正态分布N[[Mu], [Sigma]] 参数点估计

数理统计8：点估计的有效性、⼀致最⼩⽅差⽆偏估计（UMVUE）、零⽆偏估计法在之前的学习中，主要基于充分统计量给出点估计，并且注重于点估计的⽆偏性与相合性。

然⽽，仅有这两个性质是不⾜的，⽆偏性只能保证统计量的均值与待估参数⼀致，却⽆法控制统计量可能偏离待估参数的程度；相合性只能在⼤样本下保证统计量到均值的收敛性，但却对⼩样本情形束⼿⽆策。

今天我们将注重于统计量的有效性，即⽆偏统计量的抽样分布的⽅差。

由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：⼀致最⼩⽅差⽆偏估计⾸先考虑这样的问题：如何刻画⼀个统计量的有效程度？注意到，⼀个统计量的取值既可能⾼于待估参数，亦可能低于待估参数，要综合考虑统计量对待估参数误差，需要⽤平⽅均衡这种双向偏差，因此，提出均⽅误差的概念：若\hat g(\boldsymbol{X})是g(\theta)的估计量，则\hat g(\boldsymbol{X})的均⽅误差定义为\mathrm{MSE}(\hat g(\boldsymbol{X}))= \mathbb{E}[\hat g(\boldsymbol{X})-g(\theta)]^2.对于确定的统计量\hat g(\boldsymbol{X})⽽⾔，\mathrm{MSE}(\hat g(\boldsymbol{X}))是\theta的函数。

显然，⼀个统计量的均⽅误差越⼩，它就越在待估参数真值附近环绕，由此，⽤统计量的⼀次观测值作为待估参数的估计就有着越⼤的把握。

如果对于g(\theta)的两个估计量\hat g_1(\boldsymbol{X})和\hat g_2(\boldsymbol{X})，恒有\mathrm{MSE}(\hat g_1(\boldsymbol{X}))\le \mathrm{MSE}(\hatg_2(\boldsymbol{X}))，且严格不等号⾄少在某个\theta处成⽴，就称\hat g_1(\boldsymbol{X})在均⽅误差准则下优于\hat g_2(\boldsymbol{X})。

M A T L A B产生各种分布的随机数The final revision was on November 23, 2020MATLAB产生各种分布的随机数1，均匀分布U（a,b）：产生m*n阶［a，b］均匀分布U（a，b）的随机数矩阵：unifrnd (a,b,m, n) 产生一个［a，b］均匀分布的随机数：unifrnd (a,b)2，0-1分布U（0,1）产生m*n阶［０，1］均匀分布的随机数矩阵：rand (m, n)产生一个［０，１］均匀分布的随机数：rand4，二类分布binornd(N,P,mm,nn)如binornd(10,,mm,nn)即产生mm*nn均值为N*P的矩阵binornd(N,p)则产生一个。

而binornd(10,,mm)则产生mm*mm的方阵，军阵为N*p。

5，产生m*n阶离散均匀分布的随机数矩阵：unidrnd(N,mm,nn)产生一个数值在1-N区间的mm*nn矩阵6，产生mm nn阶期望值为的指数分布的随机数矩阵：exprnd( ,mm, nn)此外，常用逆累积分布函数表函数名调用格式函数注释norminv X=norminv(P,mu,sigma) 正态逆累积分布函数expinv X=expinv(P,mu) 指数逆累积分布函数weibinv X=weibinv(P,A,B) 威布尔逆累积分布函数logninv X=logninv(P,mu,sigma) 对数正态逆累积分布函数Chi2inv X=chi2inv(P,A,B) 卡方逆累积分布函数Betainv X=betainv(P,A,B) β分布逆累积分布函数随机数的产生4.1.1 二项分布的随机数据的产生命令参数为N，P的二项随机数据函数 binornd格式 R = binornd(N,P) %N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数，N、P大小相同。

R = binornd(N,P,m) %m指定随机数的个数，与R同维数。

报告抬头课题名称：基于MATLAB的地学数据处理与统计分析探讨课题组长：姓名彭宁俊学号20111000713 班号021111课题成员：（小组协作完成需填写）成员分工：（文中所有MATLAB语句、绘图操作和报告内容系笔者自主完成，实习中提供过部分数据和资料来源的同学已在致谢栏中给出，所有原始数据和图件在附件中给出）指导教师：陈志军老师（可结合你们的毕业实习指导教师的相关研究）起止时间：2014/4/19-2014/4/29目录：0摘要1．MATLAB简介2.MATLAB地学数据处理2.1 MATLAB数据统计量计算2.1 MATLAB数据插值和拟合……………以Exercises.1-2部分数据、peaks函数为例 2.3 概率函数和分布函数2.4 参数估计和假设检验………………以Exercises.1-1数据为例3．MATLAB数据可视化和绘图3.1数据分布与直方图…………………以Exercises.1-1数据为例3.2分布检验函数图……………………以Exercises.1-2、1-3数据为例3.3常见统计图绘制………………………以上届实习-聚类分析原始数据为例3.4其他统计图绘制3.5特殊图形绘制3.5.1等值线图3.5.2三维曲线、网格、曲面图4.MATLAB地学统计模型和统计分析4.1方差分析………………………………以某工程师对不同类型金矿预测得率数据为例 4.2回归分析………………………………以资勘2班-实习3回归分析原数据为例4.2.1多元线性回归4.2.2逐步回归4.3主成分分析……………………………以某地土壤不同类型组成成分数据为例4.4聚类分析………………………………以某地土壤不同类型组成成分数据为例4.5判别分析………………………………以资源1班-实习3判别分析原数据为例4.6自相关分析……………………………以某海域测得的年平均海平面高度数据为例5.结语与感想6问题探讨7致谢8参考文献9 附件基于MATLAB的地学数据处理与统计分析探讨0．摘要：数学在任何领域的应用都主要发挥两种功能：一是作为实验或者观察数据的整理手段；二是构造假设、建立模型和发展理论。

