最新第1章 随机过程的基本概念习题答案

《概率论与随机过程》第一章习题答案1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn S 100,,1,0 ，其中n 为小班人数。

（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

解：{}18,,4,3 =S 。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。

解： {}10,,4,3 =S 。

（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

解： {} ,11,10=S 。

（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。

解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。

（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。

解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。

（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。

（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。

第一章概论第1题某公共汽车站停放两辆公共汽车A 和B ，从t=1秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。

如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21登上B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j ξ代表t=j 时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则j ξ＝1，乘客登上B 车则jξ＝0，则,21}0{,21}1{====j j P P ξξ当t ＝n 时在A 车上的乘客数为n n j j n ηξη,1∑==是一个二项式分布的计算过程。

（1）求n η的概率，即;,...,2,1,0?}{n k k P n ===η（2）当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如t ＝21时921=η，且t ＝22时又有一个乘客乘A 车，则t ＝22时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。

解（1）：nn k n k P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==21}{η 解（2）：nn n n P P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−2191212191A)10n 9A 1-n (}n A {1名乘客登上车时刻第名乘客；在有时刻，车在开车在时刻车第2题设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。

脉冲的重复周期为T ，每一个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数A 。

也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程)(t ξ。

图题1－2画出了它的样本函数。

试求)(t ξ的一维概率密度)(x f t ξ。

解：00(1)()()(){()}{()0}[(1),],(0,){()}{[(1),]}{[(1)]}1(1)(1)1({()0}1{()}t A A n n n Tt n T f x P x A P x P t A P P t P t n T nT n T P t A P t n T nT P t n T d TT t n T T nT t T t n Tt n T T t n P t P t A ξδδξξηξηηηξξ−−=−+====∈−∈==∈−+=>−−=−+−=−==−−−=−−−==−==∫是任意的脉冲宽度01)(1)()()()()(1)()t A T tn T Tf x P x A P x t t n x A n x T T ξδδδδ=−−∴=−+⎛⎞⎛⎞=−−+−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠第3题设有一随机过程)(t ξ，它的样本函数为周期性的锯齿波。

概率论与随机过程习题答案标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]《概率论与随机过程》第一章习题答案1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。

解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn S 100,,1,0 ，其中n 为小班人数。

（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。

解：{}18,,4,3 =S 。

（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。

解： {}10,,4,3 =S 。

（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。

解： {} ,11,10=S 。

（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。

解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。

（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。

解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。

（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。

解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。

（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。

（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。

第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。

求X 的特征函数，EX 及DX 。

其中01,1p q p <<=-是已知参数。

解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。

解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。

随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。

2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。

习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。

3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。

4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。

习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。

2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。

解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。

解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。

解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。

2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。

试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。

设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。

以小时为单位。

则((1))30E N =。

40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。

3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。

乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。

随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。

（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。

解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。

2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。

（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。

解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。

解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。

（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。

解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。

（2）典型样本函数是一条正弦曲线。

（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。

（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。

经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。

（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，（2）因此：P112/9．解：（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，则有：因此有：（1）令矩阵P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。

第二章 随机过程分析1.1 学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。

1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。

可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。

2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。

ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1)如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为1111111(,)(, ) (2 - 2)∂=∂F x t f x t x对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率{}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。

如果2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ∂=∂⋅∂存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。

对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把{}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。

如果n n 12n 12n n 12n 12n 12n(x )() (2 - 6)∂=∂∂∂F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。

随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。

解 因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。

解 对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。

兰州交通大学《通信原理》精品课程第一章绪论本章主要内容：（1）通信系统的模型与基本概念（2）通信技术的现状与发展（3）信息的度量（4）通信系统的主要性能指标本章重点：1．通信系统的一般模型与数字通信系统模型2．离散信源的信息量、熵的计算3．数字通信系统的主要性能指标：码元传输速率与信息传输速率以及它们的关系、误码率与误信率本章练习题：1-1.已知英文字母e出现的概率为，x出现的概念为，试求e和x的信息量。

查看参考答案o1-2．某信源符号集由A,B,C,D和E组成，设每一符号独立出现，其出现概率分别为14，18，1 8，316和516。

试求该信息源符号的平均信息量。

查看参考答案o1-3.设有4个符号，其中前3个符号的出现概率分别为14，18，18，且各符号的出现是相对独立的。

试计算该符号集的平均信息量。

查看参考答案o1-4．一个由字母A、B、C、D组成的字，对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00代替A，01代替B，10代替C，11代替D，每个脉冲宽度为5ms.(1)不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率;(2)若每个字母出现的可能性分别为 103,41,41,51====D C B A P P P P试计算传输的平均信息速率。

查看参考答案o1-5．国际摩尔斯电码用“点”和“划”的序列发送英文字母，“划”用持续3单位的电流脉冲表示，“点”用持续1个单位的电流脉冲表示；且“划”出现的概率是“点”出现概率的13。

