随机过程 北大何书元 课后习题集答案

（整理）随机过程课后习题习题⼀1．设随机变量X 服从⼏何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。

求X 的特征函数、EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和⽅差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

3．设X 是⼀随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数；（2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为⾃然数）。

4．设12,,...,n X X X 相互独⽴，具有相同的⼏何分布，试求的分布。

5．试证函数为⼀特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

6．试证函数为⼀特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。

7．设12,,...,n X X X 相互独⽴同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协⽅差矩阵，再求的概率密度函数。

8．设X 、Y 相互独⽴，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的⼆项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。

求X+Y 的分布。

9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。

10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协⽅差矩阵为B σ?kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。

11．设X 1，X 2 和X 3相互独⽴，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

12．设X 1，X 2 和X 3相互独⽴，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --?>?Γ??≤?=0,0b p >>1nkk X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f t n e -=-21()1f t t=+11ni i X X n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ?+--<（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。

习题一1 •设随机变量X 服从几何分布，即：P(X 二k)二pq k ,k =0,1,2,...。

求X 的特征 函数、EX 及DX 。

其中0 ：：： p ：：： 1,q =1 - p 是已知参数。

2. ( 1)求参数为(p,b )的丨分布的特征函数，其概率密度函数为pI 亘 x p f>0P (x )— (P)b 0,p 00, x 空 0(2) 求其期望和方差；(3) 证明对具有相同的参数b 的］分布，关于参数p 具有可加性。

3. 设X 是一随机变量，F (x )是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变 量的特征函数。

(1) 丫二aF(X) b,(a =0,b 是常数)；(2) Z=ln F(X)，并求 E(Z k ) (k 为自然数)。

4.设X 1,X 2,...,X n 相互独立，具有相同的几何分布，试求16.试证函数f 小讦为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布7.设X 「X 2,...,X n 相互独立同服从正态分布 N(a 卢2)，试求n 维随机向量1 nX 1,X 2,...,X n 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 X 二―a X i 的概n i T率密度函数。

一 8 .设X 、丫相互独立，且(1)分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；(2) 分别服从参数为(p 1,b),( p 2,b)的丨分布。

求X+Y 的分布。

9. 已知随机向量(X, 丫)的概率密度函数为\ 1；［1 xy(x 2 - y 2)］, -1 ：： x, y :: 14 o 其他10. 已知四维随机向量(X 1,X 2,X 3,X 4)服从正态分布，均值向量为0,协方差矩 阵为 B = Lkl )4 4，求 E(X 1,X 2,X 3,X 4)。

11. 设X 1, X 2和X 3相互独立，且都服从N(0,1)，试求随机变量丫! = X 「X 2和 Y 2 -X 1X 3组成的随机向量(Y 1, 丫2)的特征函数。

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

《随机信号分析》复习备考题第一章概率论简介第二章随机信号概论参考答案：（1）)(t X 的一个样本函数的草图（2）时间连续，状态离散，离散型随机过程。

（3）一维概率密度函数：nT t T n A x A x t x p X <<-++-=)1(),(21)(21),(δδ二维概率密度函数：[][]⎪⎩⎪⎨⎧>-<<<-++-++-<<-+++--=nTt T n t nT t T n A x A x A x A x nT t t T n A x A x A x A x t t x x p X 22122112121212121)1(,)1(,)()()()(41,,)1(),()(21)()(21),;,(或δδδδδδδδ参考答案：[][]625.3341683241181)()()(111=⨯+⨯+⨯+⨯==∑t x P t x t X E[][]625.2141283441581)()()(222=⨯+⨯+⨯+⨯==∑t x P t x t X E[]()875.7)13(41)62(83)42(41)51(81,)()(212121=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==∑x x P x x t X t X E )1()3(41)2()6(83)4()2(41)5()1(81),;,(212121212121--+--+--+--=x x x x x x x x t t x x p X δδδδδδδδ参考答案：Φ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=Φ其它,020,21)(πϕπϕp均值：[][]021)cos()cos()()(2000=Φ⋅Φ+=Φ+==⎰d t a t a E t X E t m X ππωω 方差：01(t)cos(t)cos(t)X a b ωω=+ 自相关函数：[][12120102011202110102011202(,)()()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()][cos()cos()][cos()X R t t E X t X t E a t a t a t b t a t b t E a t a t E a t b t E a t b ωωωωωωωωωωω==+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ=+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ++Φ⋅[[][][]1010*******01020102111201022201211cos(cos()cos()][cos()cos()cos()cos(2)cos()cos(2)22cos ()cos (22E a t a t E b t b t a b E t t t t E t t t t a b t t t t ωωωωωωωωωωωωωωω≈+Φ⋅+Φ++Φ⋅+Φ=-+++Φ+-+++Φ=-+-22201)cos ()cos ()22a b ωτωτ=++第三章平稳随机过程参考答案：0)sin(cos )cos(21)(21)(000lim lim lim=Φ=Φ+==∞→-∞→-∞→⎰⎰T T A dt t A T dt t x T t x T TT T T T T ωωω)cos(2)cos()cos(21)()(020002limτωτωωωτA dt t t A T t x t x T T T =Φ++Φ+=+⎰-∞→由于A 和Φ为统计独立的随机变量，于是有[][][][]021)cos()cos()(2000=ΦΦ+⋅=Φ+⋅=⎰ππωωd t A E t E A E t X E[][][][][][])cos(21)22cos()cos(21)cos()cos()()(),(020*******τωτωωτωτωωωττA E t E A E t t E A E t X t X E t t R X =Φ+++⋅=Φ++Φ+⋅=+=+由图3.5可看出，不同样本函数的A 不同，则相应的时间平均自相关函数)()(τ+t x t x 也不同，),()()(ττ+=+t t R t x t x X 不能以概率1成立，因此该随机过程不具有各态历经性。