随机过程Ch7 平稳过程的谱分析共59页文档

coefficient）。
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偏相关系数
X •
设 两
个
、
1
随机
变和X量2的是影三响个X。相3在互这之种间情都况有下关，系两的个随随机机变变量量，的每相个关随系机数变反量映都的包其含实有不另是
这两个变量之间的真正关系，因为这两个随机变量的水平都受第三个随机变量水
平的影响。设法将第三个变量的影响从前个变量中去掉后，再计算两“净值”序
.|. |
9
-0.159
-0.025
55.674
0.000
30
•
.**| . |
.|. |
10
- 0第. 23403页/共-40 3. 0页3 7
58.274
0.000
View/correlogram/选Level，OK
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从上图样本自相关函数的值分析
• Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， • 还有许多值落在临界值范围之外，所以，可以初步判断时间序列Y有非平稳性。 • 下面分析DY的平稳性。
• 1983 615.0000
• 1984 726.0000
• 1985 992.0000
• 1986 1170.000
• 1987 1282.000
• 1988 1648.000
• 1989 1812.000
• 1990 1936.000
29
• 1991 2167.000
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View/correlogram/level/ok
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43
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800 600 400 200

u 2T
2T

2015-2-10
u 2T
u 2T
17
《随机信号分析》教学组
则
2T 1 1 2T S X ( ) lim { 0 d 2T RX ( )e j du T 2T 2
0 2T 1 2T d 2T RX ( )e j du} 2
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率。 对于平稳随机过程，有：
1 E[ X ( t )] 2
2
2015-2-10
S X ( )d
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《随机信号分析》教学组
三、功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： x(t ) X ( j) 随机信号：平稳随机过程的自相关函数
率。 2 解： E[ X (t )] E[a 2 cos2 (0t )]
a2 E{ [1 cos(20t 2)]} 2 2 2 a a 22 cos(20t 2 )d 0 2 2
a2 a2 sin(20 t 2 ) 02 2 2 a2 a2 sin 20t 2
S X ( ) 2 RX ( ) cosd
0
RX ( )
2015-2-10

1

0
S X ( ) cos d
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《随机信号分析》教学组
3．单边功率谱
由于实平稳过程x(t)的自相关函数 RX ( ) 是实偶函数，功率谱密度也一定是实偶函 数。有时我们经常利用只有正频率部分的 单边功率谱。
2T 1 1 2T lim{ d RX ( )e j du} 2T 2 T 2T 2T 1 2T j lim ( 2 T ) R ( ) e d X T 2T 2T 2T lim (1 ) RX ( )e j d T 2T 2T 2T j RX ( )e j d RX ( )e d lim

T 2
除以2T 取集合平均
1 E 2T
1 E T x (t )dt 4T
T 2



X X (T , ) d
2
2018/10/22
6
令T ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在
2
非负
E[ X X (T , ) ] 1 T 1 2 lim E[ X ( t )]dt lim d T T 2T T 2 2T
0 0
2018/10/2220例：设随机过程 Y (t ) aX (t ) sin 0t ，其中 a,0 皆 X (t )为具有功率谱密度S X ( ) 的平稳随 为常数， 机过程。求过程 Y (t ) 的功率谱密度。 解： RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )]
E[aX(t ) sin 0t aX(t ) sin 0 (t )]
a2 RX ( )[cos 0 cos(20t 0 )] 2
SY ( ) A RY (t , t ) e j d



a2 RX ( ) cos0e j d 2 a2 [ S X ( 0 ) S X ( 0 )] 4
X X (T , ) xT (t )e jt dt

x(t )e jt dt
T
T
应用帕塞瓦等式
1 2 T x (t )dt 2 X X (T , ) d 1 T 2 1 2 x (t )dt X X (T , ) d T 2T 4T
0 0

，
A
e
( j ) 0

简称谱密度。
2 即有： Ψ X =
求期望,再求极限，得随机过程的平均功率：
T →+∞
⎧ 1 lim E ⎨ ⎩ 2T
∫
T
−T
1 2 ⎫ 1 +∞ X 2 (t )dt ⎬ = ∫ lim E FX (ω , T ) dω ⎭ 2π −∞ T →+∞ 2T
1 +∞ S (ω )dω 2π ∫− ∞ X
性质2 S X (ω )是 ω的实的、非负的函数，对于实平稳过程，
S X (ω )还是偶函数.
注2： 由于
若X ( t ) 是实平稳过程，则S (ω ) 为偶函数.
S X (ω ) = ∫
+∞ −∞
RX (τ ) e − iωτ dτ
+∞ −∞
证明： 由定义 S (ω ) = Tlim 2T E FX (ω , T ) →+∞
+∞
−∞
X T2 (t )dt =
T −T
∫
T
−T
X 2 (t )dt =
1 +∞ 2 FX (ω , T ) dω. 2π ∫−∞
1 2T
∫
X 2 (t )dt =
1 +∞ 1 2 FX (ω , T ) dω. 2π ∫−∞ 2T
⎧ 1 T 2 ⎫ ⎬ ∫ X (t )dt ⎭ 称为X(t)的平均功率， ⎩ 2T −T 1 2 S X (ω ) = lim E FX (ω , T ) 称为X(t)的功率谱密度， T →+∞ 2T
lim 1 2 Fx (ω , T ) 为 x(t) 的功率谱密度 2T
称
T →+∞
称上面的等式 为 x(t) 的平均功率的谱表达式。 下面，讨论随机过程X(t)的平均功率及谱表达式