(1)计算“点”和“划”的信息量；(2)计算“点”和“划”的平均信息量。

查看参考答案o1-6．设一信息源的输出由128个不同的符号组成，其中16个出现的概率为132，其余112个出现概率为1224。

信息源每秒发出1000个符号，且每个符号彼此独立。

试计算该信息源的平均信息速率。

查看参考答案o1-7．设一数字传输系统传送二进制码元的速率为2400B ，试求该系统的信息速率；若该系统改为传送16进制信号码元，码元速率不变，则这时的系统信息速率为多少(设各码元独立等概率出现)查看参考答案o1-8．若题1―2中信息源以1000B 速率传送信息。

随机过程课后试题答案1. 题目：简述离散时间马尔可夫链和连续时间马尔可夫链的基本概念和性质。

答案：离散时间马尔可夫链（Discrete-time Markov Chain）是指在时间上的变化是离散的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。

其基本概念和性质如下：1.1 基本概念：- 状态空间：马尔可夫链的状态空间是指系统可能处于的状态集合，记作S。

离散时间马尔可夫链的状态空间可以是有限集合或可列无限集合。

- 转移概率：转移概率是指在给定前一个状态的条件下，系统转移到下一个状态的概率。

用P(i, j)表示系统从状态i转移到状态j的概率，其中i和j属于状态空间S。

- 转移概率矩阵：转移概率矩阵P是指表示从任一状态i到任一状态j的转移概率的矩阵。

对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵是一个方形矩阵，维数与状态空间大小相同。

- 平稳概率分布：对于离散时间马尔可夫链，如果存在一个概率分布π，满足π = πP，其中π是一个行向量，P是转移概率矩阵，则称π为马尔可夫链的平稳概率分布。

1.2 性质：- 马尔可夫性：离散时间马尔可夫链具有马尔可夫性，即将来状态的发展只与当前状态有关，与过去的状态无关。

- 遍历性：若马尔可夫链中任意两个状态之间都存在路径使得概率大于零，则称该马尔可夫链是遍历的。

遍历性保证了马尔可夫链具有长期稳定的性质。

- 正常概率性：对于离散时间马尔可夫链，转移概率矩阵P的元素都是非负的，并且每一行的元素之和等于1。

- 可约性和不可约性：如果一个马尔可夫链中的所有状态彼此之间都是可达的，则称该马尔可夫链是不可约的。

反之，则称它是可约的。

不可约性保证了任意状态之间都可以相互转移。

- 周期性：对于不可约的离散时间马尔可夫链，如果存在某个状态，从该状态出发回到该状态所需的步数的最大公约数大于1，则称该状态是周期的。

若所有状态都是非周期的则称该马尔可夫链是非周期的。

2. 题目：连续时间马尔可夫链的定义和性质有哪些？答案：连续时间马尔可夫链（Continuous-time Markov Chain）是指在时间上的变化是连续的、状态空间是有限或可列无限的马尔可夫链。

第一章一. 填空题1.p（A）=0.5，p（B）=0.7，A与B相互独立，则p（AUB）= ＿2.若已知两点（x1,y 1）,（x2,y2）有x1 < x2, y 1<y2,则概率密度p{ x1<x< x2, y 1< y < y2}=＿＿.3.若p（A）=0.2，p（B）=0.5，p（C）=0.1，且p（A），p（B），p（C）两两相互独立，则p A（C｜B）=＿＿.4.设X,Y是相互独立的随机变量，已知EX=1 ，EY=2，DX=1 ，DY=2 则E(XY)=＿＿＿，E(2X+3Y) =＿＿＿, D(2X+3Y) =＿＿.5.若X1,X2,…,X n是相互独立的随机变量,且g i(t)是X i的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X1+X2+…X n的特征函数g(t)=＿＿.二.证明题1.设P(S)是的母函数，试证:(1)若E(X)存在，则EX=P′(1)(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P′(1)-[ P′(1)]22.试证明连续型随机变量的全概率公式:p(A)=dF Y(y)=f Y(y)dy三.计算题1. 通过抛掷一枚均匀硬币定义一个随机过程{X（t），－∞< t<∞}，其中X（t）=试求随机过程X（t）的一维分布函数F（x；－）.2.设X服从B(n,p),求X的特征函数g(t).3. 设商店在一天的顾客数N服从[900,1100]上的均匀分布，又设每位顾客所花的钱Xi服从N(100,502);求商店的日销售额Z的平均值.4. 已知随机变量X服从[0,a]上的均匀分布,且随机变量Y服从[X,a]上的均匀分布,试求:(1)E(Y｜X=a),0x a (2)E(Y)参考答案一.填空题 1. 0.852. F(x 2，y 2)－F(x 1，y 2)－F(x 2，y 1)＋F(x 1，y 1)3. 0.14. 2, 8, 225. g 1(t) g 2(t)…g n (t) 二.证明题1. 证明:(1)因为p （s ）=s p kk k ∑∞=0，则p ′（s ）=s kp k k k 11-∞=∑，令s↑1，得EX==∑∞=1k k kp p ′(1)。

