下载文档原格式
数理统计8：点估计的有效性、⼀致最⼩⽅差⽆偏估计（UMVUE）、零⽆偏估计法在之前的学习中，主要基于充分统计量给出点估计，并且注重于点估计的⽆偏性与相合性。
然⽽，仅有这两个性质是不⾜的，⽆偏性只能保证统计量的均值与待估参数⼀致，却⽆法控制统计量可能偏离待估参数的程度；相合性只能在⼤样本下保证统计量到均值的收敛性，但却对⼩样本情形束⼿⽆策。
今天我们将注重于统计量的有效性，即⽆偏统计量的抽样分布的⽅差。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：⼀致最⼩⽅差⽆偏估计⾸先考虑这样的问题：如何刻画⼀个统计量的有效程度？注意到，⼀个统计量的取值既可能⾼于待估参数，亦可能低于待估参数，要综合考虑统计量对待估参数误差，需要⽤平⽅均衡这种双向偏差，因此，提出均⽅误差的概念：若\hat g(\boldsymbol{X})是g(\theta)的估计量，则\hat g(\boldsymbol{X})的均⽅误差定义为\mathrm{MSE}(\hat g(\boldsymbol{X}))= \mathbb{E}[\hat g(\boldsymbol{X})-g(\theta)]^2.对于确定的统计量\hat g(\boldsymbol{X})⽽⾔，\mathrm{MSE}(\hat g(\boldsymbol{X}))是\theta的函数。
显然，⼀个统计量的均⽅误差越⼩，它就越在待估参数真值附近环绕，由此，⽤统计量的⼀次观测值作为待估参数的估计就有着越⼤的把握。
如果对于g(\theta)的两个估计量\hat g_1(\boldsymbol{X})和\hat g_2(\boldsymbol{X})，恒有\mathrm{MSE}(\hat g_1(\boldsymbol{X}))\le \mathrm{MSE}(\hatg_2(\boldsymbol{X}))，且严格不等号⾄少在某个\theta处成⽴，就称\hat g_1(\boldsymbol{X})在均⽅误差准则下优于\hat g_2(\boldsymbol{X})。
M A T L A B产生各种分布的随机数The final revision was on November 23, 2020MATLAB产生各种分布的随机数1，均匀分布U（a,b）：产生m*n阶［a，b］均匀分布U（a，b）的随机数矩阵：unifrnd (a,b,m, n) 产生一个［a，b］均匀分布的随机数：unifrnd (a,b)2，0-1分布U（0,1）产生m*n阶［０，1］均匀分布的随机数矩阵：rand (m, n)产生一个［０，１］均匀分布的随机数：rand4，二类分布binornd(N,P,mm,nn)如binornd(10,,mm,nn)即产生mm*nn均值为N*P的矩阵binornd(N,p)则产生一个。
而binornd(10,,mm)则产生mm*mm的方阵，军阵为N*p。
5，产生m*n阶离散均匀分布的随机数矩阵：unidrnd(N,mm,nn)产生一个数值在1-N区间的mm*nn矩阵6，产生mm nn阶期望值为的指数分布的随机数矩阵：exprnd( ,mm, nn)此外，常用逆累积分布函数表函数名调用格式函数注释norminv X=norminv(P,mu,sigma) 正态逆累积分布函数expinv X=expinv(P,mu) 指数逆累积分布函数weibinv X=weibinv(P,A,B) 威布尔逆累积分布函数logninv X=logninv(P,mu,sigma) 对数正态逆累积分布函数Chi2inv X=chi2inv(P,A,B) 卡方逆累积分布函数Betainv X=betainv(P,A,B) β分布逆累积分布函数随机数的产生4.1.1 二项分布的随机数据的产生命令参数为N，P的二项随机数据函数 binornd格式 R = binornd(N,P) %N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数，N、P大小相同。
R = binornd(N,P,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。
