参数的点估计与区间估计
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参数的点估计及区间估计
参数的点估计及区间估计点估计的基本思想是根据样本数据，通过统计量来估计总体参数的值。
常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是找到一个参数值，使得样本观察值的概率最大。
矩估计是根据样本矩的性质来估计总体参数的值。
例如，如果总体服从正态分布，那么样本均值和样本方差就是总体均值和总体方差的估计量。
区间估计的基本思想是给出一个区间，使得总体参数落在该区间内的概率达到一定的置信水平。
在区间估计中，置信水平通常是根据统计学的理论设定的，常见的有95%和99%置信水平。
区间估计的计算方法主要有正态分布法和t分布法。
正态分布法适用于大样本情况下，而t分布法适用于小样本情况下。
对于点估计，我们需要考虑估计量的偏倚和方差。
偏倚表示估计量的期望值与总体参数的真实值之间的差异。
如果估计量的期望值与总体参数的真实值之间没有差异，就称为无偏估计；否则，就称为有偏估计。
方差表示估计量的离散程度。
我们通常希望找到无偏估计，并且方差越小越好。
对于区间估计，我们需要考虑置信水平和置信区间的宽度。
置信区间的宽度越小，说明估计的精度越高。
但是，要得到一个狭窄的置信区间就需要使用更大的样本量，或者降低置信水平。
在进行区间估计时，需要根据具体需求平衡估计的精度和置信水平。
在实际应用中，点估计和区间估计通常是一起使用的。
点估计提供了一个具体的估计值，而区间估计提供了一个参数值可能的范围。
通过点估计和区间估计，我们可以对总体参数进行合理的估计，并且给出估计的精度和可靠性的度量。
总之，参数的点估计和区间估计是统计学中常用的两种估计方法。
点估计通过选择适当的统计量来估计总体参数的值，而区间估计通过给出参数值可能的范围来表示估计的不确定性。
点估计和区间估计是统计学中重要的概念，对于数据分析和决策制定具有重要的指导意义。
《概率论与数理统计》学习笔记十一
σ 2 = S2 =
2 1 n Xi − X ) ( ∑ n i =1
n −1 2 ⎛ n −1 2 ⎞ n −1 S ⎟= E (S2 ) = 由于 E σ 2 = E S 2 = E ⎜ σ ， n n ⎝ n ⎠
n 3 ⎡ X 2 − nX 2 ⎤ ∑ i ⎥ n⎢ ⎣ i =1 ⎦
3 ( X − X )2 i n∑ i =1
n
在总体 X 为离散型随机变量情形， 求未知参数 θ 的矩估计量的方法和连续型 情形完全相同。 极大似然估计法 直观想法：概率最大的事件最可能出现。 设总体 X 为连续型随机变量，具有密度函数 f ( x;θ ) ，其中 θ 是待估未知参 数，又设 ( x1 ,L , xn ) 是样本 ( X 1 ,L , X n ) 的一个观测值，则样本 ( X 1 ,L , X n ) 落在观
n
（１）
ˆr ， 把上式中的 α r 都换成相应的样本矩 M r = 1 ∑ X ir ，便得到参数 θ r 的矩估计量 θ n i =1
概率论与数理统计—学习笔记十一
即
θˆr = hr ( M 1 ,L , M k ) , r = 1, 2,L , k .
（２）
这种求估计量的方法称为矩估计法（简称矩法） ，由矩估计法得出的估计量称为 矩估计量。 例１ 设总体 X 在 [ a, b ] 上服从均匀分布，a,b 未知， X 1 ,L , X n 是总体 X 的 一个样本，试求 a,b 矩估计量。 解 X 的概率密度为 1 , a≤ x≤b ⎧ ⎪ f ( x; a, b ) = ⎨ b − a ⎪ 其它 ⎩ 0,
上节介绍了总体参数的常用点估计方法，对同一参数用不同的估计方法可能 得到不同的估计量，哪个估计量更好些呢？下面给出几种评选估计量好坏的标 准。 无偏估计 估计量是样本的函数，是随机变量，对不同的样本观测值，它有不同的估计 值，我们希望估计量的取值在未知参数真值附近摆动，即希望估计量的数学期望 等于未知参数的真值，这就是无偏性的概念。 定义 设 θˆ ( X 1 ,L , X n ) 是未知参数 θ 的估计量，若
07心理统计学-第七章 参数估计
犯错误的概率，常用α（或p）表示。则1-α为置信 度。（显著性水平越高表示的是α值越小，即犯错误的可
能性越低） α为预先设定的临界点，常用的如.05、.01、.001；p 为检验计算所得的实际（犯错误）概率。
第一节 点估计、区间估计与标准误
三、区间估计与标准误
3、区间估计的原理与标准误
转换成比率为
p
n
p, SE p
n
pq n
同理可得公式7-17。自习[例7-12、例7-13]
1、从某地区抽样调查400人，得到每月人均文化消费为 160元。已知该地区文化消费的总体标准差为40元。试 问该地区的每月人均文化消费额。（α=.05，总体呈正态
分布）
2、上题中总体方差未知，已知Sn-1=44元。 3、已知某中学一次数学考试成绩的分布为正态分布，总 体标准差为5。从总体中随机抽取16名学生，计算得平 均数为81、标准差为Sn=6。试问该次考试中全体考生成 绩平均数的95%置信区间。 4、上题中总体方差未知，样本容量改为17人。 5、假定智商服从正态分布。随机抽取10名我班学生测 得智商分别为98、102、105、105、109、111、117、 123、124、126（可计算得M=112，Sn≈9.4），试以95% 的置信区间估计我班全体的智商平均数。 返回
值表，求tα /2（df）。
5、计算置信区间CI。
σ2已知，区间为M-Zα /2 SE <μ< M+Zα /2 SE；
σ2未知，区间为M-tα /2(df)SE <μ< M+tα /2(df)SE。
6、对置信区间进行解释。
二、σ2已知，对μ的区间估计（Z分布，例7-1 & 2） 三、σ2未知，对μ的区间估计（t分布，例7-3 & 4）
注册会计师的点估计或区间估计
注册会计师的点估计或区间估计
注册会计师是财务领域中的专业人士，他们的职责是负责审计和核实
公司的财务报表，确保其准确性和合法性。
在进行审计过程中，点估
计和区间估计是注册会计师经常使用的两种方法。
点估计是指通过样本数据来估计总体参数的值。
例如，一个注册会计
师可能需要估计一家公司的总收入。
他可以通过抽取一部分数据来计
算平均值，并将其作为总体参数的点估计。
点估计的优点是简单易懂，但缺点是可能存在偏差，因为它只考虑了样本数据，而没有考虑总体
的其他因素。
区间估计是指通过样本数据来估计总体参数的值，并给出一个置信区间。
例如，一个注册会计师可能需要估计一家公司的总收入，并给出
一个置信区间，以表明他对总体参数的估计有多大的置信度。
区间估
计的优点是可以考虑总体的其他因素，从而减少偏差的影响。
但缺点
是计算复杂，需要更多的样本数据。
在实际应用中，注册会计师通常会根据具体情况选择使用点估计或区
间估计。
如果样本数据较少，或者总体参数的分布比较明显，点估计
可能更为合适。
如果样本数据较多，或者总体参数的分布比较复杂，
区间估计可能更为合适。
总之，点估计和区间估计是注册会计师进行审计和核实财务报表时经常使用的两种方法。
它们各有优缺点，需要根据具体情况选择使用。
在实际应用中，注册会计师需要根据样本数据的数量和总体参数的分布来选择合适的方法，以确保审计结果的准确性和可靠性。
参数的点估计与区间估计
i1
d
ln d
L
n i1
xi
1
令
n 0 ,
1 n
n i1
xi
x.
