江苏省木渎高级中学天华学校高三数学 附加题周练(6)

江苏省苏州市木渎高级中学天华学校2020年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量=（1，λ），=（λ，4），若∥，则实数λ=（）A．0 B．±2 C．﹣2 D．2参考答案：B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量的平行的充要条件，写出结果即可．【解答】解：向量=（1，λ），=（λ，4），若∥，可得4=λ2，解得λ=±2．故选：B．2. 已知函数，若存在且，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C略3. 若复数满足（是虚数单位)，则的共轭复数=（）A．B．C．D．参考答案：C4. 一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）6B．8D参考答案：A略5. 用数学归纳法证明：“,在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )A．1 B． C．D．参考答案：C6. （8）执行如图所示的程序框图，若输入A．B．C．D．参考答案：A7. 已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝()x－m，若对?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()A．[，＋∞) B．(－∞，] C．[，＋∞) D．(－∞，－]参考答案：A当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥，故选A.8. 设集合，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件参考答案：A9. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是A. B. C. D.参考答案：C10. 已知集合，集合，若，则实数可以取的一个值是( )A. B. C. D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等差数列中，前项和为,，则的值为____参考答案：2014略12. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且，a2=5，则S6=．参考答案：722【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】=，可得a n+1+1=3（a n+1），利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵=，∴a n+1+1=3（a n+1），∴5+1=3（a1+1），解得a1=1．∴数列{a n+1}是等比数列，公比为3，首项为2．∴a n+1=2×3n﹣1，解得a n=2×3n﹣1﹣1，则S6=﹣6=722．故答案为：722．13. （5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x）+1，当x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，若对任意实数x，都有f（x+a）＜f（x）成立，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：先把绝对值函数化为分段函数，再根据图象的平移得到函数f（x）的图象，观察函数的图象，即可求出a的范围．解答：∵x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，∴当x∈[0，]时，f（x）=﹣3x，x∈（，1]时，f（x）=3x﹣2，由f（x+1）=f（x）+1，可得到f（x）大致图形为，如图所示由图可以看出，当x=时，即D点．若a≥0，则f（+a）≥f（），不满足题意．所以a＜0．由图中知，比D小的为C左边的区域，且不能为A点．C点为f（﹣），此时a=﹣．所以a的范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）故答案为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）点评：本题考查了分段函数的图象和性质，以及含有参数的取值范围，关键是利用数形结合的思想，属于难题．14. 已知函数f（x）是R上的减函数，且y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式组进行化简，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：∵y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．∴y=f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称．即函数f（x）是奇函数，则不等式组，等价为，即，作出不等式组对应的平面区域如图，则u2+v2的几何意义为区域内的点到原点距离的平方，则由图象知原点到直线u=1﹣v，即v+u﹣1=0的距离最小，此时d=，故u2+v2的最小值为d2=，故答案为：15. 由直线所围成的封闭图形的面积为__________.参考答案：16. 一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则这个几何体的体积是_____________________.参考答案：17. 平面向量满足，且，则的夹角等于参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

08江苏省木渎中学天华学校二轮------解析几何1、已知圆C ：22(2)5,x y +-=直线l ：m x －y +1－m =0(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|A B|的长最小时，求直线l 的方程.(1)由22(2)510x y mx y m ⎧+-=⎨-+-=⎩得：(1+m 2)x 2－2(m +1)mx +(m +1)2－5=0…3分△=4m 2(m +1)2－4(1+m 2)[(m +1)2－5] =(4m －1)2+15>0∴直线l 与圆C 相交 ……………………………………………………………7分 (2)圆心C (0，2)到l的距离d =∴||AB === ………………10分 222||||112m m m m≤=+∴当2211mm =+即m =1时，|A B|最小 此时直线l 的方程为x －y =0 ……………………2． 已知直线l 的方程为2x =-，且直线l 与x 轴交于点M ，圆22:1O x y +=与x 轴交于,A B 两点（如图）．（I ）过M 点的直线1l 交圆于P Q 、两点，且圆孤PQ 恰为圆周的14，求直线1l 的方程； （II ）求以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程；（III ）过M 点的圆的切线2l 交（II ）中的一个椭圆于C D 、两点，其中C D 、两点在x 轴上方，求线段CD 的长．解：（I ）PQ 为圆周的1,.42POQ π∴∠=O ∴点到直线1l 的设1l的方程为21(2),.7y k x k =+∴= 1l ∴的方程为2).y x =+ （II ）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，半焦距为c ，则22.a c=椭圆与圆O 恰有两个不同的公共点，则1a =或 1.b =当1a =时，22213,,24c b a c ==-=∴所求椭圆方程为22413y x +=； 当1b =时，222222,1, 2.b c c c a b c +=∴=∴=+= ∴所求椭圆方程为22 1.2x y += （III ）设切点为N ，则由题意得，椭圆方程为221,2x y += 在Rt MON ∆中，2,1MO ON ==，则30NMO ∠=，2l ∴的方程为2)y x =+，代入椭圆2212x y +=中，整理得25820.x x ++= 设1122(,),(,)C x y D x y ，则121282,.55x x x x +=-=CD ∴=3．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点（-3，2），离心率为33，⊙O 的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为4)6()8(22=-+-y x ，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，切点为A 、B.(1)求椭圆的方程；（2）若直线PA 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线PA 的直线方程； （3）求⋅的最大值与最小值.解：（1）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+1015331492222222b a c b a a c b a 所以椭圆的方程为1101522=+y x （2）由题可知当直线PA 过圆M 的圆心（8，6）时，弦PQ 最大因为直线PA 的斜率一定存在， 设直线PA 的方程为：y-6=k(x-8)又因为PA 与圆O 相切，所以圆心（0，0）到直线PA 的距离为10 即101|68|2=+-k k 可得91331==k k 或所以直线PA 的方程为：0509130103=--=+-y x y x 或 （3）设α=∠AOP 则α2,=∠∠=∠AOB BOP AOP 则1201)(21cos 2cos 222-=-=-=∠OPOP OA AOB α 8210||,12210||min max =-==+=OP OP 10200cos |||2-=∠⋅=⋅∴OP AOB OB 18155)(,855)(min max -=⋅-=⋅∴OB OA OB OA4． 如图，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的右顶点，BC 过椭圆中心O ，且AC ·BC =0，||2||BC AC =，（1）求椭圆的方程；（2）若过C 关于y 轴对称的点D 作椭圆的切线DE ，则AB 与DE 有什么位置关系？证明你的结论.答案：（1）A （2，0），设所求椭圆的方程为：224b y x 2+=1(0<b <2)， ……2分 由椭圆的对称性知，|OC |=|OB |，由·=0得，AC ⊥BC ，∵|BC |=2|AC |，∴|OC |=|AC |，∴△AOC 是等腰直角三角形， ∴C 的坐标为（1，1）． ……4分∵C 点在椭圆上，∴22141b +=1，∴b 2=34．所求的椭圆方程为43422y x +=1． ……8分 （2）是平行关系.…………10分 D （-1，1），设所求切线方程为y-1=k （x+1）2213144y kx k x y =++⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，222(13)6(1)3(1)40k x k k x k +++++-= …………12分 上述方程中判别式=29610k k -+=，13k =又13AB k =，所以AB 与DE 平行.…………15分x5． 已知抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M （如图所示）。