报告抬头课题名称：基于MATLAB的地学数据处理与统计分析探讨课题组长：姓名彭宁俊学号20111000713 班号021111课题成员：（小组协作完成需填写）成员分工：（文中所有MATLAB语句、绘图操作和报告内容系笔者自主完成，实习中提供过部分数据和资料来源的同学已在致谢栏中给出，所有原始数据和图件在附件中给出）指导教师：陈志军老师（可结合你们的毕业实习指导教师的相关研究）起止时间：2014/4/19-2014/4/29目录：0摘要1．MATLAB简介2.MATLAB地学数据处理2.1 MATLAB数据统计量计算2.1 MATLAB数据插值和拟合……………以Exercises.1-2部分数据、peaks函数为例 2.3 概率函数和分布函数2.4 参数估计和假设检验………………以Exercises.1-1数据为例3．MATLAB数据可视化和绘图3.1数据分布与直方图…………………以Exercises.1-1数据为例3.2分布检验函数图……………………以Exercises.1-2、1-3数据为例3.3常见统计图绘制………………………以上届实习-聚类分析原始数据为例3.4其他统计图绘制3.5特殊图形绘制3.5.1等值线图3.5.2三维曲线、网格、曲面图4.MATLAB地学统计模型和统计分析4.1方差分析………………………………以某工程师对不同类型金矿预测得率数据为例 4.2回归分析………………………………以资勘2班-实习3回归分析原数据为例4.2.1多元线性回归4.2.2逐步回归4.3主成分分析……………………………以某地土壤不同类型组成成分数据为例4.4聚类分析………………………………以某地土壤不同类型组成成分数据为例4.5判别分析………………………………以资源1班-实习3判别分析原数据为例4.6自相关分析……………………………以某海域测得的年平均海平面高度数据为例5.结语与感想6问题探讨7致谢8参考文献9 附件基于MATLAB的地学数据处理与统计分析探讨0．摘要：数学在任何领域的应用都主要发挥两种功能：一是作为实验或者观察数据的整理手段；二是构造假设、建立模型和发展理论。
正态分布是概率论和统计学中非常重要的分布之一。
在实际的科学研究和工程应用中，经常需要对正态分布进行概率计算。
Matlab作为一种功能强大的科学计算软件，提供了丰富的工具和函数用于正态分布的概率计算。
本文将介绍在Matlab中进行正态分布概率计算的方法和步骤。
一、正态分布概率密度函数正态分布的概率密度函数是$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^2}}$$其中，$\mu$是均值，$\sigma$是标准差。
二、Matlab中生成正态分布随机数在Matlab中，可以使用`randn`函数生成符合标准正态分布（均值为0，标准差为1）的随机数，也可以使用`normrnd`函数生成符合指定均值和标准差的正态分布随机数。
生成均值为2，标准差为3的100个正态分布随机数的代码如下：```matlabdata = normrnd(2, 3, 100, 1);```三、Matlab中计算正态分布的累积概率在Matlab中，可以使用`normcdf`函数计算正态分布的累积概率。
计算正态分布随机变量小于2的概率的代码如下：```matlabp = normcdf(2, 0, 1);```这将得到随机变量小于2的概率，即标准正态分布的累积概率。
四、Matlab中计算正态分布的百分位点在Matlab中，可以使用`norminv`函数计算正态分布的百分位点。
计算标准正态分布上侧5分位点的代码如下：```matlabx = norminv(0.95, 0, 1);```这将得到标准正态分布上侧5分位点的值。
五、Matlab中绘制正态分布概率密度函数图和累积概率图在Matlab中，可以使用`normpdf`函数绘制正态分布的概率密度函数图，使用`normcdf`函数绘制正态分布的累积概率图。
绘制均值为1，标准差为2的正态分布的概率密度函数图和累积概率图的代码如下：```matlabx = -5:0.1:7;y_pdf = normpdf(x, 1, 2);y_cdf = normcdf(x, 1, 2);figure;subplot(2,1,1);plot(x, y_pdf);title('Normal Distribution Probability Density Function'); xlabel('x');ylabel('Probability Density');subplot(2,1,2);plot(x, y_cdf);title('Normal Distribution Cumulative Probability Function'); xlabel('x');ylabel('Cumulative Probability');```六、总结本文介绍了在Matlab中进行正态分布概率计算的方法和步骤，包括生成正态分布随机数、计算正态分布的累积概率、计算正态分布的百分位点、绘制正态分布概率密度函数图和累积概率图等内容。
