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第五讲 联合平稳随机过程和复随机过程

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随机过程知识点

随机过程知识点


§ 1.4 特征函数、母函数和拉氏变换
定义 1. 10 设随机变量的分布函数为 F（x），称
g(t) @E(e jtX ) e jtxdF x, t
1
随机过程复习
为 X 的特征函数
随机变量的特征函数具有下列性质：
(1) g(0) 1, g(t) 1, g(t) g(t) 1
定理 2.3 设 W (t), t 是参数为 2 的维纳过程，则
（1（ 任意 t (, ) ,W (t) ~ N 0, 2 | t | ；
（2（ 对任意 a s,t ,
E(W (s) W (a))(W (t) W (a)) 2 min(s a,t a) , 特别： Rws,t 2 mins,t。
(1)任意A F,0 PA 1；
（2）P 1；
（3）对两两互不相容事件A1, A2 ,L 当i j时，Ai Aj ,有
U P
i 1
Ai

i 1
P
Ai
则称 P 是 , F 上的概率，（ ，F，P ）称为概率空间，P(A)为事件 A 的概率。
程，也称狭义平稳过程。
其中：
n
gt1,L ,tn (1,2,L ,n ) E(exp{i k x(tk )}) k 1
定义 2.3 设 X t ={X(t),t∈T }的均值函数 mX (t)def E[ X (t)] ， t T 。
二阶矩过程，协方差函数： DX (t) BX (t,t)def E[ X (t) mX (t)]2,t T
五、平稳过程
定义
2.12
设X t ,t T是随机过程，如果对任意常数 和正整数 n, 当
随机过程课程第五章 平稳过程

随机过程课程第五章 平稳过程


（1）均值函数为常数： m(t) E[X (t)] m
（2）相关函数仅是时间差 t1 t2 的函数：
记
B( ) R(t1,t2 )
证 只对连续型的情况
m(t) E[ X (t)] xf (t；x)dx
xf (x)dx m
首页
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )]
而与时间起点无关。
证
首页
一对维任意的 ，必有 f (t；x) f (t ；x) 若令 t ，得
f (t；x) f (0；x) f (x) 即一维概率密度 f (t；x) 与 t 无关。
同理有一维分布函数也与t无关，
即 F(t；x) F(0；x)
证 二维 对于二维概率密度，有
f (t1,t2；x1, x2 ) f (t1 ,t2 ；x1, x2 )
首页
返回
第三节 平稳正态过程与正交增量过程
一、平稳正态过程
定义1 若正态随机过程{ X (t) ,t (,) }，满足
E[X (t)] m
R(t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] B( )
则称 X (t)为平稳正态过程。
t1 t2
注 平稳正态过程一定是严平稳过程。
证
由于
第五章 平稳过程
第一节 基本概念 第二节 平稳过程相关函数的性质 第三节 平稳正态过程与正交增量过程 第四节 遍历性定理
第一节 基本概念
一、严平稳过程
定义1 设随机过程{ X (t) ,t T }， 若对任意n，任意 t1，t2 , , tn T t1 t2 tn 当t1 ，t2 ，…，tn T 时，有 F (t1, t2 , , tn；x1, x2 , , xn ) P{X (t1） x1, X (t2 ) x2 , , X (tn ) xn )}
平稳随机过程

平稳随机过程



x1 , , t n

即 ： t 1 , t n 和 t 1 , , t n 为强平稳过程。
具 有 相 同 的 分 布 ， 称 t
强平稳过程的一切有穷维分布函数不随时间的变化而变化，这样的 要求过于苛刻，同时要判断一个过程是否为强平稳过程也是相当困 难的.
E t t R

与 t 无 关 ， 则 称 t , t T 为 弱 平 稳 过 程 （ 简 称 平 稳 过 程 ） 。 当 T 为 离 散 集 时 ， t , t T 为 平 稳 时 间 序 列 。 一般说来，强平稳过程未必是弱平稳过程，显然弱平稳 过程更不是强平稳过程。 强平稳过程 二阶矩过程 弱平稳过程
2 平稳过程的相关函数
自相关函数的意义： 平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过 自相关函数来描述 自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联 系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自相关函 数的性质
设 X t 和 Y t 是 平 稳 相 关 过 程 ， R X , R Y 和 R X Y 分别是它们的自相关函数和互相关函数。 相关函数具有如下的性质：
定 义 6 .1 .2 t , t T 为 二 阶 矩 过 程 ， 且 满 足 ： （ 1） 对 一 切 t T ，
t
E t 常 数 C
（ 2） 对 任 意 的 t , t T ， R
t ,t
0 , X t2
t1 同 分 布 ， 因 此 自 相 关
函 数 仅 是 时 间 差 t1 t 2 的 函 数 。 从 而 协 方 差 函 数 C X 方差函数
通信原理—随机过程5讲(新)