实战演练·高三数学附加分20套江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 、CD 是半径为1的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，若PC ＝98，OP ＝12，求PD 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222对应的变换将曲线C 变为曲线C′，求曲线C′的方程．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，圆C 的方程为 ρ＝2acos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 1、x 2、x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知点A(1，2)在抛物线Γ：y 2＝2px 上．(1) 若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3，求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2) 若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线Γ上，记四边AB 、BC 、CD 、DA 所在直线的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值．23. 设m 是给定的正整数，有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )中a i ＝2或－2(1≤i ≤2m)．(1) 求满足“对任意的k(k ∈N *，1≤k ≤m)，都有a 2k －1a 2k＝－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数A ；(2) 若对任意的k 、l(k 、l ∈N *，1≤k ≤l ≤m)，都有| i ＝2k －12la i |≤4成立，求满足“存在k(k ∈N *，1≤k ≤m)，使得a 2k －1a 2k≠－1”的有序数组(a 1，a 2，a 3，…，a 2m )的个数B.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN ＝2AM.求证：AB ＝2AC.B. (选修4-2：矩阵与变换)设二阶矩阵A 、B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，求B －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z均为正数，求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S.(1) 求S＝32的概率；(2) 求S的分布列及数学期望E(S)．23.记1，2，…，n满足下列性质T的排列a1，a2，…，a n的个数为f(n)(n≥2，n∈N*)．性质T：排列a1，a2，…，a n中有且只有一个a i>a i＋1(i∈{1，2，…，n－1})．(1) 求f(3)；(2) 求f(n)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A 、B 、C 、D 、E ，求证：AB·CD ＝BC·DE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知a 、b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换T M 把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a 、b.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求点M ⎝⎛⎭⎫2，π6关于直线θ＝π4的对称点N 的极坐标，并求MN 的长．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x 、y 、z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，正四棱锥PABCD 的侧棱长与底边长都为32，点M 、N 分别在PA 、BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13. (1) 求证：MN ⊥AD ；(2) 求MN 与平面PAD 所成角的正弦值．23.设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，ξ＝0，当四点不共面时，ξ的值为四点组成的四面体的体积．(1) 求概率P(ξ＝0)；(2) 求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E，若△ABC面积S＝34AD·AE，求∠BAC的大小．B. (选修4-2：矩阵与变换)求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002M⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1成立的矩阵M.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O、B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM＝PB，当P变化时，求动点M轨迹的长度．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a、b、c均为正数，且a＋2b＋4c＝3.求1a＋1＋1b＋1＋1c＋1的最小值，并指出取得最小值时a、b、c的值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线．(1) 分别求出凸四边形、凸五边形、凸六边形的对角线的条数；(2) 猜想凸n边形的对角线条数f(n)，并用数学归纳法证明．23.从集合M＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取三个元素构成子集{a，b，c}．(1) 求a、b、c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率；(2) 记a、b、c三个数中相邻自然数的组数为ξ(如集合{3，4，5}中3和4相邻，4和5相邻，ξ＝2)，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，等腰梯形ABCD 内接于圆O ，AB ∥CD.过点A 作圆O 的切线交CD 的延长线于点E.求证：∠DAE ＝∠BAC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫23，π6，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，求点P 到直线l 的距离．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x≥1，y≥1，求证：x2y＋xy2＋1≤x2y2＋x＋y.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在三棱锥PABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O、D分别是AB、PB的中点，PO⊥AB，连结CD.(1) 若PA＝2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为55，求PA.23. 设集合A、B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．(1) 若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；(2) 若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，已知AB 是圆O 的直径，圆O 交BC 于点D ，过点D 作圆O 的切线DE 交AC 于点E ，且DE ⊥AC.求证：AC ＝2OD.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 32 1的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)求经过极坐标为O(0，0)、A ⎝⎛⎭⎫6，π2、B ⎝⎛⎭⎫62，π4三点的圆的直角坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知正数a 、b 、c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知曲线C ：y 2＝2x －4.(1) 求曲线C 在点A(3，2)处的切线方程； (2) 过原点O 作直线l 与曲线C 交于A 、B 两不同点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．23已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1·(1＋a n )＝1.(1) 试计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；(2) 猜想|a n ＋1－a n |与115⎝⎛⎭⎫25n －1(其中n ∈N *)的大小关系，并证明你的猜想．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的一条直径，C 、D 是圆O 上不同于A 、B 的两点，过B 作圆O 的切线与AD 的延长线相交于点M ，AD 与BC 相交于N 点，BN ＝BM.求证：(1) ∠NBD ＝∠DBM ；(2) AM 是∠BAC 的角平分线．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m 1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值；(2) 求A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝532＋2cos θ，y ＝72＋2sin θ(θ为参数)，以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点⎝⎛⎭⎫3，π3为圆心，且过点⎝⎛⎭⎫2，π2的圆．(1) 求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； (2) 求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ＋b ＋c ＝1，a 、b 、c>0.求证： (1) abc ≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 已知直线l ：y ＝2x －4与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，T(t ，0)(t>0且t ≠2)为x 轴上任意一点，连结AT 、BT 并延长与抛物线C 分别相交于A 1、B 1.(1) 设A 1B 1斜率为k ，求证：k·t 为定值；(2) 设直线AB 、A 1B 1与x 轴分别交于M 、N ，令S △ATM ＝S 1，S △BTM ＝S 2，S △B 1TN ＝S 3，S △A 1TN ＝S 4，若S 1、S 2、S 3、S 4构成等比数列，求t 的值．23如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝π2，顶点C 1在底面△ABC 内的射影是点B ，且AC ＝BC ＝BC 1＝3，点T 是平面ABC 1内一点．(1) 若T 是△ABC 1的重心，求直线A 1T 与平面ABC 1所成的角；(2) 是否存在点T ，使TB 1＝TC 且平面TA 1C 1⊥平面ACC 1A 1？若存在，求出线段TC 的长度；若不存在，说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝5，属于特征值λ＝5的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换为(－2，4)，求矩阵M .22. (本小题满分10分)已知直线l 的极坐标方程是ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝42，圆M 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ是参数)．(1) 将直线的极坐标方程化为普通方程； (2) 求圆上的点到直线l 上点距离的最小值．23. (本小题满分10分)如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m.(1) 若m ＝1，求异面直线AP 与BD 1所成角的余弦；(2) 是否存在实数m ，使直线AP 与平面AB 1D 1所成角的正弦值是13若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．24. (本小题满分10分)在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次．在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次．某同学在A 处的命中率为p ，在B 处的命中率为q.该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为X 0 2 3 4 5 Pp 1p 2p 3p 4p 5(1) 若p ＝0.25，p 1＝0.03，求该同学用上述方式投篮得分是5分的概率；(2) 若该同学在B 处连续投篮3次，投中一次得2分，用Y 表示该同学投篮结束后所得的总分．若p<23q ，试比较E(X)与E(Y)的大小．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】从A 、B 、C 、D 四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，锐角△ABC 的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切点．若∠C ＝50°，求∠DEF 的度数．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b (其中a ＞0，b ＞0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某品牌汽车4S 店经销A 、B 、C 三种排量的汽车，其中A 、B 、C 三种排量的汽车依次有5、4、3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．(1) 求该单位购买的3辆汽车均为B 种排量汽车的概率；(2) 记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X ，求X 的分布列及数学期望．23. 已知点A(－1，0)，F(1，0)，动点P 满足AP →·AF →＝2|FP →|.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M 、N ，问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，求矩阵M 的特征值，并任选择一个特征值，求其对应的特征向量．22.(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3，半径R ＝2，试判断圆C 是否通过极点，并求圆C 的极坐标方程．23. (本小题满分10分)如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为4的正方形，顶点S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别是2、1.又P是SC的中点，E是BC上一点，CE＝1，SO＝3，过O在底面内分别作AB、BC垂线Ox、Oy，分别以Ox、Oy、OS为x、y、z轴建立空间直角坐标系．(1) 求平面PDE的一个法向量；(2) 问在棱SA上是否存在一点Q，使直线BQ∥平面PDE？若存在，请给出点Q在棱SA上的位置；若不存在，请说明理由．24.(本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4y，在直线y＝－1上任取一点M，过M作抛物线C的两条切线MA、MB.(1) 求证：直线AB过一个定点，并求出这个定点；(2) 当弦AB中点的纵坐标为2时，求△ABM的外接圆的方程．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 为圆的内接三角形，AB ＝AC ，BD 为圆的弦，且BD ∥AC.过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F.(1) 求证：四边形ACBE 为平行四边形； (2) 若AE ＝6，BD ＝5，求线段CF 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1) 求矩阵A ；(2) 若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x 、y 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4(ρ∈R )对称的曲线的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．(1) 求恰有2人申请A大学的概率；(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．23.设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：①任意n∈N*，有f(n)∈Z；②任意m、n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2) 求f(n)的表达式．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 为四边形ABCD 的外接圆，且AB ＝AD ，E 是CB 延长线上一点，直线EA 与圆O 相切．求证：CD AB ＝ABBE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求：(1) 圆的普通方程； (2) 圆的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为23，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1) 求甲同学至少有4次投中的概率；(2) 求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．23.设S n ＝C 0n －C 1n －1＋C 2n －2－…＋(－1)m C m n －m ，m 、n ∈N *且m ＜n ，其中当n 为偶数时，m ＝n2；当n 为奇数时，m ＝n －12. (1) 证明：当n ∈N *，n ≥2时，S n ＋1＝S n －S n －1；(2) 记S ＝12 014C 02 014－12 013C 12 013＋12 012C 22 012－12 011C 32 011＋…－11 007C 1 0071 007，求S 的值．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上的一点，过D 作直线DP ∥CA ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P.求证：△PAE ∽△BDE.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求矩阵M .C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，设动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)上，且这两点对应的参数分别为θ＝α与θ＝2α(0＜α＜2π)，设PQ 的中点M 与定点A(1，0)间的距离为d ，求d 的取值范围．D. (选修4-5：不等式选讲)已知：a ≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3.【必做题】 第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点且AEEB ＝λ.(1) 证明：D 1E ⊥A 1D ；(2) 若二面角D 1ECD 的大小为π4，求λ的值．23. 设数列{a n }共有n(n ≥3，n ∈N )项，且a 1＝a n ＝1，对每个i(1≤i ≤n －1，i ∈N )，均有a i ＋1a i ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2. (1) 当n ＝3时，写出满足条件的所有数列{a n }(不必写出过程)；(2) 当n ＝8时，求满足条件的数列{a n }的个数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十四)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)已知圆O 的内接△ABC 中，D 为BC 上一点，且△ADC 为正三角形，点E 为BC 的延长线上一点，AE 为圆O 的切线，求证：CD 2＝BD ·EC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1(k ≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a 、k 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知M 是椭圆x 24＋y 212＝1上在第一象限的点，A(2，0)、B(0，23)是椭圆两个顶点，求四边形OAMB 面积的最大值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知a 、b 、c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在正四棱锥PABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M 、N 分别在线段PA 和BD 上，BN ＝13BD.(1) 若PM ＝13PA ，求证：MN ⊥AD ；(2) 若二面角MBDA 的大小为π4，求线段MN 的长度．23. 已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，…，集合S k 中所有元素的平均值记为b k .将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，…，数组T 中所有数的平均值记为m(T)．(1) 若S ＝{1，2}，求m(T)；(2) 若S ＝{a 1，a 2，…，a n }(n ∈N *，n ≥2)，求m(T)．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十五)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，以边AC 上的点O 为圆心，OA 为半径作圆，与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，EC 与圆O 交于点D ，连结AD 并延长交BC 于P ，已知AE ＝EB ＝4，AD ＝5，求AP 的长．B. (选修4-2：矩阵与变换)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02b 对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a 、b 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)如图，在极坐标系中，设极径为ρ(ρ＞0)，极角为θ(0≤θ＜2π)．圆A 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点C 在极轴的上方，∠AOC ＝π6.△OPQ 是以OQ 为斜边的等腰直角三角形，若C为OP 的中点，求点Q 的极坐标．D. (选修4-5：不等式选讲)已知不等式|a－2|≤x2＋2y2＋3z2对满足x＋y＋z＝1的一切实数x、y、z都成立，求实数a的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在空间直角坐标系Axyz中，已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B、D、B1分别在x、y、z轴上，B1A＝3，P是侧棱B1B上的一点，BP＝2PB1.(1) 写出点C1、P、D1的坐标；(2) 设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．23.如图，圆周上有n个固定点，分别为A1，A2，…，A n(n∈N*，n≥2)，在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n.(1) 写出a2，a3，a4的值；(2) 写出a n的表达式，并用数学归纳法证明．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十六)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F.求证：△DEF ∽△EAF.B. (选修4-2：矩阵与变换)若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0－1 2把直线l ：x ＋y －2＝0变换为另一条直线l′：x ＋y －4＝0，试求实数a 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P(0，1)，曲线C 的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求PA·PB 的值．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x ＞0，y ＞0，a ∈R ，b ∈R .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y .【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1，0)，点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N 为平面内的动点，且满足PM →·PF →＝0，PM →＋PN →＝0.(1) 求动点N 的轨迹C 的方程；(2) 设点Q 是直线l ：x ＝－1上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS 、QT ，切点分别为S 、T ，设切线QS 、QT 的斜率分别为k 1、k 2，直线QF 的斜率为k 0，求证：k 1＋k 2＝2k 0.23.各项均为正数的数列{x n }对一切n ∈N *均满足x n ＋1x n ＋1＜2.证明：(1) x n ＜x n ＋1； (2) 1－1n＜x n ＜1.江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十七)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E.若AB ＝10，ED ＝3，求BC 的长．B. (选修42：矩阵与变换) 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．C. (选修44：坐标系与参数方程)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cost ，y ＝2sint (t 为参数)，曲线C 在点(1，3)处的切线为l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．D. (选修45：不等式选讲)设x 、y 、z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，求证：x ＋y ＋z ＝3147.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验，否则不能通过检验，也不再抽检；若少于2件是合格品，则不能通过检验，也不再抽检．假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立．(1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为ξ元，求ξ的概率分布及数学期望．23.已知数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝3n －19，b n ＝2n .将{a n }与{b n }中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{c n }．(1) 试写出c 1，c 2，c 3，c 4的值，并由此归纳数列{c n }的通项公式； (2) 证明你在(1)所猜想的结论．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十八)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，圆O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ，E 为圆O 上一点，AE ＝AC ，DE 交AB 于点F.求证：△PDF ∽△POC.B. (选修4-2：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d (c 、d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.C. (选修4-4：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，已知圆A 的圆心为(4，0)，半径为4，点M 为圆A 上异于极点O 的动点，求弦OM 中点的轨迹的极坐标方程．D. (选修4-5：不等式选讲)已知x、y、z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.(1) 求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2) 求二面角BAB1C平面角的余弦值．23.在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．(1) 当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；(2) 求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(十九)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修4-1：几何证明选讲)如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD 的垂直平分线．已知AB ＝6，CD ＝25，求线段AC 的长度．B. (选修4-2：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求ad －bc 的值．C. (选修4-4：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A 、B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值．。