正态分布是概率论和统计学中非常重要的分布之一。

在实际的科学研究和工程应用中，经常需要对正态分布进行概率计算。

Matlab作为一种功能强大的科学计算软件，提供了丰富的工具和函数用于正态分布的概率计算。

本文将介绍在Matlab中进行正态分布概率计算的方法和步骤。

一、正态分布概率密度函数正态分布的概率密度函数是$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^2}}$$其中，$\mu$是均值，$\sigma$是标准差。

二、Matlab中生成正态分布随机数在Matlab中，可以使用`randn`函数生成符合标准正态分布（均值为0，标准差为1）的随机数，也可以使用`normrnd`函数生成符合指定均值和标准差的正态分布随机数。

生成均值为2，标准差为3的100个正态分布随机数的代码如下：```matlabdata = normrnd(2, 3, 100, 1);```三、Matlab中计算正态分布的累积概率在Matlab中，可以使用`normcdf`函数计算正态分布的累积概率。

计算正态分布随机变量小于2的概率的代码如下：```matlabp = normcdf(2, 0, 1);```这将得到随机变量小于2的概率，即标准正态分布的累积概率。

四、Matlab中计算正态分布的百分位点在Matlab中，可以使用`norminv`函数计算正态分布的百分位点。

计算标准正态分布上侧5分位点的代码如下：```matlabx = norminv(0.95, 0, 1);```这将得到标准正态分布上侧5分位点的值。

五、Matlab中绘制正态分布概率密度函数图和累积概率图在Matlab中，可以使用`normpdf`函数绘制正态分布的概率密度函数图，使用`normcdf`函数绘制正态分布的累积概率图。

绘制均值为1，标准差为2的正态分布的概率密度函数图和累积概率图的代码如下：```matlabx = -5:0.1:7;y_pdf = normpdf(x, 1, 2);y_cdf = normcdf(x, 1, 2);figure;subplot(2,1,1);plot(x, y_pdf);title('Normal Distribution Probability Density Function'); xlabel('x');ylabel('Probability Density');subplot(2,1,2);plot(x, y_cdf);title('Normal Distribution Cumulative Probability Function'); xlabel('x');ylabel('Cumulative Probability');```六、总结本文介绍了在Matlab中进行正态分布概率计算的方法和步骤，包括生成正态分布随机数、计算正态分布的累积概率、计算正态分布的百分位点、绘制正态分布概率密度函数图和累积概率图等内容。

正态分布西格玛的计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：正态分布中的西格玛（σ）是一个非常重要的指标，它用来描述数据的离散程度或者波动程度。

这个概念在统计学和财务领域中被广泛应用，因为它可以帮助我们了解数据的分布特征，从而做出更准确的分析和预测。

正态分布是一种连续型的对称分布，其形状呈钟形曲线。

在正态分布中，数据大部分集中在均值附近，而离均值越远的数据点越少。

西格玛就是用来描述这些数据点离均值的距离和分布情况的一个重要参数。

西格玛通过计算标准差来求得。

标准差是一种用来衡量数据离散程度的统计量，它表示一组数据的散布程度。

标准差是数据的平均离差平方根，它越大表示数据点越分散，越小表示数据点越集中。

在正态分布中，标准差的大小对数据分布的形状和特征具有重要影响。

在标准正态分布中，约68%的数据点落在均值正负一个标准差之内，约95%的数据点落在均值正负两个标准差之内，约99.7%的数据点落在均值正负三个标准差之内。

因此，通过计算标准差，我们可以更准确地判断数据点的分布情况。

计算正态分布的西格玛需要掌握一些基本的公式和方法。

下面我们来介绍一下计算正态分布西格玛的常用方法：1. 计算标准差：标准差的计算公式如下所示：σ = √(Σ(xi - μ)² / n)其中，σ表示标准差，Σ表示求和，xi表示第i个数据点，μ表示均值，n表示数据点的总个数。