通信原理—随机过程5讲(新)

x
erfc(0) 1, erfc() 0, erfc(x) 2 erfc(x)
9
2019/10/19 电 子 技 术 系
误差函数和互补误差函数
01:25
随机信号分析 误差函数、互补误差函数和概率积分函数之
基本概念
统计特性和 数字特征
间的关系如下:
erf (x) 2( 2x) 1
5
2019/10/19 电 子 技 术 系
一维高斯随机过程
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
f (x)
1
2
exp
(x a)2
2 2

f(x)具有如下特性
(1) f(x)对称于x=a这条直线。
14
2019/10/19 电 子 技 术 系
随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
若输入信号有界且线性系统是物理可实现的，则
t
v0 (t) vi ( )h(t )d
随机过程通过线性系统
01:25
随机信号分析
基本概念 统计特性和 数字特征 平稳随机过程
高斯随机过程 随机过程通过 线性系统 窄带随机过程
正弦波加窄带 高斯噪声
小结
假定输入ξi(t)是平稳随机过程， 则可以分析系统的输 出过程ξo(t)的统计特性。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望

0 (t) 0 h( )i (t )d
随机过程及其平稳性PPT课件

随机过程及其平稳性PPT课件

coefficient）。
24
第24页/共43页
偏相关系数
X •
设 两
个
、
1
随机
变和X量2的是影三响个X。相3在互这之种间情都况有下关，系两的个随随机机变变量量，的每相个关随系机数变反量映都的包其含实有不另是
这两个变量之间的真正关系，因为这两个随机变量的水平都受第三个随机变量水
平的影响。设法将第三个变量的影响从前个变量中去掉后，再计算两“净值”序
.|. |
9
-0.159
-0.025
55.674
0.000
30
•
.**| . |
.|. |
10
- 0第. 23403页/共-40 3. 0页3 7
58.274
0.000
View/correlogram/选Level，OK
31
第31页/共43页
从上图样本自相关函数的值分析
• Autocorrelation的图形没有截尾或拖尾特征， • 还有许多值落在临界值范围之外，所以，可以初步判断时间序列Y有非平稳性。 • 下面分析DY的平稳性。
• 1983 615.0000
• 1984 726.0000
• 1985 992.0000
• 1986 1170.000
• 1987 1282.000
• 1988 1648.000
• 1989 1812.000
• 1990 1936.000
29
• 1991 2167.000
第29页/共43页
View/correlogram/level/ok
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43
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800 600 400 200
平稳随机过程

平稳随机过程


相关时间：
0 rX ( )d
0

rX ( )
1
rX ( 0 ) 0.05
0
0

相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50数
0 100
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
2 mX RX 2 () 100 2
2 2 X RX (0) mX 200
E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数：
rX ( )
K X ( )

2 X

2 RX ( ) mX 2 X
for Nk k=2 称为二阶严平稳,如果对N=k成立,那么对N<k也成立. (2) 渐近严平稳 当c时,X(t+c)的任意n维分布与c无关,即
lim f X ( x1 , x2 , , xN , t1 c, t2 c, , t N c)
c
存在,且与c无关.
(3) 循环平稳 如果X(t)的分布函数满足如下关系
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。
f X ( x1 ,, xn , t1 t ,, t n t ) f X ( x1 ,, xn , t1 ,, t n )
平稳随机过程

平稳随机过程


A2 2
coswc
比较统计平均与时间平均，得a= a , R(τ)=
因此，随机相位余弦波是各态历经的。
R( )，
1.3
设ξ(t)为实平稳随机过程， 则它的自相关函数
R(τ)=E［(ξ(t)ξ(t+τ)］
(2.2 - 8)
性质：
（1）R(0)=E［ξ2(t)］=S［ξ(t)的平均功率］(2.2 - 9）
2、平稳随机过程ξ(t)的方差σ2(t)=σ2=常数 表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。
3、平稳随机过程ξ(t)的自相关函数 R(t1, t1＋τ)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］＝
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
1.2各态历经性
平稳随机过程的 “统计平均”
（1） 求ξ(t)的自相关函数与功率谱密度；
解：
根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅
里叶变换，即R(τ)
Pξ(ω)，则因为
cosωcτ π［δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］
所以，功率谱密度为
Pξ(ω)=
A［2 δ(ω-ωc)+δ(ω+ωc)］
2
平均功率为
S=R(0)
1
2
P ()d
E[Acos(wct1 )Acos(wct2 )]
A2 2
E[coswc (t2
t1) cos[wc (t2
t1) 2 ]
A2 2
coswc (t2
t1)
A2 2
2 0
cos[wc (t2
t1)
2 ] 1 2
d
A2 2
coswc (t2
t1 )
随机过程第六章平稳随机过程