正态分布西格玛的计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正态分布中的西格玛（σ）是一个非常重要的指标，它用来描述数据的离散程度或者波动程度。
这个概念在统计学和财务领域中被广泛应用，因为它可以帮助我们了解数据的分布特征，从而做出更准确的分析和预测。
正态分布是一种连续型的对称分布，其形状呈钟形曲线。
在正态分布中，数据大部分集中在均值附近，而离均值越远的数据点越少。
西格玛就是用来描述这些数据点离均值的距离和分布情况的一个重要参数。
西格玛通过计算标准差来求得。
标准差是一种用来衡量数据离散程度的统计量，它表示一组数据的散布程度。
标准差是数据的平均离差平方根，它越大表示数据点越分散，越小表示数据点越集中。
在正态分布中，标准差的大小对数据分布的形状和特征具有重要影响。
在标准正态分布中，约68%的数据点落在均值正负一个标准差之内，约95%的数据点落在均值正负两个标准差之内，约99.7%的数据点落在均值正负三个标准差之内。
因此，通过计算标准差，我们可以更准确地判断数据点的分布情况。
计算正态分布的西格玛需要掌握一些基本的公式和方法。
下面我们来介绍一下计算正态分布西格玛的常用方法：1. 计算标准差：标准差的计算公式如下所示：σ = √(Σ(xi - μ)² / n)其中，σ表示标准差，Σ表示求和，xi表示第i个数据点，μ表示均值，n表示数据点的总个数。
通过这个公式，我们可以求出数据的标准差，从而得知数据的波动程度和离散程度。
2. 标准正态分布表：标准正态分布表是一个很有用的工具，可以帮助我们计算正态分布中不同标准差范围内的数据点所占比例。
通过查阅标准正态分布表，我们可以得知某个区间内数据点的比例，从而更好地了解数据的分布情况。
3. 利用计算工具：在实际应用中，我们可以利用计算工具来计算正态分布的西格玛。
例如，在Excel中，可以使用函数STDEV.P()或者STDEV.S()来计算数据的标准差，从而得出正态分布的西格玛。
正态分布无偏估计方差下界1.引言1.1 概述正态分布是一种经常出现在统计学中的重要概率分布。
它具有许多有用的性质，使其在统计建模和推断中得到广泛应用。
在正态分布中，数据点在均值附近集中，并且向两侧逐渐减少。
这种分布形态可以用曲线图表示，被称为正态曲线或钟形曲线。
无偏估计是指在进行参数估计时，所得的估计值与真实参数值之间无系统性偏差的性质。
在统计学中，我们常常需要对未知的参数进行估计，以便进行推断和决策。
无偏估计的特点是在抽样过程中，估计值的期望值等于真实参数值。
方差是一个衡量数据离散程度的统计指标，它可以用来度量数据集中的分散情况。
在估计参数的过程中，我们也对参数的方差进行估计。
然而，在实践中，我们可能会遭遇到一些限制条件，使得我们无法直接获得无偏的方差估计。
因此，本文将探讨正态分布的无偏估计方差下界的问题。
我们将介绍正态分布的基本概念和性质，然后着重讨论无偏估计的概念和正态分布的方差下界。
最后，我们将讨论正态分布无偏估计方差下界的意义，并探讨其在实际应用中的应用价值。
通过阅读本文，读者将能够了解正态分布、无偏估计和方差下界的基本概念，并能够理解正态分布无偏估计方差下界的重要性和应用价值。
本文将为读者提供一种新的思考角度，帮助他们在实际问题中进行更准确和合理的参数估计，从而提高统计推断的精确性和可靠性。
文章结构是指整篇文章的框架和组织方式，它有助于读者理解文章的逻辑结构和内容安排。
本文的结构如下：1. 引言1.1 概述引言部分将介绍本文的主题——正态分布无偏估计方差下界。
首先，我们将解释正态分布的概念，明确正态分布在统计学中的重要性和应用范围。
1.2 文章结构文章结构部分将介绍整篇文章的组织方式。
我们将详细描述各个章节的内容，让读者能够清晰地了解每个部分的目的和意义。
通过文章结构的介绍，读者可以更好地理解文章的脉络，提前了解文章的主体内容。
1.3 目的在引言的最后，我们将明确本文的目的。
我们将阐述为什么要研究正态分布无偏估计方差下界，以及研究该问题的意义和价值。