天华学校2015届高三数学练习卷——函数（1）一、填空题（每小题5分，满分70分） 1.已知,lg ,24a x a==则x =________.2.若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过点(－2，0)，则b =3.若[)1,,618.03+∈=k k a a，()k Z ∈,则k =4. 设25a bm ==，且112a b+=，则m = 。

5.已知,a b 为常数，若34)(2++=x x x f ，2()1024f ax b x x +=++，则b a -5= 。

6.集合2222{|log (23)},{|log (23)}A x y x x B y y x x ==--==-+，则A B =I7.函数2()log )f x x =的最小值为_________.8. 某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为9.已知2(3)4log 3233x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f ++++L 的值等于 ．10. 已知二次函数f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p 2-p+1在区间［-1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)＞0，实数p 的取值范围是11.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______12.已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，，若函数()2f x y =值域为[1,)+∞，且关于x 的不等式()f x c <的解集为(3,3)m m -+，则实数c 的值为 ▲ ．13.已知函数()23f x x x =+，x R Î．若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________．14.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x )3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为天华学校2015届高三数学练习卷——函数（1）答卷2014-9-18班级 姓名 学号 成绩 一、填空题（每小题5分，满分70分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.11.12.13.14.二、解答题（满分90分）15.（本小题满分14分）已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。

