固体物理-第五章晶体中电子能带理论132页PPT文档
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固体物理-第五章晶体中电子能带理论5PPT精品文档21页
对电流密度的贡献为:ev(kv)
Aπ满带a源自非满带I=0A
πk
a
A
πk
a
(2)有外电场
k
eE
(e 0)
每个电子的波矢均以恒定速率变化
即所有电子在k空间都以速度：
v
A
dk
1
v eE
运动。
dt h
a
满带：
A
v k
Ea
k 轴上各点均以完全相同的速度移动，因此并不改变均
匀填充各 k 态的情况。从A´移出去的电子同时又从A移进
3 近满带中的空穴
对于不具有部分填充能带的非导体，若导带底和价带顶之间的能隙较 窄，则在有限的温度下，满带中(价带顶附近)少数电子受激发而跃迁到 空带中去，使原来的满带变成近满带，近满带中这些空的状态，称为空 穴(hole) 。
原来是空带的导带中出现了少量可以导电的电子，变成近空带。
v 假 设 只 有 k 0 处 的 一 个 电 子 态 未 被 电 子 占 据
由于近满带、近空带的出现，是电子的热激发形成的，所以，这两个 能带的导电能力将随温度的升高按指数规律增加。
❖半金属 （Semi-metal 类金属）
在金属和半导体之间存在一种称为类金属的中间情况， 即：导带底与价带顶具有相同的能量(零带隙宽度)或导带与价带发生 少量交叠(负带隙宽度).从而导致导带中存在一定数量的电子(其浓度 远小于典型的金属，但远大于典型的半导体),其价带中存在一定数量 的空穴。
v
v
电 流 密 度
vv/( e)v(k)( e)v(k0)0
kk0
vv
/(e)v(k)ev(k0)
k
v
所有占据电子对电流的贡献等同于带正电e、速度为 v ( k 0 )
固体第五章2008.12.15
原子束缚态波函数
e
m
ik Rm
i ( r Rm )
—— 两者存在幺正变换
1 —— 晶体中电子波函数 k ( r ) N
—— N个波函数表示为
e
m
ik Rm
i ( r Rm )
e , e i ( r R1 ) k1 e ik R ik R k2 1 e 2 1 , e 2 2 eik2 RN i ( r R2 ) N k eikN R1 , eikN R2 eik N RN i ( r RN ) N
ikRs E i J ( Rs )e s
对于确定的
波函数
am Ce
ik Rm
1 晶体中电子的波函数 k ( r ) N
e
m
ik Rm
i ( r Rm )
ikRs 能量本征值 E ( k ) i J ( Rs )e s
* i
—— 周期性势场减去原子的势场 —— 仍为负值
二.能带结构
am J ( Rn Rm ) ( E i )an
m
—— 关于am为未知数的N个齐次线性方程组
—— am只由 来决定 —— 任意常数矢量
方程的解
am Ce an Ce
ik Rm
ik Rn
电子的波函数 ( r ) a m i ( r Rm )
m
原子间距比原子半径大时, 不同格点的
重叠很小
—— 正交关系
以
左乘上面方程 积分得到
e
m
ik Rm
i ( r Rm )
—— 两者存在幺正变换
1 —— 晶体中电子波函数 k ( r ) N
—— N个波函数表示为
e
m
ik Rm
i ( r Rm )
e , e i ( r R1 ) k1 e ik R ik R k2 1 e 2 1 , e 2 2 eik2 RN i ( r R2 ) N k eikN R1 , eikN R2 eik N RN i ( r RN ) N
ikRs E i J ( Rs )e s
对于确定的
波函数
am Ce
ik Rm
1 晶体中电子的波函数 k ( r ) N
e
m
ik Rm
i ( r Rm )
ikRs 能量本征值 E ( k ) i J ( Rs )e s
* i
—— 周期性势场减去原子的势场 —— 仍为负值
二.能带结构
am J ( Rn Rm ) ( E i )an
m
—— 关于am为未知数的N个齐次线性方程组
—— am只由 来决定 —— 任意常数矢量
方程的解
am Ce an Ce
ik Rm
ik Rn
电子的波函数 ( r ) a m i ( r Rm )
m
原子间距比原子半径大时, 不同格点的
重叠很小
—— 正交关系
以
左乘上面方程 积分得到
《固体物理能带理论》课件
探索禁带宽度
禁带宽度的影响
深入探究禁带宽度对材料性质的 影响，介绍如何利用禁带宽度调 控材料性质。
