实数(1)概念和分类

第六章 实数6.2实数第1课时 实数的概念及分类一、教学目标1.理解并掌握无理数的概念，会判定一个数是不是无理数；2.理解实数的概念，会把实数进行分类．二、教学重点及难点重点：理解并掌握无理数的概念，会判定一个数是不是无理数.难点：理解实数的概念，会把实数进行分类．三、教学用具多媒体教室四、相关资料微课，动画.五、教学过程【情景引入】1.我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？.119591144273532251）；（）；（）；（）；（）（答案：（1）2.5；（2）-0.6；（3）6.75；（4）1.2；（5）0.81.2.整数能写成小数的形式吗？ 3可以看成是3.0吗？答案：3=3.0.【探究新知】根据以上问题我们可以得出：1.任何分数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.2.任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.即：小数形式的有理数包括有限小数或无限循环小数两类.3.任何有理数均可写成分数的形式（整数可看作是分母为1的分数），也就是说有理数总可以写成mn （m 、n 是整数，且m ≠ 0）的形式.如：212=，5.021=. 【合作探究】活动一：探究无理数.问题1：2是一个有理数吗?解析：∵1²=1, 2²=4，∴1 <2< 2，∵1.4²=1.96, 1.5²=2.25，∴1.4 <2< 1.5，∵1.41²=1.9881, 1.42²=2.0164∴1.41 <2< 1.42，∵1.414²=1.9881, 1.415²=2.002225∴1.414 <2< 1.415 ……2=1.414213562373…总结1：（1）我们把这种无限且不循环的小数叫做无理数.开不尽方的数都是无理数.像7、3、12-这样的数是无理数.注意:带根号的数不一定是无理数.如25=5，25是有理数.（2）有一定的规律，但不循环的无限小数都是无理数.例如：0.1010010001…（两个1之间依次多1个0）-168.3232232223…（两个3之间依次多1个2）0.12345678910111213 …（小数部分有相继的正整数组成）问题2：π是无理数吗？含π的一些数是无理数吗？解析：π=3.14159265...它们都是无限不循环小数，是无理数.总结2：常见的无理数的三种形式：（1）含π的一些数；（2）开不尽方的数；（3）有规律但不循环的数，如1.010 010 001 000 01…总结3：无理数也像有理数一样广泛存在着. 无理数也有正负之分，例如：2、-3.活动二：探究实数的分类.问题1：（1）你还记得有理数的分类吗？分类的基本原则是什么？⎩⎨⎧分数整数有理数， ⎪⎩⎪⎨⎧负有理数正有理数有理数0分类的原则：不重不漏.问题2：你能对我们学过的数进行合理的分类吗？（1）（2）总结4：有理数和无理数统称为实数.设计意图：设置问题让学生通过自主练习、合作探究等方法自主总结出关于有理数、无理数的定义和实数的概念及分类等知识点，在探究的过程中加深了学生对重要知识点的理解与记忆.【新知应用】1.在下列实数中：157，3.14，0，9，π，3，0.1010010001…，无理数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解：根据无理数的定义可以知道，上述实数中是无理数的有：π，3，0.1010010001….故选C.2.设n 为正整数，且n ＜65＜n ＋1，则n 的值为( ).A ．5B ．6C ．7D ．8解：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，问题可得到解决．∵64＜65＜81，∴8＜65＜9.∵n ＜65＜n ＋1，∴n ＝8.故选D .设计意图：促进学生在练习的过程中熟练掌握有理数和无理数的概念，加深学生对实数的理解.【随堂检测】1.把下列各数分别填到相应的集合内：－3.6，27，4，5，3－7，0，π2，－3125，227，3.14，0.10100…. (1)有理数集合{ …}；(2)无理数集合{ …}；(3)整数集合{ …}；(4)负实数集合{ …}．解：(1)有理数集合{－3.6，4，5，0，－3125，227，3.14，…}； (2)无理数集合{27，3－7，π2，0.10100…，…}； (3)整数集合{4，5，0，－3125，…}；(4)负实数集合{－3.6，3－7，－3125，…}．2.判断.（1）实数不是有理数就是无理数.（√）（2）无理数都是无限不循环小数.（√）（3）无理数都是无限小数.（√）（4）带根号的数都是无理数.（×）（5）无理数一定都带根号.（×）（6）两个无理数之积不一定是无理数.（√）设计意图：针对本节课学习的内容进行巩固，让学生在练习的过程中熟练掌握实数的性质及分类.六、课堂小结本节课主要学习了哪些知识?1.什么是有理数？任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.2.什么是无理数？无限且不循环的小数叫做无理数.3.实数的概念及分类.有理数和无理数统称为实数.设计意图：通过问题的设置将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识.七、板书设计第1课时实数的概念及分类1.有理数与无理数2.实数的概念3.实数的分类。

