高中数学总复习课件：双曲线(精选)

(a>0,b>0),其中c =a +b ,
2 2 2
焦点坐标为(0,±c). 确定一个双曲线的标准方程,必须要有一个定位条件(即确定焦点的 位置)和两个条件(即确定a,b的大小),主要有定义法、待定系数法,有
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时还可根据条件用代入法.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤
是: 第一,作判断:根据条件判断双曲线焦点在x轴上还是在y轴上,还是不 确定在哪个坐标轴上.
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1.双曲线的定义 平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2a (小于|F1F2 |)的点的轨迹叫作双曲线,这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两焦 点F1,F2间的距离叫做双曲线的焦距. (1)定义的数学表达式为:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|). (2)在双曲线的定义中,若2a=|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线;当|F1F2|
y 要把双曲线方程写成 x =λ y 是 ± =0, - ,再根据已知条件确定λ的值,
2
x a
2
求出双曲线方程.若求得λ>0,则焦点在x轴上,若求得λ<0,则焦点在y 轴上.
b
a2
b2
5.双曲线相关问题,如中点弦、弦长、与直线的位置关系等,要牢牢
抓住方程组思想、消元法、根与系数之间的关系、弦长公式等方法.
关于x轴、y轴、原点对称 顶点(0,±a) (0,±c) 实轴长|A1A2|=2a,虚轴长|B1B2|=2b |F1F2|=2c
c ∈(1,+∞) e= a
c2=a2+b2
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一般而言:
①双曲线有两条对称轴,它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段 的中垂线. ②双曲线都有两个顶点,顶点是曲线与它本身的对称轴的交点. ③离心率反映双曲线开口的程度,当离心率越大,双曲线的开口越大.

= 50,
解得
= 100 2,
2
2
所以双曲线的方程是2 500 − 20 000=1.
题组三 连线高考
8.(2023·
北京,12)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为
2 ,则C的方
2
2


− =1
程为__________.
2
2
解析 令双曲线 C 的实半轴长、虚半轴长分别为 a,b,显然双曲线 C 的中心为
( C )
A.
3
2
B.
6
2
2 2
解析 双曲线 -x =1 的焦点在
3

2
2 3
所以离心率为 = =
.

3
3
2 3
C. 3
y 轴上,a= 3,b=1,c= 3 + 1=2,
6.(人教 A 版选择性必修第一册 3.2.1 节练习第 3
y2
=1
+1
解析
2 6
D. 3
2
题改编)已知方程 +2
−
(-∞,-2)∪(-1,+∞)
圆C2:(x-3)2+y2=1的圆心为C2(3,0),半径r2=1.
由于动圆E与圆C1,C2都外切,
设动圆E的半径为r,则|EC1|=r+3,|EC2|=r+1,
所以|EC1|-|EC2|=3-1=2<|C1C2|,
所以点E的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支.
2
设双曲线的方程为 2

−
所以 E 的轨迹方程为
平面内与两个定点F1,F2的____________________等于非零常数(小于

个定点 F 1， F 2
｜｜ MF 1｜－｜ MF 2｜｜＝2 a
0＜2 a ＜｜ F 1 F 2｜
结论1
M 点的轨
迹为双曲
线
结论2
F 1， F 2
焦点；
｜ F 1 F 2｜
为双曲线的
⁠
为双曲线
⁠
的焦距
提醒 （1）当2 a ＝｜ F 1 F 2｜时， M 点的轨迹是两条射线；
（2）当2 a ＞｜ F 1 F 2｜时， M 点不存在.
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2. 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
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范围
性
质
对称性
顶点
渐近线
x ≥ a 或 x ≤－ a ， y
∈R
对称轴： 坐标轴
A 1（－ a ，0），
A 2（ a ，0）
y ≤－ a 或 y ≥ a ， x ∈R
；对称中心： 原点
⁠
A 1（0，－ a ）， A 2（0， a ）
2｜＝4或16.
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1. 双曲线方程的常见设法
2
2
（1）与双曲线 2 － 2 ＝1（ a ＞0， b ＞0）共渐近线的方程可设为


2
2
－ 2 ＝λ（λ≠0）；
2



（2）若渐近线的方程为 y ＝± x （ a ＞0， b ＞0），则可设双曲线

2
2
方程为 2 － 2 ＝λ（λ≠0）.