第1篇一、引言正态分布是一种常见的概率分布，广泛应用于统计学、概率论等领域。
在正态分布中，方差是衡量数据离散程度的重要指标。
本文将对正态分布方差的计算方法进行详细阐述，包括公式推导、实例分析以及在实际应用中的注意事项。
二、正态分布及其参数正态分布，也称为高斯分布，是一种连续概率分布。
其概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ^2)) e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。
正态分布的密度函数图像呈钟形，对称于均值μ。
三、正态分布方差计算公式正态分布的方差σ^2是衡量数据离散程度的重要指标，其计算公式如下：σ^2 = E[(x - μ)^2]其中，E为期望值，x为随机变量。
对于正态分布，方差的计算公式可以进一步简化为：σ^2 = Var(x)其中，Var(x)表示随机变量x的方差。
四、方差公式推导为了推导正态分布方差的计算公式，首先需要了解方差的定义。
方差是随机变量与其期望值之差的平方的期望值，即：Var(x) = E[(x - E(x))^2]对于正态分布，期望值E(x)等于均值μ，因此上式可以写为：Var(x) = E[(x - μ)^2]接下来，利用正态分布的概率密度函数进行推导：Var(x) = ∫(x - μ)^2 f(x) dx将正态分布的概率密度函数代入上式，得到：Var(x) = ∫(x - μ)^2 (1/√(2πσ^2)) e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2)) dx为了方便计算，对上式进行变量替换，令t = (x - μ)^2 / (2σ^2)，则：dt = (1/σ^2) dx代入上式，得到：Var(x) = ∫2σ^2 t (1/√(2πσ^2)) e^(-t) dt简化后得到：Var(x) = 2σ^2 ∫t (1/√(2π)) e^(-t) dt利用积分公式∫t e^(-t) dt = -e^(-t) + C，其中C为积分常数，得到：Var(x) = 2σ^2 [-e^(-t) + C]由于积分上下限为0，因此C = 0，得到：Var(x) = 2σ^2 [-e^(-0) + 1]化简后得到：Var(x) = 2σ^2 [1 - 1] = 0由此可见，正态分布的方差σ^2为0，与实际情况不符。
数理统计2：为什么是正态分布，正态分布均值与⽅差的估计，卡⽅分布上⼀篇⽂章提到了⼀⼤堆的统计量，但是没有说到它们的⽤处。
今天，我们就会接触到部分估计量，进⼊到数理统计的第⼀⼤范畴——参数估计，同时也会开始使⽤R 语⾔进⾏模拟。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：为什么是正态分布为什么要突然提到正态分布的参数估计？原因有以下⼏个。
⾸先，正态分布是⽣活中最常见的分布，许多随机事件的分布可以⽤正态分布来概括。
林德贝格勒维中⼼极限定理告诉我们，⼆阶矩存在的独⽴同分布随机变量列{ξn }，记它们的和为S n ，E(ξ1)=µ，D(ξn )=σ2，则S n −nµ√n σd→N (0,1).刚刚学完概率论的同学应该对这个结论不陌⽣。
⽽中⼼极限定理的条件实际上并不需要这么强，林德贝格费勒定理去除了同分布的约束，只要{ξn }满⾜∀τ>0，1∑nk =1D(ξk )n∑k =1∫|x +E(ξk )|≥τ∑n k =1D(ξk )(x −E(ξk ))2d F k (x )→0,就有∑nk =1(ξk −E(ξk ))∑nk =1D(ξk )d→N (0,1).这说明⾃然界中微⼩随机项的累积效应普遍服从中⼼极限定理。
另外，正态分布的信息完全由两个参数所决定：期望和⽅差，即前两阶矩。
因此，如果我们假定总体是服从正态分布的，就只需要对其两个参数作估计，这给问题的讨论带来⽅便。
最后就是正态分布在实⽤上的意义了，两个独⽴正态分布的和、差甚⾄乘积都是正态分布，这在实⽤上也很⽅便，所以许多时候即使总体不服从正态分布，也近似认为服从正态分布。
Part 2：正态分布均值估计既然正态分布完全由两个参数所决定，那么只要知道出这两个参数的值（或者范围），就能确定总体的全部信息。
然⽽，在实际⽣活中要获得绝对正确的正态分布参数是不可能的，因为⽣活中的总体情况总是未知，要认识总体，我们只能从总体中抽取⼀系列样本，再通过样本性质来估计总体。