有时用求导方法无法最终确定未知参数的 极大似然估计, 此时用极大似然原则来求 .
例: 设总体 X ~ U [a, b] , ( x1 , x2 ,…, xn ) 为一样本值,
求 a, b 的极大似然估计.
解:
X 的概率密度
1(ba), axb,
P{Xk}CrkCCN SN Skr , 0kmiSn ,r)(
把上式右端看作 N 的函数，记作 L(N; k) .
应取使 L(N; k) 达到最大的N, 作为 N 的极大似然估计.
但用对 N 求导的方法相当困难, 我们考虑比值：
L( N ; k ) (NS)(Nr) L( N 1; k ) N(NrSk)
n
近似为 f (xi;)dxi , 其取值随 而变;
i1
既然在一次抽样中就得到了样本值(x1 , x2 , …, xn) , 因而我们有理由认为: 样本 ( X1 , X2 , …, Xn ) 在 ( x1 , x2 , …, xn ) 旁边取值的概率比较大;
根据“概率最大的事件最可能发生”，我们可取
参数估计又分点估计与区间估计.
§1 参数的点估计
设总体 X 的分布中含未知参数 ,
( X1 , X2 , …, Xn ) 是一样本, 要构造一统计量
(X1,,
Xn)作为
的估计
(
叫做
的点估计量);
对应样本值( x1 , x2 , …, xn ), (x1,, xn) 可作为
的估计值，叫做 的点估计值.
则称( 1 , 2 )是 的置信度(置信水平, 置信概率)为
d
ln d
L
n i1
xi
1
令
n 0 ,
1 n
n i1
xi
x.
有时用求导方法无法最终确定未知参数的 极大似然估计, 此时用极大似然原则来求 .
例: 设总体 X ~ U [a, b] , ( x1 , x2 ,…, xn ) 为一样本值,
求 a, b 的极大似然估计.
解:
X 的概率密度
1(ba), axb,
P{Xk}CrkCCN SN Skr , 0kmiSn ,r)(
把上式右端看作 N 的函数，记作 L(N; k) .
应取使 L(N; k) 达到最大的N, 作为 N 的极大似然估计.
但用对 N 求导的方法相当困难, 我们考虑比值：
L( N ; k ) (NS)(Nr) L( N 1; k ) N(NrSk)
n
近似为 f (xi;)dxi , 其取值随 而变;
i1
既然在一次抽样中就得到了样本值(x1 , x2 , …, xn) , 因而我们有理由认为: 样本 ( X1 , X2 , …, Xn ) 在 ( x1 , x2 , …, xn ) 旁边取值的概率比较大;
根据“概率最大的事件最可能发生”，我们可取
参数估计又分点估计与区间估计.
§1 参数的点估计
设总体 X 的分布中含未知参数 ,
( X1 , X2 , …, Xn ) 是一样本, 要构造一统计量
(X1,,
Xn)作为
的估计
(
叫做
的点估计量);
对应样本值( x1 , x2 , …, xn ), (x1,, xn) 可作为
的估计值，叫做 的点估计值.
则称( 1 , 2 )是 的置信度(置信水平, 置信概率)为
点估计与区间估计
1.
切換到『資料』索引標籤, 點選『分析』群組『資料分析』指令按鈕, 於『分析工具』處選「敘述統計」
1. 2. 3. 4.
按
鈕
於『輸入範圍』處，以選取方式設定要處理之資料範圍（B1:B201） 於『分組方式』選「循欄」 點選「類別軸標記是在第一列上(L)」（因資料含『一週飲料花費』之字串標 記） 設定輸出範圍，本例安排於目前工作表之D1位置 點選「摘要統計(S)」 點選「平均數信賴度(N)」，設定「95%」
馬上練習
以範例Ch10.xlsx『運動時間』工作表內容，求α=0.05時，大學生每 週運動時間之均數µ的點估計及其95%信賴區間。
馬上練習
續上題，求α=0.01、α=0.05與α=0.1時，運動時間之均數µ的信賴區間 分別為何？
信賴區間之範圍CONFIDENCE() 信賴區間之範圍
CONFIDENCE(α,σ,n) CONFIDENCE(顯著水準,標準差,樣本數) 本函數可傳回母體平均數的信賴區間之範圍，α為顯著水準，α=0.05時 表求算95%信賴區間之範圍。σ為母體標準差，n為樣本數。 若處理對象為常態分配，母體標準差（σ）已知，其計算公式為：
點估計之優點為算法簡單，意義簡單明瞭；但其缺點為無法判斷估計 結果的準確性，且其估計值會因樣本不同而有所差異。所以才會有區 間估計之推出。 假定，我們估計全體大學生平均每月可用零用金為5000元，那是點估 計，該估計為單一數值，可視為線上的一點；若我們估計全體大學生 平均每月可用零用金介於4000~6000元，那就是區間估計，因為涉及 兩點，可視為線上的一個區段。
如為雙尾，即求左右兩尾之陰影部份：
t分配之圖形及機率值，將隨自由度不同而略有不同。以自由度為10之情況下， 不同t值所求得之單尾及雙尾累計機率分別為：（詳範例Ch10.xlsx『TDIST』 工作表）
切換到『資料』索引標籤, 點選『分析』群組『資料分析』指令按鈕, 於『分析工具』處選「敘述統計」
1. 2. 3. 4.
