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倒格矢与正格矢的表达式倒格矢与正格矢是固体物理学中常用的概念，用于描述晶体中的电子结构。
倒格矢是晶体中的布拉格平面的法向量，而正格矢则是晶体的晶格向量。
在本文中，将详细介绍倒格矢与正格矢的表达式及其在固体物理学中的应用。
我们来看倒格矢的表达式。
在布拉格衍射理论中，倒格矢用来描述晶体中的衍射现象。
倒格矢的表达式为：G = h*a* + k*b* + l*c*其中，G为倒格矢，h、k、l为整数，a*、b*、c*为正格矢的倒数，即与晶格向量相互垂直的向量。
倒格矢G的方向与晶格平面的法向量相同。
接下来，我们来看正格矢的表达式。
正格矢用来描述晶体的晶格结构，表达式为：R = h*a + k*b + l*c其中，R为正格矢，h、k、l为整数，a、b、c为晶格向量。
正格矢R的方向与晶格平面平行。
倒格矢与正格矢之间存在一种重要的关系，即布拉格定理。
布拉格定理表明，倒格矢和正格矢之间的内积等于一个常数，即：G·R = 2πn其中，n为整数。
这个定理揭示了倒格矢和正格矢之间的对偶性。
在固体物理学中，倒格矢和正格矢的概念广泛应用于描述晶体中的电子结构。
根据布洛赫定理，晶体中的电子波函数可以表示为平面波和周期函数的乘积形式。
在这个表达式中，平面波的波矢k可以用倒格矢G来表示，即：k = G + k'其中，k'为倒格矢的一个平移矢量。
这个表达式说明了倒格矢G和电子波矢k之间的关系。
利用倒格矢和正格矢的概念，可以方便地描述晶体中的电子结构和晶格结构。
例如，在固体能带理论中，可以通过计算倒格矢和正格矢之间的内积来得到电子能带结构。
倒格矢和正格矢的选择对于能带结构的计算结果具有重要影响。
倒格矢和正格矢还广泛应用于X射线衍射和中子衍射等实验技术中。
通过测量衍射角度和晶格常数，可以确定倒格矢和正格矢之间的关系，从而得到晶体结构的信息。
在总结一下，倒格矢和正格矢是固体物理学中重要的概念，用于描述晶体中的电子结构和晶格结构。
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。
对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。
本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。
一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。
平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。
周期场近似： 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。
原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型（1）近自由电子模型1、模型概述在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。
因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
（也称为弱周期场近似） (222U m ∇+)()(r U R r U n =+2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。
由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。
3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。
实验三电子衍射实验1924年法国物理学家德布罗意在爱因斯坦光子理论的启示下，提出了一切微观实物粒子都具有波粒二象性的假设。
1927年戴维逊与革末用镍晶体反射电子，成功地完成了电子衍射实验，验证了电子的波动性，并测得了电子的波长。
两个月后，英国的汤姆逊和雷德用高速电子穿透金属薄膜的办法直接获得了电子衍射花纹，进一步证明了德布罗意波的存在。
1928年以后的实验还证实，不仅电子具有波动性，一切实物粒子，如质子、中子、α粒子、原子、分子等都具有波动性。
一、实验目的1、通过拍摄电子穿透晶体薄膜时的衍射图象，验证德布罗意公式，加深对电子的波粒二象性的认识。
2、了解电子衍射仪的结构，掌握其使用方法。
二、实验仪器WDY-V 型电子衍射仪。
