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卡尔曼滤波分解卡尔曼滤波分解（Kalman Decomposition）是研究卡尔曼滤波器的一个分解方法，在信号处理领域有着非常重要的应用。
步骤一：什么是卡尔曼滤波器？卡尔曼滤波器是一种常见的状态估计算法，广泛应用于控制、导航、传感器数据处理等领域。
简单来说，它用于从一系列观测值中估计某个系统状态的未知变量，从而可以预测系统未来的行为。
卡尔曼滤波器的核心思想是通过递归地使用当前观测值和之前的状态估计来计算更准确的状态估计。
步骤二：卡尔曼滤波分解的基本概念卡尔曼滤波分解是基于矩阵分解理论的一种方法。
它通过分解卡尔曼滤波器的传递函数和状态转移矩阵来提高滤波器的准确性和效率。
具体来说，卡尔曼滤波分解将卡尔曼滤波器分解为许多小的滤波器和补偿器，从而大大减小了计算量和存储空间。
步骤三：卡尔曼滤波分解的实现方法卡尔曼滤波分解的实现方法比较复杂，需要对卡尔曼滤波器的状态转移矩阵进行矩阵分解，并通过矩阵运算将其分解为多个小矩阵。
同时，还需要对补偿器进行分解，并使用递归算法进行运算。
具体实现过程可能因不同应用领域而有所不同，需要根据具体情况进行调整。
步骤四：卡尔曼滤波分解的应用卡尔曼滤波分解在信号处理领域中广泛应用，特别是在导航和控制领域。
例如，在航空航天领域中，卡尔曼滤波分解可用于导弹制导和飞机自动驾驶系统；在海洋和天文学领域中，卡尔曼滤波分解可用于海洋深度、星球轨道等估计问题。
此外，卡尔曼滤波分解还可以扩展到其他领域，如计算机视觉、机器学习等。
总之，卡尔曼滤波分解作为一种优化算法，在信号处理领域有着广泛的应用前景。
它可以提高滤波器的准确性和效率，从而更好地应对实际应用场景。
卡尔曼滤波器的原理与应用1. 什么是卡尔曼滤波器？卡尔曼滤波器（Kalman Filter）是一种用于估计系统状态的数学算法，它通过将系统的测量值和模型预测值进行加权平均，得到对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波器最初由卡尔曼（Rudolf E. Kálmán）在20世纪60年代提出，广泛应用于航天、航空、导航、机器人等领域。
2. 卡尔曼滤波器的原理卡尔曼滤波器的原理基于贝叶斯滤波理论，主要包括两个步骤：预测步骤和更新步骤。
2.1 预测步骤预测步骤是根据系统的动力学模型和上一时刻的状态估计，预测出当前时刻的系统状态。
预测步骤的过程可以用以下公式表示：x̂k = Fk * x̂k-1 + Bk * ukP̂k = Fk * Pk-1 * Fk' + Qk其中，x̂k为当前时刻的状态估计，Fk为状态转移矩阵，x̂k-1为上一时刻的状态估计，Bk为输入控制矩阵，uk为输入控制量，Pk为状态协方差矩阵，Qk为过程噪声的协方差矩阵。
2.2 更新步骤更新步骤是根据系统的测量值和预测步骤中的状态估计，通过加权平均得到对系统状态的最优估计。
更新步骤的过程可以用以下公式表示：Kk = P̂k * Hk' * (Hk * P̂k * Hk' + Rk)^-1x̂k = x̂k + Kk * (zk - Hk * x̂k)Pk = (I - Kk * Hk) * P̂k其中，Kk为卡尔曼增益矩阵，Hk为测量矩阵，zk为当前时刻的测量值，Rk 为测量噪声的协方差矩阵，I为单位矩阵。
3. 卡尔曼滤波器的应用卡尔曼滤波器广泛应用于以下领域：3.1 导航与定位卡尔曼滤波器在导航与定位领域的应用主要包括惯性导航、GPS定位等。
通过融合惯性测量单元（Inertial Measurement Unit）和其他定位信息，如GPS、罗盘等，卡尔曼滤波器可以提高导航与定位的准确性和鲁棒性。
