第二章 圆锥曲线与方程 单元测试1

高二数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程单元检测（含答案）圆锥曲线与方程是高二数学最常考察的知识点，以下是第2章圆锥曲线与方程单元检测，希望对大家有帮助。

一、填空题1.已知A-12，0，B是圆F：x-122+y2=4 (F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹为________.2.方程5(x+2)2+(y-1)2=|3x+4y-12|所表示的曲线是________.3.F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从焦点F2向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，延长F2P交F1M的延长线于G，则P点的轨迹为__________(写出所有正确的序号).①圆;②椭圆;③双曲线;④抛物线.4.已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，则线段PP的中点M的轨迹是____________.5.一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点.当点A运动时点P的轨迹是________.6.若点P到F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则点P的轨迹表示的曲线是________.7.已知两点F1(-5,0)，F2(5,0)，到它们的距离的差的绝对值是6的点M的轨迹是__________.8.一动圆与⊙C1：x2+y2=1外切，与⊙C2：x2+y2-8x+12=0内切，则动圆圆心的轨迹为______________.二、解答题9.已知圆A：(x+3)2+y2=100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P 过B点且与圆A内切，求证：圆心P的轨迹是椭圆.10.已知△ABC中，BC=2，且sinB-sinC=12sinA，求△ABC 的顶点A的轨迹.能力提升11.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是________(写出正确的所有序号).①直线;②圆;③双曲线;④抛物线.12.如图所示，已知点P为圆R：(x+c)2+y2=4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹.1.椭圆定义中，常数F1F2不可忽视，若常数2.双曲线定义中，若常数F1F2，则这样的点不存在;若常数=F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线.3.抛物线定义中Fl，若Fl，则点的轨迹是经过点F，且垂直于l的直线.第2章圆锥曲线与方程2.1 圆锥曲线知识梳理3.两个定点F1，F2的距离的和焦点焦距4.两个定点F1，F2距离的差的绝对值焦点焦距5.到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点定点F 定直线l6.圆锥曲线作业设计1.椭圆解析由已知，得PA=PB，PF+BP=2，PA+PF=2，且PA+PFAF，即动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆.2.抛物线解析由题意知(x+2)2+(y-1)2=|3x+4y-12|5.左侧表示(x，y)到定点(-2,1)的距离，右侧表示(x，y)到定直线3x+4y-12=0的距离，故动点轨迹为抛物线.3.①解析∵F2MP=GMP，且F2PMP，F2P=GP，MG=MF2.取F1F2中点O，连结OP，则OP为△GF1F2的中位线.OP=12F1G=12(F1M+MG)=12(F1M+MF2).又M在椭圆上，MF1+MF2=常数，设常数为2a，则OP=a，即P在以F1F2的中点为圆心，a为半径的圆上.4.椭圆5.椭圆6.抛物线解析由题意知P到F的距离与到直线x=-4的距离相等，所以点P的轨迹是抛物线.7.双曲线8.双曲线的一支9.证明设PB=r.∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，两圆的圆心距PA=10-r，即PA+PB=10(大于AB).点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆.10.解由正弦定理得：sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R.代入sinB-sinC=12sinA得：b-c=12a，即b-c=1，即AC-AB=1 (A的轨迹是以B、C为焦点且靠近B的双曲线的一支，并去掉与BC的交点.11.④解析∵D1C1面BCC1B1，C1P平面BCC1B1，教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。

高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题及参考答案（时间120分钟 总分150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个选项符合题目意思）1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为 ( C ) A.12 B. 23 C.34 D.452.已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 ( D )A.2833x y =B. 21633x y = C. 28x y = D. 216x y = 3.已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= ( C )A.14B.35C.34D.454.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心学率为32.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为 ( D )A.22182x y += B.221126x y += C.221164x y += D.221205x y += 5.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(A)A.5B.42C.3D.56.方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有 ( B ) A.28条 B.32条 C.36条 D.48条7.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =; 则AOB ∆的面积为 ( C )A.22B.2C.322D.228.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。

选修2-1数学第2章圆锥曲线与方程单元练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，起直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（）A.√2B.12C.√24D.√222. 如图，已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，长方形ABCD的顶点A，B分别为双曲线E的左、右焦点，且点C，D在双曲线E上，若|AB|=6，|BC|=52，则此双曲线的离心率为（）A.√2B.32C.52D.√53. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的标准方程为（）A.x24+y23=1 B.x23+y2=1 C.x22+y2=1 D.x24+y2=14. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的顶点和焦点到C的同一条渐近线的距离之比为12，则双曲线C的离心率是()A.√2B.2C.√3D.35. 已知点A(0,1)，抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F，射线FA与抛物线相交于M，与其准线相交于点N，若|FM|:|MN|=2:√5，则a=()A.2B.4C.6D.86. 焦点为(0,2)的抛物线的标准方程是()A.x2=8yB.x2=4yC.y2=4xD.y2=8x7. 椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A.√32B.34C.√22D.238. 若双曲线x24−m +y2m−2=1的渐近线方程为y=±13x，则m的值为（）A.1B.74C.114D.59. 抛物线y=2x2的通径长为( )A.2B.1C.12D.1410. 已知双曲线C:x24−y2=1，则C的渐近线方程为 ( )A.y=±14x B.y=±13x C.y=±12x D.y=±x11. 椭圆x24+y25=1的离心率是（）A.3 5B.√55C.25D.1512. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作直线l与两条渐近线交于A，B两点．若△OAB为等腰直角三角形（O为坐标原点）则△OAB的面积为( )A.a2B.2a3C.2a2或a2D.2a2或12a213. 已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________.14. 若直线y=x+b与曲线x=√1−y2恰有一个公共点，则b的取值范围是________．15. 与椭圆x25+y23=1共焦点的等轴双曲线的方程为________．16. 已知双曲线x2−y28=1上有三个点A，B，C，且AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，用字母k表示斜率，若k OD+k OE+k OF=−8（点O为坐标原点，且k OD，k OE，k OF均不为零），则1k AB +1k BC+1k AC=________.17. 设命题p：方程x2a+6+y2a−7=1表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题q：存在x∈R，使得x2−4x+a<0.若“p∧(¬q)”为真，求实数a的取值范围.18. 回答下列问题：（1）求过点(2,−2)且与双曲线x 22−y2=1有公共渐近线的双曲线的方程；（2）求双曲线x 24−y25=1的焦点到其渐近线的距离．19. 如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，有|AF1|+|BF1|=4，且∠F1AF2的最大值为π3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若A′是A关于x轴的对称点，设点N(4,0)，连接NA与椭圆C相交于点E，问直线A′E与x轴是否交于一定点，如果是，求出该定点坐标；如果不是，说明理由.20. 已知椭圆的焦点在α轴上，一个顶点为(0,1)，离心率为e=√5，过椭圆的右焦点F的直线1与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆的方程．(2)设点C是点A关于x轴的对称点，在α轴上是否存在一个定点N，使得C，B，N三点共线？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由．21. 已知直线l：x−y+1=0与焦点为F的抛物线C：y2=2px(p>0)相切.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.22. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为12，点P(1, 32)为椭圆上一点．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)如图，过点C(0, 1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．参考答案与试题解析选修2-1数学第2章 圆锥曲线与方程单元练习题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1.