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非负矩阵分解算法概述（吴有光）NOTE：本文为科普文章，尽量做到通俗而不严格，比较适合理论小白补补NMF历史第一部分Lee&Seung的世界1 引言现实生活中的数据，我们总是希望有个稀疏表达，这是从压缩或数据存储的角度希望达到的效果。
从另一方面来讲，我们面对大量数据的时候，总是幻想能够发现其中的“规律”，那么在表示或处理的时候，直接操作这些提纲挈领的“规律”，会有效得多。
这个事情，让很多的科学家都伤透脑筋，不过也因此有了饭碗。
1.1第一个例子我们先来看一个简单的例子。
在人文、管理或社会学里，实证研究方法是常用的方法。
比如我们来考察大学生就业过程，对学生的选择工作类别的动机，我们常说“想吃劳保饭的同学铁了心要考公务员，喜欢轻松自由氛围的同学更趋向于外企，只想稳定的同学认为国企最好，富二代神马的最爱创业然后继承家产了”，这句话如果要严格来论证是不可能的，那么我们转而寻求“调查论证”，即通过设计问卷（问卷上设计了可能影响学生选择的因素，比如家庭情况、学业情况、性格取向、对大城市或家乡的热恋程度、以及人生观价值观等等各种我们可能会影响就业取向的因素）各种我们猜测会影响学生。
问卷上来后，我们通过统计得到如下的列表。
图1 第一个例子的统计表示例表中的各个因素我们进行了量化，比如性格因素从完全内向到热情奔放分为5个等级（可以用一些问题来直接或间接获得这个等级）。
那么剩下的问题就是回答开始的问题：（1）是不是我们设计的每个因素都有效？（显然不是，之所以设计问卷就是要来解决这个问题的）（2）是什么因素影响了学生的最终选择？或者说，从统计上来看，每个因素占多大比重？这时，用矩阵来表示可写为，其中就表示那个因素矩阵，表示最终取向，代表我们要求的系数。
我们把要求的用代替，写成矩阵形式为：(1)更进一步，如果我们不仅调查学生的去向，还想同时调查很多事情，那么就会有，这样上面的式子改写为：(2)此时问题转化为：Q1：已知，如何求解，使之满足上面的等式，其中具有初始值（就是我们设计的一堆东西）。
矩阵分解算法原理
矩阵分解算法是一种常用的数据分析方法，主要是将大数据集合分解成多个小数据集进行计算，以提高计算效率和精度。
该算法主要用于矩阵分析、图像处理、推荐系统和模式识别等领域。
矩阵分解算法的核心思想是将矩阵分解成若干个小矩阵，然后对这些小矩阵进行计算。
其中，最常见的矩阵分解方法有SVD(奇异值分解)、PCA(主成分分析)、LDA(线性判别分析)、NMF(非负矩阵分解)等。
SVD是最为常用的矩阵分解算法之一，它的主要思想是将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积，分别是左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。
其中，左奇异矩阵和右奇异矩阵都是正交矩阵，奇异值矩阵则是一个对角矩阵，主对角线上的值称为奇异值。
PCA是另一种常用的矩阵分解算法，它的主要思想是将原始数据集合投影到一组新的坐标系上，使得投影后的数据具有最大的方差。
这样，就可以用少量的新坐标来表示原始数据集合，从而节省存储空间和计算时间。
LDA是一种有监督的线性判别分析方法，它的主要思想是将原始数据集合投影到一个新的坐标系上，使得不同类别的数据点之间的距离最大化，同一类别内部的数据点之间的距离最小化。
这样，就可以用少量的新坐标来表示原始数据集合，并能够有效地区分不同类别的数据。
NMF是一种用于非负矩阵分解的算法，它主要用于处理非负数据
的低秩近似。
NMF的主要思想是将一个非负矩阵分解成两个非负矩阵的乘积，其中一个矩阵的列向量表示了原始数据集合在一个低维空间中的表示，另一个矩阵的行向量表示了这些低维向量在原始数据集合中的线性组合。
总之，矩阵分解算法是一种非常强大的数据分析方法，它可以有效地提取数据的特征信息，并可用于图像识别、信息检索、推荐系统等领域。
数据分析中的矩阵分解方法与案例分析数据分析在现代社会中扮演着至关重要的角色。
从商业决策到科学研究，数据分析为我们提供了深入洞察和有效的决策依据。