随机过程第六章平稳随机过程

{X(t)，t T }为严平稳过程，也称狭义平稳过 程。
2
6.1 平稳随机过程的概念
定义6. 2 设{X(t)，t T }是随机过程，并满足： (1) {X(t)，t T }是二阶矩过程； (2) 对任意t T ，mX(t)=EX(t)=常数； (3) 对任意s, t T ，
RX(s, t)=E[X(s)X(t)]=RX(t-s)， 则称{X(t)，t T }为宽平稳过程，也称广义平稳过程，简 称平稳过程。 若T为离散集，称平稳过程{Xn，nT }为平稳序列。
E ln.i.m
Xn
l.i.m
n
Ym
特别有 lim E n
Xn
2
E[
X
2]
E
l.i.m
n
Xn
2
28
6.3 随机分析简介
定理6.4 设{Xn} 为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的 充要条件是下列极限存在
lim
n,m
E
X
n
X
m
29
6.3 随机分析简介
定义6.6 设有二阶矩过程{X(t),tT}，若对每一个tT ，有
2
AB sin(t )sin(t )
1
d
0
2
AB 2 1 [cos( )
2 0 2
cos(2t 2 )]d
1 2
AB
cos(
)
RXY
(
)
22
6.2 联合平稳随机过程
RYX (t,t ) E[Y (t)X (t )] E[B sin(t )Asin(t )]
2
AB sin(t )sin(t )
其中ti1 ti ti (i 1, 2, , n)
随机过程第五章 平稳随机过程

随机过程第五章 平稳随机过程



1,
0,
T st;
其他.
E{Y (s)Y (t)} E{E[Y (s)Y (t) ]}
st
1 P{ T s t } 1 ,
T 对于 t 的其它情形可做类似推理.
电子科技大学
随机二元传输过程是一个平稳过程,记τ=s－t,
其自相关函数为
0,


),
a;
0,
a
RX(t, t+τ)与 t 无关, 故X(t) 是宽平稳过程.
P128例12 泊松过程不是平稳过程，
是平稳增量过程.
电子科技大学
三、两种平稳性的关系
1）严平稳过程不一定是宽平稳的; 因宽平稳过程一定是二阶矩过程,而严平稳 过程未必是二阶矩过程. 2）宽平稳不一定 严平稳;
CX (s,t) RX (s,t) mX 2 RX () mX 2
电子科技大学
注 自协方差函数与自相关函数都仅依赖于t－s.
平稳过程在实际中是常见过程,如
照明电网中电压的波动过程; 电子系统中的随机噪声; 稳定气象条件下海域中一定点处的海浪高度 随时间的变化或随地点的变化(平稳随机场)； 卫星图片中相同条件下的灰度水平.
t 0,
随机变量与 随机过程》
其中X0 与N(t)相互独立，且
美 A.帕普
力斯，p303
C C
X0 ～ 1 1 C > 0,
2 2
电子科技大学
讨论｛X(t), t≥0｝的平稳性.
C
－C
解 因 X (t) X0(1)N(t) , t 0, mX (t) E[X(t)] E(X0 )E[(1)N(t)] 0, t 0
第五讲 联合平稳随机过程和复随机过程

第五讲 联合平稳随机过程和复随机过程


《随机信号分析》教学组
3
设有两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ),它们的概率密度 , , tm ) 分别为 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 , tn ), fY ( y1 , y2 , , ym ; t1 , t2
两个过程的是相互独立的，联合概率密度函数 满足:
《随机信号分析》教学组
一 两个随机过程的联合概率分布
设有两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ),它们的概率密度 , , t m ) 分别为 f X ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 , tn ) , fY ( y1 , y2 ,, ym ; t1, t2 定义这两个过程的(n+m)维联合分布函数：
,, tm ) FXY ( x1 ,, xn ; y1 ,, ym ; t1 ,, tn ; t1
) y1 ,..., Y (tm ) ym ] P[ X (t 1) x1 ,..., X (tn ) xn ; Y (t1
《随机信号分析》教学组
2
定义两个过程的(n+m)维联合概率密度为：
已知两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 的m+n维联合 分布条件下，可以通过求出各自的边缘分布，然 后使用前面介绍的单个随机过程中的方法求的各 自的数字特征。
为了描述两个随机过程之间的相互联系，需 要引入新的数字特征。最常用且最重要的数字特 征是两个过程的互相关函数。
《随机信号分析》教学组