实数的概念的定义实数是数学中的一种数，它可以用来表示物理世界中的量。

实数包括整数、有理数和无理数，它们是实数的三个主要子集。

整数是自然数（包括0）和负整数的集合，即{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。

整数可以用来表示没有小数部分的量，例如计数、排名等。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，即可以写为分数的数。

有理数包括整数、正分数和负分数。

例如，1/2，-3/4，7/8等都是有理数。

有理数可以用来表示所有带有有限小数部分或者循环小数部分的量。

无理数是不能表示为两个整数的比值的数，即无法写成一个分数的数。

无理数是无限不循环小数，它们的小数部分是无法确定的。

无理数包括开平方、立方根、圆周率π等。

例如，√2，π，e（自然对数的底数）都是无理数。

无理数可以用来表示无法用有限小数表示的量，例如勾股定理中的斜边长。

实数的定义可以用不同的方式来描述。

一种常见的定义是基于柯西序列（Cauchy sequence）的构造。

柯西序列是一个数列，其中的元素趋向于零。

对于给定的精度，只要数列中的元素与零的距离足够小，它们就被认为是相等的。

另一种定义是基于戴德金分割（Dedekind cut）的构造。

戴德金分割将实数划分为两个集合，其中一个集合包含所有比给定实数小的数，另一个集合包含所有比给定实数大的数。

通过这种方式，实数可以用一个左集合和一个右集合的形式来表示。

实数满足各种基本运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。

实数的加法法则是交换律、结合律和分配律。

减法可以看作是加法的逆运算。

实数的乘法法则也是交换律、结合律和分配律。

除法可以看作是乘法的逆运算，但要注意除数不能为零。

实数还满足阿基米德性质和连续性。

阿基米德性质指的是对于任意两个实数a 和b，总存在一个自然数n，使得na大于b。

连续性指的是实数轴上没有空隙，对于任意两个实数a和b（其中a小于b），总存在一个实数c，使得a小于c 小于b。

实数知识点一：无理数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；3、判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．4等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．二、知识点+例题+练习一、无理数的判断1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】0；3227；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】因为02273π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ．【变式训练1-1】在，–2018，π这四个数中，无理数是A ．B ．–2018CD ．Π【答案】D1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．2、实数的分类： （1）实数按定义分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数( 2 )按正负分类：227227例题精讲二、实数的概念和分类1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．【例1】在5π131401232，，，.，，----中，其中__________是整数，__________是无理数，__________是有理数.【答案】01-；π5131401322，，；，，.，---- 【例2】将这些数按要求填入下列集合中：0.01001001…，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|负数集合｛ …｝；分数集合｛…｝；非负整数集合｛…｝；无理数集合｛…｝．【解析】负数集合｛122-，-1，-|-5| 分数集合｛122-，3.2…｝； 非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝；无理数集合｛0.01001001…，【变式训练2-1】判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（ ）（5）若x =x =（ ）【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．【变式训练2-2】下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【答案】D【变式训练2-3】下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【答案】A【变式训练2-4】 把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、12、7.0、0（1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝．【答案】（1）－1 3.14-、12、7.0、0（2-、（3）－10；（4、π、127.0 ；（5）－1、 3.14-、（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．一、相反数与绝对值求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【例1的相反数是A ．BC ．D 【答案】A【解析】根据相反数的定义可知：2的相反数是2-，故选A ． 【例2】3-π的绝对值是 A ．3-π B ．π-3 C ．3 D ．π【答案】B【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B ．【例3】 A ．相反数 B ．倒数 C ．绝对值 D ．算术平方根【答案】A【解析】A ．【变式训练3-1的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【答案】【变式训练3-2】3.141π-＝______；=-|2332|______．【答案】-3.141π；【变式训练3-3】若||x =x ＝______；若||1x ，则x ＝______．【答案】1或11 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点． 2、两个实数比较大小：1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．【例1】如图，数轴上点P 表示的数可能是AB ．C ．–3.2D ．【答案】B≈2.65 3.16，设点P 表示的实数为x ，由数轴可知，–3<x <–2，∴符合题意的数为．故选B ．【例2】和数轴上的点成一一对应关系的数是A ．自然数B ．有理数C ．无理数D ．实数【答案】D【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D ．【例3】已知实数m 、n 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是A ．m <0B ．n ＞0C ．n ＞mD ．n <m【答案】D【解析】由数轴上的点，得m <0<n ，所以m <0，n ＞0，n ＞m 都正确，即选项A ，B ，C 判断正确，选项D 判断错误．故选D ．【变式训练4-1】已知数轴上A 、B 两点表示的数分别为–3A 、B 间的距离为__________． 【解析】A 、B 两点表示的数分别为–3和A 、B 间的距离为3），故答案为：．【变式训练4-2】如图，点A 、B 、C 在数轴上，O 为原点，且BO ：OC ：CA =2：1：5． （1）如果点C 表示的数是x ，请直接写出点A 、B 表示的数； （2）如果点A 表示的数比点C 表示的数两倍还大4，求线段AB 的长．