在数据分析领域中，矩阵分解方法被广泛应用于处理高维数据和发现潜在的模式和结构。
本文将介绍矩阵分解方法的基本原理，并通过一个实际案例来说明其在数据分析中的应用。
矩阵分解是一种将一个矩阵分解为多个子矩阵的方法。
通过将原始矩阵分解为更小的子矩阵，我们可以发现隐藏在数据中的潜在模式和结构。
在数据分析中，最常用的矩阵分解方法是奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）和非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization，简称NMF）。
奇异值分解是一种将一个矩阵分解为三个矩阵的方法：U、Σ和V。
其中，U 和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。
通过奇异值分解，我们可以将原始矩阵表示为U、Σ和V的乘积，其中U和V表示数据的模式和结构，Σ表示模式和结构的重要性。
奇异值分解在降维、图像处理和推荐系统等领域中有广泛的应用。
非负矩阵分解是一种将一个非负矩阵分解为两个非负矩阵的方法。
非负矩阵分解的特点是分解出的子矩阵都是非负的，这使得非负矩阵分解在文本挖掘和图像处理等领域中有广泛的应用。
通过非负矩阵分解，我们可以将原始矩阵表示为两个非负矩阵的乘积，其中一个矩阵表示数据的模式，另一个矩阵表示数据的权重。
非负矩阵分解在主题建模、聚类分析和推荐系统等领域中有广泛的应用。
下面我们将通过一个实际案例来说明矩阵分解方法在数据分析中的应用。
假设我们有一个电商网站的用户购买记录矩阵，其中行表示用户，列表示商品，矩阵中的元素表示用户对商品的购买数量。
我们希望通过分析用户的购买行为，发现潜在的购买模式和商品推荐。
首先，我们可以使用奇异值分解将购买记录矩阵分解为三个矩阵：用户模式矩阵、奇异值矩阵和商品模式矩阵。
halcon nccmodel原理Halcon是一款广泛应用于工业视觉领域的软件库，其提供的NCCModel是图像处理中一种重要的模型。
NCCModel，即非负矩阵分解模型，是一种用于图像特征提取和匹配的方法。
本文将详细介绍Halcon中NCCModel的基本原理和实现过程。
一、基本原理NCCModel的核心思想是将图像特征表示为矩阵的形式，并通过非负矩阵分解的方法，将图像特征分解为若干个基向量，这些基向量能够有效地表示图像的特征。
具体而言，NCCModel通过最大化被分解矩阵与原始图像特征之间的相似性来完成分解过程。
在实际应用中，NCCModel可以用于图像识别、目标检测、特征匹配等任务。
通过使用NCCModel，我们可以有效地提取图像中的关键特征，提高识别和匹配的准确性。
二、实现过程在Halcon中，NCCModel的实现过程主要包括以下几个步骤：1. 读取图像数据，并将其表示为矩阵形式；2. 对矩阵进行非负矩阵分解，得到基向量；3. 根据基向量的权重，合成原始图像的特征表示；4. 对比新的特征表示与实际图像的特征，进行匹配或识别。
通过以上步骤，我们可以实现NCCModel在图像处理中的应用。
在实际应用中，需要根据具体任务的需求，选择合适的基向量和权重，以达到最佳的识别和匹配效果。
三、应用场景NCCModel在工业视觉领域具有广泛的应用前景。
例如，在生产线上的零件检测、机器人导航、3D视觉等方面，NCCModel都可以发挥重要作用。
通过使用NCCModel，我们可以有效地提取图像中的关键特征，提高识别和匹配的准确性，进而实现自动化生产和智能化的目标。
总的来说，NCCModel是一种重要的图像处理模型，它在Halcon软件库中得到了广泛应用。
通过深入了解NCCModel的基本原理和实现过程，我们可以更好地将其应用于实际场景中，提高图像处理的效率和准确性。
非负矩阵分解的损失函数-回复什么是非负矩阵分解的损失函数？非负矩阵分解（Nonnegative Matrix Factorization，NMF）是一种常用的数据分析方法，用于根据给定的矩阵进行数据降维和特征提取。
在NMF 中，将一个非负矩阵分解为两个非负矩阵的乘积，这两个矩阵具有较低的秩，从而实现了对数据的降维和特征提取。