按
鈕
於『輸入範圍』處，以選取方式設定要處理之資料範圍（B1:B201） 於『分組方式』選「循欄」 點選「類別軸標記是在第一列上(L)」（因資料含『一週飲料花費』之字串標 記） 設定輸出範圍，本例安排於目前工作表之D1位置 點選「摘要統計(S)」 點選「平均數信賴度(N)」，設定「95%」
馬上練習
以範例Ch10.xlsx『運動時間』工作表內容，求α=0.05時，大學生每 週運動時間之均數µ的點估計及其95%信賴區間。
馬上練習
續上題，求α=0.01、α=0.05與α=0.1時，運動時間之均數µ的信賴區間 分別為何？
信賴區間之範圍CONFIDENCE() 信賴區間之範圍
CONFIDENCE(α,σ,n) CONFIDENCE(顯著水準,標準差,樣本數) 本函數可傳回母體平均數的信賴區間之範圍，α為顯著水準，α=0.05時 表求算95%信賴區間之範圍。σ為母體標準差，n為樣本數。 若處理對象為常態分配，母體標準差（σ）已知，其計算公式為：
點估計之優點為算法簡單，意義簡單明瞭；但其缺點為無法判斷估計 結果的準確性，且其估計值會因樣本不同而有所差異。所以才會有區 間估計之推出。 假定，我們估計全體大學生平均每月可用零用金為5000元，那是點估 計，該估計為單一數值，可視為線上的一點；若我們估計全體大學生 平均每月可用零用金介於4000~6000元，那就是區間估計，因為涉及 兩點，可視為線上的一個區段。
如為雙尾，即求左右兩尾之陰影部份：
t分配之圖形及機率值，將隨自由度不同而略有不同。以自由度為10之情況下， 不同t值所求得之單尾及雙尾累計機率分別為：（詳範例Ch10.xlsx『TDIST』 工作表）
第5章 参数估计
猎物射击,结果该猎物身中一弹,你认为谁打中的可能
性最大? 根据经验而断:老猎人打中猎物的可能性最大. 极大似然估计法的思想就是对固定的样本值，选
择待估参数的估计值使“样本取样本值”[离散型]或 “样
本取值落在样本值附近”[连续型] 的概率最大。
(2、极大似然估计的求法
单参数情形
根据总体分 布律写出似 然函数：换x 为xi
来得到待估参数θ 的极大似然估计值(驻点);
③ 、必要时,参照极大似然估计值写出极大似然
估计量.
【例6】求服从二项分布B(m，p)的总体X未知参数 p的极大似然估计量。 〖解〗单参数，离散型。 因为总体 X
~ B(m, p),
x m x
其分布律为
m x
f ( x; p) C p (1 p)
下面分离散型与连续型总体来讨论. 设离散型总体X的分布律
P{X x} p( x; )
( )
形式已知,θ 为待估参数. X 1 , X 2 ,..., X n 为来自总体X的
样本, x1 , x2 ,..., xn 为其样本值,则 X 1 , X 2 ,..., X n 的联合分
布律为:
用其观察值
ˆ( X , X ,..., X ), 1 2 n
——θ 的估计量
ˆ( x , x ,..., x ) 1 2 n
——θ 的估计值
来估计未知参数θ .
今后,不再区分估计量和估计值而统称为θ 的估计,
ˆ . 均记为
二、构造估计量的两种方法
1、矩估计法 理论根据:样本矩(的连续函数)依概率收敛于总
因为X~N(μ ,σ 2),所以X总体的概率密度为
2 1 (x ) 2 f ( x; , ) exp ( R, 0) 2 2 2
高等统计学第二讲
第三讲点估计和置信区间估计¾参数估计解决的主要问题是什么？¾点估计与区间估计的区别是什么？主讲王星中国人民大学统计学院1.点估计的定义所谓点估计就是由样本xx 1,x 2,…x n 确定一个统计量()n x x x g ,,,21 =∧θ用它来估计总体的未知参数，称为总体参数的估计量当具体的样本抽出后可参数的估计量。
当具体的样本抽出后，可求得出样本统计量的值。
用它作为总体参数的估计值称作总体参数的点估计数的估计值，称作总体参数的点估计。
的联立方程组)⎧= 的联立方程组，，，个未知参数这是包含k k θθ 1(()⎪⎪=k kA A θθθµθθθµ，，，，，， 21222111()⎪⎪⎩⎨=kk k A θθθµ，，， 21即，，记为从中解出方程组的解,ˆˆ,1k θθ ()⎪⎧==nX X X ，，， 2111θθˆˆˆˆ()⎪⎪⎨n X X X ，，， 2122θθˆˆ()⎪⎩=n k kX X X ，，， 21θθ矩法求估计量的步骤：2);()121EX EX ==µµ求);()22211µµ==A A 令),,(ˆˆ)3111n X X θθ=解上面方程（组），得)).,,(ˆˆ(122n X X θθ=1960-1964之间暴风雪降水量分布的矩估计效果下面这个实验是说明19601964我们用gamma分布：ilprec=scan("E:\\teaching\\msdata\\Chapter 10\\illinois601234.txt") lambda=mean(ilprec)/(var(ilprec)*(length(ilprec)-1)/(length(ilprec))) alpha=(mean(ilprec))^2/(var(ilprec)*(length(ilprec)-1)/(length(ilprec))) alphalambdahist(ilprec,freq=F)x=seq(0,3,0.02)lines(x,dgamma(x,alpha,lambda),lwd=3,col=3)3 点估计的常用方法2）．极大似然估计法设总体X的概率分布为()θ;xP或概率密度为()θ;x p 其中θ是未知参数。
注册会计师的点估计或区间估计名词解释
注册会计师的点估计或区间估计名词解释注册会计师是一个专业的会计领域，他们通过专业的知识和技能，为企业和个人提供财务咨询和服务。
在工作中，注册会计师需要进行数据的分析和处理，对于数据的精准性和准确性有着非常高的要求。
而在数据处理中，点估计和区间估计是一种非常重要的统计学术语。
点估计是指通过获取一定量的数据样本，利用这些数据样本中的参数进行推算和预测整体误差的大小。
通过这种方式可以大致预测数据的实际情况，同时也让人们了解到数据样本的优点和缺陷，从而更好地预测未来的任何情况。
区间估计是指通过获取一定量的数据样本，利用这些数据样本中的参数进行大致预测，计算出数据样本的上限和下限，使得数据样本的误差的范围可以更精确的确定。
通过这种方式可以减少数据样本的误差范围，从而更准确地了解数据的实际情况，为企业和个人提供更好的财务咨询和服务。
在实际的工作中，点估计和区间估计的应用是十分广泛的。