3.2 机器人控制卡尔曼滤波器在机器人控制领域的应用主要包括姿态估计、移动定位、目标跟踪等。
卡尔曼滤波在数据处理中的应用在现代科技发展的背景下，大数据处理技术已经成为了企业和个人重要的运营手段之一。
但是，由于数据来源的不确定性和数据的不确定性，使得数据处理的结果很容易受到干扰和误差。
因此，如何让数据处理结果更加准确和稳定，成为了大数据处理技术的关键。
在众多数据处理技术中，卡尔曼滤波(Kalman Filter)因其独特的优点而备受推崇，成为了数据处理领域中不可或缺的技术之一。
一、什么是卡尔曼滤波卡尔曼滤波是一种基于线性系统与随机过程理论的优化算法，在状态预测、系统诊断等领域有着广泛的应用。
它主要是利用观测数据来推断潜在的状态变量，通过对测量值与模型之间的比较，不断优化模型的预测结果。
它是一种具有递归、自校正、自适应和最优权衡等特点的算法，在实际应用中很有效。
卡尔曼滤波主要有两个要义，一个是用数学手段提取观测数据中的有效信号; 一个是在系统状态随时间演变的过程中，利用观测数据对系统状态做出动态估计，实现对未来的预测。
两个要义相辅相成，通过对信号和系统状态的优化，卡尔曼滤波可以在很多应用场景下提高数据处理的准确性。
二、卡尔曼滤波在数据处理中的应用1. 信号处理在信号处理领域中，卡尔曼滤波可以用于测量，过滤和预测等多个方面。
卡尔曼滤波通过不断的递归运算，可以提取出信号中的有效信息，降低数据中的噪声和干扰。
同时，卡尔曼滤波可以对信号的未来走向做出预测，为为后续的决策和分析提供支持。
因此，卡尔曼滤波在通信、雷达、声纳等领域具有广泛的应用。
2. 图像处理在图像处理领域中，卡尔曼滤波可以用于图像去噪、目标跟踪和特征提取等方面。
卡尔曼滤波主要是利用模型来描述目标的运动状态，并且通过不断修正模型中的参数，确定目标的真实位置，提高测量的准确性。
同时，卡尔曼滤波可以预测目标的运动趋势，为目标跟踪提供更加坚实的基础。
因此，卡尔曼滤波在图像处理中有着广泛的应用。
3. 机器人定位和导航在机器人定位和导航领域中，卡尔曼滤波可以用于机器人自身状态估计和控制。
卡尔曼滤波的原理与应用一、什么是卡尔曼滤波卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的算法，其基本原理是将过去的观测结果与当前的测量值相结合，通过加权求和的方式进行状态估计，从而提高对系统状态的准确性和稳定性。
二、卡尔曼滤波的原理卡尔曼滤波的原理可以简单概括为以下几个步骤：1.初始化：初始状态估计值和协方差矩阵。
2.预测：使用系统模型进行状态的预测，同时更新预测的状态协方差矩阵。
3.更新：根据测量值，计算卡尔曼增益，更新状态估计值和协方差矩阵。
三、卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波在很多领域都有广泛的应用，下面列举了几个常见的应用场景：•导航系统：卡尔曼滤波可以用于航空器、汽车等导航系统中，实时估计和优化位置和速度等状态参数，提高导航的准确性。
•目标追踪：如在无人机、机器人等应用中，利用卡尔曼滤波可以对目标进行状态估计和跟踪，提高目标追踪的鲁棒性和准确性。
•信号处理：在雷达信号处理、语音识别等领域，可以利用卡尔曼滤波对信号进行滤波和估计，去除噪声和提取有效信息。
•金融预测：卡尔曼滤波可以应用于金融市场上的时间序列数据分析和预测，用于股价预测、交易策略优化等方面。
四、卡尔曼滤波的优点•适用于线性和高斯性：卡尔曼滤波适用于满足线性和高斯假设的系统，对于线性和高斯噪声的系统，卡尔曼滤波表现出色。
•递归性：卡尔曼滤波具有递归性质，即当前状态的估计值只依赖于上一时刻的状态估计值和当前的测量值，不需要保存全部历史数据，节省存储空间和计算时间。