【答案】 D【考点】 椭圆的定义 【解析】根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a 2−b 2=c 2，和离心率公式e =ca ，计算即可．【解答】解：设正视图正方形的边长为2，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b =2，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径2√2，得到俯视图中椭圆的长轴长2a =2√2， 则椭圆的半焦距c =√a 2−b 2=1， 根据离心率公式得，e =c a =√2=√22； 故选D ． 2. 【答案】 B【考点】双曲线的标准方程 【解析】本题主要考查双曲线的几何性质． 【解答】解：因为2c =|AB|=6，所以c =3． 因为b 2a =|BC|=52，所以5a =2b 2． 又c 2=a 2+b 2，所以9=a 2+5a 2，解得a =2或a =−92（舍去），故该双曲线的离心率e =c a=32．故选B ． 3. 【答案】 A【考点】椭圆的标准方程 【解析】由|BF 2|=|F 1F 2|=2，可得a =2c =2，即可求出a ，b ，从而可得椭圆的方程． 【解答】解：∵ |BF 2|=|F 1F 2|=2，∴a=2c=2，∴a=2，c=1，∴b=√3，∴椭圆的方程为x24+y23=1．故选A．4.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】【解答】解：∵双曲线C的顶点和焦点到同一条渐近线的距离之比为12，由三角形相似得ac =12，∴e=ca=2.故选B．5.【答案】D【考点】斜率的计算公式抛物线的性质【解析】无【解答】解：依题意F点的坐标为(a4,0)，作MK垂直于准线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，因为|FM|:|MN|=2:√5，则|KN|:|KM|=1:2.k FN =0−1a4−0=−4a ，k FN =−|KN||KM|=−12，所以−4a =−12，求得a =8. 故选D ． 6. 【答案】 A【考点】抛物线的标准方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得，抛物线的焦点为(0,2)， 可得p =4.又抛物线的焦点在y 轴的正半轴， 所以抛物线的标准方程为x 2=8y . 故选A. 7. 【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 8.【答案】 B【考点】 双曲线的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 9.【答案】 C【考点】 抛物线的定义 抛物线的性质 【解析】抛物线y =−2x 2，即x 2=−12y ，可得2p .解：抛物线y=2x2，化为标准方程为x2=12y，可得2p=12，因此通径长为12.故选C．10.【答案】C【考点】双曲线的渐近线【解析】根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线即可. 【解答】解：由题意可得，a=2，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±ba x=±12x.故选C.11.【答案】B【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】根据椭圆的标准方程求出a，b的值，根据椭圆中c2=a2−b2就可求出c，再利用离心率e=ca得到离心率．【解答】解：由椭圆方程为x 24+y25=1可知，a2=5，b2=4，∴c2=a2−b2=1，a=√5，∴c=1，∴椭圆的离心率e=ca =√55.故选B.12.【答案】D【考点】双曲线的简单几何性质双曲线中的平面几何问题本题主要考查双曲线的性质以及直线和双曲线的关系，联立方程组，求出点的坐标，再求出面积即可.【解答】解：①若∠AOB=90∘，则∠AOF=45∘，∴ba=1故c=√a2+b2=√2a，∴S△OAB=12⋅2c⋅c=c2=2a2；②若∠BAO=90∘，则l与y=bax垂直且过F点，垂足为A，∴ l的斜率为−ab，则直线l的方程为y=−ab(x−c)，联立{y=−ab⋅(x−c),y=bax,解得x=a 2c ，y=abc，则点A为(a 2c ,ab c)∴ △OAB为等腰直角三角形，OB为斜边，∴ OA=AB，OA2=(a2c )2+(abc)2=a2，∴S△OAB=12OA⋅AB=12OA2=12a2.综上所述S△OAB=2a2或12a2.故选D.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】√15【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】此题暂无解析【解答】解：由椭圆方程可知a=3，c=2，∴F(−2, 0)，根据题意，画出图形：设线段PF中点为M，椭圆右焦点为F1，∵M在以O为圆心，|OF|为半径的圆上，∴F1也在圆上，连接OM, PF1, MF1，则∠FMF1=90∘，OM是△FPF1的中位线，∴|PF1|=2|OM|=2|OF|=2×2=4，由椭圆定义|PF|+|PF1|=2a=6，得|PF|=2，|MF|=|PF|2=1，又∵∠FMF1为直角，|MF1|2=|FF1|2−|MF|2=15，∴tan∠MFF1=|MF1||MF|=√151=√15，∴直线PF的斜率是√15.故答案为：√15.14.【答案】(−1,1]∪{−√2}【考点】曲线与方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】x=√1−y2⇔x2+y2=1(x≥0)方程x2+y2=1(x≥0)所表示的曲线为半圆（如图）当直线与圆相切时或在l2与l3之间时，适合题意．此时−1<b≤1或b=−√2，所以b的取值范围是(−1,1]∪{−√2}．15.【答案】x2−y2=1【考点】双曲线的标准方程圆锥曲线的共同特征【解析】利用椭圆的三参数的关系求出双曲线的焦点坐标；利用等轴双曲线的定义设出双曲线的方程，据双曲线中三参数的关系求出双曲线的方程．【解答】解：对于x 25+y23=1知半焦距为c=√5−3=√2所以双曲线的焦点为(±√2,0)设等轴双曲线的方程为x 2a2−y2a2=1据双曲线的三参数的关系得到2a2=2所以a2=1所以双曲线的方程为x2−y2=1．故答案为：x2−y2=116.【答案】−1【考点】斜率的计算公式中点坐标公式与双曲线有关的中点弦及弦长问题【解析】【解答】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x0,y0)，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，x12−y128=1，x22−y228=1,两式相减得(x1−x2)(x1+x2)=(y1+y2)(y1−y2)8，整理可得x1−x2y1−y2=y08x0，即1k AB=k OD8，同理得1k BC =k OE8，1k AC=k OF8.因为k OD+k OE+k OF=−8，所以1k AB +1k BC+1k AC=−1.故答案为：−1.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 11 分，共计66分）17.【答案】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7； 命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 【考点】逻辑联结词“或”“且”“非” 双曲线的标准方程 一元二次不等式的解法【解析】 此题暂无解析 【解答】解：命题p ：(a +6)(a −7)<0，解得−6<a <7； 命题q ：Δ=(−4)2−4a >0，解得a <4. ∴ ¬q ：a ≥4.∵ “p ∧(¬q)”为真， ∴ p 为真且¬q 为真， ∴ 4≤a <7. 18. 【答案】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线， 所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)， 所以222−(−2)2=λ，得λ=−2，所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1． （2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ， 即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点， 所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．【考点】双曲线的离心率 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）因为所求双曲线与双曲线x 22−y 2=1有公共渐近线，所以可设所求双曲线的方程为x 22−y 2=λ(λ≠0)．因为所求双曲线过点(2,−2)， 所以222−(−2)2=λ，得λ=−2， 所以所求双曲线的方程为y 22−x 24=1． （2）因为双曲线的方程为x 24−y 25=1，所以双曲线的一条渐近线方程为y =√52x ， 即√5x −2y =0．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且(3,0)为双曲线的一个焦点， 所以双曲线x 24−y 25=1的焦点到其渐近线的距离为|3√5−0|3=√5．19.【答案】解：(1)点A 为椭圆C 上任意一点， A 关于原点O 的对称点为B ， 由|AF 1|+|BF 1|=4知 2a =4， 得a =2.又∠F 1AF 2的最大值为π3，知当A 为上顶点时，∠F 1AF 2最大， 所以a =2c ， 得c =1，所以b 2=a 2−c 2=3. 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)由题知NA 的斜率存在，设NA 方程为 y =k(x −4)，与椭圆联立，得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12=0.① 设点A (x 1,y 1),E (x 2,y 2)， 则A ′(x 1,−y 1).直线A ′E 方程为y −y 2=y 2+y1x 2−x 1(x −x 2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y1=k(x1−4),y2=k(x2−4)代入，整理得，x=2x1x2−4(x1+x2)x1+x2−8.②x1+x2=32k24k2+3，x1x2=64k2−124k2+3.代入②整理，得x=1.所以直线A′E与x轴交于定点Q(1,0). 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题与直线关于点、直线对称的直线方程直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)点A为椭圆C上任意一点，A关于原点O的对称点为B，由|AF1|+|BF1|=4知2a=4，得a=2.又∠F1AF2的最大值为π3，知当A为上顶点时，∠F1AF2最大，所以a=2c，得c=1，所以b2=a2−c2=3.所以椭圆C的标准方程为x 24+y23=1.(2)由题知NA的斜率存在，设NA方程为y=k(x−4)，与椭圆联立，得(4k2+3)x2−32k2x+64k2−12=0.①设点A(x1,y1),E(x2,y2)，则A′(x1,−y1).直线A′E方程为y−y2=y2+y1x2−x1(x−x2).令y =0得x =x 2+y 2(x 1−x 2)y 1+y 2，将y 1=k (x 1−4),y 2=k (x 2−4)代入， 整理得，x =2x 1x 2−4(x 1+x 2)x 1+x 2−8.②x 1+x 2=32k 24k 2+3， x 1x 2=64k 2−124k 2+3.代入②整理，得x =1.所以直线A ′E 与x 轴交于定点Q(1,0). 20. 