其应用范围包括：企业的财务预测和科研领域的数据分析等。
下面分别介绍这两种估计的具体应用。
点估计的应用:1. 财务预测: 在企业的财务分析中，点估计被广泛运用。
通过对企业过往财务数据进行分析，了解该企业未来可能的财务状况，从而为企业进行预算和决策提供依据。
2. 科学研究: 在科学研究领域，点估计被广泛应用于生物、物理、化学等各个领域的数据分析。
通过研究样本中的参数，预测未来的实验结果。
例如，在药物试验中，可以通过样本中的参数来预测药物效果的优劣。
区间估计的应用:1. 生产流程优化：在工厂生产流程中，区间估计被广泛运用。
通过对生产数据进行分析，计算出数据样本的上限和下限，使得生产工艺可以更为精细化，更为准确地预测产品批次的质量水平。
2. 投资决策：在股票投资领域，区间估计被广泛应用。
通过对同一行业内股票的价格和数据进行对比，计算出数据样本的上限和下限，帮助投资者更准确地判断股票的风险和价值，从而做出更好的投资决策。
总之，点估计和区间估计是现代统计学中重要的概念。
点估计和区间估计的例子
点估计和区间估计的例子以点估计和区间估计为主题，以下是十个例子：1. 假设一家餐馆想要估计每天晚上的客流量，他们可以通过随机抽样，选择几个晚上记录客人的数量，并以此为基础估计整个晚上的客流量。
这个估计就是点估计。
2. 一家电子公司想要估计他们新产品的销售额，他们可以通过随机调查一部分消费者，询问他们是否有兴趣购买该产品以及他们预计的购买数量。
通过统计这些调查结果，他们可以得出一个销售额的点估计。
3. 一家医院想要估计某种疾病的发病率，他们可以通过抽取一部分患者的病历，统计患有该疾病的人数，并以此为基础估计整个人群的发病率。
这个估计也是一个点估计。
4. 一家市场调研公司想要估计某个市场上某种产品的平均价格，他们可以通过抽取一部分商家的价格信息，并计算这些价格的平均值作为估计值。
这个估计就是一个点估计。
5. 一家投资公司想要估计某个股票的未来收益率，他们可以通过研究该股票的历史数据，计算出平均收益率作为估计值。
这个估计也是一个点估计。
6. 假设一家制造公司想要估计他们生产的某个产品的平均寿命，他们可以随机抽取一些产品，进行寿命测试，并以测试结果的平均值作为估计值。
这个估计就是一个点估计。
7. 一家保险公司想要估计某个年龄段人群的平均医疗费用，他们可以通过抽取一部分被保险人的医疗费用信息，并计算这些费用的平均值作为估计值。
这个估计也是一个点估计。
8. 假设一家零售商想要估计某个商品的月销售量，他们可以通过随机抽取几个销售点，记录每个销售点的销售量，并以此为基础估计整个销售网络的销售量。
这个估计就是一个点估计。
9. 一家航空公司想要估计某个航班的平均延误时间，他们可以通过抽取一部分乘客的行程信息，记录他们的起飞和到达时间，并计算这些时间差的平均值作为估计值。
这个估计也是一个点估计。
10. 假设一家汽车制造公司想要估计某个车型的平均燃油效率，他们可以随机抽取一些车辆，测试它们的燃油消耗量，并以测试结果的平均值作为估计值。
注册会计师的点估计或区间估计
注册会计师的点估计或区间估计一、引言注册会计师是一个专业性很强的职业，其职责包括对企业的财务状况进行审核、报告和分析等。
在进行财务分析时，会计师需要对各种财务指标进行估计，以便提供准确的财务意见。
本文将探讨注册会计师在财务分析中使用的点估计和区间估计方法。
二、点估计点估计是指根据样本数据，通过某种方法估计出总体参数的一个具体值。
在注册会计师的工作中，常用的点估计方法包括样本均值估计、样本比例估计和样本方差估计等。
1. 样本均值估计样本均值估计是指通过样本数据的平均值来估计总体的平均值。
在进行财务分析时，会计师常常需要估计企业的平均利润、平均销售额等指标。
通过对一定数量的样本数据进行抽样调查，计算出样本数据的平均值，并将其作为总体平均值的估计。
2. 样本比例估计样本比例估计是指通过样本数据的比例来估计总体的比例。
在财务分析中，会计师常常需要估计企业的盈利能力、清偿能力等指标的比例。
通过对一定数量的样本数据进行抽样调查，计算出样本数据中具备某种特征的样本比例，并将其作为总体比例的估计。
3. 样本方差估计样本方差估计是指通过样本数据的方差来估计总体的方差。
在财务分析中，会计师常常需要估计企业的风险水平、波动性等指标的方差。
通过对一定数量的样本数据进行抽样调查，计算出样本数据的方差，并将其作为总体方差的估计。
三、区间估计区间估计是指根据样本数据，通过某种方法估计出总体参数的一个区间范围。
在注册会计师的工作中，常用的区间估计方法包括置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计置信区间估计是指通过样本数据，计算出一个包含总体参数真值的区间范围。
在财务分析中，会计师常常需要估计企业的平均利润、销售额等指标的真值所在的区间范围。
通过对一定数量的样本数据进行抽样调查，计算出样本数据的均值、比例或方差，并结合统计理论，计算出一个置信水平下的区间范围。
2. 预测区间估计预测区间估计是指通过样本数据，计算出一个包含下一次观测值的区间范围。
心理统计名词解释点估计和区间估计
心理统计名词解释：1. 点估计点估计是一种通过样本数据估计总体参数的方法。
在心理统计学中，研究者通常只能获得一部分总体数据，因此需要利用样本数据来估计总体的特征。
点估计就是利用样本数据计算出一个数值作为总体参数的估计值，常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
2. 区间估计区间估计是一种用来估计总体参数范围的方法。
与点估计不同，区间估计不仅给出了参数的点估计值，还给出了参数估计的置信区间。
置信区间是总体参数的估计范围，通常表示为一个区间，例如(μ-δ, μ+δ)，其中μ为参数的点估计值，δ为置信区间的半径。
心理统计中的点估计和区间估计在研究中具有重要意义。
通过点估计和区间估计，研究者可以对总体的特征进行估计，并对估计结果的可靠性进行评估。
这两种估计方法在量化研究中被广泛应用，对于从样本数据推断总体特征具有重要的参考价值。
点估计和区间估计的应用：3. 点估计的应用在心理统计学中，点估计通常用来估计总体的各种参数，如均值、方差、比例等。
研究者利用样本数据计算出点估计值，并将其作为总体参数的估计值。
在一项实验中，研究者可以利用样本数据计算出实验组和对照组的平均得分，以此作为两组总体均值的估计值。