【解析】（1）∵BO ：OC ：CA =2：1：5，点C 表示的数是x ， ∴点A 、B 表示的数分别为：6x ，–2x ；（2）设点C 表示的数是y ，则点A 表示的数为6y ， 由题意得，6y =2y +4， 解得：y =1，∴点C 表示的数是1，点A 表示的数是6，点B 表示的数是–2， ∴AB =8． 二、比较大小【例4】 ） A ．7～8之间 B ．8.0～8.5之间 C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【答案】C【例5】 实数2.6 （ ）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6<【答案】B【变式训练4-3】一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在 （ ） A ．4～5cm 之间 B ．5～6cm 之间 C ．6～7cm 之间 D ．7～8cm 之间【答案】A【变式训练4-4】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6， ，34-，【答案】314 1.4140.64543π>>>>>>->-．1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算． 【例1】计算下列各式：（1）221．【解析】（1=-．（2）原式21=1=．【变式训练5-1】计算题（1）32716949+- （2） 233)32(1000216-++【解析】（1）32716949+-71333=-+=-； （2）233)32(1000216-++226101633=++=． 【答案】（1）3-；（2）2163．1．在下列实数中，属于无理数的是 A ．0BC ．3D ．2．在每两个1之间依次多一个中，无理数的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3的值在 A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间4．下列四个数中，最小的一个数是 A ．5的绝对值是A ．3B ．6．下列说法中，正确的个数有 ①不带根号的数都是有理数； ②无限小数都是无理数；③任何实数都可以进行开立方运算；1313.140.231.131331333133331(3π-，，，，……3)B 3-．C -．D π-．3-1C 3．1D 3-．④不是分数． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．下列各组数中互为相反数的一组是 A ．-|-2|B ．-4与C ．与D ．8．如图，数轴上点P 表示的数可能是AB．C ． 3.4-D．92-的相反数是__________，绝对值是__________． 10．计算：+-=__________．11__________． 12=__________（=__________． 13．把下列各数填入相应的集合内：4230.15，-7.5，-π，0，23.． ①有理数集合：｛ …｝； ②无理数集合：｛ …｝； ③正实数集合：｛ …｝； ④负实数集合：｛…｝．14．已知：x 是|-3|的相反数，y 是-2的绝对值，求2x 2-y 2的值．515．已知ab的小数部分，|c，求a -b +c 的值．16．已知5的小数部分分别是a 、b，则（a +b ）（a–b ）=__________．17．6的整数部分是a ，小数部分是b ．（1）a =__________，b=__________．（2）求3a –b 的值．18．如图，点A ，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B 所表示的数为n ．（1）求n的值；（2）求|n +1|+（n –2）的值．答案：1．【答案】B【解析】0、3、是无理数．故选B ． 2．【答案】C【解析】，π，1.131331333133331……（每两个1之间依次多一个3）是无理数，故选C ． 3．【答案】B【解析】∵<2的值在：1和2之间．故选B ．4．【答案】D【解析】∵7<8<9<π2，3<π，∴＞–π，∴最小的一个数是–π．故选D ． 13<<3--5．【答案】A．–3的绝对值是3．故选A．6．【答案】C【解析】①不带根号的数不一定是有理数，如π，错误；②无限不循环小数是无理数，错误；③任何实数都可以进行开立方运算，正确；不是分数，正确；故选C．8．【答案】B【解析】由图可知，P点表示的数在之间，故选B．9．【答案】22；--2-的相反数是2-，绝对值是2-，故答案为：22；--10．【答案】【解析】(35+-=+-，故答案为．11．【答案】【解析】它们互为相反数，分别是故答案为：121）3（1-13-1．3=-13．【解析】有理数集合：｛4，230.15，-7.5，0，23.…｝；，π-…｝；4，230.15，23.…｝； ④负实数集合：｛-7.5，π-…｝．14．【解析】∵x 是|−3|的相反数，∴x 是3的相反数−3，即x =−3．∵y 是−2的绝对值，∴y =2．∴22229414x y -=⨯-=．15．【解析】∵<3，∴a =2，b-2，∵|c，∴c当ca -b +c =4；当c =a -b +c =4-．16．【答案】5【解析】∵与5a 、b ，∴a =（–2，b=（5）–2=3，∴（a+b ）（a –b ）=–2+32–5．故答案为：5．17．【解析】（1）∵，∴<3．∴–23．∴6–2＞66–3，∴4＞63．∴a =3，b =3（2）3a –b =3×3–（3=9–1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）（1）2a -没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作10100=± （3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C2. 若22b a =，则下列等式成立的是（ ）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =【答案】D3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A A ′的坐标为 ．【答案】(2--四、课后作业4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）． 【解析】可以采用特殊值法解题，如14x =．【答案】21x x x>>5.计算:（1（2）2(2)-【解析】（111213333-=- ；（2）2(2)-11433231423=⨯+-⨯=+-=． 【答案】（1） 13- ； （2）4．6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高 各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设k 的应用．【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；846平方分米．7.已知实数a ，满足0a =，求11a a -++的值．【解析】0a ，0a a a ∴++=，20a a +=，0a ∴=，112a a -++=【答案】28.先阅读理解，再回答下列问题：，且12<<的整数部分为1；23<2；=34<的整数部分为3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．【解析】n2(1)n n n n +=+，又22(1)(1)n n n n <+<+，1n n ∴<+（n 为正整数），∴整数部分为n ．【答案】n9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．【解析】（5（6【答案】（5；（610.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．【解析】161725,45,223,2a <<∴<∴<<∴=，14b b -==或2b =-．又a b b a -=-，b a ∴≥，2,4a b ∴==，．。