2012-2013学年江苏省苏州市木渎高级中学天华学校高三（上）12月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）函数y=sinπxcosπx的最小正周期是 1 ．考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角公式把函数的解析式化为sin（2πx），从而求得它的最小正周期．解答：解：∵函数y=sinπxcosπx=sin（2πx），故函数的周期为=1，故答案为1．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，二倍角公式的应用，属于基础题．2．（5分）（2010•南通模拟）曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是x﹣y+1=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可．解答：解：由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1则切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0点评：考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率，从而利用切点和斜率写出切线的方程．3．（5分）若实数x，y满足则z=x+2y的最大值是 2 ．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+2y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：满足题中约束条件的可行域如图所示．目标函数z=x+2y取得最大值，即使得函数在y轴上的截距最大．结合可行域范围知，当其过点P（0，1）时，Z max=0+2×1=2．故答案为：2．点评：本题考查简单线性规划，解题的重点是作出正确的约束条件对应的区域，根据目标函数的形式及图象作出正确判断找出最优解，4．（5分）（2010•徐州二模）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1﹣BCO的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：三棱锥B1﹣BCO的体积，转化为三棱锥O﹣BCB1的体积，求出O到侧面的距离即可．解答：解：三棱锥B1﹣BCO的体积，转化为三棱锥O﹣BCB1的体积，V==故答案为：点评：本题考查棱锥的体积，是基础题．5．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=，S3=，则a1的值为或6 ．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：设出等比数列的首项和公比，分公比q等于1和不等于1两种情况列式求首项，公比等于1时，三倍的a1即为前三项的和，公比不等于1时用等比数列前n项和公式写出前三项的和．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，若q=1，由，得：若q≠1，则，由①得：，代入②得：，代入①得：a1=6所以a1的值为或6．故答案为或6．点评：本题考查了等比数列的前n项和，考查了分类讨论思想，等比数列的前n项和公式只有在公比不等于1时成立，公比等于时，S n=na1，此题为基础题．6．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为DC的中点，AE与BD交于点F．则= ﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由四边形ABCD是正方形，求得AE的长，再由△ABE∽△F DE，根据相似三角形的对应边成比例，求得EF的大小．再利用另个向量的数量积的定义求得=cos（π﹣∠FDE）的值．解答：解：：∵四边形ABCD是正方形，∴DE=CD=，∠ADE=90°，AB∥CD，∠FDE=45°．∴AE===．∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF，∴BF：DF=AB：DE=2，∴FD=BD=．，=cos（π﹣∠FDE）=••（﹣）=﹣，故答案为﹣．点评：此题考查两个向量的数量积的定义，相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理，属于中档题．7．（5分）已知，且0°＜α＜90°，则cosα的值为．考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由0°＜α＜90°，可求得﹣45°＜α﹣45°＜45°，从而可求得cos（α﹣45°），利用两角和的余弦即可求得cosα的值．解答：解：∵0°＜α＜90°，∴﹣45°＜α﹣45°＜45°，又sin（α﹣45°）=﹣，∴cos（α﹣45°）=，∴cosα=cos[（α﹣45°）+45°]=cos（α﹣45°）cos45°﹣sin（α﹣45°）sin45°=×﹣（﹣）×==．故答案为：．点评：本题考查两角和与差的余弦函数，考查同角三角函数间的基本关系，求得cos（α﹣45°）的值是关键，也是难点，属于中档题．8．（5分）（2010•盐城三模）已知A，B，F分别是椭圆的上、下顶点和右焦点，直线AF与椭圆的右准线交于点M，若直线MB∥x轴，则该椭圆的离心率e= ．考点：椭圆的应用；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题意可知，，，再由A，F，M三点共线可知从而推出，由此能够导出该椭圆的离心率．解答：解：由题意可知，A（0，b），F（c，0），M，，，∵A，F，M三点共线，∴，∴，∴．答案：．点评：本题考查椭圆的离心率，解题时要灵活运用公式，恰当进行等价转化．9．（5分）（2010•孝感模拟）设点P（x0，y0）是函数y=tanx与y=﹣x（x＞0）的图象的一个交点，则（x02+1）（cos2x0+1）= 2 ．考点：弦切互化．专题：计算题；转化思想．分析：由点P（x0，y0）是函数y=tanx与y=﹣x（x＞0）的图象的一个交点，可得出x02=tan2x0，代入（x02+1）（cos2x0+1）化简求值即可得到所求答案解答：解：∵点P（x0，y0）是函数y=tanx与y=﹣x（x＞0）的图象的一个交点∴x02=tan2x0，∴（x02+1）（cos2x0+1）=（tan2x0+1）（cos2x0+1）==2故答案为2点评：本题考查正切函数的图象，解题的关键是根据P（x0，y0）是函数y=tanx与y=﹣x（x ＞0）的图象的一个交点得出x02=tan2x，从而把求值的问题转化到三角函数中，得以顺利解题．10．（5分）在平面直角坐标系中，若符合点A（1，2），B（m，1）到直线l的距离分别为1，2的直线有且仅有2条，则实数m的取值范围是（1﹣2，1+2）．考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题；直线与圆．分析：由A（1，2），B（m，1）到直线l的距离分别为1，2的直线有且仅有2条，知|AB|=＜2+1，由此能求出实数m的取值范围．解答：解：∵A（1，2），B（m，1）到直线l的距离分别为1，2的直线有且仅有2条，如图：∴|AB|=＜2+1，∴1﹣2＜m＜1+2．∴实数m的取值范围是（1﹣2，1+2）．故答案为：（1﹣2，1+2）．点评：本题考查点到直线的距离，两直线的位置关系，体现了数形结合的数学思想，得到不存在和线段AB有交点的直线，是解题的关键．11．（5分）（2010•镇江一模）若不等式对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是k∈[m，+∞），则正整数m只能取1或2 ．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：将不等式两边同除以xy转化为，左边用基本不等式，求其最小值，再由“不等式对于任意正实数x，y总成立”得到求得k的范围，最后由“成立的必要不充分条件是k∈[m，+∞）”，求得正整数m的取值．解答：解：不等式两边同除以xy得：∵不等式对于任意正实数x，y总成立∴对于任意正实数x，y总成立∴∴∴又∵总成立的必要不充分条件是k∈[m，+∞），∴⊆[m，+∞），∴正整数m只能取 1或2故答案为：1或2点评：本题主要考查不等式恒成立，往往转化为求代数式的最值问题，一般有两种方法，一是基本不等式，二是函数法．12．（5分）已知m≥1，n≥1，且，（a＞1），则log a（mn）的最大值为．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：综合题．分析：令log a m=x，（x＞0），log a n=y（y＞0），可得到（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，再通过三角换元即可求得答案．解答：解：依题意，令log a m=x，（x＞0），log a n=y（y＞0），则log2a m=x2，log2a n=y2，=2（log a a+log a m）=2+2x，同理可得，=2+2y，∴log2a m+log2a n﹣﹣﹣（﹣2）=x2+y2﹣2x﹣2﹣2y﹣2+2=0，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，令x﹣1=2cosθ，y﹣1=2sinθ，则x=1+2cosθ，y=1+2sinθ，∴log a（mn）=log a m+log a n=x+y=1+2cosθ+1+2sinθ=2+2sin（θ+）≤2+2．故答案为：2+2．点评：本题考查对数的运算性质，考查三角换元，考查转化思想与抽象思维能力，属于难题．13．（5分）（2011•深圳一模）已知等差数列{a n}首项为a，公差为b，等比数列{b n}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得a m+3=b n成立，则a n= 5n﹣3 ．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；压轴题．分析：先利用a1＜b1，b2＜a3，以及a，b都是大于1的正整数求出a=2，再利用a m+3=b n求出满足条件的b的值即可求出等差数列{a n}的通项公式．解答：解：∵a1＜b1，b2＜a3，∴a＜b以及ba＜a+2b∴b（a﹣2）＜a＜b，a﹣2＜1⇒a＜3，a=2．又因为 a m+3=b n⇒a+（m﹣1）b+3=b•a n﹣1．又∵a=2，b（m﹣1）+5=b•2n﹣1，则b（2n﹣1﹣m+1）=5．又b≥3，由数的整除性，得b是5的约数．故2n﹣1﹣m+1=1，b=5，∴an=a+b（n﹣1）=2+5（n﹣1）=5n﹣3．故答案为5n﹣3．点评：本题考查等差数列与等比数列的基础知识．考查了学生的计算能力以及对数列知识的综合掌握，解题时注意转化思想的运用，属于基础题．14．（5分）（2013•宿迁一模）已知函数f（x）=||x﹣1|﹣1|，若关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是（﹣3，0）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）=||x﹣1|﹣1|的图象，可得方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根是地，m的取值范围，进而求出方程的四个根，进而根据m的范围和二次函数的图象和性质，可得x1x2x3x4的取值范围．解答：解：函数f（x）=||x﹣1|﹣1|的图象如下图所示：由图可知，若f（x）=m的四个互不相等的实数根，则m∈（0，1）且x1，x2，x3，x4分别为：x1=m，x2=2﹣m，x3=m+2，x4=﹣m，∴x1x2x3x4=（m2）2﹣4•m2=（m2﹣2）2﹣4∈（﹣3，0）故答案为：（﹣3，0）点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中画出函数的图象，引入数形结合思想是解答本题的关键二、解答题：本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（14分）（2012•湖北模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（Ⅱ）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值．解答：（本小题满分13分）解：（I）因为，所以．…（1分）又==+=．…（6分）（II）由已知得，…（7分）又因为，所以．…（8分）又因为，所以ac≤6，当且仅当时，ac取得最大值．…（11分）此时．所以△ABC的面积的最大值为．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力．16．（14分）（2012•盐城二模）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，DC=2，点E在PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PAD；（2）当PD∥平面AEC时，求PE：EB的值．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）过A作AF⊥DC于F，根据中线等于斜边一半可得AC⊥DA，再根据线面垂直的性质定理可知AC⊥PA，最后根据线面垂直的判定定理可得AC⊥底面PAD，再根据面面垂直的判定定理可得结论；（2）连接BD交AC于点O，连接EO，根据线面平行的性质定理可知PD∥EO，则PE：EB=DO：OB，而DO：OB=DC：AB=2，从而可求出PE：EB的值．解答：（1）证明：过A作AF⊥DC于F，则CF=DF=AF，所以∠DAC=90°，即AC⊥DA …2分又PA⊥底面ABCD，AC⊂面ABCD，所以AC⊥PA …4分因为PA、AD⊂面PAD，且PA∩AD=A，所以AC⊥底面PAD …6分而AC⊂面ABCD，所以平面AEC⊥平面PAD …8分（2）解：连接BD交AC于点O，连接EO，因为PD∥平面AEC，PD⊂面PBD，面PBD∩面AEC=EO，所以PD∥EO…11分则PE：EB=DO：OB，而DO：OB=DC：AB=2，所以PE：EB=2 …14分点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及线面平行的性质，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于基础题．17．（14分）如图，2012年春节，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为30°，已知S 的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度； （2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．考点：平面向量数量积坐标表示的应用． 专题：平面向量及应用． 分析：（1）摄影者眼部记为点S ，作SC⊥OB 于C ，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB 中，由三（2）以O 为原点，以水平方向向右为x 轴正方向建立平面直角坐标系．设M （cosα，sinα），α∈[0，2数的性质可求答案． 解答： 解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S ，作SC⊥OB 于C ， 依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB 中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO 中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O 为原点，以水平方向向右为x 轴正方向建立平面直角坐 标系．设M （cosα，sinα），α∈[0，2π）， 则N （﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S （3，﹣）．…（8分） 故=（cosα﹣3，sinα+），=（﹣cosα﹣3，﹣sinα+），∴•=（cosα﹣3）（﹣cosα﹣3）+（sinα﹣）（﹣sinα﹣）=11（10分）||•||=×=由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定点评：18．（16分）（2010•盐城一模）已知⊙O：x2+y2=1和点M（4，2）．（Ⅰ）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；（Ⅱ）求以点M为圆心，且被直线y=2x﹣1截得的弦长为4的⊙M的方程；（Ⅲ）设P为（Ⅱ）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）找出圆的圆心坐标和半径，设切线方程的斜率为k，由M的坐标和k写出切线l的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d让d等于半径r得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可；（Ⅱ）根据点到直线的距离公式求出M到已知直线的距离d，然后利用勾股定理即可求出圆M的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可；（Ⅲ）假设存在这样的R点，设出R的坐标，并设出P的坐标，根据圆的切线垂直于过切点的半径得到三角形OPQ为直角三角形，根据勾股定理表示出PQ的长，然后利用两点间的距离公式表示出PR的长，设PQ与PR之比等于λ，把PQ和PR的式子代入后两边平方化简得到一个关系式记作（*），又因为P在⊙M上，所以把P的坐标当然到⊙M的方程中，化简后代入到（*）中，根据多项式对应项的系数相等即可求出R 的坐标和λ的值．解答：解：（Ⅰ）由⊙O：x2+y2=1得到圆心O（0，0）半径r=1，设切线l方程为y﹣2=k（x﹣4），易得，解得，∴切线l方程为；（Ⅱ）圆心M到直线y=2x﹣1的距离d==，设圆的半径为r，则，∴⊙M的方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2=9；（Ⅲ）假设存在这样的点R（a，b），点P的坐标为（x，y），相应的定值为λ，根据题意可得，∴，即x2+y2﹣1=λ2（x2+y2﹣2ax﹣2by+a2+b2）（*），又点P在圆上∴（x﹣4）2+（y﹣2）2=9，即x2+y2=8x+4y﹣11，代入（*）式得：8x+4y﹣12=λ2[（8﹣2a）x+（4﹣2b）y+（a2+b2﹣11）]，若系数对应相等，则等式恒成立，∴，解得，∴可以找到这样的定点R，使得为定值．如点R的坐标为（2，1）时，比值为；点R的坐标为时，比值为．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程，是一道综合题．19．（16分）已知函数f（x）=x（x﹣a）2，g（x）=﹣x2+（a﹣1）x+a（其中a为常数）；（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；（2）设a＞0，问是否存在，使得f（x0）＞g（x0），若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）记函数H（x）=[f（x）﹣1]•[g（x）﹣1]，若函数y=H（x）有5个不同的零点，求实数a的取值范围．考点：函数与方程的综合运用；函数的零点；利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）对函数f（x）求导可得f'（x）=3x2﹣4ax+a2=（3x﹣a）（x﹣a），由f'（x）=0，可得得x=a或，而g（x）在处有极大值，从而可得a（2）假设存在，即存在，使得f（x）﹣g（x）＞0，由，及a＞0，可得x﹣a＜0，则存在，使得x2+（1﹣a）x+1＜0，结合二次函数的性质求解（3）据题意有f（x）﹣1=0有3个不同的实根，g（x）﹣1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．g（x）﹣1=0有2个不同的实根，只需满足；f（x）﹣1=0有3个不同的实根，从而结合导数进行求解解答：解：（1）f（x）=x（x﹣a）2=x3﹣2ax2+a2x，则f'（x）=3x2﹣4ax+a2=（3x﹣a）（x﹣a），令f'（x）=0，得x=a或，而g（x）在处有极大值，∴，或；综上：a=3或a=﹣1．（4分）（2）假设存在，即存在，使得f（x）﹣g（x）=x（x﹣a）2﹣[﹣x2+（a﹣1）x+a]=x（x﹣a）2+（x﹣a）（x+1）=（x﹣a）[x2+（1﹣a）x+1]＞0，当时，又a＞0，故x﹣a＜0，则存在，使得x2+（1﹣a）x+1＜0，（6分）1°当即a＞3时，得，∴a＞3；2°当即0＜a≤3时，得a＜﹣1或a＞3，∴a无解；综上：a＞3．（9分）（3）据题意有f（x）﹣1=0有3个不同的实根，g（x）﹣1=0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．（ⅰ）g（x）﹣1=0有2个不同的实根，只需满足；（ⅱ）f（x）﹣1=0有3个不同的实根，1°当即a＜0时，f（x）在x=a处取得极大值，而f（a）=0，不符合题意，舍；2°当即a=0时，不符合题意，舍；3°当即a ＞0时，f （x ）在处取得极大值，；所以；因为（ⅰ）（ⅱ）要同时满足，故；（注：也对）（12分）下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在x 0使得f （x 0）﹣1=0和g （x 0）﹣1=0同时成立； 若存在x 0使得f （x 0）=g （x 0）=1，由f （x 0）=g （x 0），即x 0（x 0﹣a ）2=﹣x 02+（a ﹣1）x 0+a ，得（x 0﹣a ）（x 02﹣ax 0+x 0+1）=0，当x 0=a 时，f （x 0）=g （x 0）=0，不符合，舍去；当x 0≠a 时，既有x 02﹣ax 0+x 0+1=0①；又由g （x 0）=1，即﹣x 02+（a ﹣1）x 0+a②； 联立①②式，可得a=0；而当a=0时，H （x ）=[f （x ）﹣1]•[g（x ）﹣1]=（x 3﹣1）（﹣x 2﹣x ﹣1）=0没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等． 综上，当时，函数y=H （x ）有5个不同的零点． （16分）点评： 本题主要考查了导数在求解极值中的应用，解得本题不但要熟练掌握函数的导数的相关的知识，还要具备一定的逻辑推理的能力，此题对考生的能力要求较高． 20．（16分）已知各项均为整数的数列{a n }满足：a 9=﹣1，a 13=4，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若存在正整数m 、p 使得：a m +a m+1+…+a m+p =a m a m+1…a m+p ，请找出所有的有序数对（m ，p ），并证明你的结论．考点：等差数列与等比数列的综合． 专题：计算题；综合题；探究型；分类讨论． 分析： （1）各项均为整数的数列{a n }满足：a 9=﹣1，a 13=4，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，列方程，分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，即可求出数列{a n }的通项公式；（2）根据（1）得出数列{a n }为：﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，4，8，16，…，分类讨论当a m ，a m+1，…，a m+p 均为负数和当a m ，a m+1，…，a m+p 均为正数，可得a m +a m+1+…+a m+p =0，根据负数项只有九项，我们按负数项分类：即可求得结果． 解答：解：（1）设由前12项构成的等差数列的公差为d ，从第11项起构成的等比数列的公比为q ，由，可得，或．又数列{a n }各项均为整数，故； 所以，．（2）数列{a n }为：﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，4，8，16，… 当a m ，a m+1，…，a m+p 均为负数时，显然a m +a m+1+…+a m+p ＜0，所以a m a m+1…a m+p ＜0，即a m ，a m+1，…，a m+p 共有奇数项，即p 为偶数；又最多有9个负数项，所以p≤8，p=2时，经验算只有（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）=（﹣3）•（﹣2）•（﹣1）符合，此时m=7；p=4，6，8时，经验算没有一个符合；故当a m ，a m+1，…，a m+p 均为负数时，存在有序数对（7，2）符合要求．当a m ，a m+1，…，a m+p 均为正数时，m≥11且m ∈N *，a m +a m+1+…+a m+p =2m ﹣11+2m ﹣10+…+2m+p ﹣11=2m ﹣11（1+2+…+2p ）=2m ﹣11（2p+1﹣1）因为2p+1﹣1是比1大的奇数，所以a m +a m+1+…+a m+p 能被某个大于1的奇数（2p+1﹣1）整除， 而不存在大于1的奇约数，故a m +a m+1+…+a m+p ≠a m a m+1…a m+p ；故当a m ，a m+1，…，a m+p 均为正数时，不存在符合要求有序数对；当a m ，a m+1，…，a m+p 中既有正数又有负数，即a m ，a m+1，…，a m+p 中含有0时， 有a m a m+1…a m+p =0，所以a m +a m+1+…+a m+p =0， 因为负数项只有九项，我们按负数项分类：含1个负数项时，﹣1，0，1，符合，此时m=9，p=2；含2个负数项时，﹣2，﹣1，0，1，2，符合，此时m=8，p=4； 含3个或4个负数项时，经验算不存在符合要求的；含5个负数项时，﹣5，﹣4，﹣3﹣2，﹣1，0，1，2，4，8，符合，此时m=5，p=9； 含6个及6个以上负数项时，经验算不存在符合要求的；故当a m ，a m+1，…，a m+p 中既有正数又有负数时，存在三组有序数对（9，2），（8，4），（5，9）符合要求； 综上，存在四组有序数对（9，2），（8，4），（5，9），（7，2）符合要求．点评： 本题是难题，考查等比数列和等差数列的综合问题，考查分析问题解决问题的能力和运算能力，体现了分类讨论的数学思想方法．三、附加题21．（20分）【选做题】（1）已知矩阵，向量．求向量α，使得A 2α=β．（2）椭圆中心在原点，离心率为，点P （x ，y ）是椭圆上的点，若的最大值为10，求椭圆的标准方程．考点： 椭圆的标准方程；二阶矩阵；特征值与特征向量的计算． 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用矩阵的运算，建立方程组，即可求得向量α；（2）设出题意的参数方程，利用三角函数知识，即可求椭圆的标准方程．解答：解：（1）设，由A2α=β得：，∴，∴，∴．（2）由题意，离心率为，设椭圆标准方程是，它的参数方程为（θ是参数），∴，最大值是5c，依题意5c=10，c=2，故椭圆的标准方程是．点评：本题考查矩阵的运算，考查椭圆的参数方程与标准方程，考查学生的计算能力，属于中档题．四、【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（10分）（2011•盐城模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，，M是棱CC 1的中点，（1）求证：A1B⊥AM；（2）求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．专题：证明题；向量法．分析：（1）由题意利用几何体的垂直关系建立直角坐标系，求对应向量的数量积为零，即得出垂直；（2）在（1）的坐标系中，求出面AA1B1B的法向量，再利用对应向量的数量积求余弦值的绝对值，即为所求．解答：解：（1）如图，以B为原点，BA、BB1所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A1（0，2，），A（0，2，0），，∴，，∴•=0+3﹣3=0，即⊥，∴⊥；（2）∵x轴⊥面AA1B1B，∴面AA1B1B的法向量取n=（1，0，0），设直线AM与平面AA1B1B所成角为θ，∴．，∴直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值为．点评：本题考查了线线垂直和线面角，利用几何体垂直关系建立坐标系，再利用对应向量的数量积证明线线垂直和求解线面角的正弦值，这是立体几何中常用的一种方法．23．（10分）假设位于正四面体ABCD顶点处的一只小虫，沿着正四面体的棱随机地在顶点间爬行，记小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行，小虫第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一点，每二次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其它三点中的任意一点，如此一直爬下去，记第n（n∈N*）次爬行小虫位于顶点A处的概率为p n．（1）求p1，p2，p3的值，并写出p n的表达式（不要求证明）；（2）设，试求S n（用含n的式子表示）．考点：二项式系数的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）根据小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行，小虫第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一点，每二次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其它三点中的任意一点，可求出p1，p2，p3的值，从而可猜想出p n的表达式；（2）根据p n的表达式，利用分组求和法以及二项式定理的逆用、二项式系数的和从而可求出所求．解答：解：（1）p1=0，p2=，p3=（1﹣p2）=，p4=（1﹣p3）=猜想：p n=[1﹣（﹣）n﹣1]（2）=（++…+）+[（﹣）1+（﹣）2+…（﹣）n]=（+++…+）+[（﹣）0+（﹣）1+（﹣）2+…（﹣）n]=•2n+（1﹣）n﹣1=2n﹣2+（）n﹣1﹣1点评：本题主要考查了等比数列的通项，以及二项式系数的性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．。