通过这个公式，我们可以求出数据的标准差，从而得知数据的波动程度和离散程度。

2. 标准正态分布表：标准正态分布表是一个很有用的工具，可以帮助我们计算正态分布中不同标准差范围内的数据点所占比例。

通过查阅标准正态分布表，我们可以得知某个区间内数据点的比例，从而更好地了解数据的分布情况。

3. 利用计算工具：在实际应用中，我们可以利用计算工具来计算正态分布的西格玛。

例如，在Excel中，可以使用函数STDEV.P()或者STDEV.S()来计算数据的标准差，从而得出正态分布的西格玛。

正态分布无偏估计方差下界1.引言1.1 概述正态分布是一种经常出现在统计学中的重要概率分布。

它具有许多有用的性质，使其在统计建模和推断中得到广泛应用。

在正态分布中，数据点在均值附近集中，并且向两侧逐渐减少。

这种分布形态可以用曲线图表示，被称为正态曲线或钟形曲线。

无偏估计是指在进行参数估计时，所得的估计值与真实参数值之间无系统性偏差的性质。

在统计学中，我们常常需要对未知的参数进行估计，以便进行推断和决策。

无偏估计的特点是在抽样过程中，估计值的期望值等于真实参数值。

方差是一个衡量数据离散程度的统计指标，它可以用来度量数据集中的分散情况。

在估计参数的过程中，我们也对参数的方差进行估计。

然而，在实践中，我们可能会遭遇到一些限制条件，使得我们无法直接获得无偏的方差估计。

因此，本文将探讨正态分布的无偏估计方差下界的问题。

我们将介绍正态分布的基本概念和性质，然后着重讨论无偏估计的概念和正态分布的方差下界。

最后，我们将讨论正态分布无偏估计方差下界的意义，并探讨其在实际应用中的应用价值。

通过阅读本文，读者将能够了解正态分布、无偏估计和方差下界的基本概念，并能够理解正态分布无偏估计方差下界的重要性和应用价值。

本文将为读者提供一种新的思考角度，帮助他们在实际问题中进行更准确和合理的参数估计，从而提高统计推断的精确性和可靠性。

文章结构是指整篇文章的框架和组织方式，它有助于读者理解文章的逻辑结构和内容安排。

本文的结构如下：1. 引言1.1 概述引言部分将介绍本文的主题——正态分布无偏估计方差下界。

首先，我们将解释正态分布的概念，明确正态分布在统计学中的重要性和应用范围。

1.2 文章结构文章结构部分将介绍整篇文章的组织方式。

我们将详细描述各个章节的内容，让读者能够清晰地了解每个部分的目的和意义。

通过文章结构的介绍，读者可以更好地理解文章的脉络，提前了解文章的主体内容。

1.3 目的在引言的最后，我们将明确本文的目的。

我们将阐述为什么要研究正态分布无偏估计方差下界，以及研究该问题的意义和价值。

总体均值μ的区间估计是一种基于抽样 调查的方法，通过样本均值和标准差 来估计总体均值的范围，常用t分布或z 分布计算置信区间。
详细描述
在进行总体均值μ的区间估计时，首先 需要收集样本数据，计算样本均值和 标准差。然后，根据样本数据的大小 和置信水平，选择适当的分布（如t分 布或z分布）来计算置信区间。最后， 根据置信区间的大小和分布特性，可 以得出总体均值μ的可能取值范围。
正态分布的性质
集中性
正态分布的曲线关于均值μ对称。
均匀变动性
随着x的增大，f(x)逐渐减小，但速 度逐渐减慢。
随机变动性
在μ两侧对称的位置上，离μ越远， f(x)越小。
正态分布在生活中的应用
金融
正态分布在金融领域的应用十分 广泛，如股票价格、收益率等金 融变量的分布通常被假定为正态 分布。
生物医学
THANKS
感谢观看
实例二：总体方差的区间估计
总结词
在正态分布下，总体方差的区间估计可以通过样本方 差和样本大小来计算。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本方差 近似服从卡方分布。因此，总体方差σ²的置信区间可以 通过以下公式计算：$[s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$s^2$是样本 方差，$n$是样本容量，$F^{-1}$是自由度为1的卡方 分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本均值 近似服从正态分布。因此，总体均值μ的置信区间可以通 过以下公式计算：$[bar{x} - frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), bar{x} + frac{s}{sqrt{n}} cdot Phi^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$bar{x}$是样 本均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量，$Phi^{1}$是标准正态分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。

在金融领域的应用
资产收益率
股票、债券等金融资产的收益率通常呈现正态分布，这有助于投资 者进行资产配置和风险评估。
风险评估
基于正态分布，可以对金融风险进行量化评估，如计算VaR值（风 险价值）。
衍生品定价
衍生品（如期权、期货）的定价模型中，正态分布用于描述标的资产 的波动率。
在生物统计学中的应用
遗传学研究
总体比例的置信区间估计
总结词
总体比例的置信区间估计用于估计总体中某事件发生的 概率的可信范围。
详细描述
总体比例的置信区间可以通过样本比例和样本标准误差来 估计。常用的置信水平有95%和99%，对应的置信区间公 式分别为：π ± SE（π）（95%置信水平），π ± 2 * SE （π）（99%置信水平），其中π为总体比例，SE（π）为 样本比例的标准误差。
05
CHAPTER
正态分布的置信区间估计
总体均值的置信区间估计
总结词
总体均值的置信区间估计用于估计总体 均值的可信范围，是正态分布中常用的 统计推断方法。
VS
详细描述
在正态分布中，总体均值（μ）的置信区间 可以通过样本均值（x）和标准差（σ）来 估计。常用的置信水平有95%和99%，对 应的置信区间公式分别为：μ ± t * σ / √n （95%置信水平），μ ± 2 * σ / √n（99% 置信水平），其中n为样本量，t为t分布临 界值。
06
CHAPTER
正态分布在实际中的应用
在统计分析中的应用
描述性统计分析
正态分布用于描述数据的分布情况，如均值、中位数、众数等统 计指标。
概率计算
基于正态分布，可以计算某一数据点落在某个区间的概率，如置 信区间和预测区间。

第1篇一、引言正态分布是一种常见的概率分布，广泛应用于统计学、概率论等领域。

在正态分布中，方差是衡量数据离散程度的重要指标。

本文将对正态分布方差的计算方法进行详细阐述，包括公式推导、实例分析以及在实际应用中的注意事项。

二、正态分布及其参数正态分布，也称为高斯分布，是一种连续概率分布。

其概率密度函数为：f(x) = (1/√(2πσ^2)) e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。

正态分布的密度函数图像呈钟形，对称于均值μ。

三、正态分布方差计算公式正态分布的方差σ^2是衡量数据离散程度的重要指标，其计算公式如下：σ^2 = E[(x - μ)^2]其中，E为期望值，x为随机变量。

对于正态分布，方差的计算公式可以进一步简化为：σ^2 = Var(x)其中，Var(x)表示随机变量x的方差。

四、方差公式推导为了推导正态分布方差的计算公式，首先需要了解方差的定义。

方差是随机变量与其期望值之差的平方的期望值，即：Var(x) = E[(x - E(x))^2]对于正态分布，期望值E(x)等于均值μ，因此上式可以写为：Var(x) = E[(x - μ)^2]接下来，利用正态分布的概率密度函数进行推导：Var(x) = ∫(x - μ)^2 f(x) dx将正态分布的概率密度函数代入上式，得到：Var(x) = ∫(x - μ)^2 (1/√(2πσ^2)) e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2)) dx为了方便计算，对上式进行变量替换，令t = (x - μ)^2 / (2σ^2)，则：dt = (1/σ^2) dx代入上式，得到：Var(x) = ∫2σ^2 t (1/√(2πσ^2)) e^(-t) dt简化后得到：Var(x) = 2σ^2 ∫t (1/√(2π)) e^(-t) dt利用积分公式∫t e^(-t) dt = -e^(-t) + C，其中C为积分常数，得到：Var(x) = 2σ^2 [-e^(-t) + C]由于积分上下限为0，因此C = 0，得到：Var(x) = 2σ^2 [-e^(-0) + 1]化简后得到：Var(x) = 2σ^2 [1 - 1] = 0由此可见，正态分布的方差σ^2为0，与实际情况不符。