4. 区间估计的应用区间估计在心理统计学中具有重要意义，它不仅给出了总体参数的估计值，还给出了估计的可靠范围。
研究者通常会根据置信水平选择相应的置信区间，常见的置信水平包括95、99等。
在研究中，研究者可以利用区间估计来估计总体均值的置信区间，从而评估估计结果的可靠性。
点估计和区间估计的特点：5. 点估计的特点点估计给出了总体参数的一个具体数值估计，具有直观性和简单性。
研究者可以通过点估计方便地获得总体参数的估计值，并基于这一估计值进行推断和决策。
然而，点估计也存在一定局限性，它无法提供参数估计的置信范围，使得估计结果的可靠性无法直观评估。
6. 区间估计的特点区间估计不仅给出了总体参数的估计值，还给出了参数估计的可靠范围。
《点估计与区间估计》课件
《点估计与区间估计》ppt课件
目录 CONTENTS
• 点估计概述 • 点估计方法 • 区间估计概述 • 区间估计方法 • 点估计与区间估计的比较
01
点估计概述
点估计的定义
点估计
用样本统计量来估计未知的参数，如均值、方差等。
样本统计量
样本均值、样本中位数等。
参数
总体均值、总体方差等。
点估计的分类
有效性
在所有无偏估计中，有效估计应具有最小 的方差。
充分性
如果一个统计量是参数的函数，并且与该 参数的所有其他函数不相关，则称该统计 量为参数的充分统计量。
一致性
当样本容量趋于无穷大时，点估计量的分 布应趋于正态分布。
02
点估计方法
矩估计法
基于样本矩来估计未知参数的方法
矩估计法是一种常用的点估计方法，它通过使用样本矩来估计总体矩，进而求解未知参数。这种方法基于大数定律和中心极 限定理，具有简单、直观和易于计算的特点。
03
区间估计概述
区间估计的定义
区间估计的定义
区间估计是一种统计推断方法，它利用样本 统计量来估计未知参数的可能取值范围。具 体来说，它是以一定的可信度（或置信水平 ）来估计未知参数的取值范围。
区间估计的原理
区间估计基于大数定律和中心极限定理，通 过样本统计量来推断总体参数的可能取值范 围。它利用样本数据的分布特性，结合样本 数量ຫໍສະໝຸດ 置信水平，来计算未知参数的置信区 间。
置信区间法
适用场景
适用于样本量较大、分布较稳定的情况。
注意事项
需要合理选择置信水平和样本量，以确保估计的准确性和可靠性。
预测区间法
总结词
基于回归分析，通过建立自变量与因变量的关系来预 测因变量的取值范围。
目录 CONTENTS
• 点估计概述 • 点估计方法 • 区间估计概述 • 区间估计方法 • 点估计与区间估计的比较
01
点估计概述
点估计的定义
点估计
用样本统计量来估计未知的参数，如均值、方差等。
样本统计量
样本均值、样本中位数等。
参数
总体均值、总体方差等。
点估计的分类
有效性
在所有无偏估计中，有效估计应具有最小 的方差。
充分性
如果一个统计量是参数的函数，并且与该 参数的所有其他函数不相关，则称该统计 量为参数的充分统计量。
一致性
当样本容量趋于无穷大时，点估计量的分 布应趋于正态分布。
02
点估计方法
矩估计法
基于样本矩来估计未知参数的方法
矩估计法是一种常用的点估计方法，它通过使用样本矩来估计总体矩，进而求解未知参数。这种方法基于大数定律和中心极 限定理，具有简单、直观和易于计算的特点。
03
区间估计概述
区间估计的定义
区间估计的定义
区间估计是一种统计推断方法，它利用样本 统计量来估计未知参数的可能取值范围。具 体来说，它是以一定的可信度（或置信水平 ）来估计未知参数的取值范围。
区间估计的原理
区间估计基于大数定律和中心极限定理，通 过样本统计量来推断总体参数的可能取值范 围。它利用样本数据的分布特性，结合样本 数量ຫໍສະໝຸດ 置信水平，来计算未知参数的置信区 间。
置信区间法
适用场景
适用于样本量较大、分布较稳定的情况。
注意事项
需要合理选择置信水平和样本量，以确保估计的准确性和可靠性。
预测区间法
总结词
基于回归分析，通过建立自变量与因变量的关系来预 测因变量的取值范围。
参 数 估 计
8
1.总体平均数的区间估计
用区间估计的方法来估计总体平均数 x ，必须具备三要
素：点估计量即样本平均数、平均数的抽样极限误差Δx 和置信度F(t)。公式如下：
P(x x X x x) F (t) 1
其中
x tx t x
9
1.总体平均数的区间估计
例6.7：从某校全部学生中，随机抽取 100名学生，x 平均体重 =58kg，x 抽样
（2）允许误差（极限误差）Δ，即Δ的数值。 （3）概率度t 。 （4）抽样方法。 （5）抽样的组织方式。
14
（二）必要抽样数目的计算
1．重复抽样条件下平均数的必要抽样数目的确定
因为
x tx
t x
t
n
所以
t 2 2
n x2
15
（二）必要抽样数目的计算
例6.10：某城市组织职工家庭生活抽样 调查，根据历史资料知，职工家庭平均每 户每月收入的标准差为11.50元 ,要求把 握程度为95.45% ,允许误差为1元,问需 抽选多少户?
20
（二）必要抽样数目的计算
例6.12，设某工地有土方工人2000名，拟用不重复抽 样推断，来测定其平均工作量，要求抽样误差不超过0.1 立方米，把握程度为99.73%，已知上次抽样调查所得 的方差为2.25，试求必要抽样数目。
3
一、点估计
(1) 无偏性。如果估计量 的ˆ数学期望值等于总体参数θ， 即E( )=θ，则是θ的ˆ 无偏估计量。
ˆ
(2) 即
有效,性。则如是果2 θ对 的比2*有任ˆ效何估一计个量估。计量
, 有最小方差，
ˆ (3)一致性。如果估计nl量im P[，ˆ 随着样 ]本 1容量n的增大而趋
近于θ，即ˆ 则 是θ的一致估计量。
1.总体平均数的区间估计
用区间估计的方法来估计总体平均数 x ，必须具备三要
素：点估计量即样本平均数、平均数的抽样极限误差Δx 和置信度F(t)。公式如下：
P(x x X x x) F (t) 1
其中
x tx t x
9
1.总体平均数的区间估计
例6.7：从某校全部学生中，随机抽取 100名学生，x 平均体重 =58kg，x 抽样
（2）允许误差（极限误差）Δ，即Δ的数值。 （3）概率度t 。 （4）抽样方法。 （5）抽样的组织方式。
14
（二）必要抽样数目的计算
1．重复抽样条件下平均数的必要抽样数目的确定
因为
x tx
t x
t
n
所以
t 2 2
n x2
15
（二）必要抽样数目的计算
例6.10：某城市组织职工家庭生活抽样 调查，根据历史资料知，职工家庭平均每 户每月收入的标准差为11.50元 ,要求把 握程度为95.45% ,允许误差为1元,问需 抽选多少户?