初中数学总复习1.1实数的概念一：【知识梳理】1.实数概念(1)有理数:整数和分数统称为有理数。

（ ） (2)有理数分类①按定义分: ②按符号分:有理数()()0()()()()⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩； 有理数()()()()()()⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩（3）无理数： 小数叫做无理数。

（4）实数： 和 统称为实数。

（5）实数和 的点一一对应。

2.实数的分类: 实数【典型考题】把下列各数填入相应的集合内：1、51.0,25.0,,8,32,138,4,15,5.73π-有理数集{ }，无理数集{ }， 正实数集{ }2、在实数271,27,64,12,0,23,43--中，共有_______个无理数3、在4,45sin ,32,14.3,3︒--中，无理数的个数是_______4、写出一个无理数________，使它与2的积是有理数()()()()()()()()()()()()⎧⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎭⎪⎪⎫⎧⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩零3.实数的相关概念（1）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。

若a 、b 互为相反数，<=====> 。

（2）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。

（3）倒数：乘积 的两个数互为倒数。

若a （a≠0）的倒数为<=====>1a。

（4）绝对值：【典型考题】1、___________的倒数是211-；0.28的相反数是_________。

2、0|2|)1(2=++-n m ,则n m +的值为________3、已知21||,4||==y x ，且0<xy ，则yx的值等于________ 4、实数c b a ,,在数轴上对应点的位置如图2所示，下列式子中正确的有（ ）①0>+c b ②c a b a +>+ ③ac bc > ④ac ab >A.1个B.2个C.3个D.4个5、①数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是____数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______。