•最优性：卡尔曼滤波可以依据系统模型和观测误差的统计特性，以最小均方差为目标，进行最优状态估计。
五、卡尔曼滤波的局限性•对线性和高斯假设敏感：对于非线性和非高斯的系统，卡尔曼滤波的性能会受到限制，可能会产生不理想的估计结果。
•模型误差敏感：卡尔曼滤波依赖于精确的系统模型和观测误差统计特性，如果模型不准确或者观测误差偏差较大，会导致估计结果的不准确性。
•计算要求较高：卡尔曼滤波中需要对矩阵进行运算，计算量较大，对于实时性要求较高的应用可能不适合。
卡尔曼滤波原理及应用
一、卡尔曼滤波原理
卡尔曼滤波（Kalman filter）是一种后验最优估计方法。
它以四个步骤：预测、更新、测量、改善，不断地调整估计量来达到观测的最优估计的目的。
卡尔曼滤波的基本思想，是每次观测到某一位置来更新位置的参数，并用更新结果来预测下一次的位置参数，再由预测时产生的误差来改善当前位置参数。
从而可以达到滤波的效果，提高估计精度。
二、卡尔曼滤波应用
1、导航系统。
卡尔曼滤波可以提供准确的位置信息，把最近获得的各种定位信息和测量信息，如GPS、ISL利用卡尔曼滤波进行定位信息融合，可以提供较准确的空中、地面导航服务。
2、智能机器人跟踪。
在编队技术的应用中，智能机器人往往面临着各种复杂环境，很难提供精确的定位信息，而卡尔曼滤波正是能解决这一问题，将持续不断的测量信息放在卡尔曼滤波器中，使机器人能够在范围内定位，跟踪更新准确可靠。
3、移动机器人自主避障。
对于移动机器人来说，很多时候在前传感器检测不到
人或障碍物的时候，一般将使用卡尔曼滤波来进行自主避障。
卡尔曼滤波的定位精度很高，相对于静止定位而言，移动定位有更多的参数要考虑，所以能提供更准确的定位数据来辅助自主避障，准确的定位信息就可以让我们很好的实现自主避障。
4、安防监控。
与其他传统的安防场景比，安防场景如果需要运动物体位置估计或物体检测，就必须使用卡尔曼滤波技术来实现，这是一种行为检测和行为识别的先进技术。
（注：安防监控可用于感知移动物体的位置，并在设定的范围内监测到超出范围的物体，以达到安全防护的目的。
）。
卡尔曼滤波及其应用在现代科学技术中，卡尔曼滤波已经成为了非常重要的一种估计算法，被广泛应用于各种领域。
本文将介绍卡尔曼滤波的原理及其在实际中的应用。
一、卡尔曼滤波的原理卡尔曼滤波最初是由美国数学家卡尔曼（R.E.Kalman）在1960年提出的一种状态估计算法，用于估计动态系统中某一参数的状态。
该算法基于传感器采集的实际数据，通过数学模型来估计一个已知的状态变量，同时也通过统计学方法进行补偿，使得所估计的状态变量更加接近真实值。
卡尔曼滤波的主要思想是：首先对系统的状态变化进行建模，并运用贝叶斯原理，将观测数据和模型预测进行加权平均，得到对当前状态变量的最优估计值。
该算法适用于动态系统中的状态变量为连续变化的情况下，能够快速稳定地对状态变量进行估计，从而达到优化系统性能的目的。
二、卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波在实际中的应用非常广泛，下面将介绍其几个经典的应用案例。
1、导航和控制卡尔曼滤波在导航和控制中的应用非常常见，尤其是在航空航天、船舶、汽车和无人机等领域。
通过卡尔曼滤波算法，可以把传感器收集到的数据进行滤波处理，从而提高定位精度和控制性能，实现更加准确和稳定的导航和控制。
2、图像处理卡尔曼滤波也可以用于图像处理中，如追踪系统、视频稳定、去噪和分割等。
通过卡尔曼滤波算法，可以对传感器的噪声和干扰进行有效削弱，从而提高图像的质量和分辨率。
3、机器人技术在机器人技术中，卡尔曼滤波可以用于机器人的运动控制和姿态估计，以及机器人的感知和决策等领域。