江苏省木渎高级中学天华学校高三数学周练7一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．已知集合{}1,0,1,2A =-, {}2|10B x x =->，则A B =I ▲ . 2．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是 ▲ ． 3．设向量(1,),(3,4)a x b ==-r r ，若//a b r r ，则实数x 的值为 ▲ .4．设函数2()(3)1f x x a x =+--在区间2[,)a +∞上是增函数，则正实数a 的最小值为 ▲ .5．已知)(x f 的定义域是]4,0[，则)1()1(-++x f x f 的定义域为 ▲ ．6．远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶灯几许？▲7．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝______． 8．已知βα,的终边在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的 ▲ 条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．9．已知函数x y ωtan =在),(ππ-内是减函数，则实数ω的范围是 ▲ ．10．在ABC ∆中，6BC =，BC 边上的高为2，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最小值为 ▲ .11．在数列{}n a 中，11a =，2(1)2n n n a a ++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则60S = ▲ .12．在ABC ∆中，若22()||5CA CB AB AB +⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则tan tan A B= ▲ . 13．在数列{}n a 中，10a =，111111n n a a +-=--，设11n n a b n+-=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和， 则99S = ▲ .14. 已知函数32()()32a b f x x x cx d a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为 ．天华学校2015届高三数学练习卷（7）答卷 班级 姓名 学号 成绩 一、填空题（每小题5分，满分70分） 1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8.9. 10. 11. 12.13. 14.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤）15. (本小题满分14分) 已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，其中角ϕ的终边经过点(1,3)P ，且0ϕπ<<.（1）求ϕ的值； （2）求()f x 在[0,]π上的单调减区间．16. (本小题满分14分)设集合{}21A x x =-<<-，|lg ,0,3x aB x y a a R a x -⎧⎫==≠∈⎨⎬-⎩⎭.（1）当a =1时，求集合B ； （2）当A B B =U 时，求a 的取值范围．17. (本小题满分14分) 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(1,1)m =u r ，(cos ,sin )n A A =-r ，记()f A m n =⋅u r r .（1）求()f A 的取值范围； （2）若m u r 与n r 的夹角为3π，3C π=，6c =，求b 的值．18. (本小题满分16分)某地政府为改善居民的住房条件，集中建设一批经适楼房．用了1400万元购买了一块空地，规划建设8幢楼，要求每幢楼的面积和层数等都一致，已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米，第一层建筑费用是每平方米3000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元．（1）若该经适楼房每幢楼共x 层，总开发费用为()y f x =万元，求函数()y f x =的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）；（2）要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低，每幢楼应建多少层？设数列{}n a 的各项均为正实数，2log n n b a =，若数列{}n b 满足20b =，12log n n b b p +=+，其中p为正常数，且1p ≠.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数M ，使得当n M >时，1473216n a a a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>恒成立？若存在，求出使结论成立的p 的取值范围和相应的M 的最小值；若不存在，请说明理由； （3）若2p =，设数列{}n c 对任意的*n N ∈，都有12132n n n c b c b c b --+++⋅⋅⋅1n c b +2n =-成立，问数列{}n c 是不是等比数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由.若函数()(ln )f x x x a =-（a 为实常数）.（1）当0a =时，求函数)(x f 在1x =处的切线方程；（2）设()|()|g x f x =. ①求函数()g x 的单调区间； ②若函数1()()h x g x =的定义域为2[1,]e ，求函数()h x 的最小值()m a .21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．（1）由已知，每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为：3000250750000⨯=（元）75=（万元）， 从第二层开始，每幢每层的建筑总费用比其下面一层多：8025020000⨯=（元）2=（万元）， 每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以75为首项，2 为公差的等差数列，2分所以函数表达式为： 2*(1)()8[752]140085921400()2x x y f x x x x x -==+⨯+=++∈N ； （6分）（2）由（1）知经适楼房每平方米平均开发费用为： 2()40(74175)()100008250f x x x g x x x ++=⨯=⨯ （10分）()175407440744018x x ⎛⎫=++≈ ⎪⎝⎭≥（元） （12分） 当且仅当175x x =，即13.2x ≈时等号成立，但由于*x ∈N ，验算：当13x =时，175()401374401813g x ⎛⎫=++≈ ⎪⎝⎭，当14x =时，175()401474402014g x ⎛⎫=++≈ ⎪⎝⎭．答：该经适楼建为13层时，每平方米平均开发费用最低． （14分）。