6.2 实数第1课时 实数的概念及分类【教学目标】1.了解无理数和实数的概念，会对一组实数进行分类.2.知道实数与数轴上的点是一一对应的关系.【教学重点】无理数、实数的概念.【教学难点】无理数、实数的概念及实数与数轴上的点一一对应关系的理解. 教学过程一、组织教学，复习提问1.有理数是怎样分类的？有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数负整数零分类⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数或有理数⎩⎪⎨⎪⎧正有理数⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数零负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数2.把下列各数填在相应的括号里.－2，－34，－2.5，0，0.3·，1，43，227，34，12，－0.81··整数：{ }分数：{ }归纳：任何一个有理数，都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.反之，任何一个有限小数或无限循环小数都可以写成一个分数的形式.因此，任何一个有理数都可以写成分数的形式.多媒体课件展示图1和图2及思考题：图1是由4条横线、5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1.从这些纵横线相交得出的20个点(称为格点)中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形.你能找出多少种面积互不相同的格点正方形？二、创设情境，引入新课1.创设情境.问题1：(1)有面积分别是1、4、9的格点正方形吗？分别有几个？边长是多少？(2)有面积是2的格点正方形吗？把它画出来，有几个？(3)有面积是5的格点正方形吗？把它画出来，有几个？师：请同学们认真观察、思考图1及思考题，可以互相讨论，然后回答问题.生1：面积是1的格点正方形有12个，边长是1；面积是4的格点正方形有6个，边长是2；面积是9的格点正方形有2个，边长是3.生2：如图2，四个边长为1的相邻正方形的对角线围成一个面积为2的格点正方形.师：为什么？生1：因为四个边长为1的相邻正方形的总面积为4，它们的对角线围成的格点正方形的面积是总面积的一半，所以四个边长为1的相邻正方形的对角线围成的格点正方形是一个面积为2的格点正方形.图1中有6个面积为2的格点正方形.生2：以一个面积为9的格点正方形相邻两边长的13点和23点的连线为边长依次围成的正方形是面积为5的格点正方形.师：为什么？生1：因为一个面积为9的格点正方形相邻两边长的13点和23点的连线为边长依次围成的正方形的面积等于9减去4个三角形的面积，而这4个三角形刚好拼成4个格点正方形，它们的面积为4，所以一个面积为9的格点正方形相邻两边长的13点和23点的连线为边长依次围成的正方形是面积为5的格点正方形.生2：我用面积为9的格点正方形纸，经过剪纸验证了这个格点正方形是面积为5的格点正方形.生3：可以画出4个面积为5的格点正方形.问题2：(1)一个面积为2的格点正方形边长是多少？(2)一个面积为5的格点正方形边长是多少？师：请同学们认真观察、思考，可以互相讨论，然后回答问题2.生1：正方形的面积等于边长的平方，我们已知正方形的面积，求边长，就是已知一个数的平方，求这个数.可以用开平方运算.生2：(1)设边长为x，则x2＝2；因为x＞0，所以x＝ 2.(2)设边长为x，则x2＝5；因为x＞0，所以x＝ 5.2.引入新课.问题3：2、5是怎样的数？师：请同学们结合问题1和问题2进行思考，可以互相讨论，然后回答问题3.2、5存在吗？2、5又是怎样的一个数？生：2、5分别是面积为2、5的格点正方形的边长，应当是存在的.师：下面我们来共同探究2是怎样的一个数.首先，请同学们想一想，2介于哪两个整数之间？生：因为1＜2＜4，所以1＜2＜4，即1＜2＜2.这说明2不能是整数.师：1和2之间的一位小数有1.1，1.2，…，1.9，那么2是其中的哪个小数呢？如何确定？生：在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，这两个小数是1.4和1.5.因为1.42＝1.96，1.52＝2.25，1.96＜2＜2.25，所以 1.96＜2＜ 2.25，即1.4＜2＜1.5.师：这又有什么意义？生：2是介于1.4和1.5之间的一个两位小数.师：1.4和1.5之间的两位小数有1.41，1.42，…，1.49，那么2是其中的哪个小数呢？如何确定？生：同样是在这九个数中找出平方最接近2的那两个小数，这两个小数是1.41和1.42.因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4，1.988 1＜2＜2.016 4，所以 1.988 1＜2＜ 2.016 4，即1.41＜2＜1.42.