6-1 参数的点估计

113第六章 参数估计一、 知识点1. 点估计的基本概念2. 点估计的常用方法(1) 矩估计法① 基本思想：以样本矩作为相应的总体矩的估计，以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计。

(2) 极大似然估计法设总体X 的分布形式已知，其中),,,(21k θθθθΛ=为未知参数，),,(21n X X X Λ为简单随机样本，相应的),,,(21n x x x Λ为它的一组观测值．极大似然估计法的步骤如下：① 按总体X 的分布律或概率密度写出似然函数∏==ni i n x p x x x L 121);();,,,(θθΛ （离散型）∏==ni i n x f x x x L 121);();,,,(θθΛ （连续型）若有),,,(ˆ21nx x x Λθ使得);,,,(max )ˆ;,,,(2121θθθn n x x x L x x x L ΛΛΘ∈=，则称这个θˆ为参数θ的极大似然估计值。

称统计量),,,(ˆ21nX X X Λθ为参数θ的极大似然估计量。

② 通常似然函数是l θ的可微函数，利用高等数学知识在k θθθ,,,21Λ可能的取值范围内求出参数的极大似然估计k l x x x nl l ,,2,1),,,,(ˆˆ21ΛΛ==θθ 将i x 换成i X 得到相应的极大似然估计量k l X X X nl l ,,2,1),,,,(ˆˆ21ΛΛ==θθ 注：当);,,,(21θn x x x L Λ不可微时，求似然函数的最大值要从定义出发。

3. 估计量的评选标准(1) 无偏性：设),,(ˆˆ21nX X X Λθθ=是参数θ的估计量，如果θθ=)ˆ(E ，则称θˆ为θ的无偏估计量。

(2) 有效性：设1ˆθ，2ˆθ是θ的两个无偏估计，如果)ˆ()ˆ(21θθD D ≤，则称1ˆθ较2ˆθ更有效。

4. 区间估计114 (1) 定义 设总体X 的分布函数族为{}Θ∈θθ),;(x F ．对于给定值)10(<<αα，如果有两个统计量),,(ˆˆ111n X X Λθθ=和),,(ˆˆ122n X X Λθθ=，使得{}αθθθ-≥<<1ˆˆ21P 对一切Θ∈θ成立，则称随机区间)ˆ,ˆ(21θθ是θ的双侧α-1置信区间，称α-1为置信度；分别称1ˆθ和2ˆθ为双侧置信下限和双侧置信上限． (2) 单侧置信区间(3) 一个正态总体下未知参数的双侧置信区间（置信度为α-1）二、 习题 1. 选择题(1) 设n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的一个样本，则以下统计量①)(211n X X + ②)2(14321n X X X X X n ++++-Λ ③)2332(101121n n X X X X +++-作为总体均值μ的估计量，其中是μ的无偏估计的个数是A.0B.1C.2D.3(2) 设321,,X X X 是来自正态总体)1,(μN 的样本，现有μ的三个无偏估计量321332123211216131ˆ;1254131ˆ;2110351ˆX X X X X X X X X ++=++=++=μμμ其中方差最小的估计量是A.1ˆμB.2ˆμC. 3ˆμD.以上都不是 (3) 设0,1,0,1,1为来自0-1分布总体B(1,p)的样本观察值，则p 的矩估计值为 。

即的矩估计为 2 X。
ˆ 2X
若（ x1 , x2 , x3 , x4 , x5） （ 1， 2， 3， 5， 9） ,
1 2 3 5 9 ˆ 2X 8 X 4 5
9 落 在 区 间 [0, 8]外 面 ！ ！
例 6.1.5 一类电子产品的寿命 可以用两 参数指数分布 E ( , ) 描述，其概率密度为
1 n ˆ Xi X 解得： n i 1
1 n 2 ( X i X )2 S n n i 1
2
例 6.1.11 设总体 ~ U[0, ], 0 为未知参数, 试求 的极大似然估计.
解：设 ( X , X ,
1 2
, X n ) 为样本， ( x1 , x2 ,
, xn ) 为观测值
1
当 xi [0, ] 时，
ln L( ) n ln
L( ) ( )
i 1
n
1

n
d ln L( ) n 0, ( 0) d
d ln L( ) 方程 0无解！！ d
ln L( ) 关于 严格单调递减
(3)解出 1 , 2 ,..., m .