天华学校2015届高三数学练习卷（5）一、填空题（共计14小题，每小题5分，共计70分）1. “1≠a 或2≠b ”是“3≠+b a ”成立的 条件.2. 函数2log (42)xy =-的值域为 ．3. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = ．4. 已知实数x ，y 满足5030x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 ．5. 在△ABC 中,AB ＝2,AC ＝3,AB ·BC ＝1,则BC ＝ ．6. 函数[]()sin 3cos (π0)f x x x x =-∈-，的单调递增区间是 ．7. 若实数x 、y 满足()222x y x y +=+，则x y +的最大值是 ．8. 在ABC ∆中角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，若c A b B a 53cos cos =-，则tan tan AB= ． 9. 若函数ln ln ()a xf x x+=在[1,)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是 . 10. 已知αβ，为锐角，且2tan tan 15ttαβ==，，当10tan 3tan αβ+取得最小值时，αβ+ 的值为 .11. 设函数y ＝f (x )在R 上有定义，对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，f x ≤M ，M ，fx >M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (f M (0))的值为______． 12. 设函数()1xf x x=-+，区间[],()M a b a b =<，集合{}(),N y y f x x M ==∈，则使M N =成立的实数对(a ，b )有 对。

13. 已知向量OA ，OB 满足||1OA =，||2OB =，||7AB =，()()AC OA OB R λλ=+∈，若||7BC =，则λ所有可能的值为 ．14. 已知定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足：对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；当(1,2]x ∈时，()2f x x =-．给出如下结论：①对任意m Z ∈，有(2)0m f =； ②函数()f x 的值域为[0,)+∞； ③存在n Z ∈，使得(21)9n f +=；④“函数()f x 在区间(),a b 上单调递减”的充要条件是 “存在k Z ∈，使得()()1,2,2k k a b +⊆”， 其中所有正确结论的序号是 ．天华学校2015届高三数学练习卷（5）2014-10-23班级 姓名 学号 成绩 一、填空题（每小题5分，满分70分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.11.12.13.14.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤） 15. 设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==为锐角． （1）若136a b ⋅=，求sin cos θθ+的值； （2）若//a b ，求sin(2)3πθ+的值．16. 在平行四边形OABC 中，已知过点C 的直线与线段,OA OB 分别相交于点,M N ，若sin ,OM OA θ=⋅ cos ON OB θ=⋅ 其中，(0,)2πθ∈（1）求sin2θ的值；（2）记OMN ∆的面积为1S ，平行四边形OABC 的面积为S ，试求1S S之值.17. 已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.（2） 若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围．18. 如图，海上有A B ，两个小岛相距10km ，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为60︒，现从船O 上派下一只小艇沿BO 方向驶至C 处进行作业，且OC BO =．设AC x =km ． （1）用x 分别表示22OA OB +和OA OB ⋅，并求出x 的取值范围；（2）晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛，B 岛至光线CA 的距离为BD ，求BD 的最大值．(第18题图)19. 定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界．已知函数()11124x xf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；12()12x xm g x m -⋅=+⋅． （1）当1a =时，求函数()f x 在(),0-∞上的值域，并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； （3）若0m >，函数()g x 在[]0,1上的上界是()T m ，求()T m 的取值范围．20. 已知实数0a ≠，函数21()(2)2ln ,()()44f x a x x g x f x a a=-+=-+． （1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 在区间[1,4]上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）若当[2,)x ∈+∞时，函数()g x 图象上的点均在不等式2x y x ≥⎧⎨≥⎩，所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．周练5参考答案 一、填空题1. 必要不充分2.(,2)-∞3. 1-4. 3-5. 36. π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 7. 4 8. 4 9. [,)e +∞ 10. π411. 1 12. 0 13. 0、2 14. ①②④二、解答题15. 解：（1）因为a ·b =2 + sinθcosθ = 136 , 所以sinθcosθ = 16，所以（sinθ +cosθ）2= 1+2sinθcosθ = 34 ．又因为θ为锐角，所以sinθ + cosθ = 233（2）因为a ∥b ，所以tanθ = 2，所以sin2θ = 2sinθcosθ = 2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ = 2tanθtan 2θ+1 = 45 ， cos2θ = cos 2θ-sin 2θ = cos 2θ-sin 2θsin 2θ+cos 2θ = 1-tan 2θtan 2θ+1 = — 35 ． 所以sin(2θ+ π3 ) = 12 sin2θ + 32 cos2θ = 12 ×45+32 ×(-35) = 4-3310 ．16.（1）由题意得OC AB OB OA ==-所以(1sin )MC OB OA θ=-+⋅，又cos sin MN OB OA θθ=⋅-⋅又因为,,M N C 三点共线，得cos sin 11sin θθθ=+，则sin cos sin cos θθθθ-=⋅（1） （1）式两边平方，得2212sin cos sin cos θθθθ-⋅=⋅，即2sin 24sin240θθ+-=解得：sin 22)θ=-或舍去（2）由题意得，11||||sin 2S OM ON AOB =⋅∠=1sin 22AOB S θ∆⋅=即1S S =17. 解：（1）.23)(2ax x x f +-=' 根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 此时，32()24f x x x =-+-，则2()34f x x x '=-+.令124'()00,.3f x x x ===，得∴当1,1x ∈-时，f x 最小值为04f =-. （2）).32(3)(a x x x f --=' ①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减.又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使②若220,0,()0;,()0.33a aa x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a ）上单调递增，在（23a，+)∞上单调递减..4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当 根据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 综上，a 的取值范围是(3,)+∞. 18. 解：（1）在OAC ∆中，120AOC ∠=︒，AC x =，由余弦定理得，2222cos120OA OC OA OC x +-⋅⋅︒=， 又OC BO =，所以2222cos120OA OB OA OB x +-⋅⋅︒= ①，在OAB ∆中，10AB =，60AOB ∠=︒由余弦定理得，222cos60100OA OB OA OB +-⋅⋅︒= ②，①+②得2221002x OA OB ++=，①-②得24cos60100OA OB x ⋅⋅︒=-，即21002x OA OB -⋅=，又222OA OB OA OB +⋅≥，所以22210010022x x ⨯+-≥，即2300x ≤， 又210002x OA OB -⋅=＞，即2100x ＞，所以10x ＜≤（2）易知OAB OAC S S ∆∆=，故122sin 602ABC OAB S S OA OB ∆∆==⋅⋅⋅︒又1ABC S AC BD ∆=⋅⋅，设()BD f x =，所以()(10f x x=∈，，又2100())f x x'=+，则()f x 在(10，上是增函数， 所以()f x 的最大值为10f =，即BD 的最大值为10． 19.（1）当1a =时，11()124xxf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()f x 在(),0-∞上递减，∴()(0)3f x f >=，即()f x 在(),1-∞的值域为()3,+∞， 故不存在常数0M >，使|()|f x M ≤成立，∴函数()f x 在(),1-∞上不是有界函数． （2）由题意知，()3f x ≤在[)1,+∞上恒成立．3()3f x -≤≤11142424xxxa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤⋅≤- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴11422222x x xx a ⎛⎫⎛⎫-⋅-≤≤⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[)0,+∞上恒成立，∴max min 11422222x xx xa ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅-≤≤⋅-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设2x t =，1()4h t t t =--，1()2p t t t=-，由x ∈[)0,+∞得1t ≥，∴()h t 在[)1,+∞上递减，()p t 在[)1,+∞上递增，()h t 在[)1,+∞上的最大值为(1)5h =-，()p t 在[)1,+∞上的最小值为(1)1p =，∴实数a 的取值范围为[]5,1-． （3）2()121xg x m =-+⋅+，∵0m >，[]0,1x ∈，∴()g x 在[]0,1上递减， ∴(1)()(0)g g x g ≤≤，即121()121m mg x m m--≤≤++． ①当112112m m m m --≥++，即m ⎛∈ ⎝⎦时，1()1m g x m -≤+，此时 1()1mT m m -≥+，②当112112m mm m--<++，即2,2m⎡⎫∈+∞⎪⎢⎪⎣⎭时，12()12mg xm-≤+，此时12()12mT mm-≥+，综上所述，当20,2m⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()T m的取值范围是1,1mm⎡-⎫+∞⎪⎢+⎣⎭；当2,2m⎡⎫∈+∞⎪⎢⎪⎣⎭时，()T m的取值范围是12,12mm⎡-⎫+∞⎪⎢+⎣⎭．。