随机过程课后试题答案一、选择题1. 随机过程的基本定义中，样本空间通常表示为：A. 一个集合B. 一个函数集合C. 一个概率空间D. 一个参数集合答案：A2. 若随机过程的样本轨迹几乎是连续的，则该过程是：A. 离散时间随机过程B. 连续时间随机过程C. 泊松过程D. 马尔可夫过程答案：B3. 马尔可夫性质的含义是未来的状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。

这一性质不适用于：A. 泊松过程B. 布朗运动C. 马尔可夫链D. 所有随机过程答案：D4. 在随机过程中，如果两个随机变量的联合分布可以表示为它们各自的边缘分布的乘积，则这两个随机变量是：A. 独立的B. 相关的C. 正相关的D. 负相关的答案：A5. 随机游走的期望步长是：A. 1B. 2C. 依赖于起始点D. 依赖于步长分布答案：D二、填空题1. 一个随机过程的样本函数是定义在参数集合上的_________函数。

答案：实值或随机2. 在随机过程中，如果给定当前状态，下一状态的条件概率分布仅依赖于当前状态而不依赖于之前的状态，那么该过程是一个_________过程。

答案：马尔可夫3. 随机过程的均值函数（或称数学期望函数）是描述过程长期行为的重要工具，它是一个关于_________的函数。

答案：时间4. 布朗运动是一种连续时间随机过程，其样本轨迹具有_________性质。

答案：无处处可微5. 泊松过程是一种描述事件在时间上随机发生的随机过程，其特点是事件在任意两个不重叠时间区间内发生是_________的。

答案：相互独立三、计算题1. 假设有一个离散时间马尔可夫链，其状态转移矩阵为：\[P = \begin{bmatrix}0.7 & 0.3 \\0.4 & 0.6\end{bmatrix}\]求该马尔可夫链在第二时刻的状态概率分布，给定初始状态概率分布为：\\[\pi_0 = \begin{bmatrix}0.5 \\0.5\end{bmatrix}\]解：首先计算\( P^2 \)，即状态转移矩阵的二次幂，然后利用\( \pi_0 \)和\( P^2 \)来计算第二时刻的状态概率分布。

协方差矩阵及n 维正态分布1、设n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的二阶混合中心距：[][];,,2,1,},)()({),(,n j i j X E j X X E X E X X Cov c i i j i j i ⋯=--==都存在，则称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∑nn c c c c c c c c c n2n12n 22211n 1211为n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的协方差矩阵，它是一对称矩阵。

2、n 维正态分布定义：若n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的概率密度可以表示成以下的形式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑--∑==⋯-)()(21ex p )(det )2(1)(),,,(f 12/12/21U X U X X f x x x T n n π其中，Tn T T n X E X E X E U x x x X ))(,),(),((),,,(,),,,(21n 2121⋯=⋯=⋯=μμμ∑是）（n X X ,,,X 21⋯的协方差矩阵，则称n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯为n 维正态随机变量，记为),(~),,,X (21∑⋯=μN X X X n ，),,,(f 21n x x x ⋯为n 维正态概率密度函数。

N 维正态随机变量的性质（1） n 维正态随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的每一个分量都是正态变量；反之，若nX X ,,,X 21⋯都是正态随机变量，且相互独立，则）（n X X ,,,X 21⋯是n 维正态随机变量。

（2） n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯服从n 维正态分布的充要条件是n X X ,,,X 21⋯的任意的线性组合n n X l X l X l +⋯++2211服从一维正态分布；（3） 若）（n X X ,,,X 21⋯服从n 维正态分布，设n Y Y ,,,Y 21⋯是),,3,2,1(X n j j ⋯=的线性函数，则n Y Y ,,,Y 21⋯也服从正态分布。

随机过程复习题一、填空题：1．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ，)()]()([12123t t t X t X E -=-，则15486}6)5(,4)3(,2)1({-====e X X X P ,618}4)3(|6)5({-===e X X P2. 已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(412141，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43410313131043411)(P 则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P 3．强度λ的泊松过程的协方差函数},min{),(t s t s C X λ= 4．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， 则)]()([)(πωδπωδπω-++=X S5.对于平稳过程X (t)若)()]()([)()(τττX R t X t X E t X t X =+>=+<以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。

6.已知平稳过程)(t X 的谱密度为23242++=ωωωω)(S ，则)(t X 的均方值=2222- 7. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，Θ为),(π20上服从均匀分布的随机变量，则0)(>=<t X ，ωττcos 2)()(2a t X t X >=+<8．设马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的状态空间}1,0{=I ，则一步转移概率矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9.01.01.09.0P ，初始分布为)31,32()0(=p ，则2X 的分布律为 (2)P = (0.547,0.453)，234(1,1,0)________P X X X ====0.099.设...)2,1,0(=n Xn是只有两个状态的齐次马氏链，其n步转移概率矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n nD C n P 21311)(，则n n C D ==nn 21,31二、计算与证明：1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为31，晴天转雨天的概率为21，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，nX 表示第n 天的状态（0或1）。