通过卡尔曼滤波算法，可以对机器人的位置、速度和加速度等参数进行实时估计和精确控制，从而提高机器人的自主性和灵活性。
三、结语卡尔曼滤波作为一种状态估计算法，已经成为了现代科学技术不可或缺的一部分。
通过卡尔曼滤波算法，在实际应用中可以有效地处理系统中的各种噪声和干扰，实现更加准确和稳定的状态估计。
相信在未来的科学技术领域中，卡尔曼滤波还将发挥更加重要的作用。
卡尔曼滤波原理及应用
卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的有效方法，它可以通过对系统的动态模型和测量数据进行融合，提供对系统状态的最优估计。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和其在实际应用中的一些案例。
首先，我们来了解一下卡尔曼滤波的基本原理。
卡尔曼滤波是一种递归算法，它通过不断地更新状态估计和协方差矩阵来提供对系统状态的最优估计。
其核心思想是利用系统的动态模型和测量数据，通过加权融合的方式来不断修正对系统状态的估计，从而实现对系统状态的准确跟踪。
在实际应用中，卡尔曼滤波被广泛应用于导航、目标跟踪、信号处理等领域。
以导航为例，卡尔曼滤波可以通过融合GPS测量数据和惯性测量数据，提供对车辆位置和速度的准确估计，从而实现精准导航。
在目标跟踪领域，卡尔曼滤波可以通过融合雷达测量数据和视觉测量数据，提供对目标位置和速度的最优估计，从而实现对目标的准确跟踪。
除了上述应用之外，卡尔曼滤波还被广泛应用于信号处理领域。
例如，在通信系统中，卡尔曼滤波可以通过融合接收信号和信道模型，提供对信号的最优估计，从而实现对信号的准确恢复。
在图像处理领域，卡尔曼滤波可以通过融合不同时间点的图像信息，提供对目标位置和运动轨迹的最优估计，从而实现对目标的准确跟踪。
总的来说，卡尔曼滤波是一种非常有效的状态估计方法，它通过对系统的动态模型和测量数据进行融合，提供对系统状态的最优估计。
在实际应用中，卡尔曼滤波被广泛应用于导航、目标跟踪、信号处理等领域，为这些领域的应用提供了重要的技术支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解卡尔曼滤波的原理和应用，并为相关领域的研究和应用提供一些参考。
卡尔曼滤波的实时应用原理什么是卡尔曼滤波卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种统计滤波算法，通过融合多个观测值，对系统的状态进行估计。
它基于状态空间模型，并通过观测值不断校正状态估计值，具有较好的动态追踪效果。
卡尔曼滤波在实际应用中具有广泛的应用，尤其在实时数据处理和传感器数据融合方面表现出色。
本文将介绍卡尔曼滤波的实时应用原理及其在实际工程中的应用。
卡尔曼滤波的基本原理卡尔曼滤波主要由两个步骤组成：预测步骤和更新步骤。
在预测步骤中，根据系统的动态模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的状态估计值和协方差矩阵。
在更新步骤中，根据当前的观测值和预测的状态估计值，通过卡尔曼增益来修正预测的状态估计值和协方差矩阵。
具体来说，卡尔曼滤波假设系统的状态可以由线性动态方程描述，观测值可以由线性观测方程描述。
在预测步骤中，通过系统的动态方程对上一时刻的状态估计值进行预测，得到预测的状态估计值和协方差矩阵。
在更新步骤中，将观测值与预测的状态估计值进行比较，通过计算卡尔曼增益，校正预测的状态估计值和协方差矩阵。
卡尔曼滤波的实时应用卡尔曼滤波在实时应用中起到了关键作用，并广泛应用于以下领域：1. 无人驾驶在无人驾驶领域，车辆需要实时感知周围环境，并对车辆状态进行估计，从而做出相应的决策。