20
（二）必要抽样数目的计算
例6.12，设某工地有土方工人2000名，拟用不重复抽 样推断，来测定其平均工作量，要求抽样误差不超过0.1 立方米，把握程度为99.73%，已知上次抽样调查所得 的方差为2.25，试求必要抽样数目。
3
一、点估计
(1) 无偏性。如果估计量 的ˆ数学期望值等于总体参数θ， 即E( )=θ，则是θ的ˆ 无偏估计量。
ˆ
(2) 即
有效,性。则如是果2 θ对 的比2*有任ˆ效何估一计个量估。计量
, 有最小方差，
ˆ (3)一致性。如果估计nl量im P[，ˆ 随着样 ]本 1容量n的增大而趋
近于θ，即ˆ 则 是θ的一致估计量。
参数的点估计及区间估计
参数的点估计及区间估计1.点估计点估计是通过样本数据得出一个单一的数值作为参数的估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计等。
最大似然估计是通过寻找参数值，使得给定样本出现的可能性最大化，从而估计参数的值。
矩估计则是通过样本矩的估计值来估计参数的值。
点估计的优点是简单直观，计算方便，但它只给出了一个数值，无法反映参数估计的准确程度。
2.区间估计区间估计是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定概率包含着未知参数的真实值。
常见的区间估计方法有置信区间、预测区间等。
置信区间是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定程度的置信度来包含着未知参数的真实值。
预测区间是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定程度的置信度来包含着新的观测值。
区间估计的优点是可以反映参数估计的不确定性，给出了一个范围，但计算复杂，要求样本量较大。
对于点估计和区间估计，我们需要考虑一些概念和原则：1.无偏性：一个点估计量如果在大样本下的期望等于被估计参数的真实值，则称其为无偏估计量。
无偏估计量估计的是总体参数的中心值。
2.有效性：如果两个估计量都是无偏估计量，但一个估计量的方差较小，则称这个估计量为有效估计量。
3.一致性：一个估计量如果在样本量趋向于无穷大时，以概率1收敛于被估计参数的真实值，则称该估计量为一致估计量。
4.置信水平：置信区间是估计参数范围的一种方法，置信水平是指在重复抽样条件下，这个估计参数范围包含真实参数的概率。
总结起来，点估计提供了一个单一的参数估计值，简单直观，但没有反映参数估计的准确程度；区间估计提供了一个范围，可以反映参数估计的不确定性，但计算较复杂。
在实际应用中，可以根据问题的具体要求选择适当的估计方法，或者同时使用点估计和区间估计方法来对参数进行估计。
参数估计
§4 均值的置信区间的分析(2)：一对矛盾
区间估计中的一对矛盾
精度
区间长度越长，精度越低 区间长度越短，精度越高 n越大，精度越高
置信度越高，区间长度越长 置信度越低，区间长度越短
置信度
样本容量n固定时，精度与置信度不能同时提高！
先保证置信度，再提高精度
§4 均值的置信区间的分析(3)：一个特殊应用
§3 参数的区间估计：引例
抛一枚均匀的硬币10000次， ？问题1：出现正面的次数可能达到5500次吗？
可能。但可能性非常小，与摸彩票（36选7）中特等奖的 概率类似的小。 有68.3%的可能在（4950，5050）之间； 有95.4%的可能在（4900，5100）之间； 有99.7%的可能在（4850，5150）之间；
§3 参数的区间估计
在估计参数 时，构造一个置信区间，其置信系 数为95%，下面哪一种说法最正确（ ） A.落在该置信区间的概率为95% B.不落在该区间的风险为5% C. 有95%的随机置信区间会包括 D. 这一估计的误差不超过5%
§4 均值的区间估计——大样本结果
x z / 2 n
在参数估计中利用t分布构造置信区间的条件是 （ ） A. 总体分布需服从正态分布且方差已知 B. 总体分布为正态分布，方差未知 C. 总体不一定是正态分布但须大样本 D. 总体不一定是正态分布，但需要方差已知
§4 正态总体均值的区间估计
为管理的需要，银行要测定在业务柜台上每笔业 务平均所需的时间。假设每笔业务所需时间服从 正态分布，现随机抽取样本量为16，测得平均时 间为13分钟，标准差为5.6分钟，要求以99%的 置信系数确定置信界限。若置信系数改为90%， 其置信界限有何区别？
第七章__参数估计
三、区间估计与标准误
㈠区间估计的定义 是根据样本统计量，利用抽样分布的原理，在一定的
可靠程度上，估计出总体参数所在的范围，即以数 轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围。 ㈡置信区间与显著性水平 ⑴置信区间：也称置信间距，指在一定可靠程度上，总体参
数所在的区域距离或区域长度。
⑵置信界限（临界值）：置信区间的上下两端点值。 ⑶显著性水平：指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错
⑶区间估计的原理是样本分布理论。在计算区间估计值解释估 计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分布规律及样本 分布的标准误。样本分布可提供概率解释，而标准误的大小 决定区间估计的长度。一般情况下，加大样本容量可使标准 误变小。
当总体方差已知时，样本平均数的分布为正态分布或
渐近正态分布，此时，样本平均数的平均数uX u， 平均数的离散程度即平均数分布的标准差（简称
例4
解:由题意知,其总体方差未知,但其总体分布为正态分布，
则此样本均数的分布服从t分布， 可以依t分布对总平 均身高μ进行估计。
SEX
S 4.8 0.81; df n 1 36 1 35 n 1 35
查t值表可知 : t0.05 230 2.042;t0.01 230 2.75
例2 已知某区15 岁男生立定跳远的方差 为 436.8cm ，现从该区抽取58名15岁男生， 测得该组男生立定跳远的平均数为198.4cm， 试求该区15岁男生立定跳远平均成绩的95%和 99%的置信区间。
例2
解：由题意知：由于样本容量（n=58）大于30 ，
该样本的抽样分布为渐进正态分布。
SEX
因此, 的95%的置信区间为 :
82 2.0211.12 82 2.0211.12
matlab求点估计和区间估计的公式
一、点估计的概念及公式在统计学中，点估计是指通过样本数据来估计总体参数的值，其中总体参数通常用符号θ来表示。
点估计的目标是根据抽样数据得到总体参数的一个估计值而不是总体参数的精确值，因此点估计值与总体参数会存在一定的偏差。
对于一个总体参数θ，我们可以通过样本数据得到一个点估计值θ^来估计它的值。
常用的点估计方法包括最大似然估计、矩估计等。
点估计的公式如下所示：θ^ = g(X1, X2, ..., Xn)其中θ^表示总体参数的估计值，g表示点估计函数，X1, X2, ..., Xn表示样本数据。
二、区间估计的概念及公式区间估计是指通过样本数据估计总体参数的值，并给出估计值的置信区间。
置信区间是指总体参数值落在区间内的概率，通常用来表示估计值的精确程度。
对于一个总体参数θ，它的估计置信区间可以表示为(θ1, θ2)，其中θ1和θ2分别为区间的下限和上限。
区间估计的公式如下所示：(θ1, θ2) = (θ^ - Zα/2 * σ / √n, θ^ + Zα/2 * σ / √n)其中θ^表示总体参数的点估计值，Zα/2表示标准正态分布的分位数，σ表示样本标准差，n表示样本容量。
三、 Matlab中的点估计和区间估计函数在Matlab中，我们可以使用一些内置的函数来进行点估计和区间估计。
以下是一些常用的函数：1. 点估计函数：mean、median、mode等mean函数用于计算样本均值，可以用来估计总体均值的值。
可以通过以下代码计算样本数据的均值：```matlabdata = [1, 2, 3, 4, 5];point_estimate = mean(data);```2. 区间估计函数：norminv、tinv等norminv函数用于计算标准正态分布的分位数，tinv函数用于计算t分布的分位数，它们可以用来计算置信区间。