直接/间接带隙
介绍直接带隙和间接带隙的概念 和特点，以及如何通过调控禁带 宽度实现它们之间的转换。
量子点
了解量子点的概念及其在光伏、 光催化、发光等方面的应用。
电子在周期势场中的行为
布拉歇特条件
探究布拉歇特条件的作用和意义，以及如何通过布拉歇特条件来理解材料导电性。
电子自旋
介绍电子自旋的概念和特点，以及在磁性材料中的重要作用。
量子霍尔效应
了解量子霍尔效应的概念和特点，以及其在电子学、自旋测量等方面的应用。
应用能带理论
1
太阳能电池
探究太阳能电池的原理和构造，以及如
半导体激光器
2
何利用能带理论来提高太阳能电池的性 能。
介绍半导体激光器的原理和构造，以及
如何通过能带理论来优化激光器的性能。
《固体物理能带理论》 PPT课件
通过本PPT了解固体物理能带理论，理解能带的概念和特点，并探究能带理论 在实际应用中的应用。
什么是固体物理能带理论？
晶体的电子结构
介绍晶体的基本结构和存在能带 的原因，以及能带分布的规律。
能带、狄拉克相对论
进一步探究能带的特点及其与材 料导电性的关系，介绍狄拉克相 对论的意义。
Bloch定理和能带图
介绍Bloch定理的作用，以及如何 通过能带图来描绘材料的电子结 构。
深入理解价带和导带
价带的物理意义
介绍价带中电子的特征和性 质，并探讨不同能级之间的 关系。
导带的物理意义
深入剖析导带中的电子行为， 介绍电子元件中导带的作用。
轻重空穴带
最新文档-固体物理第五章晶体中的电子状态545556TD-PPT精品文档
来，保持整个能带处于均匀填满的状况，亦无净 电流 。（k和-k仍然对称分布）
A'
E(k)
A
a 0 a k
v(k)
0 k
a
a
满带不导电
3.、不满带导电
未加外电场
在k一状个态不与满带k中状，态电电子子在的布电里流渊密区度中互对相称抵分消布。，
3. 紧束缚近似：（适用于晶体中原子的内层电子）
波函数： uk reikr 布洛赫函数
能量：一个能级列变为一个能带。 单电子近似（准自由近似和紧束缚近似），又称为能带论
5.5晶体中电子的准经典运动
在量子力学中晶体中布洛赫电子的运动由波 包来描述。所谓波包由空间分布在r0附近的Δr 范围内，波矢取值在k0附近的Δk范围内的布洛 赫电子态组成,ΔrΔk必须满足不确定关系。一 般Δk必须小于第一布里渊区的线度，这样Δr 必须远大于晶体原胞的线度，只能在这个线度 内，布洛赫电子可以看作经典粒子。
而 vk ＝ ： kE ， 那 么 d d k tF ， vk 0
dk F 运动状态变化的基本公式 (1) dt源自牛顿定律： F d p dt
(2)
引入准动量 p k (3)
三维：pk
注意：晶体中电子的准动量不同于电子的真实动量。
三.电子在外场作用下的加速度 有效质量
mm*(
1
2
dd2kE2)1
0
能带顶部附近：
E
Et
2k2 2m*M
其中
mM*(
1
2
dd2kE2)1
0
晶体场作用被概括到有效质量内部。
4. 在外力作用下，晶体中的电子犹如一个质量为m* 的经典质点
A'
E(k)
A
a 0 a k
v(k)
0 k
a
a
满带不导电
3.、不满带导电
未加外电场
在k一状个态不与满带k中状，态电电子子在的布电里流渊密区度中互对相称抵分消布。，
3. 紧束缚近似：（适用于晶体中原子的内层电子）
波函数： uk reikr 布洛赫函数
能量：一个能级列变为一个能带。 单电子近似（准自由近似和紧束缚近似），又称为能带论
5.5晶体中电子的准经典运动
在量子力学中晶体中布洛赫电子的运动由波 包来描述。所谓波包由空间分布在r0附近的Δr 范围内，波矢取值在k0附近的Δk范围内的布洛 赫电子态组成,ΔrΔk必须满足不确定关系。一 般Δk必须小于第一布里渊区的线度，这样Δr 必须远大于晶体原胞的线度，只能在这个线度 内，布洛赫电子可以看作经典粒子。
而 vk ＝ ： kE ， 那 么 d d k tF ， vk 0
dk F 运动状态变化的基本公式 (1) dt源自牛顿定律： F d p dt
(2)
引入准动量 p k (3)
三维：pk
注意：晶体中电子的准动量不同于电子的真实动量。
三.电子在外场作用下的加速度 有效质量
mm*(
1
2
dd2kE2)1
0
能带顶部附近：
E
Et
2k2 2m*M
其中
mM*(
1
2
dd2kE2)1
0
晶体场作用被概括到有效质量内部。
4. 在外力作用下，晶体中的电子犹如一个质量为m* 的经典质点
固体物理能带理论.ppt
禁带：两个相邻能带间的间距
禁带中不存在电子的定态，其宽度对晶体的导电性至关重要。