三、实验原理1、 德布罗意假设和电子波的波长1924年德布罗意提出物质波或称德布罗意波的假说，即一切微观粒子，也象光子一样, 具有波粒二象性，并把微观实物粒子的动量P 与物质波波长λ之间的关系表示为：mvhP h ==λ (1) 式中h 为普朗克常数，m 、v 分别为粒子的质量和速度，这就是德布罗意公式。
对于一个静止质量为m 0的电子，当加速电压在30kV 时，电子的运动速度很大，已接近光速。
由于电子速度的加大而引起的电子质量的变化就不可忽略。
根据狭义相对论的理论，电子的质量为：cv m m 2210-=（2）式中c 是真空中的光速，将（2）式代入（1）式，即可得到电子波的波长：2201cv v m h mv h -==λ（3）在实验中，只要电子的能量由加速电压所决定，则电子能量的增加就等于电场对电子所作的功，并利用相对论的动能表达式：)111(2220202--=-=cv c m c m mc eU （4） 从（4）式得到2020222cm eU eUc m U e c v ++=（5）及2020221cm eU c m c v +=-（6） 将（5）式和（6）式代入（3）式得)21(2200cm eUeU m h+=λ（7）将e = 1.602⨯10-19C ，h = 6.626⨯10-34J •S, m 0= 9.110⨯10-31kg,c = 2.998⨯108m/s 代入(7)式得)10489.01(26.12)10978.01(26.1266U UU U --⨯-≈⨯+=λ Å （8）2、 电子波的晶体衍射本实验采用汤姆逊方法，让一束电子穿过无规则取向的多晶薄膜。
弗里德尔振荡曲线弗里德尔振荡曲线（Friedel oscillation）是固体物理学中的一个重要概念，它描述了电子在晶格中的行为和相互作用。
弗里德尔振荡曲线的研究对于理解晶体结构和电子能带特性具有重要意义。
本文将从以下几个方面介绍弗里德尔振荡曲线的概念、形成机制和应用。
一、概念介绍弗里德尔振荡曲线是指当在三维周期性结构晶体中引入一个小的扰动时，电子密度分布的周期性变化。
这种变化是由于晶格的周期性结构导致的电子波函数的干涉效应产生的。
弗里德尔振荡曲线通常呈现出一系列的波峰和波谷，其间距与晶格的周期性结构密切相关。
二、形成机制弗里德尔振荡曲线的形成机制可以通过布拉维动量的概念来解释。
布拉维动量是描述一个晶体的周期性结构的物理量，它与电子能带结构的形成密切相关。
当扰动作用于晶体时，电子的布拉维动量会发生变化，从而引起电子波函数的干涉效应。
这种干涉效应使得电子的分布发生周期性变化，形成弗里德尔振荡曲线。
三、应用弗里德尔振荡曲线在固体物理学的研究中有着广泛的应用。
首先，它可以用来研究晶体的电子能带结构。
通过分析弗里德尔振荡曲线的特征，可以获得有关晶体中电子的能量分布和布拉维动量的信息。
这对于理解和设计新型功能材料具有重要意义。
其次，弗里德尔振荡曲线还可以用来研究晶体的输运性质。
电子在晶体中的传输行为受到晶格的扰动和散射的影响，通过研究弗里德尔振荡曲线可以探索电子的传输路径和散射机制，进而优化材料的导电性能。
总之，弗里德尔振荡曲线是固体物理学中一个重要的概念，通过研究电子在晶体中的行为和相互作用，可以揭示晶体的结构和性质。
弗里德尔振荡曲线的形成机制和应用具有深远的意义，对于材料科学和电子器件的研究有着重要的指导作用。
未来，随着物理实验和计算方法的发展，我们相信弗里德尔振荡曲线的研究将会更加深入和丰富。
电子衍射实验[实验目的]1、验证电子具有波动性的假设2、了解电子衍射和电子衍射实验对物理学发展的意义3、了解电子衍射在研究晶体结构中的应用[实验仪器]电子衍射仪，真空机组，复合真空计，数码相机，微机[基础知识]一、电子的波粒二象性在普朗克和爱因斯坦关于光的微粒性理论取得成功的启示下，1924年德布罗意提出了微观粒子也具有波粒二象性的假说：每一运动粒子都有一波与之联系，微观粒子的能量E、动量P与平面波的频率υ、波长λ之间有如光子和波长之间的关系，即此二式称为德布罗意关系。
这一假设于1927年被戴维逊和革末的电子衍射实验所证实，他们将慢电子束入射到镍单晶上，得到了与X射线衍射现象完全一样的图样。
德布罗意假设的实验证实为量子力学的建立奠定了基础。
设电子的静止质量为m，经电压U加速后以匀速V作定向运动，其动量P和能量E分别为根据德布罗意关系，电子波长．．．．．．①将各已知物理常数值代入，得．．．．．．②此即电子波波长与加速电压的关系。
②式对计算加速电压低于500Ｖ的电子运动是足够准确的。
但加速电压增大，电子运动将表现出相对论效应，此时电子质量电子动能于是得到．．．．．．③式中是相对论修正因子。
将已知量代入，上式可简化为．．．．．．④当电子的加速电压达到50KV时，对德布罗意波长的修正可达2％。
