1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积【知识梳理】空间几何体的表面积1．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表(侧)面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2πrl圆锥(底面半径r，母线长l)πr(l＋r)圆台(上、下底面半径r1，r2，母线长l)π(r1＋r2)l＋π(r21＋r22)球(半径为R)易误提醒(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理．[自测练习]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋3)B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．1442．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．8＋4 2 B．10πC．11π D．12π【考点探究】考点一空间几何体的表面积|[题组训练]1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋22D．152．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1 B．2 C．4 D．83．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为________．[规律方法]1.由三视图求相关几何体的表面积：,给出三视图时，依据“正视图反映几何体的长和高，侧视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”来确定表面积公式中涉及的基本量.2.根据几何体常规几何体、组合体或旋转体的特征求表面积：①求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.②对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意“表面和外界直接接触的面”的定义，以确保不重复、不遗漏. [演练冲关]一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为( )A ．8＋π3B ．8＋2π3C ．8＋8π3D ．8＋16π3考点二 与球有关的切、接问题|与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点．命题角度多变． 探究一 四面体的外接球问题1．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16πD ．8π探究二 四棱锥的外接球问题2．已知四棱锥P ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥底面ABCD ，△P AD 为正三角形，AB ＝2AD ＝4，则球O 的表面积为( ) A.323π B ．32π C ．64πD.643π 探究三 四面体的内切球问题3．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.[规律方法]求解与球有关的切、接问题的关键点解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【课堂检测】1.如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3 C ．43πD ．23π2．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB ＝2，则球O 的表面积为( ) A.323π B ．12πC ．16πD ．32π3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．4．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为________． 5．已知一个几何体的三视图如图所示．(1)求此几何体的表面积；(2)如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长．【参考答案】【知识梳理】2． 2πr (l ＋r ) πrlπ(r 1＋r 2)l4πR 2[自测练习]1．解析：正六棱柱的侧面积S 侧＝6×6×4＝144，底面面积S 底＝2×6×34×42＝483， S 表＝144＋483＝48(3＋3)． 答案：A2．A ．8＋4 2B ．10πC ．11πD ．12π解析：由三视图可知几何体是半径为1的球和底面半径为1，高为3的圆柱，故其表面积应为球的表面积与圆柱的表面积面积之和，即S ＝4π＋2π＋2π×3＝12π，故选D. 答案：D【考点探究】考点一 空间几何体的表面积| [题组训练]1．解析：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，所以其表面积为S 表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋1＋2＋2)×2＋2×12×(1＋2)×1＝11＋22，故选B.答案：B2．解析：由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16，所以r ＝2. 答案：B3．解析：设等边三角形的边长为2a ，则S 圆锥表＝12·2πa ·2a ＋πa 2＝3πa 2.又R 2＝a 2＋(3a －R )2(R为球O 的半径)，所以R ＝233a ，故S 球表＝4π·⎝⎛⎭⎫233a 2＝16π3a 2，故其表面积比为916. 答案：916[演练冲关]解析：依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个14的球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋14×43π×13＝8＋π3，选A.答案：A考点二 与球有关的切、接问题| 探究一 四面体的外接球问题1．