最小宽度为20毫米，故按每5毫米分段可以分为126段，此问题就转化为数理统计问题了，有数列组合知识可以求得共有14C中分法，利用C语言编写程序126求出所有情况下铁心柱面积的值，从中取出铁心柱截面面积的最大值及此时各级的宽度和厚度。
对于问题二分析，由于实际生产中，硅钢片和绝缘漆的厚度不可能达到我们所需要的理论厚度，因此会影响铁心柱截面的形状。
所以在求解过程中会产生一定的偏差。
所以我们取硅钢片和绝缘漆厚度之和为0.5毫米为定值。
同时，线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，而留有一定的间隙以便于安装和维修。
因此要考虑合理设计公差带的问题，我们将会从铁心利用率的角度考虑，假设线圈内筒直径不变，在线圈内筒与铁心柱截面之间存在间隙的基础上，适当的增加铁心柱的外接圆直径，以使得铁心柱有效面积最大，现在可以理解为铁心柱的级数一定时，直径愈大，铁心柱截面面积愈大，但是直径愈大，制造工时就越多，因此要考虑铁心利用率的问题，由于铁心柱的外接圆直径增加值必须线圈与铁心柱外接圆之间的间隙，当外接圆直径增加时，铁心的利用率也随之变化，当铁心利用率达到目个峰值时，可以认为公差带即为此时的直径与圆直径之差。
从而可以得到公差带的最优解。
针对问题三分析，由于实际生产中，要考虑到铁心内部的散热，故我们针对问题一和问题二进行油道优化设计。
首先，从题目冷却油道的选择表中可知，当直径为650毫米时，半圆中油道的个数为2个，由于铁心柱截面是对称分布的，所以铁心柱截面内要设计4个油道使它们尽可能把铁心柱内部平分成5部分，并使这五部分面积相似的程度达到最高，由此我们小组想建立目标规划模型，并在lingo软件中，结合模型一和模型二的思想成果，通过编程求解，得出相关结论。
三、模型假设1、于问题一硅钢片和绝缘漆的厚度可以达到我们所需要的任何理论厚度。
2、于问题一所用硅钢片的宽度都为5毫米的倍数，不存在误差。
3、用工业生产中的叠片系数为常数0.97。
4、于问题二线圈内筒直径不变。
5、于问题二硅钢片和绝缘漆厚度之和为0.5毫米为定值6、于问题三油道的加入不影响铁心截面的形状。
四、符号说明b ：心式铁心柱截面各级的宽度；i x ：第i 级截面与铁心柱的外接圆交点的横坐标； i y ：第i 级截面与铁心柱的外接圆交点的纵坐标；A :多级心式铁心柱变压器的几何截面面积；r ：心式铁心柱的外接圆半径；i Z ：心式铁心柱截面第i 级的厚度值；0d ：心式铁心柱的外接圆直径； 1d ：线圈的内筒直径；δ：线圈内筒与铁心柱外接圆之间的间隙；i Z -：第i 级的厚度i Z 向下取0.5的倍数时的值； i Z +：第i 级的厚度i Z 向上取0.5的倍数时的值；i Z ±∆：第i 级厚度相比于原理论值的改变量； γ：设计出的铁心柱外接圆直径的公差带；i H ：第i 级截面面积。
五、模型的建立与求解5．1模型Ⅰ的建立 5.1.1建立模型Ⅰ的准备：问题一研究的是如何确定心式铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度，才能使铁心柱的有效截面积达到最大，从而充分利用了线圈内的空间。
为了便于生产管理，我们知道心式铁心柱截面通常采用多级阶梯形结构，而且截面在圆内中心对称，题中也表明阶梯形的每级都是由许多同种宽度的硅钢片叠起来的。
由于对硅钢片制造工艺的要求，在设计生产不同种宽度的硅钢片时，硅钢片的宽度一般取为5的倍数（单位：mm ）。
将这一信息抽象为数学式子，再结合我们小组成员对问题实质的透彻分析，我们得到心式铁心柱截面的各级宽度b （单位：mm ）满足：b=5β（β为正整数）①那么宽度的一半：b 5=22β（β为正整数）② 考虑到在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以在实际中，设计铁心柱截面时，通常要求第一级的厚度最小为26mm ，根据下面的图解：由勾股定理可知：（结合问题一，这里半径r=325mm ）max b mm 2（）并结合②式可知:当β=129时，存在maxb =322.52我们小组成员通过仔细的审题后，发现重要信息——硅钢片的最小宽度为20mm ，分析便知，β存在最小取值，有：min min b =20mm=5β显然min =4β，综合以上分析过程，易知β的取值是4至129之间（包括4和129）的整数，因此对于②式更准确的表达式为：b 5=22β（{}*,4129N ββββ∈∈≤≤且） 为了用数学的方法来分析和求解问题一，我们小组成员通过讨论，最终确定通过建立笛卡尔直角坐标系来表达、分析和求解我们需要解决的问题。
这种方法直观易懂，十分便于读者理解。
分别取铁心柱截面的两条垂直的对称轴为x 轴和y 轴，以点()i i x y ，表示第i 级与铁心柱外接圆的交点。
具体的坐标系的建立如下图：5.1.2模型Ⅰ目标函数的推导： 根据下表：针对问题一，且明显铁心柱的级数越多，其截面越接近于圆形，在一定的直径下铁心柱有效截面也越大，因此当铁心柱外接圆直径为650mm 时，我们小组选择截面级数为14级进行分析计算。
我们假设多级铁心柱的几何面积为A ，且记四分之一几何截面积为S ，那么有：4A S =由图一可知，阴影部分面积即为S ，易知，S 是14个矩形的面积之和，所以有：()()()11221332141413x y x S y y x y y x y y =+-+-++-利用乘法分配律可知：112221333214141413S x y x y x y x y x y x y x y =+-+-++-()()112233141421321413+S x y x y x y x y x y x y x y =+++-+++合并同类项可得：()()()1212321314131414S x x y x x y x x y x y =-+-++-+因为点()11,x y ，()22,x y ， ，()1414,x y 均分布在圆的方程上，因此：222i i x y r +=，即： 22211x y r +=， 22222x y r +=，2221414x y r +=，明显522i i b x β==()*4129,i N ββ≤≤∈且，且有 1413122120322.5x x x x x ≤<<<<<≤ ，因而对于i β，我们可知：141312214129x x x x x ≤<<<<<≤综上所述，通过我们的整理，便得到了问题一的求解模型()()()()1212321314131414222*14131221;;5;24129,;i i i i i S x x y x x y x x y x y x y r x x x x x x N ββ⎧=-+-++-+⎪+=⎪⎪⎨=⎪⎪≤<<<<<≤∈⎪⎩5.1.3模型Ⅰ的求解：我们小组成员通过分析，知道1β，2β， ，14β是一个取值129到4的（包括129和4）的值便确定，通过222i i x y r +=就可算得i y 的值，从而S 的值便确定。