师：这又有什么意义？生：2是介于1.41和1.42之间的一个三位小数.师：类似地，可得1.414＜2＜1.415，……像上面这样逐步逼近，我们可以得到：2＝1.414 213 5…它可以根据需要，想算到哪位，就可以算到哪位，即可无限继续算下去.因此，2是一个无限不循环小数，它不是有理数.同样5也是一个无限不循环小数，它也不是有理数，同学们课后可以用课本上同样的方法去探究.3.无理数的概念师：有理数包括哪些数？生：有理数包括整数和分数.师：整数和分数可以统一写成什么形式？生：整数可以看作分母为1的分数.因此，整数和分数可以统一写成分数的形式.师：这就是说，有理数总可以写成nm(m、n是正整数，且m≠0)的形式.分数能化成小数的形式吗？请同学们举例说明.有理数呢？生：3＝31＝3.0，12＝0.5，13＝0.3·，911＝0.81··.分数都可以化为有限小数或无限循环小数.因此，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数. 师：2＝1.4142135…是无限循环小数吗？是有理数吗？ 生：2不是无限循环小数，不是有理数，2是无限不循环小数. 师：今天引入一个新概念，我们把无限不循环小数叫做无理数.因此，2是无理数.此外，3＝1.732050808…，33＝1.44224957…，π＝3.14159265…这些数都是无限不循环小数.许多开方开不尽的数都是无限不循环小数.圆周率π以及以后要学的自然对数的底等数虽然不用根号的形式表示，但它们也是无限不循环小数，它们都是无理数.师：有同学说无理数就是开方开不尽的数，对不对？生1：不对.如圆周率π不是开方开不尽的数，但它是无理数.生2：只能说开方开不尽的数是无理数，但不能说无理数就是开方开不尽的数，因为所有无限不循环小数都是无理数，不仅仅是开方开不尽的数才是无理数.师：类似的，无理数可分为正无理数与负无理数.如2、3、π是正无理数，－2、－3、－π是负无理数.4.实数的概念.师：有理数和无理数统称为实数.这样，我们认识的数的范围又扩大了.5.实数的分类.师：我们可以将实数按如下方式分类.(多媒体展示实数分类表)实数⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正有理数零负有理数有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数无限不循环小数三、例题分析1.教师出示课本第12页练习题.师：π、64、－38都是无理数吗？生：π是无理数，64＝8、－38＝－2都是有理数.师：因此，用根号形式表示的数并非都是无理数，必须先认真观察计算，不能一看见用根号形式表示的数就盲目认为是无理数.师：用根号形式表示的数与无理数是怎样的关系？生：用根号形式表示的数，不一定是无理数，无理数不一定是用根号形式表示的数.师：0.213··如何写成分数的形式？生：0.213··＝213－2990＝211990. 2.按大小对实数进行分类.(多媒体展示分类表)师：实数还可以如何分类？为什么？生：因为有理数、无理数都有正、负之分，所以实数也可以有正、负之分，可分为正实数、负实数和零.师：有同学说实数可分为正实数、负实数.对不对？为什么？生：不对，将0遗漏了.师：请同学们注意，实数按大小分类时，不能将0遗漏.3.思考，每一个有理数都可用数轴上的一个点来表示，那无理数也能用数轴上的点表示吗？如2呢？用多媒体展示：师：以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心，这个正方形对角线长为半径画弧，以数轴正半轴的交点记作A，与数轴负半轴的交点记作A′，图中点A、点A′两点分别表示什么数？生1：因为图中正方形可以看成是面积为1的格点正方形，它的对角线长就是面积为2的格点正方形的边长，因此，对角线长应是2，也就是点A表示的数是 2.生2：因为A′点在数轴负半轴上，OA′的长也是对角线长，所以A′点表示的数是－ 2.师：通过以上演示，同学们发现了什么？生：无理数2、－2都能用数轴上的点来表示.师：一般地，与有理数一样，每个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点不是表示无理数就是表示有理数.所以实数和数轴上的点一一对应.四、提升练习问题：直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点A由原点到达A′，点A′表示的是什么数？师：要求出点A′表示的是什么数，同学们是怎么想的？生1：要求出点A′表示的是什么数，只要求出点A从原点沿数轴向右滚动一周到点A′的路程长度就行了.生2：我知道，就是圆的周长，圆的周长等于直径乘以π.生3：点A′表示的数是π.师：由此，无理数π也可以用数轴上的点来表示.五、课堂小结1.无理数与有理数的区别是什么？2.实数可以怎样分类？3.实数与数轴上的点有怎样的对应关系？学生回答，教师评价.。