( x mX (t1 ))( y mY (t2 )) f XY ( x, y; t1, t2 )dxdy
X (t1 ) 和 Y (t 2 )
三.平稳随机过程

三.平稳随机过程

求X(t)的均值、均方值和方差。
解：RX(τ)=（100cos10 τ ）+（100e-10| τ |+100） = RX1(τ)+ RX2(τ)
式中，RX1(τ)=100cos10 τ是X(t)中周期分量的自相关 函数，此分量的均值mx1=0; RX2(τ)=100e-10| τ |+100是 X(t)的非周期分量的自相关， 由性质4，可得
(1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则 E[ X k (t)]与时 间t无关。
(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻t0， X(t0)具有相 同的统计特性。
5.1.2 宽平稳随机过程
若随机过程 X(t)满足
mX (t) mX
RX (t1, t2 ) E( X t1 , X t2 ) RX ( )
解： mX (t) EX t E t2 Asin t B cost
t2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
Y t X t mX (t) Asin t B cost
mY (t) EY t EAsin t B cost 0 RY (t1,t2 ) EY t1Y t2 EAsin t1 B cost1Asin t2 B cost2
mX 2 RX 2() 10 所以有
mX mX1 mX2 10
E[ X 2 (t)] RX (0) 300
2 X
RX (0) mX2
300 100 200
严平稳随机过程
严平稳随机过程的统计特性与时间起点无关 。
一维概率密度 与时间无关
二维概率密度仅 与时间间隔有关
均值、均方值、 方差及 E[ X k (t)] 与时间无关
例5：已知随机过程 X (t) a cosw0t ,其中a和w0是常数，

第五讲-平稳随机过程


(6) 相关函数具有非负定性 即对任意的 个复数 相关函数具有非负定性,即对任意的 即对任意的n个复数
α1 , α 2 ,..., α n
有
αi α*j RX (ti − t j ) ≥ 0 ∑∑
i =1 j =1
n
n
利用如下关系可证明
2 n E ∑ αi X (ti ) ≥ 0 i =1
2.3 平稳随机过程
X(t)=At， 例2.7、 设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的 2.7、 设随机过程X(t)=At 随机变量。 随机变量。 试问X(t)是否平稳？ 试问X(t)是否平稳？ X(t)是否平稳 解、
E{X (t )} = E{tA} = tE{A} = 0
RX (t1, t2 ) = E{X (t1 ) X (t2 )} = t1t2 E{A2} = t1t2
解、
1 x(t ) = lim T →∞ 2T
∫
T
−T
a cos(ωt + ϕ )dt = 0 = m X
1 x(t ) x(t + T ) = lim T → ∞ 2T
∫
T
−T
a 2 cos(ωt + ϕ ) cos(ωt + ωτ + ϕ )dt
= a 2 cos(ω0τ ) / 2 = RX (τ )
ˆ mX = 1 2T
∫
T
−T
x ( t ) dt
ˆ (τ ) = 1 RX 2T
∫
T
−T
x ( t + τ ) x ( t ) dt
随机序列： 随机序列：
ˆ mX
ˆ σ
2 X
1 = N