数理统计2：为什么是正态分布，正态分布均值与⽅差的估计，卡⽅分布上⼀篇⽂章提到了⼀⼤堆的统计量，但是没有说到它们的⽤处。

今天，我们就会接触到部分估计量，进⼊到数理统计的第⼀⼤范畴——参数估计，同时也会开始使⽤R 语⾔进⾏模拟。

由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：为什么是正态分布为什么要突然提到正态分布的参数估计？原因有以下⼏个。

⾸先，正态分布是⽣活中最常见的分布，许多随机事件的分布可以⽤正态分布来概括。

林德贝格勒维中⼼极限定理告诉我们，⼆阶矩存在的独⽴同分布随机变量列{ξn }，记它们的和为S n ，E(ξ1)=µ，D(ξn )=σ2，则S n −nµ√n σd→N (0,1).刚刚学完概率论的同学应该对这个结论不陌⽣。

⽽中⼼极限定理的条件实际上并不需要这么强，林德贝格费勒定理去除了同分布的约束，只要{ξn }满⾜∀τ>0，1∑nk =1D(ξk )n∑k =1∫|x +E(ξk )|≥τ∑n k =1D(ξk )(x −E(ξk ))2d F k (x )→0,就有∑nk =1(ξk −E(ξk ))∑nk =1D(ξk )d→N (0,1).这说明⾃然界中微⼩随机项的累积效应普遍服从中⼼极限定理。

另外，正态分布的信息完全由两个参数所决定：期望和⽅差，即前两阶矩。

因此，如果我们假定总体是服从正态分布的，就只需要对其两个参数作估计，这给问题的讨论带来⽅便。

最后就是正态分布在实⽤上的意义了，两个独⽴正态分布的和、差甚⾄乘积都是正态分布，这在实⽤上也很⽅便，所以许多时候即使总体不服从正态分布，也近似认为服从正态分布。

Part 2：正态分布均值估计既然正态分布完全由两个参数所决定，那么只要知道出这两个参数的值（或者范围），就能确定总体的全部信息。

然⽽，在实际⽣活中要获得绝对正确的正态分布参数是不可能的，因为⽣活中的总体情况总是未知，要认识总体，我们只能从总体中抽取⼀系列样本，再通过样本性质来估计总体。

正态分布N (μ,σ)参数区间估计允许μ为任意的实数,σ为任意的正实数。

基于Wolfram Mathematica ,给出了正态分布N (μ,σ)抽样定理,从而得到参数μ,σ2,σ的区间估计。

在σ已知和未知情形下,通过均值分布、中位值分布、卡方分布三种方法估计总体均值μ,区间长度均值分布最短,卡方分布次之,中位值分布最长,但当样本量n 较大时,区间长度趋于接近。