【答案】（1）椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：（1）由椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆C 的方程为x 2a2+y 2b 2=1(ab >0)，椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b =1， 由e =ac √1−b 2a 2=√5解得a 2=5，∴ 椭圆C 的标准方程为x 25+y 2=1．（2）由得F (2,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)设直线l 的方程为y =k (x −2)(k ≠0),代入椭圆方程，消去y 可得 (5k 2+1)x 2−20k 2x +20k 2−5=0, 则x 1+x 2=20k 25k 2+1，x 1x 2=20k 2−55k 2+1．∵ 点C 与点A 关于x 轴对称， ∴ C (x 1,−y 1) ．假设存在N (t,0),使得C ，B ，N 三点共线， 则BN →=(t −x 2,−y 2),CN →=(t −x 1,y 1). ∵ C ，B ，N 三点共线，∴ BN →//CN →，∴ (t −x 2)y 1+(t −x 1)y 2=0， 即(y 1+y 2)t =x 2y 1+x 1y 2 ∴ t =k (x 1−2)x 2+k (x 2−2)x 1k (x 1−2)+k (x 2−2) =2⋅20k 2−55k 2+1−2⋅20k 25k 2+120k 25k 2+1−4=52∴ 存在定点N (52,0),使得C ．B ．N 三点共线．21.【答案】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0， 解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ， 点B 到直线l 的距离为d B ， 点M 到直线l 的距离为d ， 则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 【考点】直线与抛物线结合的最值问题 二次函数在闭区间上的最值 抛物线的标准方程 直线与圆的位置关系【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ 直线l ：x −y +1=0与抛物线C 相切. 由{x −y +1=0，y 2=2px ，得y 2−2py +2p =0，从而Δ=4p 2−8p =0， 解得p =2.∴ 抛物线C 的方程为y 2=4x . (2)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为ty =x −1，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由{ty =x −1，y 2=4x ，消去x 得y 2−4ty −4=0，∴ y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=4t 2+2， ∴ 线段AB 的中点M 的坐标为(2t 2+1,2t). 设点A 到直线l 的距离为d A ， 点B 到直线l 的距离为d B ， 点M 到直线l 的距离为d ， 则d A +d B =2d =2⋅2√2=2√2|t 2−t +1| =2√2|(t −12)2+34|，∴ 当t =12时，A ，B 两点到直线l 的距离之和最小，最小值为3√22. 22. 【答案】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =ca =2，则a ＝2c ． 又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1． 又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0． ∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x 1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x 12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0． 解得：k =16或k =32． 又由k >1，则k =32． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）根据题意，由椭圆离心率可得a ＝2c ，进而可得b =√3c ，则椭圆的标准方程为x 24c 2+y 23c 2=1，将P 的坐标代入计算可得c 的值，即可得答案； （2）根据题意，设直线l 的方程为y ＝kx +1，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，将直线的方程与椭圆联立，可得(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0，由根与系数的关系分析，：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得3(−83+4k 2)+10(−8k3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0，解可得k 的值，即可得答案． 【解答】（1）根据题意，椭圆的离心率为12，即e =c a=2，则a ＝2c ．又∵ a 2＝b 2+c 2，∴ b =√3c ． ∴ 椭圆的标准方程为：x 24c 2+y 23c 2=1． 又∵ 点P(1, 32)为椭圆上一点，∴ 14c 2+943c 2=1，解得：c ＝1．∴ 椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．（2）由椭圆的对称性可知直线l 的斜率一定存在，设其方程为y ＝kx +1． 设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)．联列方程组：{x 24+y 23=1y =kx +1 ，消去y 可得：(3+4k 2)x 2+8kx −8＝0．∴ 由韦达定理可知：x 1+x 2=−8k 3+4k 2，x 1x 2=−83+4k 2．∵ k 1=y 1x1+2，k 2=y 2x 1−2，且k 1＝2k 2，∴ y 1x 1+2=2y 2x 2−2，即y 12(x 1+2)2=4y 22(x 2−2)2．①又∵ M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)在椭圆上， ∴ y 12=34(4−x 12)，y 22=34(4−x 22)．② 将②代入①可得：2−x12+x 1=4(2+x 2)2−x 2，即3x 1x 2+10(x 1+x 2)+12＝0．∴ 3(−83+4k 2)+10(−8k 3+4k 2)+12=0，即12k 2−20k +3＝0．解得：k =16或k =32． 又由k >1，则k =32．。

一、选择题1．已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点.若4FA FB =，则k =（ ）A ．45B C ．23D 2．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54 B ．45C ．43D ．343．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 分别向抛物线C 的准线作垂线，垂足为M ，N ，且()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，当直线AB 经过点F 且点F 到抛物线C 准线的距离为4时，直线l 的斜率为（ ）A ．2±B ．±C ．8±D ．±4．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2223x y -+=截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D5．已知点()P m n ,是抛物线214y x =-上一动点，则A．4B ．5C D ．66．过椭圆:T 2212x y +=上的焦点F 作两条相互垂直的直线12l l 、，1l 交椭圆于,A B 两点，2l 交椭圆于,C D 两点，则AB CD +的取值范围是（ ）A ．⎣B ．3⎡⎢⎣ C ．3⎡⎢⎣ D ．⎣ 7．已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ） A ．221124x y +=B ．2211612x y +=C ．221128x y +=D ．2212016x y +=8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若双曲线右支上存在一点P ，使得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ） A ．2313e <<B ．23e >C ．3e >D ．13e <<9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．26,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．222,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．32,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭10．已知1F ，2F 是离心率为13的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，M 是椭圆上第一象限的点，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则（ ） A ．12S SB ．122S S =C ．1232S S =D ．1243S S =11．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24x y =，圆的半径为r ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞12．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．)2,+∞B ．)2,⎡+∞⎣C ．(2D ．(2⎤⎦二、填空题13．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后.反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线22y x =，平行于x 轴的光线在抛物线上点P 处反射后经过抛物线的焦点F ，在抛物线上点Q 处再次反射，又沿平行于x 轴方向射出，则两平行光线间的最小距离为___________.14．在双曲线22221x y a b -=上有一点P ，12,F F 分别为该双曲线的左、右焦点，121290,F PF F PF ∠=︒的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.15．已知点F 为抛物线2:2C x y =的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，则4AB DE +的最小值为_________.16．已知点A ，B 为抛物线C ：24y x =上不同于原点O 的两点，且OA OB ⊥，则OAB 的面积的最小值为__________.17．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线AB 交抛物线于A ,B 两点，交准线于点C ，若|BC |=2|BF |，则|AB |=_____.18．已知椭圆2212x y +=上存在相异两点关于直线y x t =+对称，则实数t 的取值范围是______.19．对抛物线C ：24x y =，有下列命题：①设直线l ：1y kx =+，则直线l 被抛物线C 所截得的最短弦长为4；②已知直线l ：1y kx =+交抛物线C 于A 、B 两点，则以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切；③过点()()2,P t t R ∈与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；④若抛物线C 的焦点为F ，抛物线上一点()2,1Q 和抛物线内一点()()2,1R m m >，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分RQF ∠；其中你认为是正确命题的所有命题的序号是______. 