江苏省木渎高级中学2012届高三综合练习六(数列)姓名 学号 班级 成绩一、填空题1．在等差数列{}n a 中，若4a +6a +8a +10a +12a =120，则210a -12a =_______________．2．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =_______________．3．设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则_______________． 4．依次排列的4个数，其和为13，第4个数是第2个数的3倍，前3个数成等比数列，后三个数成等差数列，这四个数分别为_______________．5．正项等比数列{}n a 与等差数列｛b n ｝满足7711,b a b a ==且71a a ≠，则4a ____4b (填>、<、=之一) 。

6．已知等比数列}{n a 及等差数列}{n b ，其中01=b ，公差d ≠0．将这两个数列的对应项相加，得一新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项之和为_______________．7．给定正数p,q,a,b,c ，其中p ≠q ，若p,a,q 成等比数列，p,b,c,q 成等差数列, 则一元二次程220bx ax c -+=_____实数根(填“有”或“无”之一)8．已知数列{}n a 的通项公式为n an a bn c=+，其中a 、b 、c 均为正数，那么n a ____1+n a (填>、<、=之一)9．设数列{}n a 满足a 1=6，a 2=4，a 3=3，且数列{a n+1－a n }（n ∈N *）是等差数列，则数列{a n }的通项公式为_______________．10．已知a ，b ，a +b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1，则m 的取值范围是_______________．11．设{}n a 是首项是1的正项数列, 且2211(1)0n n n n n a na a a +++-+= (n ＝1.2,3,…),则n a ＝_______________．12已知{}9(1)10n n n n a +=(n ∈N *),则数列{}n a 的最大项为第______项. 13.在数列{}n a 中，已知112211,.(*,2)n n n a a a a a a n N n --==++++∈≥…，这个数列的通项公式是_______________．14．已知n n a )(21⋅=，把数列{}n a 的各项排成三角形状； 1a2a 3a 4a5a 6a 7a 8a……记A （m,n ）表示第m 行，第n 列的项，则A （10，8）=_______________．二、解答题15．是否存在互不相等的三个数，使它们同时满足三个条件：①a +b +c =6,②a 、b 、c 成等差数列,③将a 、b 、c 适当排列后，能构成一个等比数列.16．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：142(*)n n S a n N +=+∈，a 1＝1．(1)设12n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 为等比数列；(2)设2n n na c =，求证：{}n c 是等差数列； (3)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和的公式．17．已知数列{}n a 为公差大于0的等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1a 6=21, S 6=66,(1)求数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n b 满足3n a n b x +=，求{}n b 的前n 项和n T ．（3）若数列{}n c 是等差数列，且c n =pn S n +，求常数p ．18某地今年年初有居民住房面积为a m 2，其中需要拆除的旧房面积占了一半．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m 2的旧住房，又知该地区人口年增长率为4.9‰．（1）如果10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x 是多少？（2）依照(1)拆房速度，再过多少年能拆除所有需要拆除的旧住房？下列数据供学生计算时参考：19．已知{}n a 的前n 项和为S n ,且a n +S n =4.(1)求证：数列{}n a 是等比数列；（2）是否存在正整数k ,使221--+k k s S >2成立.20．设数列{}n a 前项和为n s ,且(3),(32)+∈+=+-N n m ma s m n n ,其中m 为常数,m .3≠（1）求证: 数列{}n a 是等比数列;（2）若数列{}n a 的公比q=f(m),数列{}n b 满足),2,)((231,11≥∈==+-n N n b f b a b n n 求证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为等差数列,并求n b ．江苏省木渎高级中学2012届高三综合练习数列参考答案一、填空题1．242．-63．14．1,2,4,65．<6．9787．无8．<9．8,+∞10．()11．12．8或者913..14．二、解答题15．假设存在这样的三个数,∵a 、b 、c 成等差数列,∴2b=a+c,又a+b+c=6,∴b=2.,设a=2-d,b=2,c=2+d.①若2为等比中项,则22 =(2+d)(2-d),∴d=0,则a=b=c,不符合题意.②若2+d 为等比中项,则(2+d)2 =2(2-d),解得d=0(舍去)或d=-6.,∴a=8,b=2,c=-4. ③若2-d 为等比中项,则(2-d)2 =2(2+d),解得d=0(舍去)或d=6,∴a=-4,b=2,c=8 综上所述,存在这样的三个不相等数,同时满足3个条件,它们是8,2,-4或-4,2,8.16．证明 (1) S n +1 =4a n +2,=4 a n +1 +2,相减得a n +2 =4 a n +1 -4 a n ,所以a n +2 -2 a n +1 =2(a n+1 -2a n ). 又b n =a n + 1 -2 a n ,所以b n +1 =2b n .又S 2 =a 1 +a 2 =4a 1 +2,a 1 =1,所以a 2 =5,b 1 =3,所以b n≠0,=2.所以是以3为首项,2为公比的等比数列.∴b n =3×2n -1 .(2) 由(1)知b n =3×2n -1 .因为,所以,。

1．053log 42+=． 2 .2．复数Z 满足条件z +︱z ︱i +=2，则z 是 34i + . 3. 若o 为平行四边形ABCD 的中心，124,6,AB e BC e BO ==则等于 1223e e -+ .4. 若集合{}21,A a =-，{}4,2=B ，则“2a =-”是“{}4=B A ”的 充分不必要 条件（填充要性）.5. 已知定义在区间[0，1]上的函数y=f(x)图象如右图所示对满足1201x x <<<的任意1x 、2x ，给出下列结论：（1）2121()()f x f x x x ->- （2）2112()()x f x x f x >⋅ （3）1212()()()22f x f x x xf ++<其中正确结论序号是 （2）、（3） （把所有正确结论序号都填上）.6.已知函数22()cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=+⋅->，且)(x f 图象相邻两对称轴间的距离不小于2π， （1）求ω的取值范围；（2）设a 、b 、c 是ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边，3=a ，且当ω最大时1)(=A f ，求ABC ∆周长的取值范围。