卡尔曼滤波可以用于融合来自车载传感器（如GPS、激光雷达）的数据，对车辆的位置、速度等状态进行估计，提高无人驾驶系统的精确性和鲁棒性。
2. 机器人导航机器人导航是指机器人在复杂环境中进行路径规划和避障等任务。
卡尔曼滤波可以通过融合来自机器人传感器的数据，对机器人的位置和姿态进行估计，从而提高机器人导航的准确性和稳定性。
3. 航空航天在航空航天领域，卡尔曼滤波被广泛应用于飞行器的导航和控制系统中。
通过融合来自惯性导航系统、GPS等传感器的数据，卡尔曼滤波可以对飞行器的状态进行估计，提供精确的导航信息和控制指令。
4. 物联网在物联网应用中，卡尔曼滤波可以用于传感器数据融合，提高传感器数据的准确性和稳定性。
卡尔曼滤波原理及应用matlab什么是卡尔曼滤波？卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种递归滤波算法，用于估计系统的状态变量，同时能够考虑到系统中的测量噪声和过程噪声。
它被广泛应用于信号处理、控制系统、导航系统等领域。
1. 卡尔曼滤波原理卡尔曼滤波的基本原理可以简单概括为：先预测系统的状态变量，再通过测量数据对预测结果进行校正，得到更准确的状态估计。
具体步骤如下：（1）初始化：设定系统的初始状态估计值和协方差矩阵。
（2）预测状态：基于系统的动态模型，通过前一时刻的状态估计值和控制输入（如果有），利用状态方程预测当前时刻的状态和协方差。
（3）状态更新：根据当前时刻的测量数据，通过测量方程计算状态的残差，然后利用卡尔曼增益对预测的状态估计进行校正，得到更新后的状态和协方差。
（4）返回第二步，重复进行预测和更新。
卡尔曼滤波的核心在于通过系统模型和测量数据不断进行预测和校正，利用预测的结果和测量数据之间的差异来修正状态估计，从而对真实状态进行有效的估计。
2. 卡尔曼滤波的应用卡尔曼滤波在实际应用中有广泛的领域，下面介绍一些常见的应用场景。
（1）信号处理：在信号处理领域，卡尔曼滤波可用于降噪、信号提取、信号预测等工作。
通过将测量噪声和过程噪声考虑进来，卡尔曼滤波能够对信号进行更精确的估计和分离。
（2）控制系统：在控制系统中，卡尔曼滤波可用于状态估计，即根据系统的输入和输出，通过滤波算法估计系统的状态变量。
这对于控制系统的稳定性和性能提升具有重要意义。
（3）导航系统：卡尔曼滤波在导航系统中被广泛应用。
由于导航系统通常包含多个传感器，每个传感器都有测量误差，卡尔曼滤波能够通过融合多个传感器的测量数据，获得更准确的位置和速度估计。
（4）图像处理：卡尔曼滤波也可用于图像处理中的目标跟踪和运动估计。
通过将目标的位置和速度作为状态变量，将图像的测量数据带入卡尔曼滤波算法，可以实现对目标运动的预测和跟踪。
3. 使用MATLAB实现卡尔曼滤波MATLAB是一种强大的数学建模和仿真工具，也可以用于实现卡尔曼滤波算法。
卡尔曼滤波算法应用卡尔曼滤波算法应用在现代科学技术中，卡尔曼滤波是一种广泛应用于估计、控制等领域的滤波算法，它可以精确地预测和估计系统状态。
卡尔曼滤波算法的应用范围非常广泛，在航空航天、水利水电、机电管控等领域都有着重要的作用。
本文将对卡尔曼滤波算法的应用进行介绍，并分为以下几类：航空航天、水利水电、机电管控。
航空航天卡尔曼滤波算法在航空航天领域有着广泛的应用，它可以用来进行导航、控制等任务。
通过对飞行器的测量数据进行处理，卡尔曼滤波算法能够估计出飞行器当前的位置、速度、姿态等状态，从而实现对飞行器的精确控制。
另外，卡尔曼滤波算法还可以应用于导弹制导、卫星轨道预测等领域，提高了导弹和卫星的精确度和可靠性。
水利水电在水利水电领域，卡尔曼滤波算法常常用来预测水文数据，如水位、流量等。