三.平稳随机过程ppt课件

10
例1. 设随机过程Z(t)=Xsint+Ycost，其中X和Y是相互独立的 二元随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取-1和2，试求： (1) Z(t)的均值和自相关函数； (2) 证明Z(t)是宽平稳的，但不是严平稳的。
解： mZ (t) EZt EX sin t Y cost
RZ (t1,t2 ) EZt1Zt2 EX sin t1 Y cost1X sin t2 Y cost2
E X 2 sin t1 sin t2 E Y 2 cost1 cost2 EXY sin t1 cost2 EYX cost1 sin t2
EX EY 0 EX 2 EY 2 2 EXY EYX 0
RZ (t1,t2 ) 2sin t1 sin t2 2 cost1 cost2 2 cost2 t1 2 cos
❖ 应用与研究最多的平稳信号是广义平稳信号；
❖ 严格平稳性因要求太“苛刻”，更多地用于理论 研究中；
❖ 经验判据：如果产生与影响随机信号的主要物理 条件不随时间而改变，那么通常可以认为此信号 是平稳的。
❖ 非平稳信号：当统计特性变化比较缓慢时，在一 个较短的时段内，非平稳信号可近似为平稳信号 来处理。如语音信号，人们普遍实施10－30ms 的分帧，再采用平稳信号处理技术解决有关问题
E A2 sin t1 sin t2 E B2 cost1 cost2
10 cost2 t1 10 cos Y(t)是平稳过程。
13
5.1.3 循环平稳性
14
5.1.3 循环平稳性
15
5.1.3 循环平稳性
16
5.1.3 循环平稳性
t2 EAsin t EBcost
t2
X(t)不是平稳过程。
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K XY (t, t ) RXY (t, t ) mX (t )mY (t ) 1 RXY (t , t ) RXY ( ) sin 2
n (n 0, 1, 2,...) 时等于零，此时 由于K XY ( ) 仅在 X(t)和Y(t)的状态（随机变量）才是不相关的；而在 K XY ( ) 0，故从整体来看，随机过程X(t) n 时， 和Y(t)是相关的，因而，它们是统计不独立的。
因此
RX (0) 0
RY (0) 0
1 RXY ( ) RX (0) RY (0) [ RX (0) RY (0)] 2
（任何正数的几何平均小于算术平均）
《随机信号分析》教学组
12
（4）互相关系数
当两个随机过程联合平稳时，它们的互协方差为：
K XY (t1 , t2 ) K XY (t2 t1 ) K XY ( )
（2）互相关函数仅为时间差 的函数，与 时间t无关，即 RXY (t1 , t2 ) RXY ( ) t 2 t1 则称 X (t ) 和 Y (t ) 为联合宽平稳或宽平稳相依。
《随机信号分析》教学组
9
联合宽平稳随机过程互相关函数的性质
(1) RXY ( ) RYX ( )
《随机信号分析》教学组
一 两个随机过程的联合概率分布
设有两个随机过程 X (t ) 和Y (t ) ,它们的概率密度 ,, tm ) 分别为 f X ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 , tn ) , fY ( y1, y2 ,, ym ; t1, t2 定义这两个过程的(n+m)维联合分布函数：
要使上式恒成立，即方程无解或只有同根，
则方程的系数应该满足 B 2 4 AC 0 ,则有
( 2RXY ( )) 2 4 RX (0) RY (0) 0
所以， R XY ( ) R X (0) RY (0)
2 2 同理， K XY ( ) K X (0) KY (0) X Y 2
,, tm ) FXY ( x1 ,, xn ; y1,, ym ; t1,, tn ; t1
) y1,..., Y (tm ) ym ] P[ X (t1) x1,..., X (tn 两个过程的(n+m)维联合概率密度为：





( x mX (t1 ))( y mY (t2 )) f XY ( x, y; t1 , t2 )dxdy
X (t1 ) 和 Y (t 2 )
mX (t1 ) 和 mX (t 2 ) 分别是随机变量 式中，
的数学期望。 此式也可以写成
K XY (t1 , t2 ) RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 )
《随机信号分析》教学组
7
2 两个随机过程的平稳性（严平稳和宽平稳）
联合严平稳（联合严平稳相依） 若两个随机过程 X (t )和Y (t ) 的联合概率分布 不随时间平移而变化，即与时间的起点无关, 则 称此二个过程为联合严平稳或严平稳相依。
,, tm ) FXY ( x1,, xn ; t1,, tn ; y1,, ym ; t1
0 0 0 0 0 2 0 2 0 2
其中 Z Z mZ ( X jY ) (mX jmY )
, , tm ) FXY ( x1 ,, xn ; y1 ,, ym ; t1 , , tn ; t1 , , tm ) FX ( x1 ,, xn ; t1 ,, tn ) FY ( y1 , , ym ; t1
《随机信号分析》教学组
4
二 两个随机过程的数字特征（互相关函数）
《随机信号分析》教学组
3
设有两个随机过程 X (t ) 和Y (t ) ,它们的概率密度 , t2 ,, tm ) 分别为 f X ( x1, x2 ,, xn ; t1 , t2 , tn ), fY ( y1 , y2 ,, ym ; t1
两个过程的是相互独立的，联合概率密度函数 满足:
XY (t ) X (t )Y (t ) E[ X (t )Y (t )] RXY ( )
则称 X (t ) 和 Y (t ) 具有联合宽遍历性。
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两个随机过程独立、正交和不相关
正交 若两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 对任意两个时刻 t1, t2都具有 RXY (t1 , t2 ) 0 或 K XY (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 ) 则称 X (t ) 和 Y (t ) 互为正交过程。
不相关 若两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 对任意两个时刻 t1, t2都具有 K XY (t1 , t2 ) 0 或 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 )
则称 X (t ) 和Y (t ) 不相关。
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推论 1) 如果两个随机过程相互独立，且他们的二阶 矩都存在，则必互不相关。 2) 正态过程的不相关与相互独立等价。
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随机过程的联合遍历性（宽遍历）
两个随机过程 X (t ) 和 Y (t )是联合宽平稳 (前提)
定义时间互相关函数为：
1 XY (t ) X (t )Y (t ) lim T 2T

