高中数学双曲线及其标准方程(公开课)-公开课-一等奖31页PPT

x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2

结论：已知F1，F2分别是双曲线C：

③ 列式
M1FM2F2a
2020/3/22
④化简
将上述方程化为： x c 2 y 2x c 2 y 2 2 a
移项两边平方后整理得：c xa2axc2y2
两边再平方后整理得： c 2 a 2 x 2 a 2 y 2 a 2 c 2 a 2
两边同时除以 a2c2a2 得：
x2
y2
题后反思：
变式训练 若|PF1|-|PF2|=8呢？
x2 y2 1(x 0) 16 9
求标准方程要做 到先定型，后定 量。
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x 求焦点在 轴上，经过点 ( 2, 3),( 15, 2) 3 的双曲线的标准方程 .
知识迁移 深化认知
例2 ：
方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2m m1
3 a 2 , b 2 , c 6( 0 ,6 ) . ( 0 , 6 )
4 a 3 ,b 2 ,c 5 (5 ,0 ) ,( 5 ,0 )
2020/3/22
例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上 一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的
标准方程。
y2x2 1(a0,b0) a2 b2
y M
F2 x
O
F1
如果 x 2的系数是正的，则焦点在 x轴上；如果
y 2 的系数是正的，则焦点在 y轴上。
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感受标准方程
通过描点大致画出图像
x2－ y 2 ＝1 4
同学们：恭喜通过第三关
①
开普勒
③
2020/3/22
华罗庚
②
伽利略
④
牛顿
第4关：
则m的取值范围___m_______2___.

C.(0,-5),(0,5)
D.(0,- 7),(0, 7)
双曲线的定义
2
1.设 F1,F2 分别是双曲线 x2-24=1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( )
A.4 2
B.8 3
C.24
D.48
2.已知动点 P(x,y)满足 ( + 2)2 + 2- ( -2)2 + 2=2,则动点 P 的轨迹是 ( )
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
利用定义求轨迹方程
P P127 习题3.2 第5题
如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O外一定点,P是圆上任
意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当
O
点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A Q
P115 习题3.1 第6题 如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O内一定点,P是圆上 任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点 Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A.椭圆 C.双曲线的左支
B.双曲线 D.双曲线的右支
双曲线的定义
22
【变式练习】
已知
P
是双曲线

详细描述
双曲线的焦点距离公式是根据双曲线的标准方程中的系数计算得出的。这个公式可以帮助我们了解双 曲线的形状和大小，以及焦点在双曲线上的位置。通过焦点距离公式，我们可以进一步研究双曲线的 性质和特点。
05 双曲线与其他曲线的对比
CHAPTER
与椭圆的对比
01 02
形状
双曲线和椭圆都是二次曲线，但它们的形状和结构有所不同。双曲线有 两个分支，分别向两个方向无限延伸，而椭圆则是一个封闭的形状，由 两个焦点和连接它们的线段所形成。
此时，双曲线的两个顶点位于y轴上，坐标分别为 $(0, -a)$ 和 $(0, a)$。
双曲线的焦距为 $2c$，其中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
双曲线标准方程的推导
通过平面几何的方法，我们可以推导出双曲线的标准方程。
首先，设双曲线的焦点到任一点 $P(x, y)$ 的距离之差为常数 $2a$，即 $|PF_1 - PF_2| = 2a$。
此时，双曲线的两个顶点位于x轴上， 坐标分别为 $(-a, 0)$ 和 $(a, 0)$。
双曲线的焦距为 $2c$，其中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
焦点在y轴上
焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为 $frac{y^2}{a^2} frac{x^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，分别表示双曲线的实 半轴和虚半轴的长度。
根据平面几何的性质和勾股定理，我们可以推导出双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$。
03 双曲线的应用
CHAPTER