实数的概念课时目标1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类；2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根；3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系.知识精要1. 无理数的定义无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 4. 平方根的定义如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即2x a =，那么x 就叫做a 的平方根.5. 平方根的性质与表示（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根.（2）正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根，叫做a 的正平方根，也叫做a 的算术平方根；a -表示a 的负平方根.6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…； 第二类：根号型：如3,12,24,…； 第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0．12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数.14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质（1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示；（2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在；（4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”.热身练习1. 将下列各数填在相应括号内：π， 32， 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-， 有理数集合{ 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 3333+-， …}； 整数集合 { 327-， 3333+-， …}；正数集合 { π， 32， 3.14， ⋅⋅12.0， …}；分数集合 { 3.14， ⋅⋅12.0， …}；实数集合 { π， 32， 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-，}.2. 判断 （1）无限小数都是无理数 （ × ） （2）无理数都是开方开不尽的数 （ × ） （3）不带根号的数都是有理数 （ × ） （4）带根号的数都是无理数（ × ）3.（1）35，介于哪两个整数之间？ 解：3介于1和2之间，5介于2和3之间.（2）写出一个比－1大的负有理数是 －0.5 ，比－1大的负无理数是22-. 4. 在实数范围内，下列方根是否存在？如果存在，用符号表示这些方根，并求出它的值.（1）－16的四次方根 （2）16的四次方根 （3）－32的五次方根 （4）28-的六次方根 （5）－0.00243的五次方根 （6）2(27)-的六次方根 解：（1）－16没有四次方根 （2）16的四次方根为 ±2 （3）－32的五次方根为2- （4）28-无六次方根 （5）－0.00243的五次方根为－0.3 （6）2(27)-的六次方根为3±5. 求下列各数的平方根 （1）121 （2）649（3）0.0009 （4）361 解：(1)11± (2) 83± (3) 0.03± （4）±196．求下列各数的算术平方根 （1）81 （2）1625（3）289 （4）0.0001 解： (1)9 (2)45(3)17 (4) 0.017．求下列各数的值. （1）21425（2）22135±- （3）2(5) 解： (1)115(2)12± (3)58. 求下列各式的值（1）2(15) （2）2()(0)a a > （3）2()(0)a a -> （4）2(15)- （5）2()(0)a a -> （6）2()a a 是实数解： (1)15 (2)a (3)a (4)15 (5)a (6)a9. 一个正数的两个平方根为2a +1,5－a 求这个数. 解：2a +1+5－a =0解得：a =－6 这个数是121.10. 已知a 的两个平方根,x y 为322x y +=的一组解，求a 的平方根.解：0322x y x y +=⎧⎨+=⎩得22x y =⎧⎨=-⎩故a 的平方根是 2或－2.11. 求下列各数的立方根.（1）－64 （2）343 （3）1918- （4）0.729解：（1）－4 （2）7 （3）92- （4）0.912. 求下列各式的值（1）318-- （2）3911125+ （3）32445200⨯⨯解：（1）12 （2）65（3）6013. 解简单的高次方程（1）16842=-x （2）81)3(42=-x解：6±=x 解：23215-=或x（3）3918x += （4）3(1)27x +=- 解：21=x 解：4-=x（5）60444=-x （6）7645=x解：2±=x 解：519=x精解名题例1 如图，四个同样大小的正方形排列在一起面积和是80，求小正方形的边长. 解：设小正方形的边长为x .8042=x解得52±=xx 是正数52=∴x答：小正方形的边长为52. 例2 用移位法求平方根被开方数的小数点向右（或左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一位.若5 2.236≈，507.071≈，求下列各式的值.（1） 500 ≈ 22.36 （2）5000-≈－70.71 （3）0.05 ≈ 0.2236 （4）0.5≈ 0.7071注意: 被开方数平方根移动的位数与方向. 第一: 小数点是同向移动；第二: 被开方数移动的位数是平方根移动的位数的2倍.例3 用移位法求立方根被开方数的小数点向右（或左）移动 三 位，它的立方根的小数点相应地向右（向左）移动 一 位.若3333330029.0290002906619.029.0072.329426.19.2，，，求，，-≈≈≈的值. 解：；619.62903≈ 72.30290003-≈-；1426.00029.03≈..巩固练习一、填空1.把下列各数分别填到相应的数集里边-52，3π，2，116-，3.14，0，21-，52，41- 整数集合 { 0 ，41- …}； 无理数集合{3π，2，21-，52， …}； 有理数集合{ -52，116-，3.14，0，41- …}； 2．如果9=x ，那么x ＝ ±9 ；如果92=x ，那么=x ±3 ． 3．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是 1,0 ． 4．算术平方根等于它本身的数有 0，1 ，立方根等于本身的数有 ±1,0 ． 5. 若3,x x x ==则 0,1 ，若2,x x x =-=则 非正数 . 6．81的平方根是 ±3 ， 210-的算术平方根是 0.1 ． 7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则a =－1，这个正数是 9 ． 8．21++a 的最小值是 2 ，此时a 的取值是 －1 ． 二、选择题1. 下列说法正确的个数是（ A ）（1）无理数都是实数 （2）实数都是无理数 （3）无限小数都是有理数 （4）带根号的数都是无理数（5）除了π之外不带根号的数都是有理数.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若2x a =，则（ D ）A.0x >B. 0x ≥C. 0a >D. 0a ≥3．2)3(-的值是（ B ）A ．3-B ．3C ．9-D ．94．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ A ） A ．1 B ．9 C ．4 D ．5 5．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ C ）A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤ 7. 若n 为正整数,则211n +-等于（ A ）A ．－1 B.1 C.±1 D.21n + 8. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ A ）A.01a <<B.0a >C. 1a <D. 1a >自我测试一、填空1. 把下列各数分别填到相应的数集里边327，2，2π，－3.1415926927，103，34-，72-，0.2010010001-， 1.732，7-有理数{327 ，－3.1415926927， 103， 72-， 1.73 2…} 无理数{2，2π，34-，0.2010010001-，7- …} 非负实数{327， 2，2π ，103，1.732 …}2.()332-= －2 ，()337-= －7 .3.641-的立方根是14.4.－0.001的立方根是 －0.1 ；－1的9次方根是 －1 .5.()=-553 －3 ；363）（-= 9 .二、选择题 1.81的算术平方根是 （ C ）A. 9B. ±3C. 3D. －3 2. 下列计算正确的是（ D ） A.8282+=+ B.42-=- C.93=± D.2(2)2-=3. 下列各数中，没有平方根的是 （ A ） A ．－2 B. 0 C. 13D.24．下列实数317，π-，3.14159 ，8，327-，21中无理数有（ A ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．下列各式中，无论x 取何实数，都没有意义的是（ B ） A ．2006x -B ．220061x --C ．22006x -D ．320063x --6．下列各组数中互为相反数的一组是（ C ） A ．2--与38- B ．4-与2(4)-- C ．32-与32- D ．2-与12三、计算 1、求值（1）49144的平方根； （2）2500- 解：原式= 712± 解：原式=－50 （3） 1600 （4） 719±解：原式=40 解：原式= 43± （5） 0.0036的平方根 （6）2(5)--解：原式= 0.06± 解：原式= －5（7）33(2)-- （8）641-的立方根解：原式= 2 解：原式=14（9）()次方根的531277⎪⎭⎫⎝⎛-； （10） ()次方根；的421.12-解：原式 =－5181解：原式= 1.1±2、解方程（1）;272=x （2）;0183=-x 解：27±=x 解：21=x（3） ()2512=-x ； （4）()016223=++x .解：64或-=x 解：4x =-。