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2. 双曲线中的常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b ；
（2）若 P 是双曲线右支上一点， F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦

2 +2
(4)离心率e= =
=


1+
2
.
2

课前基础巩固
(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.等轴双曲线上任意一点到中心
的距离是它到两焦点距离的等比中项.
(6)共轭双曲线有共同的渐近线;它们的四个焦点共圆;它们的离心率的倒数的平
方和等于1.
(7)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的左、右
2. 双曲线的标准方程
2

2


Байду номын сангаас
2

2



(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0);
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为 2 - 2 =1(a>0,b>0).
课前基础巩固
3. 双曲线的性质
标准方程
图形
2 2
=1(a>0,b>0)
− +
课堂考点探究
变式题 (1)[2020·全国卷Ⅲ]
2 2
设双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别

为F1,F2,离心率为 5.P是C上一点,且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4,则a= (A
A.1
B.2
C.4
D.8
2
2
2
[解析]由条件可得||PF1|-|PF2||=2a,因为F1P⊥F2P,所以|PF1| +|PF2| =4c ,故
轨迹是两条射线.
课前基础巩固

解法二：当其中的一条渐近线方程y＝ 3 x中的x＝2时，y＝2 3 >3，又点(2,3)在第一
象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)，由题意
得aba42＝－b932＝，1，
解得ab＝ ＝1，3， 所以该双曲线的标准方程为x2－y32＝1，故选C．
解法三：因为双曲线的渐近线方程为y＝±
3 x，即
y 3
＝±x，所以可设双曲线的方程
是x2－y32＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x2－y32＝1，故选
C．
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3．经过点P(3,2 7)，Q(－6 2，7)的双曲线的标准方程为______2_y5_2 －__7_x5_2 ＝__1___．
(2)与双曲线ax22－by22＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为ax22－by22＝λ(λ≠0)．
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考点三 双曲线的简单几何性质——多维探究
角度1：双曲线的渐近线问题
【例2】
(1)(2022·杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦
点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近
线方程是( C )
A． 3x±y＝0 B．2x± 7y＝0
C． 3x±2y＝0 D．2x± 3y＝0
(2)焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线y42－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程

其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋
体 验 ·
· 固
|PF2|的值为________．
明 考
基
情
础
【解析】 设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，
|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，所以x＝ 3 －1，x＋2＝
典
例 探
· 明 考 情
础
性 质
顶点
顶点坐标：
顶点坐标：A1_(_0_ ，
A1_(_－____a_，___0__)_，A2_(_a_， ____0_)_ ___－___a__)_，A2_(_0__，___a__)
典
渐近线
____y＝__±__ba_x____
___y_＝__±_ab_x___
例 探 究
离心率 e＝ac，e∈__(_1_，__＋__∞_)__，其中c＝__a_2_＋__b_2__
明 考 情
图形
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
高
自 主
范围
_x_≥__a_或__x_≤__－__a___
_y_≤__－__a_或__y_≥__a_
考 体
落
验
实 · 固 基
对称性
对称轴：_坐___标__轴__ 对称中心：_原__点____
对称轴：_坐__标__轴__ 对称中心：_原__点__
典
例 焦点在x轴上，可知其焦点坐标是(±3，0)．
课
探
后
究
作
·

C 的离心率为( )
A. 5
B.2
C. 3
D. 2
解析 (1)不妨设一条渐近线的方程为 y＝bax，则 F2 到 y＝bax 的距离 d＝ a|b2＋c| b2＝b，
在 Rt△F2PO 中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝ 6a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO 与 Rt△F2PO 中，根据余弦定理得 cos∠POF1＝a2＋c2－2a（c 6a）2＝－cos∠POF2＝
今日课前思
@《创新设计》
你能得到什么？？
1
知识衍化体验
考点聚集突破
核心素养提升
@《创新设计》
角度2 求双曲线的离心率 【例 3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)设 F1，F2 是双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右
焦点，O 是坐标原点.过 F2 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若|PF1|＝ 6|OP|，则
c2－a2，所以 c2>4(c2－a2)，即 c2<43a2，所以 e＝ac<233，又知 e>1，所以双曲线 C1 的
离3心率的取值范围为1，2
3 .
知识衍化体验
考点聚集突破
核心素养提升
@《创新设计》
4
知识衍化体验
考点聚集突破
核心素养提升
A.1，2
3
3
2 B.
3
3，＋∞
(2)由双曲线方程可得其渐近线方程为
C.(1，2) D.(2，＋∞) y＝±bax，即 bx±ay＝0，圆

C2：x2＋y2－2ax＋34a2
＝0 可化为(x－a)2＋y2＝14a2，圆心 C2 的坐标为(a，0)，半径 r＝12a，由双曲线 C1 的一