在μ已知和未知情形下,通过卡方分布可以估计总体方差的置信区间,通过卡分布、卡方分布可以估计总体标准差的置信区间。

最后给出不同情形下不同方法的MMA 程序及运行结果。

◼抽样分布定理引理1：X Ν(μ,σ)⇔X -μσΝ 0,1 .转换分布TransformedDistributionX -μσ,X 正态分布NormalDistribution [μ,σ]NormalDistribution [0,1]转换分布TransformedDistribution [μ+X σ,X 正态分布NormalDistribution [],假设Assumptions →σ>0]NormalDistribution [μ,σ]引理2:X χ(ν)⇔X 2 χ2(ν).转换分布TransformedDistribution X 2,X 卡分布ChiDistribution [ν]ChiSquareDistribution [ν]转换分布TransformedDistribution X ,X 卡方分布ChiSquareDistribution [ν]ChiDistribution [ν]引理3:X Ν 0,1 ,Y χ2(n )⇒Xt (n ).=转换分布TransformedDistributionX,{X 正态分布NormalDistribution [],Y 卡方分布ChiSquareDistribution [n ]} ;概率密度函数PDF [ ,x ]==⋯PDF [学生t 分布StudentTDistribution [n ],x ]//幂展开PowerExpand //完全简化FullSimplify [#,n >0&&x ≠0]&True定理1：X i Ν(μ,σ)⇒X -Νμ,σn⇔X --μσnΝ 0,1 .CharacteristicFunction NormalDistribution [μ,σ],t nn;特征函数CharacteristicFunction 正态分布NormalDistribution μ,σn,t ;%⩵%%//完全简化FullSimplify [#,n >0&&n ∈整数域Integers ]&True定理2：X i Ν(μ,σ)⇒ i =1nX i -μσ2=∑i =1n (X i -μ)2σ2χ2(n )⇔σχ(n ).转换分布TransformedDistributionX [i ]-μσ,X [i ] 正态分布NormalDistribution [μ,σ]NormalDistribution [0,1]n =7;=转换分布TransformedDistribution i =1nY [i ]2,数组Array [Y,n ] 联合分布ProductDistribution [{正态分布NormalDistribution [],n }]ChiSquareDistribution [7]定理3:X i Ν(μ,σ)⇒(n -1)S 2σ2χ2 n -1⇔σχ n -1 .令Y i =X i -μσ,则(n -1)S 2σ2=i =1n2=i =1n-= i =1nY i -Y 2= i =1nY i 2-2Y Y i +Y 2= i =1nY i 2-2Y i =1nY i +n Y 2= i =1nY i 2-n Y 2χ2n -1 ⇒σχ n -1 .2 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbn =n0=35;=转换分布TransformedDistribution i =1nY [i ]2-1ni =1nY [i ]2,数组Array [Y,n ] 联合分布ProductDistribution [{正态分布NormalDistribution [],n }] ;Block {n =n0},显示Show 直方图Histogram 伪随机变数RandomVariate ,2×106 ,500,"概率密度函数PDF" ,绘图Plot [⋯PDF [卡方分布ChiSquareDistribution [n -1],x ],{x,5,65},绘图样式PlotStyle →粗Thick ]定理4:X i Ν(μ,σ)⇒X --μSnt n -1 .根据定理1,得X iΝ(μ,σ)⇒X --μσnΝ 0,1 ,根据定理3,得(n -1)S 2σ2χ2 n -1 ,根据引理3,X --μσn=X --μSnt n -1 .定理5：F Xn +12=正则化的不完全贝塔函数BetaRegularized12补余误差函数Erfc-x +μ2σ ,1+n2,1+n 2,n =2k +1.次序分布OrderDistribution {正态分布NormalDistribution [μ,σ],n },n +12;累积分布函数CDF [%,x ]//完全简化FullSimplifyBetaRegularized 12Erfc ,1+n 2,1+n 2推论：μ=x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized q,1+n 2,1+n 2.In[2]:=解方程Solve 正则化的不完全贝塔函数BetaRegularized12补余误差函数Erfc-x +μ2σ ,1+n 2,1+n 2⩵q,μOut[2]=μ→x +2σInverseErfc 2InverseBetaRegularized q,1+n 2,1+n 2定理6：-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σχ2 2n .正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb3In[5]:=转换分布TransformedDistribution -2对数Log12补余误差函数Erfc-X +μ2σ,X 正态分布NormalDistribution [μ,σ] ;概率密度函数PDF [%,x ]⩵⋯PDF [卡方分布ChiSquareDistribution [2],x ]//完全简化FullSimplify [#,x >0]&Out[6]=True**参数区间估计**In[7]:=需要Needs ["HypothesisTesting`"]μ0=20;σ0=3;X =伪随机变数RandomVariate [正态分布NormalDistribution [μ0,σ0],10001];n =长度Length [X ];S =标准偏差StandardDeviation [X ];α=0.01;"参数的极大似然估计:"清除Clear [μ,σ]{μ1,σ1}={μ,σ}/.求分布参数FindDistributionParameters [X,正态分布NormalDistribution [μ,σ]]"一、总体均值μ的区间估计""(一)均值分布U =X --μσnＮ(0,1)——σ已知"σ=σ0;Sw =σn ;m =平均值Mean [X ];"1.计算法"Q =分位数Quantile 正态分布NormalDistribution [0,1],1-α 2 ;{m -Sw Q,m +Sw Q }"2.MeanCI"MeanCI X,KnownVariance →σ2,置信级别ConfidenceLevel →1-α"3.NormalCI"NormalCI [m,Sw ,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Sw Q"相对区间长度:"r =L /m "(二)均值分布T =X -μSnt (n -1)——σ未知""1.计算法"Sw =S n ;m =平均值Mean [X ];Q =分位数Quantile 学生t 分布StudentTDistribution [n -1],1-α 2 ;{m -Sw Q,m +Sw Q }4 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb"2.MeanCI"MeanCI [X,KnownVariance →无None,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"3.StudentTCI"StudentTCI [m ,Sw ,n -2,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Sw Q"相对区间长度:"r =L /m"(三)均值近似分布U =X --μσn~Ｎ[0,1]——σ未知""1.计算法"σ=σ1;Sw =σn ;m =平均值Mean [X ];Q =分位数Quantile 正态分布NormalDistribution [0,1],1-α 2 ;{m -Sw Q,m +Sw Q }"2.MeanCI"MeanCI X,KnownVariance →σ12,置信级别ConfidenceLevel →1-α"3.NormalCI"NormalCI [m,Sw ,置信级别ConfidenceLevel →1-α]"区间长度："L =2Sw Q"相对区间长度:"r =L /m"(四)中位值分布F Xn +12=正则化的不完全贝⋯BetaRegularized [12补余误差函数Erfc [-x +μ2σ],1+n 2,1+n2],n =2k +1——σ已知""1.等尾区间："σ=σ0;x =中位数Median [X ];μL =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized 1-α 2,1+n 2,1+n 2;μU =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized α 2,1+n 2,1+n 2;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"r =2L μU +μL "(五)中位值分布F Xn +12=正则化的不完全贝⋯BetaRegularized [12补余误差函数Erfc [-x +μ2σ ],1+n 2,1+n2],n =2k +1——σ未知""1.等尾区间："σ=σ1;x =中位数Median [X ];正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb5中位数μL =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized 1-α 2,1+n 2,1+n 2;μU =x +2σ反互补误差函数InverseErfc 2正规化不完全贝塔函数的逆InverseBetaRegularized α 2,1+n 2,1+n 2;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"r =2L μU +μL"(六)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ]] χ2(2n )——σ已知"清除Clear [μ]σ=σ0;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];μL =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]==α2,{μ,μ1} ;μU =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{μ,μ1} ;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"r =2L μU +μL"(七)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ ]]~χ2(2n )——σ未知"清除Clear [μ]σ=σ0;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];μL =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]==α2,{μ,μ1} ;μU =μ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{μ,μ1} ;{μL,μU }"等尾区间长度："L =μU -μL"相对区间长度:"6 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbr =2L μU +μL"二、总体方差σ2的区间估计""(一)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ)2σ2χ2(n )——μ已知"μ=μ0;T =n 平均值Mean (X -μ)2 ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [n ];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;VL =T QL;VU =T QU;{VL,VU }"等尾区间长度："L =VU -VL"相对区间长度:"r =2L VL +VU "(二)卡方分布χ2=(n -1)S 2σ2χ2(n -1)——μ未知"T = n -1 S 2;F =卡方分布ChiSquareDistribution [n -1];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;VL =T QL;VU =T QU;{VL,VU }"等尾区间长度："L =VU -VL"相对区间长度:"r =2L VL +VU "(三)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ )2σ2~χ2(n )——μ未知"μ=μ1;T =n 平均值Mean (X -μ)2 ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [n ];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;VL =T QL;VU =T QU;{VL,VU }"等尾区间长度："L =VU -VL"相对区间长度:"r =2L VL +VU"三、总体标准差σ的区间估计""(一)卡分布χ(n )——μ已知"μ=μ0;T =n Mean (X -μ)2 ;F =卡分布ChiDistribution [n ];"1.等尾区间："正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb7QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;σL =T QL;σU =T QU;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU "(二)卡分布χ(n -1)——μ未知"T =n -1S;F =卡分布ChiDistribution [n -1];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;σL =T QL;σU =T QU;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU "(三)卡分布χχ(n )——μ未知"μ=μ1;T =n Mean (X -μ)2 ;F =卡分布ChiDistribution [n ];"1.等尾区间："QL =分位数Quantile F,1-α 2 ;QU =分位数Quantile F,α 2 ;σL =T QL;σU =T QU;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU "(四)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ]] χ2(2n )——μ已知"清除Clear [σ]μ=μ0;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];σL =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{σ,σ1} ;σU =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵α2,{σ,σ1} ;{σL,σU }8 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σU"(五)卡方分布-2 i =1n对数Log [12补余误差函数Erfc [-X i +μ2σ]] χ2(2n )——μ未知"清除Clear [σ]μ=μ1;x =-2 i =1n对数Log12补余误差函数Erfc-X i +μ2σ;F =卡方分布ChiSquareDistribution [2n ];σL =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵1-α2,{σ,σ1} ;σU =σ/.求根FindRoot 累积分布函数CDF [F,x ]⩵α2,{σ,σ1} ;{σL,σU }"等尾区间长度："L =σU -σL"相对区间长度:"r =2L σL +σUOut[11]=参数的极大似然估计:Out[13]={19.9803,3.00134}Out[14]=一、总体均值μ的区间估计Out[15]=(一)均值分布U =X --μσnＮ(0,1)——σ已知Out[17]=1.计算法Out[19]={19.9031,20.0576}Out[20]=2.MeanCIOut[21]={19.9031,20.0576}Out[22]=3.NormalCIOut[23]={19.9031,20.0576}Out[24]=区间长度：Out[25]=0.154542Out[26]=相对区间长度:Out[27]=0.00773471Out[28]=(二)均值分布T =X -μSn t (n -1)——σ未知正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb9Out[29]= 1.计算法Out[32]={19.903,20.0577} Out[33]= 2.MeanCIOut[34]={19.903,20.0577} Out[35]= 3.StudentTCIOut[36]={19.903,20.0577} Out[37]=区间长度：Out[38]=0.154648Out[39]=相对区间长度:Out[40]=0.00774003Out[41]=(三)均值近似分布U=X--μσ n~Ｎ[0,1]——σ未知Out[42]= 1.计算法Out[45]={19.903,20.0576} Out[46]= 2.MeanCIOut[47]={19.903,20.0576} Out[48]= 3.NormalCIOut[49]={19.903,20.0576} Out[50]=区间长度：Out[51]=0.154611Out[52]=相对区间长度:Out[53]=0.00773817Out[54]=(四)中位值分布F X n+12=BetaRegularized[12Erfc,1+n2,1+n2],n=2k+1——σ已知Out[55]= 1.等尾区间：Out[59]={19.8529,20.0466} Out[60]=等尾区间长度：Out[61]=0.193686Out[62]=相对区间长度:Out[63]=0.00970872Out[64]=(五)中位值分布F X n+12=BetaRegularized[12Erfc,1+n2,1+n2],n=2k+1——σ未知Out[65]= 1.等尾区间：Out[69]={19.8529,20.0466}Out[70]=等尾区间长度：10正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbOut[71]=0.193773Out[72]=相对区间长度:Out[73]=0.00971306Out[74]=(六)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——σ已知Out[78]={19.9015,20.0722}Out[79]=等尾区间长度：Out[80]=0.170753Out[81]=相对区间长度:Out[82]=0.00854324Out[83]=(七)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——σ未知Out[87]={19.9015,20.0722}Out[88]=等尾区间长度：Out[89]=0.170753Out[90]=相对区间长度:Out[91]=0.00854324Out[92]=二、总体方差σ2的区间估计Out[93]=(一)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ)2σ2 χ2(n )——μ已知Out[95]= 1.等尾区间：Out[98]={8.68869,9.34535}Out[99]=等尾区间长度：Out[100]=0.656658Out[101]=相对区间长度:Out[102]=0.0728243Out[103]=(二)卡方分布χ2=(n -1)S 2σ2 χ2(n -1)——μ未知Out[105]= 1.等尾区间：Out[108]={8.68917,9.3459}Out[109]=等尾区间长度：Out[110]=0.656728Out[111]=相对区间长度:Out[112]=0.0728279Out[113]=(三)卡方分布χ2=∑i =1n (X i -μ )2σ2~χ2(n )——μ未知正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb 11Out[115]= 1.等尾区间：Out[118]={8.68832,9.34495}Out[119]=等尾区间长度：Out[120]=0.65663Out[121]=相对区间长度:Out[122]=0.0728243Out[123]=三、总体标准差σ的区间估计Out[124]=(一)卡分布χ(n )——μ已知Out[126]= 1.等尾区间：Out[129]={2.94766,3.05702}Out[130]=等尾区间长度：Out[131]=0.109358Out[132]=相对区间长度:Out[133]=0.0364242Out[134]=(二)卡分布χ(n -1)——μ未知Out[136]= 1.等尾区间：Out[139]={2.94774,3.05711}Out[140]=等尾区间长度：Out[141]=0.109366Out[142]=相对区间长度:Out[143]=0.0364261Out[144]=(三)卡分布χχ(n )——μ未知Out[146]= 1.等尾区间：Out[149]={2.9476,3.05695}Out[150]=等尾区间长度：Out[151]=0.109355Out[152]=相对区间长度:Out[153]=0.0364242Out[154]=(四)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——μ已知Out[158]={2.89486,3.15965}Out[159]=等尾区间长度：12 正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nbOut[160]=0.264793Out[161]=相对区间长度:Out[162]=0.0874698Out[163]=(五)卡方分布-2 i =1n Log [12Erfcχ2(2n )——μ未知Out[167]={2.86679,3.12718}Out[168]=等尾区间长度：Out[169]=0.260386Out[170]=相对区间长度:Out[171]=0.0868828正态分布\\正态分布统计分析\\正态分布参数区间估计.nb 13。