可以通过以下代码计算95置信水平下的置信区间：```matlabalpha = 0.05;n = length(data);sigma = std(data);z = norminv(1 - alpha/2, 0, 1);confidence_interval = [point_estimate - z * sigma / sqrt(n),point_estimate + z * sigma / sqrt(n)];```四、总结在统计学中，点估计和区间估计是两种常用的参数估计方法。
参数的区间估计和点估计
参数的区间估计和点估计在统计学中，参数是描述总体的量，如总体均值、总体方差等。
当我们研究总体时，除了掌握总体参数的点估计外，我们还需要对总体参数进行区间估计。
本文就对参数的区间估计和点估计进行详细的介绍。
一、参数点估计参数点估计是指用样本数据推断出总体参数的一个近似值。
比如，从总体中抽取一些样本，计算出它们的平均值，把这个平均值作为总体均值的近似值。
常用的参数点估计方法有：1.极大似然估计极大似然估计法是指假设参数值已知，用样本数据来确定这个参数估计值，即找到一个参数估计值，使得这个参数值下，样本的似然函数取得最大值。
例如，抛硬币实验中，随机变量X表示正面出现的次数。
当硬币的正面概率p未知时，用样本求出p的极大似然估计，即：P（X=k|p） = Cnkp^k(1-p)^(n-k)为了找到样本数据下的极大似然估计值，将似然函数求导，令导数等于0，求得估计值。
在实际中，极大似然估计可以被广泛应用于估计均值、方差、参数等。
2.矩估计矩估计是利用样本的矩来推断总体参数的方法。
常见的矩估计方法有：（1）样本均值估计总体均值。
用矩估计法时，对于同一参数，不同样本可能得到不同的结果，但随着样本数的增加，结果会更加接近。
1.基于正态分布的参数区间估计如果总体服从正态分布，且总体方差未知，我们通常采用t分布来进行参数区间估计。
我们假设一个区间，称之为置信区间，该区间可以以某个概率（置信度）包含总体参数，置信度通常取0.9或0.95或0.99等常用值。
置信区间估计是指在某个置信度下，估计出总体参数的一个区间，称这个区间为置信区间。
置信区间可以通过以下步骤计算。
（1）计算样本平均数和标准差，以此估计总体均值和总体标准差，分别记为X和S。
（2）确定置信度和自由度n-1，从t分布表中查找t分布值tα/2。
（3）计算置信区间：X - ts/√n ≤ $\mu$ ≤ X + ts/√n，其中t为样本t统计量，s为标准差，n为样本量，α/2为置信水平。
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则 Xi 落在[ xi , xi + d xi )中的概率约为 f ( xi ; ) d xi ,
( X1 , X2 , …, Xn ) 落在( x1 , x2 ,…, xn )旁边的概率
n
近似为 f ( xi ; ) d xi , 其取值随 而变;
i 1
既然在一次抽样中就得到了样本值(x1 , x2 , …, xn) , 因而我们有理由认为: 样本 ( X1 , X2 , …, Xn ) 在 ( x1 , x2 , …, xn ) 旁边取值的概率比较大;
解得 E ( X ) , 2 E( X 2 ) [E( X )]2 ,
总体矩用相应的样本矩代替, 得矩估计量:
E(X
)
1
n
Xi
X
,
n i1
2
E(X
2 ) [E( X
)]2
1
n
X
2 i
X
2
S
2 0
.
n i1
例: 设总体 X ~ U (a, b) , ( X1 , X2 ,…, Xn ) 为一样本,
lnL
n 2
ln(
2)
n 2
ln(2
)
1
2
2
n
(xi
i 1
)2
续解: lnL n ln( 2 )
2
n ln(2 )
2
1
2
2
n
( xi
i 1
)2
ln L 分别对 与 2求导并令其为 0 得
lnL
1
求 a, b 的矩估计量.
解:
E( X ) (a b) 2,
E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2
(b a)2
(a
b)2
,
12
4
解得 a E( X ) 3{E( X 2 ) [E( X )]2 } ,
b E( X ) 3{E( X 2 ) [E( X )]2 } ,
总体矩用相应的样本矩代替, 得 a 与 b 的矩估计量:
的一样本值, 求总体均值 和总体方差 2极大似然估计.
解: X 的概率密度 f ( x; , 2 )
1
exp[
(x )2
],
2
2 2
n
似然函数 L( , 2 ) f ( xi ; , 2 )
(
i 1
2 )n / 2 (2 )n / 2
exp[
1
2
2
n
( xi
i 1
)2 ]
两边取对数得
构造点估计 的常用方法
矩估计法(moment method of estimation)
极大似然估计法(method of
maximum likelihood)
一、 矩估计法
矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩 . 理论依据是大数定律.
矩估计法:
用样本的
l
阶原点矩
1 n
n i 1
Xil
作为总体的 l 阶原点矩 E( X l ) 的估计,
i 1
则求
使
L( )
max
L(
),
如此求出的 作为 的估计, 叫 的极大似然估计.
求
时,
通常对 lnL( )求导, 令其为 0,
来获取结果.
若总体 X 为离散型, 则
L( )中的 f ( xi ; ) 以 P{ X i xi } 代.
综述之,
的极大似然估计
的求法如下:
设 ( X1 , X2 , …, Xn ) 为总体 X 的一样本, ( x1 , x2 , …, xn )为样本值:
去求出未知参数的估计量. (若未知参数有 k 个, 则一般取 l = 1, …, k )
由矩估计法求得的估计量叫矩估计量, 相应的 估计值叫矩估计值.
例: 设 ( X1 , X2 ,…, Xn ) 为总体 X 的一样本, 求总体均值 和总体方差 2的矩估计量.
解: E ( X ) , E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2 ,
你很自然地想到: 只发一枪便打中, 猎人命中的 概率一般大于这位同学命中的概率. 这一枪应该 是猎人射中的 .
极大似然估计原理：
设总体 X 为连续型, 其概率密度为 f ( x; )
( 是待估参数), ( X1 , X2 , …, Xn )为一样本, 相应
的样本值为( x1 , x2 , …, xn ) :
a
X
3(
1 n
n i 1
X
2 i
X
2
)
X
3S0
b X
1 3(
n
n i 1
X
2 i
X
2)
X
3S0
例: 设 ( X1 , X2 ,…, Xn ) 为总体 X 的一样本, X 的概率密度
f
(
x
)
6
x(
x
)
0,
3, 0
其 它.
x ,
求 的矩估计量.
解:
E(X)
x
f
( x)d x
0
x 6 x( 3
根据“概率最大的事件最可能发生”，我们可取
使
概
)d
xi
达到最大的参数
作为
的估计；
i 1
n
n
即求 使 f ( xi;
i 1
)dxi
max
i 1
f
( xi; )dxi
,
n
n
i1
f
( xi ;
)
max
i1
f ( xi; )
;
n
记 L( ) f ( xi; ), 叫做样本的似然函数,
x) dx
2
,
解得 2E ( X ) ,
总体矩用相应的样本矩代替, 得矩估计量:
2
1
n
Xi
2X
.
n i1
二、 极大似然估计法 是在总体类型已知的条件下使用的一种参数
估计方法 . 其基本思想是概率最大的事件最可能发生 .
例如: 某位同学与一位猎人一起外出打猎 .一只野兔 从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 是谁打中的呢？
参数估计又分点估计与区间估计.
§1 参数的点估计
设总体 X 的分布中含未知参数 ,
( X1 , X2 , …, Xn ) 是一样本, 要构造一统计量
( X1 ,,
X n ) 作为
的估计 (
叫做
的点估计量);
对应样本值( x1 ,
x2 , …, xn ),
( x1 ,, xn ) 可作为
的估计值，叫做 的点估计值.