M
o F2 x
3.列式． |MF1| - |MF2|=2a
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4.化简.
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2 a
2
2
( x c ) 2 y 2 2 a ( x c ) 2 y 2
c x a 2 a(x c )2y2
的点M的轨迹 叫做双曲线。
其中两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点 |F1F2|=2c 叫做焦距
注意：在双曲线定义中必须有条件 2c >2a
.
提出问题：
1）当a=c时，动点M的轨迹是什么？
(动点M的轨迹是分别以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外 侧的两条射线．)
2）当a＞c＞0时，动点M的轨迹是什么？
b2c2a244400 怎样才能找
所求双曲线的方程为
出具体爆炸 点?
x2 y2 1 11560404400
(x0)
思考题
y
① 求与圆C1 : x32y21
M
和圆 C2 : x32y29
都外切的圆的圆心M的轨迹程．
C1 0 C2
x
过 B②两FF1的 点 1,F,直 2且 是 |线A交双 B 双|1曲曲 0 ,线x9求 2的线 左A1y2支B6的 F2于的A焦 周 ，长 点。 AF， 1 y O
当 y 2 项的系数为正时，焦点落在y轴上
反之也成立。
归 纳
定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1 o F2 x
x
F1

F1 O F2
3.限式 |MF1| - |MF2|=±2a
4.代换 即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
5.化简
6
代数式化简得：
y
M (c2 a2) x2 a2 y2 a2 (c2 a2)
F1 O F2
可令：c2-a2=b2
x
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
不存在
(4)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为0,则M点的轨迹是什么?
线段AB的垂5直平分线
（三）合作探究，构建方程
双曲线标准方程推导
1.建系
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 y 点为原点建立直角坐标系
M
2.设点
x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F. 2(c,0)
15
16
2
（二）注重细节，理解概念
双曲线定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对 值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹
叫做双曲线.
M
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
F1 o F2
3
（二）注重细节，理解概念
思考：为什么要求 0<2a<2c? 演示
当2a=2c时，动点的轨迹是什么? 以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射 线． 当2a>2c时，动点的轨迹是什么? 不存在 当2a=0时，动点的轨迹是什么? 线段F1F2的垂直平分线
x2 b2
（1 a
0, b
0)
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上呢？
(二次项系数为正,焦点在相应的轴8上)

y
M
F1 o F2 x
y
M F2
F1
c2 a2 b2a 0,b 0
y2 x2 x a2 b2 1
F(0, ± c)
练习：写出以下双曲线的焦点坐标（请注意焦点的位置）
1. x2 y2 1 16 9
2. y2 x2 1 16 9
F(±5,0) F(0,±5)
12
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双 曲线的标准方程.
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X
2.设点．设P（x , y）,双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) F1
常数=2a
3.列式．|PF1 - PF2|= 2a
o F2 x
即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a
且点O与线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
y
P
则 PA PB 340 2 680 即 2a=680，a=340 Q AB 800
Ao Bx
2c 800,c 400, b2 c2 a2 44400
Q 800 PA PB 680 0 , x 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
4.化简.
7
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
cx a2 a (x c)2 y2
F1
(c2 a2)x2 a2y2 a2(c2 a2)
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
y
M

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3．方程 mx2＋ny2＝1(mn<0)表示的曲线为双曲线，它包 2 2 x y 含焦点在 x 轴和在 y 轴上两种情形，方程变为 ＋ ＝1. 1 1 m n x 2 y2 当 m>0，n<0 时，方程为 － ＝1 表示焦点在 x 轴上 1 1 － m n 1 1 的双曲线，此时 a＝ ，b＝ － ； m n
13
解：若以线段 F1F2 所在的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂 直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形 式．由题意得 2a＝24,2c＝26. 2 2 2 ∴a＝12，c＝13，b ＝13 －12 ＝25. 当双曲线的焦点在 x 轴上时， 2 2 x y 双曲线的方程为 － ＝1. 144 25 若以线段 F1F2 所在直线为 y 轴，线段 F1F2 的垂直平分 线为 x 轴，建立直角坐标系． y2 x 2 则双曲线的方程为 － ＝1. 144 25
8
x2 y2 解析：由于方程 － ＝ 1 只需满足 (k－ 5)与 (|k| k－5 |k|－2 －2)同号，方程即能表示双曲线．∵方程的图形是双曲线， k－5>0， k－5<0， ∴ (k－ 5)(|k|－ 2)>0，即 或 解得 k>5 |k|－2>0 |k|－2<0， 或－2<k<2.
解析：(－5,0)和(5,0)都是双曲线的焦点， ||PF1|－|PF2||＝8，|PF1|＝15＋8 或 15－8.
答案：D
7
x2 y2 2．已知方程 － ＝1 表示的图形是双曲线，那 k－5 |k|－2 么 k 的取值范围是( ) A．k>5 B．k>5 或－2<k<2 C．k>2 或 k<－2 D．－2<k<2