答案：（1）01ω<≤；（2）7. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a,E 为棱CC 1上的的动点． （1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）当E 恰为棱CC 1的中点时，求证：平面A 1BD ⊥平面EBD ； （3）在（2）的条件下，求BDE A V _1. 答案：（1）、（2）略 （3）314aEABDC1A 1B 1D 1C图1 图2 图3 图41．已知函数y ＝log a (x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则a ＝___2_____． 2．已知向量a ＝(23)，，b ＝(12)，，且(a ＋λb )⊥(a －b )，则λ=____ 53- ． 3．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥， 其中正确命题的序号是___①___④__.4．设点P 是曲线3233+-=x x y 上任一点，P 点处切线倾斜角为α， 则α的取值范围是 2[0,)[,)23πππ⋃ . 5. 图1，2，3，4分别包含1，5，13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n 个图包含_____ 2221n n -+ ___个互不重叠的单位正方形.6. 已知α为锐角，且3cos 5α=. （Ⅰ）求22cos sin 2sin cos 2αααα++的值； （Ⅱ）求5tan()4πα-的值． 答案：（1） 113 （2）177. 已知曲线Γ上任意一点P到两个定点()1F和)2F 的距离之和为4．（1）求曲线Γ的方程；（2）设过()0,2-的直线l 与曲线Γ交于C 、D 两点，且0OC OD ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程．答案： （1）2214x y += （2）22y x =±-1. 已知i 是虚数单位，则复数ii -+1)1(2等于 1i -+ .2. 函数y ＝x ＋5x －a 在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________(-5,-1]______．3. △ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量),,(),,(a c a b q b c a p --=+=p ∥，则角C 的大小为 900 .4. 已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x 及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a 等于 1-5. 设有两个命题：（1）关于x 的不等式12cos sin 2-+>mm x x 的解集是R;（2）函数x m x f )37()(--=是减函数．若这两个命题都是真命题，则m 的取值范围是1(1,)2- ．6. 在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y , （Ⅰ）求函数()y f x =的解析式和定义域；（Ⅱ）求y 的最大值．答案：（I ）2)(0,)63y x x ππ=++∈（II ）当3x π=时，max y =。

13 15 15 ⎣ ⎦ 第一学期高三期中调研试卷数学 (附加) 参考答案与评分标准2018．1121．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选．定．其．中．两．题．，．并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（本题满分 10 分）证明：（1）∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ，∵四边形 AFBC 内接于圆,∴∠DAC =∠FBC ，∵∠EAD =∠FAB =∠FCB ， ∴∠FBC =∠FCB ，∴FB = FC . … … … … … 5 分 (2) ∵AB 是圆的直径，∴∠ ACD = 90︒ ，∵ ∠EAC = 120︒ ， ∠DAC = 1∠EAC = 60︒ ， ∠D = 30︒ ，2在 Rt △ACB 中，∵BC = 6，∠BAC =60°，∴AC = 2 ，又在 Rt △ACD 中，∠D =30°，AC =2 B ．（本题满分 10 分） 解：由 A ⋅ A -1 = E 可知，， ∴AD = 4 ．…………………10 分A ⋅ A -1 = ⎡a2⎤ ⎡b - 2⎤ = ⎡1 0⎤ ⎢7 3 ⎥ ⎢-7 a ⎥ ⎢0 1⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 所以 ab -14 = 1， 7b - 21 = 0 ， -14 + 3a = 1…………………3 分 所以 a = 5,b = 3； …………………5 分 所以 A -1 = ⎡3 - 2⎤ λ- 3 2 ， f (λ) = = λ2- 8λ+ 1，…………………8 分⎢-7 5 ⎥ 7 λ- 5由 f (λ) = 0 ， λ1 = 4 + ，λ2 = 4 -． …………………10 分C ．（本题满分 10 分）解：（1）由sin 2 α+ cos 2 α= 1 ，所以圆 C 的普通方程( x - 2)2 + y 2 = 4 ，………………3 分又点O 为极点， Ox 为极轴，所以 x 2 + y 2 = ρ2 , x = ρcos θ, y = ρsin θ，所以圆 C 的极坐标方程是ρ= 4 c os θ； ………6 分（2）设 OA 的中点为(ρ0 ,θ0 ) ，则 A (2ρ0 ,θ0 ) ，所以 2ρ0 = 4 cos θ0 ，即ρ0 = 2 cos θ0 ， 所以 OA 的中点所在曲线的极坐标方程为ρ= 2 c os θ． …………………10 分 D ．（本题满分 10 分）解：因为 f (x )＋g (x )＝ 3x ＋6＋ 14－x ＝( 3，1)·( x ＋2， 14－x )…………………3 分≤ 3＋12· (x ＋2)＋(14－x )＝8, …………………5 分当且仅当 x ＋2 ＝3,即 x ＝10 时取等号． …………………7 分14－x 1所以 f (x )＋g (x )的最大值是 8． …………………8 分所以 a <8，即实数 a 的取值范围是(－∞,8)．…………………10 分3 3n ⋅ m n ⋅ m 7 ⎧⎪m ⋅ 22．（本题满分 10 分）解： (1)在△ PAB 中，因为 PA = 2 ， PB = 所以 PA 2 = AB 2 + PB 2 ，所以 PB ⊥ AB ． ， AB = 1， 所以，建立空间直角坐标系 B - xyz ，如图所示．…………………1 分所以 A (1, 0, 0) ， B (0, 0, 0) ， C (0, 2, 0) ， D (1,3, 0) ， P (0, 0, 3) ，CD = (1,1, 0) ， PC = (0, 2, - 3)．易知平面 ABCD 的一个法向量为 n = (0, 0,1) ． ……2 分设平面 PCD 的一个法向量为 m = (x , y , z ) ，uuur CD = 0, 则 即⎧⎪ x + y = 0, ⎨ u u u r ⎨⎪⎩m ⋅ PC = 0.⎪⎩2 y = 3z .令 z = 2 ，则 m = (- 3, 3, 2) ．……………………4 分设二面角 P - CD - A 的平面角为 α ，可知α为锐角， 则cos α= cos < n , m > ==2 =3 + 3 +4 10 ，5即二面角 P - CD - A 的余弦值为10． …………………6 分5(2)因为点 E 在棱 PA ，所以 AE = λAP ，λ∈[0,1] ． 因为 AP =（-1, 0, 3)，所以 AE =（-λ,0, 3λ) ， BE = BA + AE = (1- λ,0, 3λ) ． 又因为 BE / / 平面 PCD ， m 为平面 PCD 的一个法向量，所以 BE ⋅ m = 0 ，即 3(λ-1) + 2 3λ= 0 ，所以 λ= 1．…………………9 分 3uur 所以 = 2 3 ) ，所以uur ．…………………10 分BE ( , 0, 3 3 BE = BE = 323．（本题满分 10 分）3所以 20 0解：(1)法一：由已知 f (x ) = f '(x ) = ( cos x )' = - sin x - cos x，…………………1 分 1 0x x x 2故 f (x ) = f ' (x ) = -(sin x )' - ( cos x )' = - cos x + 2sin x + 2 c os x，…………………2 分 2 1x x 2 x x 2 x 3π f ( ) = - π = 8 ，即 2 f ( π) ＋ π π = 0 ． …………………3 分12 π , f 2 ( 2 ) π2 1 2 2 f 2 ( 2) 法二：由已知得： xf 0 ( x ) = cos x ，等式两边分别对 x 求导：f 0 ( x ) + xf ' ( x ) = - sin x ，…………………1 分 即 f (x ) + xf (x ) = - sin x = cos(x + π) ，类似可得： 2 f (x ) + xf (x ) = - cos x = cos(x + 2π) ，0 1 2 1 22 所以 2 f ( π) + π f ( π) = COS 3π = 0 ．…………………3 分 12 2 2 2 2(2)由已知得： xf 0 ( x ) = cos x ，等式两边分别对 x 求导： f 0 ( x ) + xf ' ( x ) = - sin x ， 即 f (x ) + xf (x ) = - sin x = cos(x + π) ，类似可得： 2 f (x ) + xf (x ) = - cos x = cos(x + 2π) ，0 1 2 1 22 3 f (x ) + xf (x ) = sin x = cos(x + 3π) ， 4 f (x ) + xf (x ) = cos x = cos(x + 4π) ． 2 3 2 3 42下面用数学归纳法证明等式 nfn -1 (x ) + xf n (x ) = cos(x + n π) 对所有的 n ∈ Ν*都成2立．…………………6 分①当 n = 1时，由上可知等式成立；② 假设当 n = k 时等式成立，即 kfk -1 (x ) + xf k(x ) = cos(x + k π) ． 2因为[kf k -1 (x ) + xf k (x )]' = kf k '-1 (x ) + f k (x ) + xf k '(x ) = (k + 1) f k (x ) + xf k +1 (x ) ，[cos( x + k π)]' = -sin( x + k π)( x + k π) ' = cos[ x + (k + 1)π] ，2 2 2 2所以(k + 1) f k (x ) + xf k +1(x ) = cos[x + (k + 1)π] ． 2因此当 n = k + 1时，等式成立． …………………9 分综合①，②可知等式 nfn -1 (x ) + xf n(x ) = cos(x + n π) 对所有的 n ∈ Ν* 都成立． 2令 x = π ，可得 4 π nf n -1 ( 4 ) π π 4 f n ( 4 )= cos( π + n π)(n ∈ Ν* ) ．4 2 所以 nfn -1 π π π ( 4 ) +4 f n ( 4) = 2 (n ∈ Ν*) ． …………………10 分 2 +。