与X射线射到晶体光栅上发生干涉现象一样，若将一束单向电子束射向晶体，电子被晶体中的原子散射。
应用布拉格的处理方法，将电子波在晶体中的散射视为晶体中各晶面对电子波的反射。
当反射电子束与晶面之夹角θ满足2d sinθ= nλ．．．．．．⑤时，散射波在空间加强。
上式中d为晶体反射面间距，λ为电子波波长，见图（1）。
对立方晶系有．．．．．．⑥a 其中，a是晶体点阵常数，h、k、l是晶面指数。
θ比较⑤、⑥式得d．．．．．．⑦多晶体的电子衍射图样：多晶体薄膜是由许多取向各不相同图（1）的微小晶粒组成。
当电子束射入薄膜，在与入射线成2θ角的圆锥面的任意位置上样品总可以找到一组满足布拉格公式的晶面，于是在与薄膜相距l处的垂直平面上可形成半径为R的相干的圆环。
k空间的概念一、什么是k空间k空间是固体物理中用来描述电子能量和动量的一个抽象空间。
在晶体结构中，电子的运动受到晶格周期性势场的影响，其能量与动量只能在一定的范围内变化。
k空间可以将这种能量-动量关系进行方便的表示和分析，是研究晶体电子结构和材料性质的重要工具。
二、能带理论与k空间能带理论是描述晶体中电子能量分布的基本理论。
根据布洛赫定理，晶体中的电子波函数可以写成平面波与周期函数的乘积形式，这样，Schrödinger方程就可以化为简单的代数方程。
由此推导出的能带理论，将能量与动量联系在了一起。
三、布里渊区和第一布里渊区为了描述能带结构和材料的电子性质，需要对k空间进行划分。
布里渊区指的是倒空间中，用来表示晶体电子行为的特殊区域。
第一布里渊区是最小的一个布里渊区，包含了其他所有布里渊区的信息。
在第一布里渊区内，电子的能量与动量具有单值关系，被称为有效区。
1. 第一布里渊区的特点•第一布里渊区是一个对称区域，其内部具有点、线、面的对称性。
•第一布里渊区内的任意两点之间，都可以通过平移一个晶格矢量得到。
•第一布里渊区是所有布里渊区中体积最小的一个。
2. 第一布里渊区的表示第一布里渊区可以通过不同的表示方式进行描述，常见的有以下几种： - 正多边形表示：圆形、正方形、六边形等 - 倒格矢表示：使用倒格矢可以方便地表示第一布里渊区的形状和大小。
四、能带结构与k空间能带结构是指固体中能量与动量之间的关系。
在k空间中，通过绘制能带图可以直观地观察到晶体的电子能级分布和带间距离。
能带结构是理解材料电子性质的基础，对于导电材料、绝缘体、半导体的分析都起到了重要的作用。
1. 导体、绝缘体和半导体的能带结构•导体的导电性主要来源于能带中存在着未被占据的能态，电子可以自由地在带间进行传导。
•绝缘体的能带结构中，能带之间存在较大的能隙，几乎不存在未被占据的能态。
电子禁止带处于完全占满的状态。
•半导体的能带结构介于导体和绝缘体之间，能隙较小，存在一些未被占据的能态，可被激发导电。
晶体中的电子波——能带和Brillouin区
2010-05-29 11:25:45| 分类：微电子物理| 标签：|字号大中小订阅
（晶体中只能存在哪些电子波？晶体电子的能量为什么出现禁带？
什么是等能面和Fermi面？什么是Brillouin区？）
因为晶体电子处于周期性势场中，所以其状态很复杂：波函数具有Bloch函数的形式，能量具有能带的形式。
这里就从近自由电子概念出发来说明一下晶体电子的运动状态以及能带和禁带的产生原理。
（1）电子波的干涉：
为了简单，假定晶体电子是完全自由的（如金属电子），则其波函数是行波——平面波：ψk(x,t) = A exp(jkx)·exp(-jωt) = A exp[j(kx-ωt)]
式中的波矢k=2π/λ，ω=E/?，E=(?k)2/2m*；并不是所有的行波都能够在晶体中传播，只有波长λ（或者波矢k）满足晶体边界条件（例如周期性边界条件）的那些电子波才能存在于晶体中（数目有限，k起着晶体电子的量子数的作用中）。
但是在晶体中传播的行波，不管是电子波还是光波，都将会受到晶面的反射，而且在一定的条件下，入射波和反射波还有可能产生干涉。
见图1，对于沿着x方向传播的一个电子波：
ψk(x) = A exp(jkx)
在每一个原子处将受到反射；若反射波A’、B’和C’之间的波程差是nλ（n=1,2,3,4,…），则它们将相互加强，并产生一个沿着相反方向传播的全反射波。
对于反射波A’和B’，波B’比波A’多传播了2a的距离，则其间的波程差为2a，因此A’和B’相互加强的条件是：
2a = nλ，即k = nπ/a
于是，每一个满足该条件的波长λ（或波矢k）的电子波，被各个原子面（晶面间距为a）所产生的反射波都将相互加强、而产生一个反向传播的全反射波ψ-k(x)：
ψ-k(x) = A exp(-jkx)