（1）MATLAB作图
k=1:100;
e=1+1./k-0.996.^k;
plot(k,e)
从图上可知，最小值在10到20之间取得
21/75
列出10到20之间E(X)的值
k=10:20;
e=1+1./k-0.996.^k;
结果如下： 0.3453 0.2198 0.1393 0.1250 0.1246 0.1247 0.1270 0.2016
设某高校有n个人需要验血检查血中是否含有某种病毒若每个人单独化验需n次若把k个人的血清混合在一起化验若结果是阴性不含某种病毒只需化验一次若结果是阳性则只需对这k个人血清单独化验这k个人总共化验了k1次假设每个人含有该病毒的概率为p且这n个人是否含有该病毒是独立的设x是每个人需要化验的次数x的可能取值只有两种情况或k1k且有一个人的血清化验次数为30显然当q固定时就是要求的最理想的每组混合血清数即化验次数最少的每组的理想人数但以上式子很难求最小值点我们不妨计算出k取不同数值的化验次数就不难观察出理想的每组人数
例 3 画出正态分布 N (0,1) 和 N (0,22 ) 的概率密度函数图形.
在MATLAB中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z)
11/75
2．概率分布：P=normcdf(x,mu,sigma)
例4：某人进行射击,假设每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次,试求至少击中两次的概率. 解：设击中的次数为X，由题意 X~b(400, 0.02) ,要求
14/75
4．均值与方差：[m,v]=normstat(mu,sigma)
例8 求正态分布N(3,52)的均值与方差. 命令为：[m,v]=normstat(3,5) 结果为：m=3,v=25