T
T
X (t )Y (t )dt
若 XY ( )依概率1收敛于互相关函数 RXY ( ) 即
互相关系数为：
K XY ( ) RXY ( ) mX mY rXY ( ) X y K X (0) KY (0)
又称作归一化互相关函数或标准互协方差函数。 注：显然 rXY ( ) 1 。 当 rXY ( ) 0时，平稳过程 X (t ) 和 Y (t ) 互不相关。
K XY ( ) KYX ( )
证明：RXY ( ) E[ X (t )Y (t )] E[Y (u) X (u )] RYX ( )
说明互相关函数既不是偶函数，也不是奇函数。
互相关函数的影像关系 《随机信号分析》教学组
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(2) RXY ( ) 2 RX (0) RY (0),
已知两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 的m+n维联合 分布条件下，可以通过求出各自的边缘分布，然 后使用前面介绍的单个随机过程中的方法求的各 自的数字特征。
为了描述两个随机过程之间的相互联系，需 要引入新的数字特征。最常用且最重要的数字特 征是两个过程的互相关函数。
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1.4 联合平稳随机过程
引入：前面对单个随机过程的统计特性进行了详细的研究， 但在实际中常常需要同时研究两个或两个以上的随 机过程的统计特性。 如：研究同时作用于接收机信号和噪声两个随机过程 所构成的过程的统计特性。为了能从噪声中恢复出信 号，除了信号和噪声各自的统计特性外，还应该研究 两个过程的联合统计特性。 主要研究：联合分布函数(概率密度函数)和互相关函数。
FZ ( z) P[ X x, Y y] FXY ( x, y)
即由X，Y的联合概率分布描述。
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3 数字特征
(1) 数学期望
mZ E[Z ] E[ X jY ] E[ X ] jE[Y ] mX jmY
(2) 方差
DZ D[Z ] E[| Z |2 ] E[Z * Z ] E[ X 2 Y ] E[ X ] E[Y ] DX DY
式中 f XY (t1, t2 ) ( x, y; t1, t2 ) 是随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 的二维联合概率密度。
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随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 的中心化互相关函数 （互协方差函数）定义为：
K XY (t1, t2 ) E[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]
正交的。对于其它 值是不相交的。
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X(t)和Y(t)的均值分别为：
mX (t ) E[ X (t )] E[cos(t )] 0 mY (t ) E[Y (t )] E[sin(t )] 0
X(t)和Y(t)的互协方差函数为：
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1 定义 设两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) ，它们在任意两个 Y (t 2 ) 则定义它 时刻t1，t2的取值为随机变量 X (t1 ) 和 们的互相关函数为：
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]



xyf XY ( x, y; t1, t2 )dxdy
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(3)
1 RX (0) RY (0) 2 1 1 2 2 K XY ( ) K X (0) KY (0) X Y 2 2 RXY ( )
证明：由性质(2)，得 2 R XY ( ) R X (0) RY (0)
注意到
c) FXY ( x1 ,, xn , t1 c,, tn c, y1,, ym , t1 c,, tm
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联合宽平稳（联合宽平稳相依）
两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) ，如果满足： （1） X (t ) 和 Y (t ) 分别宽平稳随机过程；
,, tm ) f XY ( x1 ,, xn ; y1 ,, ym ; t1 ,, tn ; t1
,, tm ) nm FXY ( x1 ,, xn ; y1 ,, ym ; t1 ,, tn ; t1 x1 xny1 ym