解析：如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6， 连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R (R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形， 故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π. 答案：A探究二 四棱锥的外接球问题2．解析：依题意，AB ⊥平面P AD 且△P AD 是正三角形，过P 点作AB 的平行线，交球面于点E ，连接BE ，CE ，则可得到正三棱柱APD BEC .因为△P AD 是正三角形，且AD ＝2，所以△P AD 的外接圆半径是23，球O 的半径R ＝22＋⎝⎛⎭⎫232＝43，球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π3，故选D.答案：D探究三 四面体的内切球问题3．解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π.答案：63π【课堂检测】1. 解析：由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，R ＝233，其表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫2332＝16π3.答案：A2．解析：设球心为O ，球心在平面BCD 的投影为O 1，则OO 1＝AB2＝1，因为△BCD 为等边三角形，故DO 1＝23×323＝3，因为△OO 1D 为直角三角形，所以球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2，球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C. 答案：C3．解析：该简单组合体由半球加上圆锥构成，故所求表面积S ＝4π×422＋12×2π×4×5＝52π.答案：52π4．解析：如图所示，设BC ，B 1C 1的中点分别为F ，E ，则知三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的球心为线段EF 的中点O ，且BC ×EF ＝2.设外接球的半径为R ，则R 2＝BF 2＋OF 2＝⎝⎛⎭⎫BC 22＋⎝⎛⎭⎫EF 22＝BC 2＋EF 24≥14×2BC ×EF ＝1，当且仅当BC ＝EF ＝2时取等号．所以直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为4π×12＝4π. 答案：4π5．解：(1)由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和． S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2，S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2， 所以S 表面＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2. (2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋（πa ）2＝a 1＋π2， 所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a 1＋π2.。
棱柱棱台棱锥圆柱圆锥圆台的表面积和体积今天咱们聊聊几种几何图形的表面积和体积，别看它们名字一大堆，实际上说起来还挺有趣的！什么棱柱、棱台、棱锥、圆柱、圆锥、圆台，一听这些名儿就有点头大是不是？但别怕，咱慢慢捋，保证让你不仅明白，而且还觉得挺轻松的。
一、棱柱棱柱嘛，说白了就是两块一样的多边形，通过平行的连接边把它们“拉”到一起，像是一个长方体，但是它的两头可能不一定是矩形，而是其他形状的多边形。
要想算表面积，咱首先得弄清楚，棱柱的表面积就等于两块底面（上面和下面）加上四周的侧面。
底面呢，就像是两片“面包”，每片的面积要算清楚。
然后四周的侧面，就是一圈包着底面的墙壁，一圈一圈的，面积就是每个侧面小长方形的面积加起来。
说得简单点，就是找出每个侧面的长和宽，再加上底面，就搞定了！至于体积，那就更简单了。
棱柱的体积就是底面面积乘以高。
就好像你拿个鞋盒子，底面有多少面积，高度是多少，乘一乘，你就能知道鞋盒能装多少东西了。
是不是挺简单？二、棱台棱台，嘿听起来像个“顶端有点小”的棱柱，对吧？你可以把它想象成一个“上面小下面大”的冰淇淋桶。
它有两个不一样的底面，一个是上面小的，一个是下面大的。
算表面积和体积的思路其实和棱柱差不多，唯一不同的就是你得计算两个不同底面的面积。
像冰淇淋桶那样，底面面积的算法可得分开算，因为上面和下面的底面不一样！不过别紧张，搞清楚底面的面积，侧面的区域也不难算，照着棱柱的办法，慢慢来，搞定它。
体积的话，咱还是按公式来。
棱台的体积就是上下两底面积的平均值，再乘以高。
这就像把一个上小下大的杯子装满水，求的是你能装下多少水的量。
听起来像是数学公式的“变化球”，不过还是挺直白的。
三、棱锥棱锥，这名字是不是也听着有点陌生？其实它就像是一个金字塔的样子。
它的底面可以是多边形，而顶点就是一个“尖尖儿”的点。
表面积呢，首先要计算底面面积，这个好办，底面就是一个多边形，面积根据具体的形状来算。
然后，别忘了加上每个侧面的面积。
康平县高级中学 数学组：李志军
空间几何体的外接球 导学案
一、自主学习：
1、球的表面积公式：
2、球心位置的确定
3、三角形外接圆半径的求法
已知BC=a 当∠A 为直角时 r=________
当∠A 为45°时r=________
二、问题探究： 1、圆柱的外接球
例1、已知四棱锥P-ABCD 的顶点都在球O 上，底面ABCD 是矩形，平面PAD ┴平面ABCD,∠APD=45,AB=1，AD=2，则球O 的表面积为
2、圆锥外接球
例2、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，若不计容器的厚度，则球的表面积为
3、长方体外接球
例3、已知三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该三棱锥的外接球半径为
变式训练：已知三棱锥A-BCD,AB=CD=4，BC=AC=AD=BD=5，则该四面体外接球的表面积
三、归纳反思：
1、圆柱外接球模型：
2、圆锥外接球模型：
3、长方体外接球模型：
四、课后作业：
一个几何体的三视图如图所示，其中主视图是一个正三角形，则这个几何体外接球的表面积为。
