动量算符和角动量算符

§4.3 动量算符和角动量算符

重点：

动量算符和角动量算符本征值及本征函数的特征

（一）动量算符

动量算符是

（4.3-1）动量的三个投影算符是

（4.3-2）

动量算符的本征值方程为

（4.3-3）

式中P是动量算符的本征值，是属于这个本征值的本征函数，（4.3-3）式的三个发量的本征值方程为

（4.3-4）

它们的解是

（4.3-5）

，可使得动量本征函数归一化为函数。即取

取归一化常数

（4.3-6）

得出（4.3-7）（二）角动量算符

角动量算符

分量式

（4.3-8）

角动量平方算符

（4.3-9）

（4.3-11）

的本征值方程为

（4.3-12）

把球极坐标中的表达式（4.3-11）代入（4.3-12）得

（4.3-13）

式中是算符的属于本征值的本征函数。（4.3-13）式正是氢原子

的角量方程（3.4-7），要使波函数

在变化的整个区域内都是有限的，必

须有

（4.3-14）

因此的本征值

（4.3-15）

相应的本征函数

（4.3-16）

本征值方程

（4.3-17）

角动量z分量的本征值方程为

（4.3-18）

容易求得的本征函数和本征值分别为

（4.3-19）

（4.3-20）

因为

，所以也是的本征函数，满足本征值方程

（1）和的本征值都是量子化的（分立值）。的取值由角量子数l唯一地决

定，即的取值由磁量子数m唯一地决定，即

是角动量分量的本征值，所以

，由于

（的本征值的开方），但是整数，因此。

和有共同的本征函数。我们知道，在一个力学量的本征态下

（2）

测量该力学量，其结果必然是相应的本征值，既然

是和的共同本征态，

态中，和同时有确定的测量值，分别为和。

所在

能够同时满足算符的本征

同理，波函数

态中，都同时有确定值。

值方程，即它是这三个算符的共同本征态，因此在