满带是不导电的，价带和空带是可以导电的。电流是电子在电 场作用下定向运动的结果。可以想象能带中有许多“空位”， 每个“空位”只能容纳一个电子，由于在满带中所有的“空位” 都被电子占满，电子不能在电场作用下从一个“空位”跑到另 一个“空位”，就像在满座的剧场里一个人不可能去占别人的 座位一样。所以满带中的电子是不自由的，是不能导电的。
。2020年11月9日星期一2020/11/92020/11/92020/11/9
15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年11月2020/11/92020/11/92020/11/911/9/2020
16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/11/92020/11/9November 9, 2020
周期
线度：一般指物体从各个方向测量时的最大长度
布洛赫函数 L=Na，L是线度
5.3 克朗尼格-朋奈模型 能带中的能级数目
这些都与5.1节概述中介绍的结论是一致的
5.4 导体和绝缘体
谢谢
9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/11/92020/11/9Monday, November 09, 2020
二 能带
晶体中各原子相互影响，使得能量 和运动轨迹发生不同程度的变化
外 层 内 层 1S 2S到2P所分布的电子离核距离在逐渐变大能量越来越高
L从0开始取值
满带：晶体中最低能带的各个能级都被电子填满这样的能带成为满带
价带：由价电子能级分裂而形成的能带。 ①通常情况下，价带为能量最高的能带； ②也可能未被电子填满，形成不满带或半满带。 空带：若一个能带中所有的能级都没有被电子填入，这样的能带成为空带
禁带中不存在电子的定态，其宽度对晶体的导电性至关重要。
满带是不导电的，价带和空带是可以导电的。电流是电子在电 场作用下定向运动的结果。可以想象能带中有许多“空位”， 每个“空位”只能容纳一个电子，由于在满带中所有的“空位” 都被电子占满，电子不能在电场作用下从一个“空位”跑到另 一个“空位”，就像在满座的剧场里一个人不可能去占别人的 座位一样。所以满带中的电子是不自由的，是不能导电的。
。2020年11月9日星期一2020/11/92020/11/92020/11/9
15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年11月2020/11/92020/11/92020/11/911/9/2020
16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/11/92020/11/9November 9, 2020
周期
线度：一般指物体从各个方向测量时的最大长度
布洛赫函数 L=Na，L是线度
5.3 克朗尼格-朋奈模型 能带中的能级数目
这些都与5.1节概述中介绍的结论是一致的
5.4 导体和绝缘体
谢谢
9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/11/92020/11/9Monday, November 09, 2020
二 能带
晶体中各原子相互影响，使得能量 和运动轨迹发生不同程度的变化
外 层 内 层 1S 2S到2P所分布的电子离核距离在逐渐变大能量越来越高
L从0开始取值
满带：晶体中最低能带的各个能级都被电子填满这样的能带成为满带
价带：由价电子能级分裂而形成的能带。 ①通常情况下，价带为能量最高的能带； ②也可能未被电子填满，形成不满带或半满带。 空带：若一个能带中所有的能级都没有被电子填入，这样的能带成为空带
固体物理-第五章晶体中电子能带理论2-PPT精品文档
'Vne a
n
由 H ˆk(x)kk(x)得
EkEk(0)Ek(1)Ek(2)
k(x)k(0)(x)k(1)(x)k2)(x)
零
H ˆ0 k(0)(x) k(0)(x)
级 近 似 解
k(0)(x)
1
eikx ；
L
(0) k
2k 2 2m
a
0 其他情况
k VkL1e-ik x 0L
i2πn x
'V nea
n
1eik xd x L
k 2 l,k 2 l
Na Na
二级微扰能量：
i2πnx
V 'Vne a
n
k' Vk 2
(0)
k
/
k
(0) (0)
k
k
H (r) 2m 2 2Vr (r)(r)