注意：（1）总体矩一般与参数有关; （2）方程个数m=待估参数个数; （ 3 ）尽量用低阶矩.
矩法估计的不变性
若要估计 1 ,2 , ,k 的函数 h(1 ,2 , k ) ， 把 1 , 2 ,

, k
第六章
参数估计
(1) 非参数估计：估计总体分布
如：频率直方图，样本分布函数等
(2) 参数估计：总体分布已知，估计未知参数
点估计— —估计参数的值 参数估计 区间估计— —估计参数的范围

n
n
Var(ˆ1 ) ci2Var(xi ) 2 ci2
n
i 1n
n
i 1
利用柯西不等式 ( aibi )2 ( ai2 )( bi2 ) ,其中等号成立的充要条件是
i 1
i 1
i 1
a1 b1 a2 b2 an bn
而 1
n
ci
2
1 (
n
ci2 )(
n
1) n
判断一致性的三个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k阶矩的 相合估计. 即矩估计具有相合性 由辛钦大数定律可证
2. 设ˆn是 的一个估计, 且
定理1
lim
n
E(ˆn
)
lim
n
Var
(ˆn
)
0
定理2 则 ˆn 是 的相合估计量.
用切贝雪夫不 等式证明
3. 若ˆn1 ,ˆn2 ,....,ˆnk 分别是 1,2 ,....,k 的相合
例11. 设 X ~ U (0,θ), x1, x2,…, xn 是 X 的一个
样本, 则由前可知：θ的最大似然估计是x(n).
由于
Ex(n)
n
n 1
所以x(n)不是θ的无偏估计, 而是渐近无偏估计.
但修正后可得θ的一个无偏估计:
ˆ 1
n
n
1
x(
n
)
另由矩法估计可知 ˆ2 2x 也是θ的无偏估计,
n
Var (ˆi )
1
2
n1
n
Var j 1
(
x
j
)
2
n1
ji
. 因此, x比 ˆi的方差小, 因而x比ˆi要优

第一章绪论一，名词解释1.参数：能统计计算出来描述总体的特征量，即总体的统计指标。

2.总体：根据研究目确实定的同质研究对象的全体集合。

3.同质：除了实验因素外，影响被研究指标的非试验因素相同被称为同质。

4.变异：在同质的基础上被观察个体或单位之间的差异被称为变异。

5.样本：从总体中随机抽取的部分研究对象。

6.统计量：由观察资料计算出来的量，即样本的统计指标。

7.概率：表示一个事件发生的可能性大小的数。

〔概率的统计定义：在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附件，则数值p 称为事件A在该条件下发生的概率。

〕8.抽样误差：由抽样造成的样本均数与总体均数或各样本均数之间的差异。

二，问答题。

1.统计学的基本步骤有哪些？答：统计学是一门处理数据中变异性的科学与艺术，它包括收集数据、分析数据、解释数据，以及表达数据。

2.总体与样本的区别与关系？答：区别：样本是总体的一部分，联系：如果样本的均衡性较好，就能够代表总体的特征。

3.抽样误差产生的原因有哪些？可以防止抽样误差吗？答：一，个体差异引起；二，抽样方法引起。

抽样误差不能防止，但可以随着样本含量的增大而减小。

4.何为概率及小概率事件？答：概率是指在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附件，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率。

小概率事件是指习惯上将P《=0.05或P《=0.01称为小概率事件，表示某事件发生的可能性很小。

第二章定量资料的统计描述一，名词解释1.频数：对一个随机事件进行反复观察，其中某变量值出现的次数被称为频数。

2.方差：用来度量随机变量和数学期望〔即均值〕之间的偏离程度。

3.标准差：也称均方差，是各数据偏离平均数的距离的平均数。

4.中位数：是指将原始观察值从小到大或从大到小排序后，位次局中的那个数。