20．已知下列几个命题：①ABC 的两个顶点为(4,0)A -，(4,0)B ，周长为18，则C 点轨迹方程为221259x y +=； ②“1x >”是“||0x >”的必要不充分条件；③已知命题:33p ≥，:34q >，则p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假；④双曲线221916x y -=-的离心率为54．其中正确的命题的序号为_____．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()2:20C x py p =>，过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线相交于M ､N 两点.（1）若l 与y 轴垂直，且OMN 的周长为4+C 的方程； （2）在第一问的条件下，过点()1,2P 作直线m 与抛物线C 交于点A ，B ，若点P 是AB 的中点，求直线m 的方程.22．已知点A 、B 坐标分别是(-，0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且它们斜率之积是12-． （1）试求点P 的轨迹Γ的方程；（2）已知直线:4l x =-，过点()2,0F -的直线（不与x 轴重合）与轨迹Γ相交于M ．N 两点，过点M 作MD l ⊥于点D ．求证：直线ND 过定点，并求出定点的坐标．23．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过如下四个点中的三个，112P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()20,1P ，312P ⎫⎪⎭，，)4P 1.（1）求椭圆M 的方程;（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆经过椭圆M 的右顶点C (A ，B 均不与点C 重合)，证明:直线l 过定点.24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ∆的面积为92. （1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.25．已知抛物线24C y x =：的交点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点 （1）当直线l 的倾斜角为135°时，求AB（2）若过点P （1,2）的直线m 与抛物线C 相切，且直线//m 直线l ，求直线l 的方程 26．如图，已知抛物线2:2(0)M x py p =>的焦点为(0,1)F ，过焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，在A ，B 两点处的切线相交于N ，再分别过A ，B 两点作准线的垂线，垂足分别为C ，D .（1）求证：点N 在定直线上；（2）是否存在点N ，使得BDN 的面积是ACN △的面积和ABN 的面积的等差中项，若存在，请求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，由4FA FB =可得出124y y =，代入韦达定理求出正数m 的值，即可求得k 的值.【详解】 设10m k=>，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则直线AB 的方程可表示为2x my =-，联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，整理得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m .由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由4FA FB =得()12242x x +=+，即124my my =，124y y ∴=，12258y y y m ∴+==，可得285m y =，则22122844165m y y y ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 0m >，解得54m =，因此，145k m ==. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.2．D解析：D 【分析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则可得切线,GP GQ 的方程，即可得到直线PQ 的方程，进而可求出点点,M N 的坐标，再结椭圆方程可求出2231OMON+的值【详解】解：设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=， 所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x+=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==，故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，解题的关键是设点33(,)G x y ，再由已知条件得到直线PQ 的方程为334x x y y +=，从而可得,M N 的坐标，进而可得答案，考查计算能力和转化能力，属于中档题3．B解析：B 【分析】根据题意，求得4p =，可得抛物线的方程，因为()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，所以49OMN OAB ABMN S S S +=梯形△△，根据面积公式，结合抛物线定义，即可求得AB ，不妨设AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程，与抛物线联立，根据韦达定理，可求得A B x x +的值，代入弦长公式，即可求得答案. 【详解】因为点F 到抛物线C 准线的距离为4，所以4p =，所以28y x =，设抛物线C 的准线与x 轴交于点H ，因为()95OBN OAM ABNM S S S +=梯形△△，所以()()11422192M N A BOMN OABABMNM N OH y y OF y y S S S AM BN y y ⋅-+⋅-+==+⋅-梯形△△，因为2OH OF ==，M N A B y y y y -=-，AM BN AB +=，所以449OMN OAB ABMN S S S AB +==梯形△△，则9AB =，显然直线AB 的斜率存在，不妨设为k ，则():2AB y k x =-， 与抛物线联立可得：()22224840k x k x k -++=， 从而284A B x x k +=+， 所以28489A B A k B x x =++=+=，解得k =±. 故选：B【点睛】解题的关键是根据面积的关系，得到49OMN OAB ABMN S S S +=梯形△△，结合图象，可求得9AB =，再利用抛物线的弦长公式求解，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.4．D解析：D 【分析】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k 的值，再利用21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得双曲线C 的离心率e 的值. 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a=±， 圆()2223x y -+=的圆心坐标为()2,0，半径为3r =圆心到直线y kx =的距离为221k d k =+另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理， 可得2212d r =-=2221k k =+，解得1k =±，1ba∴=， 因此，双曲线C 的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．D解析：D 【分析】 先把抛物线214y x =-化为标准方程，求出焦点F (0,-1),运用抛物线的定义，找到2222(1)(4)(5)m n m n +++-++的几何意义，数形结合求最值.【详解】 由214y x =-，得24x y =-． 则214y x =-的焦点为()0,1F -．准线为:1l y =． 2222(1)(4)(5)m n m n +++-++几何意义是点()P m n ,到()0,1F-与点()4,5A -的距离之和，如图示：根据抛物线的定义点()P m n ,到()0,1F -的距离等于点()P m n ,到l 的距离，2222(1)(4)(5)m n m n ++-++|PF |+|PA |=|PP 1|+|PA |,所以当P 运动到Q 时，能够取得最小值. 最小值为：|AQ 1|=()156--=． 故选：D. 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．6．C解析：C 【分析】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，可直接求得AB CD +=12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-，则可得直线1l 的方程，与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，可求得AB 的表达式，同理可求得CD 的表达式，令21k t +=，则可得2112t tAB CD +=+-，令2112y t t =+-，根据二次函数的性质，结合t 的范围，即可求得AB CD +的范围，综合即可得答案. 【详解】当直线12l l 、有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在，则直线2l 斜率为0，此时AB =，22b CD a ===所以AB CD +=当直线12l l 、的斜率都存在且不为0时，不妨设直线1l 的斜率为k ，则直线2l 的斜率为1k-， 不妨设直线12l l 、都过椭圆的右焦点(1,0)F ， 所以直线1:(1)l y k x =-，直线21:(1)l y x k=--， 联立1l 与椭圆T 22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2222)202142(-=+-+x k x k k ， 22222(4)4(12)(22)880k k k k ∆=--+-=+>，22121222422,1212k k x x x x k k-+=⋅=++，所以12AB x =-=22)12k k +==+，同理22221))2112k k CD k k ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以B C A D += 令21k t +=，因为0k ≠，所以1t >，所以22222))122211(21)(1)k k AB t D k k t t t C +++=+=++--++=+=22t t =+-令2211119224y t t t ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭， 因为1t >，所以1(0,1)t∈，所以92,4y ⎛⎤∈ ⎥⎦⎝，所以141,92y ⎡⎫∈⎪⎢⎭⎣，所以13AB CD y ⎡+=∈⎢⎢⎣， 综上AB CD +的取值范围是⎣. 故选：C 【点睛】解题的关键是设出直线的方程，结合韦达定理及弦长公式，求得AB CD +的表达式，再根据二次函数性质求解，易错点为需求直线12l l 、中有一个不存在时，AB CD +的值，考查计算求值的能力，属中档题.7．C解析：C 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=列方程可解得a ，b ，即可得到椭圆的方程． 【详解】22||2||AF BF =，2||3||AB BF ∴=， 又1||||AB BF =，12||3||BF BF ∴=， 又12||||2BF BF a +=，2||2aBF ∴=， 2||AF a ∴=，13||2BF a =， 12||||2AF AF a +=，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt2AF O 中，22cos AF O a∠=，在12BF F △中，由余弦定理可得22221316()()822cos 2242a a a BF F a a +--∠==⨯⨯． 