的本征函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即
k(r)eikruk(r)且 ukruk rRn
对 R n 取布拉维格子的所有格矢成立。 R n n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
上述讨论没有涉及周期性势场V ( r ) 的具体形式，是普遍性
k 2π
把波函数 (r) k
1 eikr V
2
代回薛定谔方程 2(r)(r)
2m
得到电子的本征能量为：
2k 2 2m
2m 2 (kx2k2y kz2)
电子的动量:
电子处在
k
(r
)
1 eikr V
时，有确定的动量：
p k
电子的速度:
v p k mm
n
由 H ˆk(x)kk(x)得
EkEk(0)Ek(1)Ek(2)
k(x)k(0)(x)k(1)(x)k2)(x)
零
H ˆ0 k(0)(x) k(0)(x)
级 近 似 解
k(0)(x)
1
eikx ；
L
(0) k
2k 2 2m
a
0 其他情况
k VkL1e-ik x 0L
i2πn x
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n
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k 2 l,k 2 l
Na Na
二级微扰能量：
i2πnx
V 'Vne a
n
k' Vk 2
(0)
k
/
k
(0) (0)
k
k
H (r) 2m 2 2Vr (r)(r)
的本征函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即
k(r)eikruk(r)且 ukruk rRn
对 R n 取布拉维格子的所有格矢成立。 R n n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
上述讨论没有涉及周期性势场V ( r ) 的具体形式，是普遍性
k 2π
把波函数 (r) k
1 eikr V
2
代回薛定谔方程 2(r)(r)
2m
得到电子的本征能量为：
2k 2 2m
2m 2 (kx2k2y kz2)
电子的动量:
电子处在
k
(r
)
1 eikr V
时，有确定的动量：
p k
电子的速度:
v p k mm
晶体中电子的能带理论图解
晶体中电子的能带理论1．价电子的共有化模型设想物体由大量相同原子组成。
这些原子在空间的排列与实际晶体排列相同，但原子间距很大，使每一原子可看成自由原子，这时孤立原子中的电子组态及相应能级都是相同的，成为简并能级。
一原子中电子特别是外层电子（价电子）除受本身原子的势场作用外，还受到相邻原子的势场作用。
其结果这些电子不再局限于某一原子而可以从一个原子转移到相邻的原子中去，可以在整个晶体中运动，这就是所谓价电子的共有化。
布洛赫（F.Bloch）定理：周期势场中运动的电子其势能函数应满足周期性条件：U(x)=U(x+nl)其中：l为晶格常数（相邻格点的间距）ｎ为任意整数电子满足定态薛定谔方程为：布洛赫证明：定态波函数一定具有下列特征：布洛赫定理说在周期场中运动的电子波函数Φ(x)为自由电子波函数与具有晶体结构周期的函数u(x)的乘积，具有这种形式的波函数称为布洛赫函数或称为布洛赫波。
克龙尼克—潘尼模型（Kronig-Penney Model）考虑一粒子处在一维周期性方势阱中的运动在0<x<l区域势函数为l=b1+b2在势阱内：其中则在势垒内：其中则由布洛赫定理：且有：再结合波函数的单值有限连续可得：由于-1<coskl<1对等式左侧的k1k2(或E)附加了限制。
令：超越方程为：f(E)=coskl K的变化使E变化，有的E可能使| f(E)|>1粒子不可能取这样的能量——禁带。
特例：对自由电子：k1=k2=k则：根据以上讨论，显然有在金属中要量子化。
2．固体能带在晶体中，原来的简并能级即自由原子中的能级分裂为许多和原来能级很接近的能级，形成能带。
理论计算表明，原先自由原子中电子的s能级分裂为和原来能级很接近N个能级，形成一个能带，称为s能带。
其中N为组成晶体的原子数。
例：N＝6 (晶体由6个原子组成)结论：①分裂的新能级在一定能量范围内，一般不超过102eV数量级，而晶体原子数目N极大。
固体物理第五章