若总体 X 为连续型, 概率密度为 f ( x; ),
n
引入似然函数 L( ) f ( xi; ),
i 1
求 使 L( ) 最大.
若总体 X 为离散型, 则
L( )中的 f ( xi ; ) 以 P{ X i xi } 代.
例: 设 ( x1 , x2 ,…, xn ) 为取自正态总体 N (, 2 )
第七章 参数估计
进行统计推断的一般步骤为: 总体 随机抽样 样本
统计量
作出推断
统计推断的
基本问题
参数的点估计 参数估计问题
参数的区间估计
参数假设检验 假设检验问题
非参数假设检验
参数估计问题: 就是要利用样本, 对总体 分布中包含的未知参数或未知参数的某些函数 作出估计.
如: 估计产品的废品率; 估计湖中鱼的数量; 估计降雨量等等.
( X1 , X2 , …, Xn ) 落在( x1 , x2 ,…, xn )旁边的概率
n
近似为 f ( xi ; ) d xi , 其取值随 而变;
i 1
既然在一次抽样中就得到了样本值(x1 , x2 , …, xn) , 因而我们有理由认为: 样本 ( X1 , X2 , …, Xn ) 在 ( x1 , x2 , …, xn ) 旁边取值的概率比较大;
解得 E ( X ) , 2 E( X 2 ) [E( X )]2 ,
总体矩用相应的样本矩代替, 得矩估计量:
E(X
)
1
n
Xi
X
,
n i1
2
E(X
2 ) [E( X
)]2
1
n
X
2 i
X
2
S
2 0
.
n i1
例: 设总体 X ~ U (a, b) , ( X1 , X2 ,…, Xn ) 为一样本,
lnL
n 2
ln(
2)
n 2
ln(2
)
1
2
2
n
(xi
i 1
)2
续解: lnL n ln( 2 )
2
n ln(2 )
2
1
2
2
n
( xi
i 1
)2
ln L 分别对 与 2求导并令其为 0 得
lnL
1
求 a, b 的矩估计量.
解:
E( X ) (a b) 2,
E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2
(b a)2
(a
b)2
,
12
4
解得 a E( X ) 3{E( X 2 ) [E( X )]2 } ,
b E( X ) 3{E( X 2 ) [E( X )]2 } ,
总体矩用相应的样本矩代替, 得 a 与 b 的矩估计量:
的一样本值, 求总体均值 和总体方差 2极大似然估计.
解: X 的概率密度 f ( x; , 2 )
1
exp[
(x )2
],
2
2 2
n
似然函数 L( , 2 ) f ( xi ; , 2 )
(
i 1
2 )n / 2 (2 )n / 2
exp[
1
2
2
n
( xi
i 1
)2 ]
两边取对数得
构造点估计 的常用方法
矩估计法(moment method of estimation)
极大似然估计法(method of
maximum likelihood)
一、 矩估计法
矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩 . 理论依据是大数定律.
矩估计法:
用样本的
l
阶原点矩
1 n
n i 1
Xil
作为总体的 l 阶原点矩 E( X l ) 的估计,
i 1
则求
使
L( )
max
L(
),
如此求出的 作为 的估计, 叫 的极大似然估计.
求
时,
通常对 lnL( )求导, 令其为 0,
来获取结果.
若总体 X 为离散型, 则
L( )中的 f ( xi ; ) 以 P{ X i xi } 代.
综述之,
的极大似然估计
的求法如下:
设 ( X1 , X2 , …, Xn ) 为总体 X 的一样本, ( x1 , x2 , …, xn )为样本值:
去求出未知参数的估计量. (若未知参数有 k 个, 则一般取 l = 1, …, k )
由矩估计法求得的估计量叫矩估计量, 相应的 估计值叫矩估计值.
例: 设 ( X1 , X2 ,…, Xn ) 为总体 X 的一样本, 求总体均值 和总体方差 2的矩估计量.
解: E ( X ) , E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2 ,
你很自然地想到: 只发一枪便打中, 猎人命中的 概率一般大于这位同学命中的概率. 这一枪应该 是猎人射中的 .
极大似然估计原理：
设总体 X 为连续型, 其概率密度为 f ( x; )
( 是待估参数), ( X1 , X2 , …, Xn )为一样本, 相应
的样本值为( x1 , x2 , …, xn ) :
a
X
3(
1 n
n i 1
X
2 i
X
2
)
X
3S0
b X
1 3(
n
n i 1
X
2 i
X
2)
X
3S0
例: 设 ( X1 , X2 ,…, Xn ) 为总体 X 的一样本, X 的概率密度
f
(
x
)
6
x(
x
)
0,
3, 0
其 它.
x ,
求 的矩估计量.
解:
E(X)
x
f
( x)d x
0
x 6 x( 3
根据“概率最大的事件最可能发生”，我们可取
使
概
)d
xi
达到最大的参数
作为
的估计；
i 1
n
n
即求 使 f ( xi;
i 1
)dxi
max
i 1
f
( xi; )dxi
,
n
n
i1
f
( xi ;
)
max
i1
f ( xi; )
;
n
记 L( ) f ( xi; ), 叫做样本的似然函数,
x) dx
2
,
解得 2E ( X ) ,
总体矩用相应的样本矩代替, 得矩估计量:
2
1
n
Xi
2X
.
n i1
二、 极大似然估计法 是在总体类型已知的条件下使用的一种参数
估计方法 . 其基本思想是概率最大的事件最可能发生 .
例如: 某位同学与一位猎人一起外出打猎 .一只野兔 从前方窜过 . 只听一声枪响，野兔应声倒下 . 是谁打中的呢？
参数估计又分点估计与区间估计.
§1 参数的点估计
设总体 X 的分布中含未知参数 ,
( X1 , X2 , …, Xn ) 是一样本, 要构造一统计量
( X1 ,,
X n ) 作为
的估计 (
叫做
的点估计量);
对应样本值( x1 ,
x2 , …, xn ),
( x1 ,, xn ) 可作为
的估计值，叫做 的点估计值.
若总体 X 为连续型, 概率密度为 f ( x; ),
n
引入似然函数 L( ) f ( xi; ),
i 1
求 使 L( ) 最大.
若总体 X 为离散型, 则
L( )中的 f ( xi ; ) 以 P{ X i xi } 代.
例: 设 ( x1 , x2 ,…, xn ) 为取自正态总体 N (, 2 )
第七章 参数估计
进行统计推断的一般步骤为: 总体 随机抽样 样本
统计量
作出推断
统计推断的
基本问题
参数的点估计 参数估计问题
参数的区间估计
参数假设检验 假设检验问题
非参数假设检验
参数估计问题: 就是要利用样本, 对总体 分布中包含的未知参数或未知参数的某些函数 作出估计.
如: 估计产品的废品率; 估计湖中鱼的数量; 估计降雨量等等.