221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得22802a a a -+=，解得212a =．2221248b a c =-=-=．椭圆C 的方程为：221128x y +=．故选：C ． 【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.8．B解析：B 【分析】设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，设2F 关于直线1PF 的对称点为点M ，推导出12MF F △为等边三角形，可得出tan 30ba >，再由公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得该双曲线离心率的取值范围. 【详解】 如下图所示：设点()2,0F c ，设点P 在第一象限，由于2F 关于直线1PF 的对称点在y 轴上，不妨设该点为M ，则点M 在y 轴正半轴上， 由对称性可得21122MF MF F F c ===，22113MO MF OF c =-=，所以，1260MF F ∠=，则1230PF F ∠=， 所以，双曲线的渐近线b y x a =的倾斜角α满足30α>，则123tan b PF F a >∠= 因此，该双曲线的离心率为2222222313c c a b b e a a a a +⎛⎫====+> ⎪⎝⎭. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.9．B解析：B 【分析】由题意设椭圆的左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形，再根据椭圆的定义化简得22cos 2sin a c c ＝＋αα，得到离心率关于α的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数的单调性求得离心率的范围. 【详解】由题意椭圆22221x y a b+=()00a b >>，上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为N ，连接AN ，BN ，因为AF ⊥BF ，所以四边形AFBN 为长方形．根据椭圆的定义：2AF AN a +=，由题∠ABF ＝α，则∠ANF ＝α， 所以22cos 2sin a c c αα+＝， 利用2112sin cos 24c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴342πππα<+<21624πα<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭e 的取值范围是26⎝⎭，故选B . 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的取值范围问题，其中解答中合理利用椭圆的定义和题设条件，得到22cos 2sin a c c ＝＋αα,再利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10．D解析：D 【分析】设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，则可得4Sr c=，从而可得1121122244S SF F r c S c ==⋅⋅=，再由G 是12MF F △的重心，可得11222213323MOF MF F SS S S ==⨯=，进而可得结果 【详解】解：由于椭圆的离心率为13，所以13c a =，即3a c =，设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，则121211()(22)422S MF MF F F r a c r cr =++=+=，所以4Sr c=， 所以1121122244S S F F r c S c ==⋅⋅=， 因为G 是12MF F △的重心， 所以11222213323MOF MF F S S S S ==⨯=， 所以1234S S =，即1243S S =， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的性质的应用，解题的关键是设12MF F △的面积为S ，内切圆半径为r ，然后求出4Sr c=，进而可表示出1S ，2S ，从而可得结果，属于中档题 11．A解析：A 【分析】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，求出2PQ ，当2PQ 的最小值在原点处取得时，圆P 过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点． 【详解】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，22222()4()(2)44PQ x y a y y a y a a =+-=+-=-++-，若2PQ 的最小值不在(0,0)O 处取得，则圆P 不过原点， 所以20a ->，即2a >，此时圆半径为2r ==>．因此当2r >时，圆无法触及抛物线的顶点O ．故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为(0,)P a ，抛物线上点的坐标为(,)Q x y ，求出PQ ，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．12．C解析：C 【分析】把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围． 【详解】 设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e-=-=>． 又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ． 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．二、填空题13．【分析】作出图像设题中问题即为求的最小值设直线联立用韦达定理表示即可得解【详解】根据题意作出图像如图所示设题中问题即为求的最小值设由得所以所以当时最小为2故答案为：2 解析：2作出图像，设1122(,),(,)A x y B x y ，题中问题即为求12||y y -的最小值，设直线，联立，用韦达定理表示即可得解. 【详解】根据题意作出图像，如图所示，设1122(,),(,)A x y B x y ，题中问题即为求12||y y -的最小值.设1:2AB x ty =+， 由2122x ty y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2210y ty --=，所以12122,1y y t y y +==-. 所以22121212||()444y y y y y y t -=+-=+当0t =时，12||y y -最小为2. 故答案为：2.14．5【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式可设的三边长表示为最后根据勾股定理得到根据齐次方程求解离心率【详解】设并且的三边成等差数列最长的边为则三边长表示为又整理为两边同时除以得解得：或（舍）所解析：5 【分析】首先根据双曲线的定义和等差数列的形式，可设12PF F △的三边长表示为24,22,2c a c a c --，最后根据勾股定理得到22650c ac a -+=，根据齐次方程求解离心率.设12PF PF >，并且122PF PF a -=，12PF F △的三边成等差数列，最长的边为2c ，则三边长表示为24,22,2c a c a c --， 又1290F PF ∠=，()()22224224c a c a c ∴-+-=，整理为22650c ac a -+=，两边同时除以2a 得，2650e e -+=，解得：5e =或1e =（舍），所以双曲线的离心率是5. 故答案为：5 【点睛】方法点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合问题，求离心率是圆锥曲线常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.15．18【分析】设直线的方程为联立方程组分别求得和结合基本不等式即可求得的最小值得到答案【详解】由题抛物线的焦点准线方程为设直线的方程为联立方程组则设可得由抛物线的定义可得由可将上式中的换为可得则当且仅解析：18 【分析】设直线1l 的方程为12y kx =+，联立方程组，分别求得222AB k =+和22||2DE k=+，结合基本不等式，即可求得4AB DE +的最小值，得到答案. 【详解】由题，抛物线2:2C x y =的焦点10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12y 设直线1l 的方程为12y kx =+，0k ≠， 联立方程组2212x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，则2210x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得122x x k +=，()21212121112122y y kx kx k x x k +=+++=++=+由抛物线的定义可得212||122AB y y k =++=+， 由12l l ⊥，可将上式中的k 换为1k -，可得22||2DE k=+，则224102102184AB DE k k ⎛⎫+=++≥+⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当k = 则4AB DE +的最小值为18 故答案为：18 【点睛】方法点睛：本题考查抛物线的焦点弦，考查基本不等式的应用，与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2PF px =+或2PF p y =+. 16．【分析】设利用可得即可求得利用两点间距离公式求出面积利用基本不等式即可求最值【详解】设由可得解得：所以当且仅当时等号成立所以的面积的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设坐标采用 解析：16【分析】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用OA OB ⊥可得0OA OB ⋅=即可求得1216y y =-，利用两点间距离公式求出OA 、OB ，面积12OABS OA OB =，利用基本不等式即可求最值. 【详解】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由OA OB ⊥可得2212121212104416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⋅=⨯+=+= ⎪⎝⎭， 解得：1216y y =-，1OA y ==OB y ==11122OABSO y O y A B ==12⨯=≥=，22221212216161616y y y y+=+≥=，所以16OABS≥==，当且仅当12y y =时等号成立， 所以OAB 的面积的最小值为16， 故答案为：16. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设A ，B 坐标，采用设而不求的方法，将OA OB ⊥转化为0OA OB ⋅=，求出参数之间的关系，再利用基本不等式求12OABSOA OB =的最值. 17．【分析】分别过作准线的垂线利用抛物线的定义将到焦点的距离转化到准线的距离利用已知和相似三角形的相似比建立关系式求解可算得弦长【详解】设可知如图作垂直于准线分别于则又解得故答案为：【点睛】1本题体现了 解析：163【分析】分别过,A B 作准线的垂线，利用抛物线的定义将,A B 到焦点的距离转化到准线的距离，利用已知和相似三角形的相似比，建立关系式，求解,AF BF 可算得弦长. 