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理 能量本征值的计算 能量本征值 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合 布洛赫函数 晶体中的电子的波函数按此函数集合展开 将电子的波函数代入薛定谔方程 确定展开式中的系数应满足的久期方程 求解久期方程得到能量本征值 电子波函数的计算 根据能量本征值确定电子波函数展开式中的 系数得到具体的波函数 在不同的能带计算模型和方法中采取的理论框架相 同，只是选取不同的函数集合
b1 , b2 , b3 ——倒格子基矢
满足 ai ⋅ b j = 2πδ ij
2π i
λ1 = eik ⋅a , λ2 = eik ⋅a , λ3 = eik ⋅a 平移算符的本征值
1 2
3
平移算符的本征值 λ1 = e
ik ⋅a1
, λ2 = eik ⋅a2 , λ3 = eik ⋅a3
ˆ ( R ) = T n1 (a )T n2 (a )T n3 (a ) 作用于电子波函数 ˆ ˆ ˆ 将T n 1 1 2 2 3 3
电子波函数
uk + Kn (r ) = =
n
=e
ik ⋅ Rn
- - -K h ⋅ Rn = 2πμ
∑
h
a ( k + K n + K h )e i K h ⋅ r a ( k + K l )e
n
∑
l
i ( K 43; K ( r ) = e i(k + K
=
)⋅ r
uk + Kn (r )
能带理论——单电子近似的理论
将每个电子的运动看成是独立的在一个等效势 运动 场中的运动 单电子近似 最早用于研究多电子原子 哈特里-福克自洽场方法 自洽场 能带理论的出发点 电子不再束缚于个别的原子，而在整个固体内运动 个别的原子 共有化电子
固体物理第五章
l1 l3 l2 简约波矢 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
第一布里ห้องสมุดไป่ตู้区体积
l1 l3 l2 简约波矢 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
—— 在 空间中第一布里渊区均匀分布的点
每个代表点的体积
Vc 状态密度 ( 2 ) 3
(2 ) N 简约布里渊区的波矢数目 N 3 (2 )
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理 能量本征值的计算 —— 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合 晶体中的电子的波函数按此函数集合展开 —— 将电子的波函数代入薛定谔方程 确定展开式中的系数应满足的久期方程 求解久期方程得到能量本征值
三维晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理 电子波函数的计算
实际上,受晶体的 离子和电子产生的 晶体势场的影响.
能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 能带理论 —— 定性阐明了晶体中电子运动的普遍 性的特点 —— 说明了导体、非导体的区别 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的 间距 —— 半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的 发展
—— 根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数
得到具体的波函数
—— 在不同的能带计算模型和方法中 采取的理论框架相同，只是选取不同的函数集合
能带理论的局限性 一些过渡金属化合物晶体 —— 价电子的迁移率小 自由程与晶格间距相当, 电子不为原子所共有 周期场失去意义，能带理论不适用了 非晶态固体 —— 非晶态固体和液态金属只有短程有序 两种物质的电子能谱显然不是长程序的周期场的结果
第一节 布洛赫定理
布洛赫波
晶体电子在规则排列的正离子势场中运动， 势场具有晶格周期性． 周期场中运动的单电子的波函数不再是平面波， 而是调幅平面波，其振幅不再是常数。
固体物理--能带理论 ppt课件
e
i
a 2
E
at s
A
J
ia
kx ky kz
ia
e 2
ia
kx ky kz
e 2 kx k y kz e 2 kx k y kz
e
i
a 2
kx ky kz
a
a
于是
eikna 1 n
因此得 kna 2s 1nπ 所以 k 2s 1 π s 0,1,2...