而非负矩阵分解的损失函数则是用于衡量分解结果与原始矩阵之间的差异，常用于优化分解过程。
在非负矩阵分解中，常用的损失函数有欧氏距离损失函数、KL散度损失函数以及重构误差损失函数，这些损失函数分别从不同的角度度量了分解结果与原始矩阵之间的差异。
首先，我们来介绍欧氏距离损失函数。
欧氏距离是一个常用的距离度量方法，它用于度量两个向量之间的相似度。
在非负矩阵分解中，欧氏距离损失函数用于度量分解结果矩阵和原始矩阵之间的差异程度。
具体而言，欧氏距离损失函数可以定义为：Loss = V - WH _F^2其中，V为原始矩阵，W和H为分解得到的两个非负矩阵，·_F表示矩阵的F范数。
欧氏距离损失函数的目标是最小化分解结果和原始矩阵之间的欧氏距离，以使得分解结果能够更好地拟合原始数据。
接下来，我们介绍KL散度损失函数。
KL散度是一种非对称的度量方法，用于衡量两个分布之间的差异。
在非负矩阵分解中，KL散度损失函数用于度量分解结果矩阵和原始矩阵之间的差异程度。
具体而言，KL散度损失函数可以定义为：Loss = D(V WH) + D(H H0)其中，D(·)表示KL散度计算函数，V为原始矩阵，W和H为分解得到的两个非负矩阵，H0为一个正则化项。
KL散度损失函数的目标是最小化分解结果和原始矩阵之间的差异，以使得分解结果能够更好地拟合原始数据。
最后，我们介绍重构误差损失函数。
重构误差损失函数用于度量分解结果矩阵和原始矩阵之间的差异程度，其计算方式比较简单。
具体而言，重构误差损失函数可以定义为：Loss = V - WH _1其中，V为原始矩阵，W和H为分解得到的两个非负矩阵，·_1表示矩阵的L1范数。
分类号______________________________ 密级______________________________ＵＤＣ______________________________ 编号______________________________全日制专业学位硕士论文非负矩阵分解与聚类方法在个性化推荐系统中的应用研究学位申请人：范敏敏学科领域：计算机技术校内导师：黄兆华 教授答辩日期：华东交通大学2 0 1 2届全日制专业学位硕士论文非负矩阵分解与聚类方法在个性化推荐系统中的应用研究软件学院范敏敏独创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表和撰写的研究成果，也不包含为获得华东交通大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
本人签名_______________日期____________关于论文使用授权的说明本人完全了解华东交通大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅。
学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
保密的论文在解密后遵守此规定，本论文无保密内容。
学生本人签名日期校内导师签名日期校外导师签名日期非负矩阵分解与聚类方法在个性化推荐系统中的应用研究摘要随着Internet的普及，电子商务也成为当下的主流，每天Internet上的信息更新量呈指数级增长，导致出现“信息过载”的现象，浩瀚的信息中有99%的信息是用户不需要的。
用户难以在海量的信息中快速找到自己所需的产品，因此，个性化推荐系统随之产生，其中协同过滤推荐技术又是个性化推荐系统研究热点之一。
然而，这在实际运用过程中，仍然存在着诸多问题亟待解决，譬如：用户对商品评价数据的稀疏性问题；随着用户和项目数的增多，推荐系统的性能将会随之降低等。
非负矩阵分解的基本原理和研究现状分析
摘要:阐述了非负矩阵分解的基本原理、实现方法及其改进,分析了非负矩阵分解当前研究现状和热点,指出了进一步研究方向。
关键词:非负矩阵分解约束优化PCA SVD
非负矩阵分解(Non-negative Matrix Factorization,简记为NMF)是由Lee和Seung在著名的《Nature》杂志上提出的一种新的矩阵分析方法[1],其起源可以追溯到Paatero等人的研究工作。