【详解】设242y x px ==，可知2p =如图，作AM ,BN 垂直于准线分别于,M N ，则BN BF =， 又2BC BN =，23CB CF =，23BN p ∴= 43BN =，83BC =，4CF ∴= 2CF AM CA=，244CF AM CA AM ∴==+，解得4AM =4AF ∴=416433AB AF BF ∴=+=+= 故答案为：163【点睛】1.本题体现了数形结合，解析几何问题，一定要注意对几何图形的研究，以便简化计算2. 抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．18．【分析】设对称的两点为直线的方程为与联立可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求的中点利用判别式以及在直线上即可求解【详解】设椭圆存在关于直线对称的两点为根据对称性可知线段被直线直平分且的中点在直解析：⎛ ⎝⎭【分析】设对称的两点为()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为y x b =-+与2212x y +=联立可得利用根与系数的关系以及中点坐标公式可求AB 的中点()00,M x y ，利用判别式0∆>以及()00,M x y 在直线y x t =+上即可求解.【详解】设椭圆2212x y +=存在关于直线y x t =+对称的两点为()11,A x y ，()22,B x y ，根据对称性可知线段AB 被直线y x t =+直平分， 且AB 的中点()00,M x y 在直线y x t =+上，且1AB k =-， 故可设直线AB 的方程为y x b =-+，联立方程2222y x bx y =-+⎧⎨+=⎩，整理可得2234220x bx b -+-=， ∴1243b x x +=，()1212223by y b x x +=-+=，由()221612220b b ∆=-->，可得b <<， ∴120223x x b x +==，12023y y b y +==， ∵AB 的中点2,33b b M ⎛⎫⎪⎝⎭在直线y x t =+上，∴233b b t =+，可得3b t =-，t <<.故答案为：⎛ ⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用直线AB 与直线y x t =+垂直可得直线AB 的斜率为1-，可设直线AB 的方程为y x b =-+，代入2212x y +=可得关于x 的一元二次方程，利用判别式0∆>，可以求出b 的范围，利用韦达定理可得AB 的中点()00,M x y 再代入y x t =+即可t 与b 的关系，即可求解.19．①②④【分析】①将抛物线与直线联立消去利用根与系数关系求出再由弦长公式即可求出弦长进而可求出弦长的最小值即可判断①的正误；②利用中点坐标公式求出以为直径的圆的圆心的纵坐标判断圆心到直线的距离与半径的解析：①②④ 【分析】①将抛物线与直线联立消去y ，利用根与系数关系求出12x x +，12x x ，再由弦长公式即可求出弦长，进而可求出弦长的最小值，即可判断①的正误；②利用中点坐标公式，求出以AB 为直径的圆的圆心的纵坐标，判断圆心到直线的距离121y y ++与半径||2AB r =的大小关系，即可判断②的正误； ③将2x =代入24x y =，可得()2,1P 在抛物线上，此时当直线的斜率不存在时，只有一个交点，当直线与抛物线相切时，也只有一个交点，故与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，可判断③错误；④设1l 的方程为()12y k x -=-，将直线与抛物线联立消去y ，利用判别式即可求出k ，进而可求出直线1l 的倾斜角，即可判断④的正误. 【详解】①联立方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得2440x kx --=，216160k ∆=+>恒成立，设两交点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ， 所以由根与系数的关系得124x x k +=，124x x ⋅=-，故AB ==2444k =+≥，当0k =时，AB 取得最小值4，所以最短弦长为4，故①正确，②由①可知124x x k +=，则21212242y y kx kx k +=++=+，故以AB 为直径的圆的圆心坐标为()22,21k k +，半径2222ABr k ==+， 抛物线24x y =的准线方程为1y =-，故圆心到准线1y =-的距离2221122d k k r =++=+=， 所以以AB 为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故②正确，③将2x =代入24x y =，解得1y =，所以当1t =时，即()2,1P 在抛物线上， 当直线的斜率不存在时，方程为2x =，此时只有一个交点()2,1，当直线斜率存在且只与抛物线只有一个交点时，当且仅当该直线为切线时满足条件， 所以过点()2,P t 只与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，故③错误， ④因为抛物线的焦点为()0,1F ，又()2,1Q ，()2,R m ， 所以三角形FQR 为直角三角形且过()2,1Q 的切线斜率一定存在， 设1l 的方程为()12y k x -=-，代入24x y =，可得24840x k k -+-=，由()2164840k k ∆=--=可得1k =，即直线1l 的倾斜角为45︒，因为直线2l 过点Q 且与1l 垂直，所以一定平分RQF ∠，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：直线与抛物线交点问题的解题思路：(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组； (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．20．③④【分析】根据椭圆定义可对①进行判断；根据必要不充分条件定义可对②进行判断；根据复合命题的真假可对③进行判断；根据双曲线的离心率公式可对④进行判断【详解】①的两个顶点为周长为18则C 点轨迹方程为当解析：③④ 【分析】根据椭圆定义可对①进行判断；根据必要不充分条件定义可对②进行判断；根据复合命题的真假可对③进行判断；根据双曲线的离心率公式可对④进行判断. 【详解】①ABC 的两个顶点为(4,0)A -，(4,0)B ，周长为18，则C 点轨迹方程为221259x y +=(5)x ≠±，当5x =±时，构不成三角形，错误； ②当0.1x =时，1x <，所以||0x >不一定有1x >，错误；③已知命题:33p ≥是真命题，:34q >是假命题，根据复合命题的真假判断，p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为假，正确；④双曲线221916x y -=-，2216,9a b ==，所以22225c a b =+=，54c e a ==，正确．其中正确的命题的序号是③④， 故答案为：③④. 【点睛】本题考查了椭圆定义、双曲线离心率、必要不充分条件及复合命题真假的判断，属于基础题.三、解答题21．（1）24x y =；（2）230x y -+=. 【分析】 （1）将将2py =代入抛物线C 的方程可求得,M N 坐标，得,,MN OM ON ，由OMN 的周长参数p ，得抛物线方程；（2）设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由,A B 坐标表示出直线斜率，结合中点坐标即得直线斜率，得直线方程． 【详解】解：（1）由题意，焦点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将2p y =代入抛物线C 的方程可求得,2p M p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,2p N p ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴2MN p =，2OM ON p ===，所以QMN的周长为24p +=+2p =，故抛物线方程为24x y =.（2）设点211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，直线m 的斜率为2212121244x x x x x x -+=-， 由条件1212x x +=，故直线m 的斜率为12，从而直线m 的方程为230x y -+=.【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线方程，求中点弦所在直线方程．已知弦中点坐标，一般设弦两端点坐标为1122(,),(,)x y x y 代入圆锥曲线方程相减即可得中点坐标与直线斜率关系．这称为“点差法”．22．（1）221(84x y x +=≠±；（2）证明见解析，()3,0-.【分析】（1）首先设点(),P x y ，利用12PA PB k k ⋅=-，转化为关于,x y 的方程；（2）方法一，首先由椭圆的对称性可知定点必在x 轴上，设:2MN x my =-，与椭圆方程联立，由根与系数的关系得到()1212my y y y =-+，并求出直线ND 的方程，求与x 轴的交点；方法二，直线:2MN x my =-与椭圆方程联立后，利用求根公式求得两个交点的纵坐标，再代入直线ND 的方程，化简，求定点的坐标. 【详解】（1）设(),P x y ，由题意得：12PA PB k k ⋅=-12=-，化简得22184x y +=．又x ≠±，∴点P的轨迹方程为221(84x y x +=≠±．（2）方法一：由椭圆的对称性知，直线ND 过的定点必在x 轴上， 由题意得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+， ∴()1212my y y y =-+，2112:(4)4y y ND y x y x -=+++，令0y =， ∴()()12122121424y x y my x y y y y +++=-=---()1211212121221y y y my y y y y y y -+++=-=-=--，3x =-，∴直线ND 过定点()3,0-．方法二：由题意可得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+，122y m =+，222y m =+， ()2112121122(4)2:(4)42y y x my y y y y ND y x y x my -+++-=++=++2244)2222m x m m m my -+++++=+。