n p (1 p)参数估计和假设检验习题1.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差 σ已知为 150，今抽了一个容量为 26 的样本，计 算得平均值为 1637。

问在 5％的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值 μ为 1600?解: H 0: 1600, H 1:1600,标准差 σ已知,拒绝域为 Z z ,取0.05, n 26,即,以 95% 的把握认为这批产品的指标的期望值 μ为 1600.2. 某纺织厂在正常的运转条件下， 平均每台布机每小时经纱断头数为 O.973 根，各台布机断头数 的标准差为 O.162 根，该厂进行工艺改进， 减少经纱上浆率， 在 200 台布机上进行试验， 结果平均每 台每小时经纱断头数为 O.994 根，标准差为 0.16 根。

问 , 新工艺上浆率能否推广( α=0.05)?解: H 0 : 1 2, H 1: 13. 某电器零件的平均电阻一直保持在 2.64 Ω，改变加工工艺后，测得 100 个零件的平均电阻为 2.62 Ω，如改变工艺前后电阻的标准差保持在 O.06Ω，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响( α=0.05)?解: H 0:2.64, H 1:2.64,已知标准差 σ=0.16, 拒绝域为 Z z,取0.05,z z 0.025 1.96,22x 2.62 2.64n 100,由检验统计量 Z 3.33 1.96,接受 H 1:2.64,/ n 0.06/ 100 1即, 以95% 的把握认为新工艺对此零件的电阻有显著影响 .4. 有一批产品，取 50 个样品，其中含有 4 个次品。

在这样情况下，判断假设 H 0：p ≤0.05 是否 成立( α=0.05)?解: H 0: p 0.05, H 1: p 0.05,采用非正态大样本统计检验法 ,拒绝域为 Z z ,0.05, z 0.95 1.65,即, 以 95% 的把握认为 p ≤0.05 是成立的 .5. 某产品的次品率为 O.17，现对此产品进行新工艺试验，从中抽取 4O0件检验，发现有次品 56 件，能否认为此项新工艺提高了产品的质量 ( α=0.05)?解: H 0: p 0.17, H 1: p 0.17,采用非正态大样本统计检验法 ,拒绝域为 Z z ,n 400,0.05, z 0.95 1.65 ,由检验统计量40056 400 0.17 400 0.17 0.83z z 0.025 z 0.975 1.96, 由检验统计量2/n1637 1600150/ 261.25 1.96 ,接受 H 0 : 1600,n 50, 由检验统计量x/n p p (1 p) /n4/50 0.05 0.05 0.95 / 500.9733 <1.65,接受 H 0：p ≤0.05.x i np i11.5973>-1.65, 接受 H 0: p 0.17,以95% 的把握认为此项新工艺没有显著地提高产品的质量(2)2(2)26. 从某种试验物中取出 24 个样品，测量其发热量，计算得 x =11958，样本标准差 s =323，问以 5％ 的显著水平是否可认为发热量的期望值是 12100( 假定发热量是服从正态分布的 )?解: H 0: 12100, H 1 :12100,总体标准差 σ未知 , 拒绝域为 t t (n 1) ,n 24, x =11958,2s =323,0.05,t 0.025(23) 2.0687 , 由检验统计量tx 11958 121002.1537>2.0687,拒绝 H 0 : 12100 ,接受 H 1: 12100,s/ n 323/ 24 0 1即, 以 95% 的把握认为试验物的发热量的期望值不是 12100.7．某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为 500 克，每隔一定时间需要检查机器工 作情况。

10
N（µ,σ2）
（µ,σ2）
n
n
x
N (µ x ,σ )
2 x
x
11
中心极限定理 (Central Limit Theorem)
从正态总体N（µ,σ2）中，随机抽取例数为 n的样本，样本均数 也服从正态分布，即使 x 是从偏态总体中抽样，当n足够大时，样本 均数的分布仍然服从正态分布，样本均数的 µ 均数 µ x =，标准差为 σ x 。
正态曲线下的面积分布有一定的规律。
4
正态曲线下面积的分布规律
横轴上的一定区间的面积占总面积的百分数，用 以估计该区间的例数占总例数的百分数（频率分 布），或变量值落在该区间的概率（概率分布）。 正态曲线下区间的面积，可以通过对正态变量X的 累计分布函数F（X）的积分来求得，它反映了正 态曲线下，横轴尺度自-∞到X的面积，即下侧累 计面积。
( x − µ )2 − 2
−∞
e
dx
5
正态曲线下面积的分布规律
σ 当µ、σ和X已知时，须进行u转换 ， 然后 对标准正态变量u的累计分布函数Φ(u)的积分。 它反映了正态曲线下，横轴上自-∞到u的面积， 也是下侧累计面积。
u= x−µ
Φ (u ) =
1 2π
∫
ϕ (u ) =
1 e 2π
u2 − 2
标准正态分布可用N（0，1）表示。
3
正态分布的特征
正态曲线在横轴上方均数处最高。标准正 态分布在u=0时，ϕ（u）达到最大值。 正态分布以µ为中心，左右对称。 正态分布有两个参数，即µ和σ。
– µ是位置参数，当σ恒定后，µ 越大，则曲线 沿横轴越向右移动；µ 越小，则曲线沿横轴越 向左移动。 – σ是变异度参数，当µ 恒定时，σ越大，表示 数据越分散，曲线越扁平；σ越小，表示数据 越集中，曲线越陡峭。