a
（2）
icos
π a
x
a
icos
π a
x
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x a
即
eikna i n
得
kna 2s 3 nπ
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上述问题是一个NZ+N的多体问题，无法直接求解薛定谔方程， 为此进行如下假设和近似：
1、绝热近似（玻恩—奥本海默近似） 认为离子实固定在其瞬时位置上，只关注电子体系的运动。此时， 离子实的动能项和离子实之间的库仑势可不考虑。电子体系的哈密顿量：
H )e T ) e V e e ( r v i,r v j) V e n ( r v i,R v n )
e2 rvi rvj
NZ个电子的动能和库仑势
N n 1
h2 2M
2 n
1 2
n,m
/
1
4 0
(Ze)2 vv Rn Rm
N个离子实的动能和库仑势
NZ N
1
i1 n1 4 0
Ze2
rvi
v Rn
电子和离子实之间的库仑势
T ˆ e V e e ( r v i , r v j ) T ˆ n V n n ( R v n , R v m ) V e n ( r v i , R v n )
H )(rv) 2 hm 2 2Vrv (rv)(rv)
V (r R n)V (r )
边长为 L 的立方体金属, 金属的体积V=L3,自由电子数目为N, 若忽略电子和离子实以及电子与电子之间的相互作用，则 N 个电子的多体问题可转化为单电子问题
[h2 2V(rv)](rv)(rv)
2m
波函数：
v(rv) 1 eikvrv
k
V
准连续的分立能级 E2hm 2 2L 2 nx2ny2nz2
考虑电子间及与离子实间的相互作用后
准连续的分立能级
能带
本章主要内容：
❖周期场中单电子薛定谔方程的本征函数（布洛赫波函数）。 ❖从两个极端情况出发（价电子受原子核束缚强弱），近自由电 子近似和紧束缚近似，了解晶体中电子能带结构的起源。 ❖周期场中电子的动力学行为。 ❖从能带论的角度讲述何以有导体、半导体和绝缘体之分。
1
40
Ze2 rvRvn ]
周期场近似的内容是：假定 V (rv) 具有和晶格同样的平移对称性，即：
V (r R n)V (r ) 成立
单电子
H )(rv) 2 hm 2 2Vrv (rv)(rv)
绝热近似 单电子近似 周期场近似
将复杂的多粒子体系问题简化为周期场中单电子的运动
周期场中单电子薛定谔方程
哈密顿中的 V
项，使电子的运动彼此关联，难于处理。为此，用一个平均
ee
场来代替 V
项。(每个电子处于其他电子的平均场中)
ee
Vee(rv i,rvj)1 2iN Z 1ji
1 40
rv ie2rvj iN Z 1ve(rv i)
则电子体系的哈密顿进一步简化为：
H )eiN Z 1[2 hm 2 i2ve(rv i)R vn
式中 / 表示求和时 i j, ½ 源于考虑了两次相互作用
i, j
H ˆ T ˆ e V e e ( r v i , r v j ) T ˆ n V n n ( R v n , R v m ) V e n ( r v i , R v n )
（描其写中体r系v 的代薛表定rv 谔1,方rv2程,rv 为3,：LH ) ,rvN( Zr v ，,RR vv )代 表 R v1 (,r v R v ,2 R v ,)R v3,L,R vN ）
kv(rvR vn)eikv•(rvR vn)ukv(rvR vn)
§5.1 布洛赫波函数
本节主要内容: 一、 布洛赫定理及证明
（有关周期场中单电子薛定谔方程的本征函数）
H )(rv) 2 hm 2 2Vrv (rv)(rv)
V(rห้องสมุดไป่ตู้R vn)V(rv)
二、 波矢k的取值与物理意义
费利克斯·布洛赫(Felix Bloch) (1905–1983),瑞士物理学家 1928年，研究金属中电子行为时，得到晶体电子的普遍性 定理—Bloch定理-----能带论的基础
v
R
为离子实的瞬时位置，是其中的一个参量。一般情况下，离子实是围
n