第二章综合能力检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵方程mx 2＋ny 2＝1，即x 21m ＋y 21n＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴需有：⎩⎪⎨⎪⎧1m >0，1n >0，1m <1n.∴m >n >0，故互为充要条件．2．椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，则k 应满足的条件是( )A ．k >3B ．2<k <3C ．k ＝2D ．0<k <2[答案] C[解析] k >0，c ＝9－k 2＝k ＋3，∴k ＝2.3．(2012·东营市期末)已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一点，设P到此抛物线准线的距离是d1，到直线x＋y－10＝0的距离是d2，则d1＋d2的最小值是()A. 3 B．2 3C．6 2 D．3[答案] C[解析]抛物线y2＝－8x的焦点F(－2,0)，根据抛物线的定义知，d1＋d2＝|PF|＋d2，显然当由点F向直线x＋y－10＝0作垂线与抛物线的交点为P时，d1＋d2取到最小值，即|－2＋0－10|2＝6 2.4．已知动圆P过定点A(－3,0)，并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝16外切，则动圆的圆心P的轨迹是()A．线段B．双曲线C．圆D．椭圆[答案] B[解析]设动圆P和定圆B外切于M，则动圆的圆心P到两点A(－3,0)和B(3,0)的距离之差恰好等于定圆半径，即|PB|－|P A|＝4，∴点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，故选B.5．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是()A．(1,0) B．(116，0)C．(－1,0) D．(0，－116)[答案] C[解析]x2＝4y关于x＋y＝0，对称的曲线为y2＝－4x，其焦点为(－1,0)．6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33 B.22 C.14 D.12[答案] D[解析]由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝m 2＋n 2，c 2＝am ，2n 2＝2m 2＋c 2.解得c 2a 2＝14，∴e ＝c a ＝12.7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1[答案] A[解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y24＝1.8．已知椭圆2x 2＋y 2＝2的两个焦点为F 1，F 2，且B 为短轴的一个端点，则△F 1BF 2的外接圆方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋(y －1)2＝4[答案] A[解析] 椭圆的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，短轴的一个端点为B (1,0)，可知BF 1⊥BF 2，于是△F 1BF 2的外接圆是以原点为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋y 2＝1.9．双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB |等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．8[答案] A[解析] ∵c a ＝62，2b ＝4，∴a 2＝8，a ＝22， |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝42， |BF 2|－|BF 1|＝2a ＝42，两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝82，又∵|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，|AF1|＋|BF1|＝|AB|，∴|AB|＝8 2.10．设a>1，则双曲线x2a2－y2(a＋1)2＝1的离心率e的取值范围是()A．(2，2) B．(2，5)C．(2,5) D．(2，5)[答案] B[解析]由已知得e＝a2＋(a＋1)2a＝2a2＋2a＋1a2＝1a2＋2a＋2＝(1a＋1)2＋1，∵a>1，∴0<1a<1，∴1<1a＋1<2，∴2<(1a＋1)2＋1<5，∴2<(1a＋1)2＋1<5，故选B.11．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是()[答案] D[解析]解法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为标准方程x2 1a2＋y21b2＝1，y2＝－ab x.因为a>b>0，因此1b>1a>0.所以有椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左．解法二：将方程ax＋by2＝0中的y换成－y，其结果不变，即说明ax＋by2＝0的图象关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y 轴，排除A.12．B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地运转货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是()A．(7＋1)a万元B．(27－2)a万元C．27a万元D．(7－1)a万元[答案] B[解析]设总费用为y万元，则y＝a·(MB＋MC)∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，∴曲线PQ是双曲线的一支，B为焦点，且a＝1，c＝2.由双曲线定义，得MA－MB＝2a，即MB＝MA－2，∴y＝a·(MA＋MC－2)≥a·(AC－2)．以直线AB为x轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A(－2,0)，C(3，3)．∴AC＝(3＋2)2＋(3)2＝27，故y≥(27－2)a(万元)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝____.[答案] 2[解析] 本题考查抛物线的定义． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线y 2＝4x ，焦点为(1,0)，准线为x ＝－1. |AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1. 则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.14．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线l ：x ＋y ＝1交于M 、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线斜率为22，则mn ＝________.[答案] 22[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴mx 21＋ny 21＝1① mx 22＋ny 22＝1②又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，∴①－②得：m －n ·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0， ∵y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝22，∴m ＝22n ，∴m n ＝22. 15．直线y ＝kx ＋1(k ∈R )与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围为________．[答案] m ≥1且m ≠5[解析] 将y ＝kx ＋1代入椭圆方程，消去y 并整理，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5－5m ＝0.由m >0,5k 2≥0，知m ＋5k 2>0，故△＝100k 2－4(m ＋5k 2)(5－5m )≥0对k ∈R 恒成立． 即5k 2≥1－m 对k ∈R 恒成立，故 1－m ≤0，∴m ≥1.又∵m ≠5，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.16．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的双曲线的离心率为________．[答案] 2[解析] ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2.∵AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，∴AC ＝5， ∴2a ＝CA －CB ＝2，∴a ＝1，∴e ＝ca ＝2.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P (32，6)，求抛物线方程和双曲线方程．[解析] 依题意，设抛物线方程为y 2＝2px ，(p >0)， ∵点(32，6)在抛物线上，∴6＝2p ×32， ∴p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x . ∵双曲线左焦点在抛物线的准线x ＝－1上，∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点(32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1， 由⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1.解得a 2＝14，b 2＝34.∴所求双曲线方程为4x 2－43y 2＝1.18．(本小题满分12分)设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点．已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．[解析] 解法一：由已知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 根据直角的不同位置，分两种情况： 若∠PF 2F 1为直角，则 |PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，即 |PF 1|2＝(6－|PF 1|2)＋20，解得 |PF 1|＝143，|PF 2|＝43，故|PF 1||PF 2|＝72；若∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，得 |PF 1|＝4，|PF 2|＝2，故|PF 1||PF 2|＝2.解法二：由椭圆的对称性不妨设P (x ，y )(x >0，y >0)，则由已知可得F 1(－5，0)，F 2(5，0)．根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则P (5，43)，故|PF 1||PF 2|＝72；若∠F 1PF 2为直角，则⎩⎨⎧x 29＋y 24＝1，yx ＋5·y x －5＝－1.解得x ＝355，y ＝455，即P (355，455)， 于是|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，故|PF 1||PF 2|＝2.19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x ，椭圆x 29＋y2m ＝1，它们有共同的焦点F 2，并且相交于P 、Q 两点，F 1是椭圆的另一个焦点，试求：(1)m 的值； (2)P 、Q 两点的坐标； (3)△PF 1F 2的面积．[解析] (1)∵抛物线方程为y 2＝4x ，∴2p ＝4， ∴p2＝1，∴抛物线焦点F 2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c ＝1，a 2＝9＝b 2＋c 2，∴9＝m ＋1，∴m ＝8.(2)解方程组⎩⎨⎧ y 2＝4x ，x 29＋y 28＝1.得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝6，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－ 6.∴点P 、Q 的坐标为(32，6)、(32，－6)． (3)点P 的纵坐标6就是△PF 1F 2的边F 1F 2上的高， ∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y p |＝12×2×6＝ 6.20．(本小题满分12分)设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，求双曲线C 的离心率的取值范围．[解析] 由C 与l 相交于两个不同点，故知方程组⎩⎨⎧x 2a2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实根，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2，且a ≠1. 双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，因为0<a <2且a ≠1. 所以e >62，且e ≠ 2.即离心率e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．21．