随着计算机和信息技术的发展,矩阵分解成为处理大规模数据的一种有效手段。
传统的矩阵分解工具,例如PCA(Principal Component Analysis)和SVD等,分解的结果常常含有负值,而负元素在实际问题中往往没有合理的物理解释。
NMF强制分解过程以及最终结果的矩阵中所有元素均为非负,是一种更加自然的对象的表达方法,所以具有广泛的应用前景,目前还存在许多富有挑战性的问题需要研究。
1 非负矩阵分解的基本原理和实现算法
2 非负矩阵分解研究现状分析
以Lee和Seung提出的NMF算法为基础,发展了NMF的很多变体以提高算法性能。
为了说话方便,不妨把Lee和Seung提出的算法称为基本NMF算法。
NMF产生的矩阵和具有一定程度上的稀疏性,减少了数据冗余。
这是NMF技术的最重要特点之一,但是基本的NMF
算法产生的稀疏程度并不能满足某些应用的需要,例如稀疏编码,于是给目标函数中增加稀疏限制项构成了一大类改进的NMF算法。
NMF 分解的结果中没有原始数据的任何类别信息和内部结构信息,当把NMF应用于分类或者查询时就成为该技术的一个明显缺陷,因此,在目标函数中加入鉴别信息项或者把NMF与能够找出数据内在结构的技术相结合,从而达到改进算法性能的目的,成为NMF技术研究的又一个分支。
加权是NMF算法的又一类改进,加权可以使数据中的重要区域被更好地描述。
NMF基本算法及其绝大多数改进的算法中,矩阵和的初始值都是取作非负的随机值。
这是因为在缺少实际问题的更多附加信息时,不能确定和的初始值,因此只好随机取值。
如果用随机值初始化和,算法执行后得到的分解矩阵只是局部最小,而不是全局最优。
因此需要用若干对随机取值的和,多次执行算法,然后从得到的结果中选择一对最优的和最为分解结果。
从理论上可以把NMF看作约束优化问题,因此NMF算法也具有约束优化问题收敛速度慢的不足,执行一次算法需要成百甚至上千次迭代才能达到收敛,而多次执行算法,从中选择最优的分解作为结果使得时间开销非常大,不能满足实时系统的应用需求。
所以,和的初始化问题和开发高效率的NMF算法都是NMF研究领域的重要分支。
到目前为止,解决NMF初始化问题的研究可以分为两大类:一类是利用PCA或者SVD分解数据集,将分解矩阵中的负元素改为零以后作为NMF的初始化矩阵;另一类是利用聚类技术将数据集分类,将聚类中心作为初始化矩阵。
这两种初始化方法都在一定程度
上改进了NMF算法的性能,但是它们都不可能完全解决NMF初始化问题。
原因在于第一种方法有人为规定因素,未必与数据中固有的情况吻合;第二种方法中,聚类个数的确定仍然是一个没有完全解决的问题,而且聚类个数直接影响分类结果。
另外还有如何确定应保留基向量的个数和NMF算法的评测也是当前研究热点。
基向量的个数就是NMF分解中的值,值直接影响分解结果及所给出的物理解释的合理性。
值的确定没有成熟的方法,往往是先人为设定一个值,然后根据得到的分解结果是否符合要求来调整,并抽干内心做实验验证调整的值四否满足应用的要求。
3 结语
NMF是一种有效的数据分析工具,已经初步应用到图像处理和分析、图像融合、图像查询、文本挖掘、语音处理和生物医学等领域。
但是,NMF研究还处于起步阶段,具有多个富有挑战性的问题需要解决。
设计高效率的NMF算法以及算法的初始化、确定保留基向量的个数和评估NMF算法的规则等,都是当前NMF研究领域的热点。
参考文献
[1] LEE D D,SEUNG H S.Learning the parts of objects by non-negative matrix factorization[J].Nature,1999,401(6755):78～791.
[2] Wild S,Curry J,Dougherty A.Improving Non-negative Matrix Factorizations Through Structued Initialization[J].Pattern Recognition,2004,37(11):2217～2232.
[3] 谈爱玲,毕卫红,赵勇.基于稀疏非负矩阵分解和支持向量机的海洋溢油近红外光谱鉴别分析[J].光谱学与光谱分析,2011,35(5):1250～1253.。
