苏教版九年级数学一元二次方程及解法

一元二次方程1.知识.能力聚焦1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

判断一个方程是否是一元二次方程：（1）方程是整式方程；（2）方程中只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.2.方法.技巧平台2.一元二次方程的解（根）使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）例题1把下列方程化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项，若方程不是一元二次方程，请说明理由。

（1）()226923xx x ++=- （2）()()222127x x x --=+例题2 下列哪些数时一元二次方程243x x -=-的根？ -3，-2，-1,0,1,2,3,43一元二次方程的判定若方程无法确定为一元二次方程时，我们常将方程化为一般形式，并确定未知数是否只有1个，未知数最高次数为2，最高次数的项的系数为非零实数。

如()()22112x x +=-+化为一般形式为42x =，不是一元二次方程 ()()22221x x -=+化为一般形式为2820x x +-=是一元二次方程。

【规律】任何一个一元二次方程经过整理（去括号、去分母、移项、合并同类项）都可化成一元二次方程的一般形式。

3.创新.思维拓展易错点1：对一元二次方程的定义理解不透一元二次方程的定义包括三方面内容：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足，缺一不可。

例 下列关于x 的方程：①20ax bx c ++=；②2223x x+=; ③2250x x --=；④2332x x -=，其中一定是一元二次方程的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个易错点 2：写一元二次方程的各项时易错若要指出一元二次方程的各项，必须先把一元二次方程写成一般形式，即各项是在方程为一般形式的前提下定义的，在写时一定要注意符号问题。

若二次项系数为负数，一般把方程两边都乘以 -1，化为正数。

例题4某商品经过两次连续降价，每件销售由原来的55元降到了35元，设平均每次降价的百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）A.()255135x += B. ()235155x += C. ()255135x -= D. ()235155x -=例题 5方程22(817)210mm x mx -+++=（ ） 填“是”或不是“不是”一元二次方程。

例题 6下列方程中一元二次方程的个数是（ ）（1）243x x =； （2）()222310x x -+-=；（3） 21403x x +-=； （4） 20x =；（50=； （6）()2656x x x += 例题 7把方程()()()2153223x x x x --+=--+化成一般形式，并指出它的二次项系数、二次项、一次项和常数项分别是 。

易错点3：判断一元二次方程时，易忽略0a ≠的条件而出现错误一元二次方程中，二次项是必不可少的项，若方程20ax bx c ++=为一元二次方程，则一定要注意0a ≠。

一元二次方程的解法1. 知识.能力聚焦1. 用直接开平方法解一元二次方程用直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接接开平方法。

例1 解下列方程：（1）x 2＝2 （2）4x 2－1＝0（3）x 2+6x+9=0例2 解下列方程：⑴（x ＋1）2= 2 ⑵（x －1）2－4 = 0⑶12（3－x ）2－3 = 0 (4) (2x-3)2=(x+2)22. 用配方法解一元二次方程把一个一元二次方程配成()()20x a b b -=≥的形式来解一元二次方程的叫法叫做配平方。

例1、填空：（1）x 2+6x+ =(x+ )2； (2)x 2-2x+ =(x- )2；(3)x 2-5x+ =(x- )2； (4)x 2+x+ =(x+ )2；(5)x 2+px+ =(x+ )2；例２、解下列方程：（1） x 2－4x ＋3 = 0 （2）x 2＋3x －1 = 03. 用公式法解一元二次方程对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠。

当b 2－4ac ≥0 时，它的根是)2402b x b ac a-±=-≥，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

例1．解下列方程：（公式法）⑴ x 2＋3x ＋2 = 0⑵ 2 x 2－7x = 4 （3）0222=-+x x （4）0122=--x x（5）02122=--y y （6）13212=+t t 例2．已知13,32221-=+-=x y x x y ，当x 为什么值时，y 1与y 2相等？4. 用因式分解法解一元二次方程运用分解因式求一元二次方程的解的方法叫做因式分解法。

把一元二次方程通过因式分解转化为()()0x m x n ++=的形式．例１、解方程： （１）24x x =- （２）3(3)0x x x +-+= （３）22(21)0x x --= （４）2(21)8(21)160y y +-++=（５）()()22232x x -=+（试着用开平方法和因式分解法解方程） 5. 一元二次方程根的判别式一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的情况可由24b ac -来判定，因此24b ac -叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式。

例1不解方程，判断方程根的情况：⑴ x 2＋3x-2 = 0 ⑵ 2 x 2－7x +7=0 （3）02222=+-x x （4）01)12(2=-+++k x k x例2（1）已知代数式72)2(2-+--m x m x 是一个完全平方式。