这个全反射波也将要受到各个原子面的反射、并加强，从而，这种电子波的不断反射，即造成在晶体中只存在两种分别是向前和向后传播的行波形式的电子波，并且这两种传播方向相反的电子波又相互干涉，最后就形成了两种不能在晶体中传播的驻波——稳定状态：
ψc(x) = A exp(jkx) + A exp(-jkx) = A c cos(nπx/a)
ψs(x) = A exp(jkx)-A exp(-jkx) = A s sin(nπx/a)
显然，这两个驻波都是晶体Schr?dinger方程的解。
总之，波矢为k=nπ/a的电子波因为要受到晶面反射而形成驻波，则不能在晶体中传播；只有那些k≠nπ/a的电子，作为行波而不会受到反射，才能在晶体中传播。
值得注意，在晶体中k=nπ/a的电子波——两个驻波所表征的电子状态的能量将有所不同。
见图2，ψc(x)状态的几率密度|ψc(x)|2的分布在原子实处为最大值，而ψs(x)状态的几率密度|ψs(x)|2的分布在原子实之间处为最大值。
因为电子的静电势能与离原子实的距离r成反比（-q2/4πεo r），即电子越靠近原子实，静电势能就越低，所以在原子实处几率密度最大的状态（ψc(x)状态）即对应于静电势能E c较低的状态，而在原子实处几率密度最小的状态（ψs(x)状态）即对应于静电势能E s较高的状态，即有E s>E c。
这就是说，对于k = nπ/a的电子，具有高低不同的两个可能的能量值，在其间没有允许的能量，即晶体电子的能量在k = nπ/a处发生了分裂，亦即产生了能隙——禁带。
（2）能隙宽度：
晶体电子的禁带宽度也就是E s与E c的能量差，即E g=E s-E c。
若V(x)是晶体电子在x处的静电势能，则ψc(x)状态和ψs(x)状态的电子势能分别为V c 和V s：
V c = (1/L)∫V(x) |ψc(x)|2 dx =-V n（积分限：0~L）
V s = (1/L)∫V(x) |ψs(x)|2 dx = +V n（积分限：0~L）
于是，ψc(x)状态和ψs(x)状态在k=nπ/a时的能量为：
E s = (?k)2/2m* + V n
E c= (?k)2/2m*-V n
从而禁带宽度为：
E g=E s-E c = 2 V n
（3）能带图：
在近自由电子近似下，晶体中k≠nπ/a的电子波能够传播，即电子可自由运动，这时电子能量与波矢k的关系是抛物线。
而对于k=nπ/a的电子，能量不连续，即偏离了抛物线；不过实际上是在k=nπ/a附近就已经偏离了抛物线。
所以，在k空间中描绘出E～k关系，即为图3所示，这就是常见的能带图。
价电子所处的较高能量的能带称为价带。
对于半导体，在0K时价带是填满了的，故有时也称为满带；比价带更高的能带即称为导带；导带与价带之间的能隙称为禁带，所谓禁带宽度（E g）也就是导带底（E c）与价带顶（E v）之间的能量差，即E g = E c-E v。
对于金属，价带与导带相互重叠，即禁带宽度为0。
这时能量最高的能带是不满带，则其中的电子能够导电，故金属是导体。
在0K时，Fermi能级以下所有状态都被价电子填满，Fermi能级以上的能级则空着；在k空间中，具有Fermi能级能量的等能面称为Fermi面。
如果电子完全是自由的，则等能面为球面（因为E = (?k)2/2m*∝k2）；否则将偏离球面。
（4）Brillouin区概念：
对于图3所示的一维晶体的能带图，在波矢k=-π/a～π/a之间的电子波是能够在晶体中传播的；在k=-2π/a～-π/a和π/a～2π/a之间的电子波也是能够在晶体中传播的；……。
这些能够传播的电子波的波矢在k空间中的范围就是Brillouin区。
k=-π/a～π/a区域就是第一Brillouin区；k=-2π/a～-π/a和π/a～2π/a区域就是第一Brillouin区；……。
实际上，Brillouin区也就是表征晶体电子状态的k空间中一个区域，因为k的取值是分立的（每一个状态占据一定的k空间体积，即[∆k x×∆k y×∆k z]，由测不准关系决定），而且k的个数有限，只要一个Brillouin区中的所有k，即可代表所有电子的状态。
因此，一个能带也就对应于一个Brillouin区。
在一个Brillouin区中，低能量的电子处于Brillouin区中心附近，高能量的则处于Brillouin 区边缘附近。
而Brillouin区中心附近即相应于能带底附近，这里电子的E～k关系近似为抛物线，则等能面为球面，在二维k空间中即为圆形，如图4所示；但由于Brillouin区边缘附近相应于能带顶附近，这时电子的E～k关系偏离了抛物线（能量有所降低），因此等能面也不再是球面，如图4所示。
这就是说，在Brillouin区中心附近的电子可看成是自由电子，而在Brillouin区边缘附近的电子则否。