通过对历史数据的处理，卡尔曼滤波算法可以准确地预测未来水文数据的变化趋势，为水利水电项目的调度和管理提供依据。
另外，卡尔曼滤波算法还可以应用于水文监测、灾害预警等领域，提高了灾害预测和监测的准确度。
机电管控在机电管控领域，卡尔曼滤波算法可以用来估计机器人、机械臂等机电系统的位置、速度、加速度等状态，从而实现对机器人和机械臂的精确控制和定位。
另外，卡尔曼滤波算法还可以应用于车辆车速估计、信号滤波等领域，提高了车辆控制和信号处理的精确度。
总结卡尔曼滤波算法是一种非常实用的滤波算法，在航空航天、水利水电、机电管控等领域都有着广泛的应用。
通过对历史数据的处理和统计分析，卡尔曼滤波算法可以准确地预测系统的状态，从而实现对系统的控制和管理。
在现代科学技术的发展中，卡尔曼滤波算法将会有更加广阔的应用前景。
基于矩阵分解的卡尔曼滤波技术分析及应用【摘要】本文简要介绍了卡尔曼滤波研究的发展历程,重点对卡尔曼滤波及其在改善数值稳定性，提高计算效率等数值方面的研究与发展进行了综述，对Q-R 分解，U-D 分解，奇异值分解（SVD ）等在卡尔曼滤波的应用进行了介绍。
最后给出了一种基于Q-R 矩阵分解的自适应滤波方法，仿真验证了其有效性。
1 引言1960年，美籍科学家卡尔曼(R. E. Kalman)在系统状态空间模型的基础上提出了著名的线性卡尔曼滤波器，它在线性的前提假设下是一个线性无偏、最小方差估计器，从而可以为线性滤波问题提供精确解析解。
自该技术被提出以来，它已成为控制、信号处理与通信等领域最基本最重要的计算方法和工具之一,并已成功地应用到航空、航天、电力系统及社会经济等不同领域。
随着微型计算机的普及应用,对卡尔曼滤波的数值稳定性、计算效率、实用性和有效性的要求越来越高.为此,人们在如何改善卡尔曼滤波的计算复杂性和数值稳定性方面作了大量的探索工作,各种基于平方根滤波与平滑,U-D 分解滤波与平滑,奇异值分解滤波与平滑,状态与偏差分离滤波以及并行与分散滤波等方法得到不断发展.本文给出了矩阵分解的一些基础知识，并着重从卡尔曼滤波数值计算方法入手,对现有的常规卡尔曼滤波、基于矩阵的因式分解滤波的数值计算方法进行了较系统的介绍和分析,并在第四章给出了一种基于Q-R 矩阵分解的自适应滤波算法。
2 常规卡尔曼滤波2.1 协方差卡尔曼滤波考虑如下线性离散系统k k k k k w x A x Γ+=+1 (2.1.1)k k k k v x C z += (2.1.2)式中n k R x ∈是状态向量,m k R z ∈是量测向量,p k R w ∈是系统噪声向量,m k R v ∈是量测噪声向量.假设系统噪声和量测噪声是互不相关的零均值高斯白噪声,方差阵分别为k Q ，k R ，则协方差卡尔曼滤波方程为：111|ˆˆ---=k k k k x A x(2.1.3) T k k k k T k k k k Q A P A P 1111111|-------ΓΓ+= (2.1.4)]ˆ[ˆˆ1|1|---+=k k k k k k k k x C z K x x(2.1.5) 1|][--=k k k k k P C K I P (2.1.6)11|1||][---+=k T k k k k T k k k k R C P C C P K (2.1.7)理论分析和实际应用均证明上述滤波公式是数值不稳定的,其原因是由于计算机有限字长的限制,计算中舍入误差和截断误差的累积、传递会使协方差阵k P 失去对称正定性,因此,Joseph 提出一种所谓“稳定化”卡尔曼滤波,其目的是减小滤波算法对计算舍入误差的灵敏性,保证k P 的对称正定性,以提高滤波的数值稳定性,防止发散.其滤波阵公式，只是将(2.1.6)式改写为如下形式即可:Tk k k T k k k k k k k K R K C K I P C K I P +--=-][][1| (2.1.8) 但该算法由于所需计算量和存储量较大,而且并不一定很奏效,因而应用并不广泛.2.2 信息滤波为了解决在某些没有有关初始状态信息和先验知识可供采用情况下的滤波,Fraser 提出了信息滤波，即用协方差阵k P 的逆1-kP 来代替k P 的递推计算,这种算法对测量更新比较有效,但时间更新所需计算量较大.2.3 推广卡尔曼滤波器推广卡尔曼滤波(EKF)是一种应用最广泛的非线性系统滤波方法。