求m 的值（2）已知一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m①m 为何值，方程有两个不相等的实数根② m 为何值，方程有两个相等的实数根③ m 为何值，方程没有实数根例3、．(2010年安徽省芜湖市)关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5 2方法，技巧平台6． 一元二次方程根与系数的关系关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，用求根公式求的1x =，12122,,2b b c x x x x x b a a-=+=-⋅=则。

例１.不解方程，求出方程两根的和与两根的积（直接口答）： ① x 2 + ３x －１= 0 ② x 2 + ６x +２= 0③ ３x 2 －４x+１= 0 (4)x 2+ ３x +3= 0例２.已知关于x 的方程x 2 + ｋx －６= 0的一个根是２，求另一个根及ｋ的值例3、设方程4x 2－7x －3=0的两根为x 1，x 2，不解方程，求下列各式的值：（1）x 12+x 22； （2）（x 1－3）（x 2－3）；例4． (2010年安徽省芜湖市)已知x 1、x 2为方程x 2＋3x ＋1＝0的两实根，则x 12＋8x 2＋20＝_________ 例5、已知关于x 的方程0)12(22=+++k x k x 的两个实数根的平方和是11，求k 的值例6、已知一元二次方程2x 2+3x-5=0，不解方程，求以该方程的两根的相反数为根的一元二次方程．7. 几种方法解一元二次方程的区别与联系2. 创新.思维拓展6. 易错点1：用直接开平方法解一元二次方程时，对非负数的平方根的概念理解不清【例】解方程()232x += 7. 易错点2：用公式法解一元二次方程时，忽视化为一般形式致错 【例】解方程253x x +=【错解】因为221,5,3,45413130a b c b ac ===-=-⨯⨯=>因为8. 易错点3：用配方法解一元二次方程时，只在方程的一边添加常数，而另一边不加致错9. 易错点4：忽视因式为0致错易错点导析：当方程两边有相同的含字母的因式时，在解一元二次方程时不能约去，因为此因式可能为0.10. 易错点5，用因式分解法解一元二次方程，右边必须为011. 易错点6.：对根的判别式的三种情况有漏易错点导析：对关于某一方程有无实数根进行判断时，有的同学往往直接想到240b ac ->的情况，而忽视了240b ac -=的情况而产生错误。

12. 易错点7：利用根与系数的关系解题时，忽视了判别式24b ac -应满足不小于0.易错点导析：在利用根与系数的关系解题时，必须是在一元二次方程有实数根的前提下进行的，学生在解答时往往心急而直接使用1212,b c x x x x a a+=-=若方程无实数根，就不能求相关的值。

【例】下面是一位学生编制的初中数学练习题：12x x 、是方程2220xx -+=的两个实数根，求2212x x +的值。

另一位学生给出了解答因为()22221212121212,22220x x x x x x x x x x +=+=+-=-⨯=所以 针对练习题和解答的正误作出分析。

一元二次方程及解法复习一、教学目标1、透彻理解一元二次方程意义2、熟练掌握一元二次方程的解法二、预习导学1、预习检测请用四种方法解下列方程，并比较哪些方法简便。

三、新课导学（一）探索运用例1、（1）关于y 的一元二次方程4)3(2-=-y y 的一般形式是 ，它的二次项系数是 ，一次项是 ，常数项是 。

（2）下列哪个是一元二次方程（ ）A 、12=+y xB 、052=+xC 、082=+x x D 、2683+=+x x （3）若x ＝2是方程082=-+ax x 的解，则a ＝ 。

（4）下面是某同学在一次数学检测中解答的填空题，其中答对的是（ ）A 、若x x 632=，则x ＝2；B 、若02=-+k x x 的一个根是1，则k ＝2C 、若0=+-c b a ，则方程02=++c bx ax 必有一个根是1；D 、若2232-+-x x x 的值为零，则x ＝2 （5）用配方法证明：关于x 的方程013)3712(22=+++-mx x m m ，无论m 取何值，此方程都是一元二次方程。

例2、按要求解下列方程（1）用直接开平方法、（2010年四川省眉山）一元二次方程2260x -=的解为___________________（2）因式分解法：)2()2(32-=-x x x （3）配方法：03522=-+x x（4）公式法：①12=-x x ②y y y 22)1)(1(=-+拓展（5）十字相乘法（1）m2+4m-12=0 （2）5x2+6x-8=0例3、（1）已知关于x 的方程02)2(2=-++-b a x a x 的判别式值为0，且x ＝21是方程的根，求a+b 的值。