实数的概念与分类在我们的数学世界中，实数是一个极其重要的概念，它贯穿了从基础数学到高等数学的各个领域。

要理解实数，首先得清楚它的定义和分类。

实数，简单来说，就是有理数和无理数的统称。

有理数，大家应该都比较熟悉，像整数，比如－3、0、5 等等；还有分数，比如 1/2、－3/4 等等，这些都属于有理数的范畴。

有理数可以表示为两个整数的比值。

那什么是无理数呢？无理数是指那些不能表示为两个整数之比的数。

最常见的无理数就是圆周率π和自然对数的底数e 了。

还有像根号2 、根号 3 这样开方开不尽的数，也是无理数。

我们先来仔细看看有理数。

整数很好理解，就是像－2、－1、0、1、2 这样的数，它们没有小数部分。

而分数呢，比如 1/2 ，它表示把一个整体平均分成 2 份，取其中的 1 份。

有理数在我们的日常生活中应用非常广泛。

比如去买东西算价格，或者计算路程和时间的关系等等，很多时候用到的都是有理数。

接下来谈谈无理数。

以根号 2 为例，它的值约等于 141421356 是一个无限不循环小数。

为什么说它是无限不循环的呢？假设我们去计算根号 2 的小数部分，如果一直计算下去，是找不到任何规律的，不会像 1/3 等于 03333 这样循环。

无理数的发现其实还有一段有趣的历史。

在古希腊时期，毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数指的是有理数。

但是后来他们的一个成员发现了根号2 不能表示为有理数，这在当时引起了巨大的震动。

实数的分类除了按照有理数和无理数来分，还可以从正负的角度来看。

正实数，就是大于 0 的实数，比如 2、35、π 等等。

负实数则是小于 0 的实数，像－1、－25 等等。

0 既不是正实数，也不是负实数。

在数轴上，实数与点是一一对应的。

也就是说，每一个实数都能在数轴上找到一个唯一对应的点；反过来，数轴上的每一个点也都对应着一个唯一的实数。

这种一一对应的关系非常重要，它帮助我们更好地理解实数的连续性和稠密性。

初中实数概念及分类
实数是数学中的一个基本概念，其包括有理数和无理数两种类型。

简单来说，实数是可以用来表示现实生活中各种量的数，例如长度、重量、面积、时间等等。

在数学上，实数还具有良好的性质和运算法则。

有理数是能用两个整数的比表示成分数的数，包括正整数、负整数、0和分数。

有理数中的分数可以化为最简分数形式，也可以转换成小数形式，但小数形式可能是有限的，也可能是无限循环的。

无理数是不能表示成分数的数，包括无限不循环小数和无限循环小数。

无理数是一种“不可逼近”数，即没有任何有理数能够精确地表示出它。

常见的无理数有圆周率π、自然对数的底数e以及黄金分割比例φ等。

实数可以用数轴来表示。

数轴是一条符合数学规则的直线，它可以把实数有序地排列在上面。

数轴有两个端点，左端点为负无穷，右端点为正无穷，0则位于数轴的中心。

数轴的左边表示负数，右边表示正数。

在数轴上，实数的距离即为它们的差值，而两个实数之间的大小则用它们在数轴上的位置来判断。

实数的运算法则包括加、减、乘和除。

两个实数相加、减的结果仍是实数，两个实数相乘、除的结果也仍是实数。

对于分数，加减需要将它们通分，而乘除则可直接操作分子和分母。

在实数的运算中，需要注意保持精度，防止出现误差。

总之，实数是数学中一个不可或缺的概念。

通过深入理解和熟练掌握实数的分类、表示和运算法则，不仅可以在日常计量中得到更准确的结果，还能更好地应对数学学习中的挑战。

实数的概念和运算实数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

本文将介绍实数的概念、实数的分类以及实数的基本运算。

一、实数的概念实数是数学中最基本的数集，包括有理数和无理数两部分。

有理数是可表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能以有限或无限循环小数的形式精确表示。

实数的表示形式有多种，最常见的是十进制表示法，即小数形式。

实数可以表示为有限小数或无限循环小数，例如：- 有限小数：0.25、1.5、3.78- 无限循环小数：1.333...、2.71828...除了十进制表示法，实数还可以用分数形式表示，例如：- 分数形式：1/2、3/4、5/7实数的性质包括可加性、可乘性等，使其成为数学中重要的研究对象。

二、实数的分类根据实数的性质，我们可以将实数进行进一步的分类。

实数可以分为有理数和无理数。

1. 有理数有理数包括整数、分数和整数部分为0的小数。

有理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算，并且结果仍为有理数。

整数是正整数、负整数和零的集合，例如：-3、0、1、2。

整数之间的运算遵循基本的数学规则。

分数是两个整数的比值，例如：1/2、3/4、5/7。

分数之间的运算同样遵循基本的数学规则。

2. 无理数无理数是不能表示为两个整数的比值的数，它们无法用分数或小数的形式精确表示。

常见的无理数有根号2、圆周率π等。

无理数与有理数的主要区别在于其十进制表示不会出现周期性循环，例如根号2的十进制表示为1.41421356...，没有规律的循环。

三、实数的基本运算实数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面将依次介绍这些运算。

1. 加法实数的加法运算是指将两个实数相加，求得它们的和。

加法运算遵循交换律和结合律。

例如，将实数-2和实数3相加，得到：-2 + 3 = 12. 减法实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数，求得它们的差。

减法运算不满足交换律，但满足结合律。

例如，将实数5减去实数2，得到：5 - 2 = 33. 乘法实数的乘法运算是指将两个实数相乘，求得它们的积。