EKF 与线性卡尔曼滤波公式完全类似,只是上述滤波公式中k A ,k Γ,和k C 要在由非线性函数的偏导计算 得到,不能象线性滤波那样可事先离线计算增益和协方差阵,但EKF 与常规卡尔曼滤波一 样,数值稳定性差,初值不易确定.为了改善上述常规滤波算法的数值稳定性,并提高计算效 率,自七十年代以来,人们提出了平方根滤波、U 一D 分解滤波、奇异值分解滤波等一系列数 值鲁棒的滤波算法.3 基于矩阵因式分解的滤波方法3.1 预备知识定理3.1.1 设A 是实正定对称矩阵，则存在唯一正线下三角矩阵S ，使得T SS A =（3.1.1） 定理3.1.2 Householder 变换 设n C u ∈，且1=u u H ，则H n uu E u u E u H 2)2;,()(-== （3.1.2）称为初等酉阵，或Householder 变换。
定理3.1.3 Cholesky 分解 设n n nC A ⨯∈是正定Hermite 矩阵，用L 表示单位下三角矩阵，D 是对角矩阵，则有H LD LDA ))((2/12/1= （3.1.3） 定理3.1.4 QR 分解 设n n n R A ⨯∈，则A 可唯一地分解为QR A = （3.1.4） 定理3.1.5 奇异值分解 设n m rC A ⨯∈，r σσσ,,,21⋅⋅⋅是A 的r 个奇异值，则存在m 阶酉矩阵和n 阶酉矩阵V ，使得V O O OD U A )(= （3.1.5）其中),,,(21r diag D δδδ⋅⋅⋅=，且),,2,1(||r i i i ⋅⋅⋅==σδ。
3.2 平方根协方差滤波（SRCF ）首先提出平方根滤波思想的是Potter,他把k P 按Cholesky 方法分解为下三角阵k S ,即令T k k k S S P =,在滤波递推计算中用k S 的传递计算代替k P 的计算,由公式（3.1.1）可知，从而保证了k P 的对称正定性.Potter 的算法经美国阿波罗登月舱的实际应用,证明是很成功的.随后,Potter 的算法被推广来解决存在着系统噪声和量测量为向量的情形。
Schmidt 给出了向量量测既可以同时处理,也可以序列处理的一种处理过程噪声的方法.为了提高平方根滤波的计算效率,Carlson 注意到传递阵通常是块上三角阵的特点,给出了一种量测更新和时间更新均为上三角阵形式的快速平方根滤波,减少了计算量.上述平方根滤波均把时间更新和量测更新按常规分成两个分离的过程,其算法的关键是通过利用正交变换获得上三角阵的平方根矩阵.为了减小计算量,人们对如何构造正交变换的问题给予了很大的注意,常用的正交变换方法是Householder 变换，即公式（3.1.2）、修正的Gram-Sehmidt 正交化法及Givens 变换等。
1975年,Morf 一Kailath 在总结上述平方根滤波基础上,把时间更新和量测更新两个过程结合起来,给出了一种量测和时间更新的联合更新方程,从而仅需一个正交变换,即完成滤波计算,且无需计算滤波增益阵.3.2 平方根信息滤波与平方根协方差滤波相对应,信息滤波的平方根滤波方法也得到人们的极大重视和研究。