我们需要了解什么是概率密度函数。

概率密度函数通常用于描述连续型随机变量的概率分布情况，它是对随机变量概率分布的一种描述方式。

在统计学和概率论中，我们经常需要根据样本数据来推断总体参数的范围，而置信区间就是用来估计总体参数的范围的一种方法。

在matlab中，我们可以利用已知的概率密度函数来求置信区间。

下面我们以正态分布为例进行讲解。

1. 理解正态分布正态分布是一种重要的连续型概率分布，它具有以均值为中心对称的特点。

正态分布的概率密度函数可以用数学公式表示为：\[f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]其中，μ为均值，σ为标准差。

在matlab中，我们可以使用normpdf函数来计算正态分布的概率密度函数值。

2. 求置信区间假设我们已知一组样本数据，我们想要根据这组样本数据来估计总体的均值。

我们可以利用已知的概率密度函数来求置信区间。

在matlab中，我们可以使用normfit函数来估计正态分布总体的均值和标准差。

利用norminv函数来计算置信区间的上下限。

假设我们有一组样本数据x，我们可以按照以下步骤来求置信区间：```matlab估计总体均值和标准差[mu, sigma] = normfit(x);设置置信水平alpha = 0.05;求置信区间ci = norminv([alpha/2 1-alpha/2], mu, sigma);```在上面的代码中，normfit函数用于估计总体均值和标准差，alpha表示置信水平，ci表示置信区间的上下限。

3. 示例下面我们通过一个简单的示例来演示如何利用matlab求正态分布的置信区间。

假设我们有一组随机变量x的样本数据：```matlabx = [65, 72, 68, 70, 74, 67, 71, 70, 72, 69];```我们想要根据这组样本数据来估计总体的均值，并计算置信区间。

matlab正态分布检验进行参数估计和假设检验时，通常总是假定总体服从正态分布，虽然在许多情况下这个假定是合理的，但是当要以此为前提进行重要的参数估计或假设检验，或者人们对它有较大怀疑的时候，就确有必要对这个假设进行检验，进行总体正态性检验的方法有很多种，以下针对MATLAB统计工具箱中提供的程序，简单介绍几种方法。

1）Jarque-Bera检验利用正态分布的偏度g1和峰度g2，构造一个包含g1，g2的分布统计量（自由度n=2），对于显著性水平，当分布统计量小于分布的分位数时，接受H0：总体服从正态分布；否则拒绝H0，即总体不服从正态分布。

这个检验适用于大样本，当样本容量n较小时需慎用。

Matlab命令：h =jbtest(x)，[h,p,jbstat,cv] =jbtest(x,alpha)例子：[h,p]=jbtest(a,0.05)h为测试结果,若h=0,则可以认为X是服从正态分布的;若h=1,则可以否定X服从正态分布;p为接受假设的概率值,P越接近于0,则可以拒绝是正态分布的原假设;2）Kolmogorov-Smirnov检验通过样本的经验分布函数与给定分布函数的比较，推断该样本是否来自给定分布函数的总体。

容量n的样本的经验分布函数记为Fn(x)，可由样本中小于x的数据所占的比例得到，给定分布函数记为G(x)，构造的统计量为，即两个分布函数之差的最大值，对于假设H0：总体服从给定的分布G(x)，及给定的，根据Dn的极限分布（n??时的分布）确定统计量关于是否接受H0的数量界限。

因为这个检验需要给定G(x)，所以当用于正态性检验时只能做标准正态检验，即H0：总体服从标准正态分布。

Matlab命令：h =kstest(x)例子：A=A(:);alpha=0.05;[mu,sigma]=normfit(A);p1=normcdf(A,mu,sigma);[H1,s1]=kstest(A,[A,p1],alpha);n=length(A);if H1==0disp('该数据服从正态分布。

function f=p_judge(A,alpha)A=A(:);%正态分布检验[mu,sigma]=normfit(A);p1=normcdf(A,mu,sigma);[H1,s1]=kstest(A,[A,p1],alpha)n=length(A);if H1==0disp('该数据源服从正态分布。

')elsedisp('该数据源不服从正态分布。

')end%γ分布检验phat=gamfit(A,alpha);p2=gamcdf(A,phat(1),phat(2));[H2,s2]=kstest(A,[A,p2],alpha)if H2==0disp('该数据源服从γ分布。

')elsedisp('该数据源不服从γ分布。

')end%泊松分布检验lamda=poissfit(A,alpha);p3=poisscdf(A,lamda);[H3,s3]=kstest(A,[A,p3],alpha)if H3==0disp('该数据源服从泊松分布。

')elsedisp('该数据源不服从泊松分布。

') end%指数分布检验mu=expfit(A,alpha);p4=expcdf(A,mu);[H4,s4]=kstest(A,[A,p4],alpha)if H4==0disp('该数据源服从指数分布。

')elsedisp('该数据源不服从指数分布。

') end%rayleigh分布检验[phat, pci] = raylfit(A, alpha)p5=raylcdf(A,phat);[H5,s5]=kstest(A,[A,p5],alpha)if H5==0disp('该数据源服从rayleigh分布。

') elsedisp('该数据源不服从rayleigh分布。