v 绕其平v 衡位置作小振动（晶格振动）。绝热近似忽略晶格振动的影响， R 认为 R n 即是平衡位置的 0
n
2、单电子近似(平均场近似)
H ) H ) e T ) e V e e ( r v i,r v j) V e n ( r v i,R v n )
1 40
Ze2 rv iR vn]
单电子势能
)
此式表明，晶体中总的 H
简化为单体问题。
e
是NZ个单电子的哈密顿之和，即多体问题
3、周期场近似
H )eiN Z 1[2 hm 2 i2ve(rv i)R vn
1 40
Ze2 rv iR vn]
单电子势能
单电子势能:
V(rv)ve(rv)v Rn
因为核磁共振方面的开创性工作，与爱德华·珀塞尔 （Edward Mills Purcell, 美，1912-2019）共同分享 1952年的诺贝尔物理学奖。
布洛赫定理(Bloch theorem)及证明
布洛赫定理：
对于周期性势场，即
VrrVrrR rn
v 其中 R n
取布拉菲
格子的所有格矢，则单电子薛定谔方程:
晶体中原子的价电子主要影响晶体性质，关注价电子
原子
价电子 + 离子实
离子实
原子核 + 内层电子
能带理论是一个近似理论，固体中存在大量电子及离子 实，对这种多粒子系统严格求解是不可能的。
引言: 模型的建立
晶体最大的特点就是具有周期性结构，满足平移对称性。
在考虑价电子间及与离子实之间的相互作用的前提下，给 出周期性结构系统的哈密顿量，并考虑对哈密顿的近似处 理 -------模型的建立
假定晶体体积 V L3 ， 含有N个带正电荷Ze的离子实，
Z为单原子的价电子数目，晶体中有NZ个价电子。即：
v N个离子实，每个离子实带正电荷Ze，其位矢用 R n 表示；
v NZ个价电子，简称为电子，其位矢用 表示。 ri
系统的哈密顿为：
)
H
NZ i 1
h2 2m
2 i
1 2
i, j
/1
4 0
H )(rv) 2 hm 2 2Vrv (rv)(rv)
的本征函数是按布拉菲格子周期性调幅的平面波，即
kv(rv)eikvgrvukv(rv)且 ukvrvukv rvRvn
对
v Rn
取布拉菲格子的所有格矢成立。
R v n n 1 a v 1 n 2 a v 2 n 3 a v 3
kv(rv)eikv•rvukv(rv)且 ukvrvukv rvRvn
1、绝热近似（玻恩—奥本海默近似） 认为离子实固定在其瞬时位置上，只关注电子体系的运动。此时， 离子实的动能项和离子实之间的库仑势可不考虑。电子体系的哈密顿量：
H )e T ) e V e e ( r v i,r v j) V e n ( r v i,R v n )
e2 rvi rvj
NZ个电子的动能和库仑势
N n 1
h2 2M
2 n
1 2
n,m
/
1
4 0
(Ze)2 vv Rn Rm
N个离子实的动能和库仑势
NZ N
1
i1 n1 4 0
Ze2
rvi
v Rn
电子和离子实之间的库仑势
T ˆ e V e e ( r v i , r v j ) T ˆ n V n n ( R v n , R v m ) V e n ( r v i , R v n )
H )(rv) 2 hm 2 2Vrv (rv)(rv)
V (r R n)V (r )
边长为 L 的立方体金属, 金属的体积V=L3,自由电子数目为N, 若忽略电子和离子实以及电子与电子之间的相互作用，则 N 个电子的多体问题可转化为单电子问题
[h2 2V(rv)](rv)(rv)
2m
波函数：
v(rv) 1 eikvrv
k
V
准连续的分立能级 E2hm 2 2L 2 nx2ny2nz2
考虑电子间及与离子实间的相互作用后
准连续的分立能级
能带
本章主要内容：
❖周期场中单电子薛定谔方程的本征函数（布洛赫波函数）。 ❖从两个极端情况出发（价电子受原子核束缚强弱），近自由电 子近似和紧束缚近似，了解晶体中电子能带结构的起源。 ❖周期场中电子的动力学行为。 ❖从能带论的角度讲述何以有导体、半导体和绝缘体之分。
1
40
Ze2 rvRvn ]
周期场近似的内容是：假定 V (rv) 具有和晶格同样的平移对称性，即：
V (r R n)V (r ) 成立