Dyer 一MeReynolds 基于Householder 变换利用动态规划理论研究出一种平方根信息滤波(SRIF),与SRCF 类似,SRIF 把信息矩阵1-k P 定义为平方根阵形式,即定义T k k k S S P )1(11---=由1-k S 的递推计算来代替1-k P 的计算.Bierman 利用“数据方程”法给出一种结构较简单的SRIF,并给出有色噪声情况的滤波公式,该算法需要计算状态转移矩阵的逆,即要求状态转移矩阵是非奇异的,针对这一问题,给出一种对状态转移阵奇异仍适用的SRIF,Bierma 在此基础上,把SRIF 应用于具有时间延迟系统的滤波,并把SRIF 推广到大规模互联系统的情形,大大减少了计算量和存储量.正如SRCF 那样,将量测更新和时间更新结合起来,可以容易的求得联合SRIF 更新方程,Paige-Saunders 基于把卡尔曼滤波转换为最小二乘估计的思想,提出一种联合量测更新和时间更新的SRIF 方案。
由于SRIF 在某些情况下,如对于多量测量系统,比常规卡尔曼滤波有更高的计算效率、更好的数值稳定性和精度,因此,在轨道确定、飞行状态估计和多传感器跟踪与辨识等方面得到应用。
3.3 U-D 分解滤波上述SRCF 和SRIF,一般来讲由于存在矩阵的求逆运算和平方根计算,所需计算量较常规卡尔曼滤波要大,因而限制了在工程中的应用。
Bierman 在研究和应用SRIF 及Carlson 序列滤波的基础上,于1975~1977年间,提出了一套计算效率高、数值稳定的称之为“U-D 分解”滤波的算法。
该算法把协方差阵分解为单位上三角阵U 和对角阵D,即有T k k k k U D U P =，2/1UD 相当于协方差平方根阵S ，即公式（3.1.3）。
U-D 分解滤波既具有平方根滤波的优点,即始终能保证协方差阵的正定性,同时避免了Carlson 等平方根滤波算法中平方根的计算,因而具有与常规卡尔曼滤波相当的计算量,是上述滤波算法中效率最高的一种算法,并且在实际应用问题中,结合实际问题的特点,U-D 分解算法计算效率还更高,因而,近年来在轨道确定、目标跟踪和飞行状态估计及神经网络学习算法等方面得到广泛应用和发展,但该算法由于量测更新采用序列处理,对于量测量较多的系统,计算效率受到一定影响,对有色噪声的处理不如SRIF,SRCF 方便。
3.4 基于奇异值分解（SVD ）的滤波方法奇异值分解由于具有很强的数值鲁棒性和可靠性,广泛应用于最小二乘问题、病态方程 组求解及广义逆计算等场合,并在控制、通讯与信号处理等领域越来越受到人们的极大重视。
在滤波问题中,也已得到应用。
Oshman 基于协方差阵的频谱分解,以SVD 为计算工具,提出称之为v-Lambda 滤波的方法,他把协方差阵分解成TV V P Λ=形式,其中V 是矩阵P 的特征向量矩阵,Λ为对角元是P 阵奇异值的对角矩阵。
首先给出量测更新为信息滤波模式,时间更新为协方差滤波模式的v 一Lambda 滤波方法。
随后,Oshman 又给出量测更新和时间更新方程均为信息滤波模式的滤波公式,该算法不需计算滤波增益,由于利用SVD,使得状态估计算法鲁棒性较之平方根滤波、U-D 分解滤波更好,但该算法由于进行一步滤波迭代计算,需一次正交变换,两次奇异值分解,所以,其缺点是计算量较大,但其优异的数值鲁棒性以及随着奇异值分解并行处理的实现而随之带来计算时间的减少,使得此算法将成为一种极富吸引力的滤波方法.另外利用协方差阵的对称正定性,给出一种类似U-D 分解形式、计算量较小的基于SVD 的滤波算法,本文又给出一种基于SVD 的推广卡尔曼滤波算法,并应用于飞行状态估计问题,随后又提出一种基于SVD 的递推最小二乘辨识新方法,与递推最小二乘、基于U-D 分解的递推最小二乘法相比,不仅收敛速度快、数值稳定性和辨识精度高,而且能得到系统参数的无偏估计。