(本小题满分12分)如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18m ，拱顶离水面的距离为8m ，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若矩形的长|CD |＝9m ，那么矩形的高|DE |不能超过多少m 才能使船通过拱桥？[解析] 如图，以O 点为原点，过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．则B (9，－8)，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．∵点B 在抛物线上，∴81＝－2p ·(－8)， ∴p ＝8116，∴抛物线的方程为x 2＝－818y ，∴当x ＝92时，y ＝－2，∴|DE |＝6，∴当矩形的高|DE |不超过6m 时，才能使船通过拱桥． 22．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程整理得⎝⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.∵直线l 与椭圆有两个不同的交点，∴Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22.即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.(2)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)， 则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k .又A (2，0)，B (0,1)，∴AB →＝(－2，1)． ∵OP →＋OQ →与AB →共线， ∴x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)，∴－42k 1＋2k 2＝－2×221＋2k 2，解得k ＝22. 由(1)知k <－22或k >22，故没有符合题意的常数k .。

第二章 圆锥曲线与方程 单元测试一．选择题：（60分）1．方程x =所表示的曲线是 （ ）（A ）双曲线 （B ）椭圆（C ）双曲线的一部分 （D ）椭圆的一部分2．椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是 （ ）（A ）12 （B ）1或–2 （C ）1或12 （D ）1 3.双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 （ ） （A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）23 4. 抛物线y 2= 4x 上一点P 到焦点F 的距离是10, 则P 点的坐标是（ ）（A ）（9, 6） （B ）（6, 9） （C ）（±6, 9） （D ）（9,±6） 5. 若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是2，则双曲线22221x y a b-=的离心率是（ ） A ．54 B ．2 C ． 32D ．4 6．若双曲线1922=-my x 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为 A ．2 B ．14C ．5D ．25 7、直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则b =（ ）.2A .2B - .1C .1D -8、若直线l 过点(3,0)与双曲线224936x y -=只有一个公共点，则这样的直线有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条9、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其交于N M 、两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） A.14322=-y x B.13422=-y x C.12522=-y x D.15222=-y x 10、设离心率为e 的双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，直线l 过点F 且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是 （ ）A ．221k e -<B ． 221k e ->C ．221e k -<D ．221e k ->11、双曲线两条渐近线的夹角为60º，该双曲线的离心率为 （ ）A ．332或2B ．332或2 C ．3或2 D ．3或2 12、若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是（ ）A.(B.⎡⎣C.(2,2)-D.[]2,2- 13（选做）、椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．32二、填空题（20分）1．双曲线14522=-y x 的焦点到渐近线的距离等于 . 2. 椭圆的焦点为F 1、F 2，过点F 1作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段MN 长为532，N MF 2∆的周长为20，则椭圆的离心率为 __________ 3、双曲线22221(,0)x y a b a b-=>和直线2y x =有交点，则它的离心率的取值范围是______________ 4．已知点P(6, y )在抛物线y 2=2p x (p ＞0)上，F 为抛物线焦点， 若|PF |=8, 则点F 到抛物线准线的距离等于三、简答题（70分）1．(12分) 已知椭圆的中心在原点，焦点为F 1()022，-，F 2（0，22），且离心率e =223。

《圆锥曲线与方程》单元测试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）1.方程132-=y x 所表示的曲线是（ ）（A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一部分 （D ）椭圆的一部分 2.平面内两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么 （ ） （A ）甲是乙成立的充分不必要条件 （B ）甲是乙成立的必要不充分条件 （C ）甲是乙成立的充要条件 （D ）甲是乙成立的非充分非必要条件3.椭圆14222=+a y x 与双曲线1222=-y a x 有相同的焦点，则a 的值是 （ ） （A ）12 （B ）1或–2 （C ）1或12（D ）1 4.若抛物线的准线方程为x =–7, 则抛物线的标准方程为（ ）（A ）x 2=–28y （B ）y 2=28x （C ）y 2=–28x（D ）x 2＝28y5．已知椭圆192522=+y x 上的一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，O 为原点，则|ON|等于 （A ）2（B ） 4 （C ） 8（D ）23（ ） 6.顶点在原点，以x 轴为对称轴的抛物线上一点的横坐标为6，此点到焦点的距离等于10，则抛物线焦点到准线的距离等于 （ ） （A ） 4 （B ）8 （C ）16 （D ）327.21F F 为双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且1290F PF ∠= ，则21PF F ∆的面积是 （A ） 2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 （ ）8.过点P （4，4）与双曲线221169x y -=只有一个公共点的直线有几条 （ ） （A ） 1 （B ） 2 （C ）3 （D ）49、已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其交于N M 、两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 10.若椭圆22221x y a b+=，A A '为长轴，B B '为短轴，F 为靠近A 点的焦点，若'B F AB ⊥，则此椭圆的离心率为 （ ） （A ）12 （B）12 （C ） 12 （D）2二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 第二章 圆锥曲线与方程单元测试（时间：120分钟 分值：150分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 以112y 4x 22-=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是A. 14y 16x 22=+B. 116y 4x 22=+C. 112y 16x 22=+D. 116y 12x 22=+2. 动圆的圆心在抛物线x 8y 2=上，且动圆恒与直线02x =+相切，则动圆必过点A. （4，0）B. （2，0）C. （0，2）D. （0，-2）3. AB 是抛物线x 18y 2=的一条过焦点的弦，20|AB |=，AD 、BC 垂直于y 轴，D 、C 分别为垂足，则梯形ABCD 的中位线长为A. 5B.211 C.29 D. 104. 方程2sin y 3sin 2x 22-θ++θ=1所表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线5. 设P 为椭圆1by a x 2222=+上一点，1F 、2F 为焦点，如果∠75F PF 21=°，∠=12F PF 15°，则椭圆的离心率为A. 22B. 23C. 32D. 36 6. 以椭圆1144y 169x 22=+的右焦点为圆心，且与双曲线116y 9x 22=-的渐近线相切的圆的方程为A. 09x 10y x 22=+-+B. 09x 10y x 22=--+C. 09x 10y x 22=-++D. 09x 10y x 22=+++7. 椭圆11a 4y a 5x 222=++的焦点在x 轴上，而它的离心率的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛51,0B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,51C. ⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛55,0D. ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡1,55 8. 设双曲线1b y a x 2222=-与1by a x 2222=+-（0a >，0b >）的离心率分别为1e 、2e ，当a 、b 变化时，21e e +的最小值是A. 4B. 24C.2 D. 229. 设椭圆12y 6x 22=+和双曲线1y 3x 22=-的公共焦点分别为1F 、2F ，P 是两曲线的一个交点，则cos ∠21PF F 的值为A.41 B.31 C.32 D. 31-10. 过抛物线x 4y 2=的顶点O 作互相垂直的两弦OM 、ON ，则M 的横坐标1x 与N 的横坐标2x 之积为A. 64B. 32C. 16D. 411. 抛物线x y 2=和圆()1y 3x 22=+-上最近的两点之间的距离是A. 1B. 2C.1210- D.1211- 12. 已知圆的方程为4y x 22=+，若抛物线过点A （-1，0）、B （1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点F 的轨迹方程是A. 14y 3x 22=+（0y ≠） B. 13y 4x 22=+（0y ≠） C. 14y 3x 22=+（0x ≠） D.13y 4x 22=+（0x ≠）二、填空题（每小题4分，共16分）13. （2004·湖南）1F 、2F 是椭圆C ：14y 8x 22=+的焦点，在C 上满足1PF ⊥2PF 的点P的个数为__________。

12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积． 解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0， 所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。