单电子
H )(rv) 2 hm 2 2Vrv (rv)(rv)
绝热近似 单电子近似 周期场近似
将复杂的多粒子体系问题简化为周期场中单电子的运动
周期场中单电子薛定谔方程
哈密顿中的 V
项，使电子的运动彼此关联，难于处理。为此，用一个平均
ee
场来代替 V
项。(每个电子处于其他电子的平均场中)
ee
Vee(rv i,rvj)1 2iN Z 1ji
1 40
rv ie2rvj iN Z 1ve(rv i)
则电子体系的哈密顿进一步简化为：
H )eiN Z 1[2 hm 2 i2ve(rv i)R vn
式中 / 表示求和时 i j, ½ 源于考虑了两次相互作用
i, j
H ˆ T ˆ e V e e ( r v i , r v j ) T ˆ n V n n ( R v n , R v m ) V e n ( r v i , R v n )
（描其写中体r系v 的代薛表定rv 谔1,方rv2程,rv 为3,：LH ) ,rvN( Zr v ，,RR vv )代 表 R v1 (,r v R v ,2 R v ,)R v3,L,R vN ）
kv(rvR vn)eikv•(rvR vn)ukv(rvR vn)
§5.1 布洛赫波函数
本节主要内容: 一、 布洛赫定理及证明
（有关周期场中单电子薛定谔方程的本征函数）
H )(rv) 2 hm 2 2Vrv (rv)(rv)
V(rห้องสมุดไป่ตู้R vn)V(rv)
二、 波矢k的取值与物理意义
费利克斯·布洛赫(Felix Bloch) (1905–1983),瑞士物理学家 1928年，研究金属中电子行为时，得到晶体电子的普遍性 定理—Bloch定理-----能带论的基础
v
R
为离子实的瞬时位置，是其中的一个参量。一般情况下，离子实是围
n
v 绕其平v 衡位置作小振动（晶格振动）。绝热近似忽略晶格振动的影响， R 认为 R n 即是平衡位置的 0
n
2、单电子近似(平均场近似)
H ) H ) e T ) e V e e ( r v i,r v j) V e n ( r v i,R v n )
1 40
Ze2 rv iR vn]
单电子势能
)
此式表明，晶体中总的 H
简化为单体问题。
e
是NZ个单电子的哈密顿之和，即多体问题
3、周期场近似
H )eiN Z 1[2 hm 2 i2ve(rv i)R vn
1 40
Ze2 rv iR vn]
单电子势能
单电子势能:
V(rv)ve(rv)v Rn
因为核磁共振方面的开创性工作，与爱德华·珀塞尔 （Edward Mills Purcell, 美，1912-2019）共同分享 1952年的诺贝尔物理学奖。
布洛赫定理(Bloch theorem)及证明
布洛赫定理：
对于周期性势场，即
VrrVrrR rn
v 其中 R n
取布拉菲
格子的所有格矢，则单电子薛定谔方程:
晶体中原子的价电子主要影响晶体性质，关注价电子
原子
价电子 + 离子实
离子实
原子核 + 内层电子
能带理论是一个近似理论，固体中存在大量电子及离子 实，对这种多粒子系统严格求解是不可能的。
引言: 模型的建立
晶体最大的特点就是具有周期性结构，满足平移对称性。
在考虑价电子间及与离子实之间的相互作用的前提下，给 出周期性结构系统的哈密顿量，并考虑对哈密顿的近似处 理 -------模型的建立
假定晶体体积 V L3 ， 含有N个带正电荷Ze的离子实，
Z为单原子的价电子数目，晶体中有NZ个价电子。即：
v N个离子实，每个离子实带正电荷Ze，其位矢用 R n 表示；
v NZ个价电子，简称为电子，其位矢用 表示。 ri
系统的哈密顿为：
)
H
NZ i 1
h2 2m
2 i
1 2
i, j
/1
4 0
H )(rv) 2 hm 2 2Vrv (rv)(rv)
的本征函数是按布拉菲格子周期性调幅的平面波，即
kv(rv)eikvgrvukv(rv)且 ukvrvukv rvRvn
对
v Rn
取布拉菲格子的所有格矢成立。
R v n n 1 a v 1 n 2 a v 2 n 3 a v 3
kv(rv)eikv•rvukv(rv)且 ukvrvukv rvRvn