高考数学总复习 课时规范练32 基本不等式及其应用 文 新人教A版

考点规范练32二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础巩固1.若点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为()A.2B.1C.3D.02.(2017全国Ⅲ,文5)设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是()A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3]3.(2017山东,文3)已知x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值是()A.-3B.-1C.1D.34.给出平面区域如图所示,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是()A. B.C.2D.5.(2017福建泉州一模)已知实数x,y满足则z=ax+y(a>0)的最小值为()A.0B.aC.2a+1D.-16.已知实数x,y满足约束条件则x2+y2+2x的最小值是()A. B.-1 C. D.17.已知实数x,y满足条件若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值为.8.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是万元.9.已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是.能力提升10.已知x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A.或-1B.2或C.2或1D.2或-111.若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为()A.-3B.1C.D.312.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的质量(单位:吨)如下表所示:原A B C料现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数量.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.高考预测13.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.答案：1.B解析:由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)<0,即(b-2)<0,解得<b<2,则b应取的整数为1.2.B解析:画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A(0,3)处取得最小值z=0-3=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.故选B.3.D解析:可行域为如图所示阴影部分(包括边界).把z=x+2y变形为y=-x+z,作直线l0:y=-x并向上平移,当直线过点A时,z取最大值,易求点A的坐标为(-1,2),所以z max=-1+2×2=3.4.B解析:直线y=-ax+z(a>0)的斜率为-a<0,当直线y=-ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个.∵k AC=-,∴-a=-,即a=.5.D解析:由约束条件作出可行域如图.化目标函数z=ax+y(a>0)为y=-ax+z,由图可知,当直线y=-ax+z过点A(0,-1)时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为-1.6.D解析:约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示.x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1表示点(-1,0)到可行域内任一点距离的平方再减1,由图可知当x=0,y=1时,x2+y2+2x取得最小值1.7.10解析:画出x,y满足的可行域如下图,可得直线x=2与直线-2x+y+c=0的交点A,使目标函数z=3x+y取得最小值5,故由解得x=2,y=4-c,代入3x+y=5得6+4-c=5,即c=5.由得B(3,1).当过点B(3,1)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为10.8.27解析:设生产甲产品x吨、乙产品y吨,则获得的利润为z=5x+3y.由题意得此不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.由图可知当y=-x+经过点A时,z取得最大值,此时x=3,y=4,z max=5×3+3×4=27(万元). 9.解析:画出约束条件对应的可行域(如图中阴影部分所示),x2+y2表示原点到可行域中的点的距离的平方,由图知原点到直线2x+y-2=0的距离的平方为x2+y2的最小值,为,原点到点(2,3)的距离的平方为x2+y2的最大值,为22+32=13.因此x2+y2的取值范围是.10.D解析:(方法一)由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),则z A=2,z B=-2a,z C=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要z A=z B>z C或z A=z C>z B或z B=z C>z A,解得a=-1或a=2.(方法二)目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.11.B解析:如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形ABC.由解得则A(2,0).由解得则B(1-m,1+m).同理C,M(-2m,0).S△ABC=S△ABM-S△ACM=·(2+2m)·,由已知得,解得m=1(m=-3<-1舍去).12.解:(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1图2(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线,为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y 经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.13.解析:由约束条件画出可行域如图阴影部分所示.由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即d min=.。

课时规范练33　基本不等式及其应用一、基础巩固组1.设0<a<b ,则下列不等式正确的是( )A.a<b<B.a<<b ab <a +b 2ab <a +b2C.a<<b< D.<a<<bab a +b 2ab a +b22.(2017山东枣庄一模)若正数x ,y 满足=1,则3x+4y 的最小值是( )1y +3x A.24B.28C.25D.263.已知a>0,b>0,a ,b 的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n 的最小值是( )1a 1b A.3B.4C.5D.64.函数y=(x>-1)的图象的最低点的坐标是( )x 2+2x +2x +1A.(1,2) B.(1,-2) C.(1,1) D.(0,2)5.(2017山东日照一模)已知圆x 2+y 2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为( )1a +4b A.8 B.9 C.16 D.186.要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )A.80元 B.120元 C.160元 D.240元7.若两个正实数x ,y 满足=1,并且x+2y>m 2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围是( )2x +1y A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)8.设x ,y ∈R ,a>1,b>1,若a x =b y =3,a+b=2,则的最大值为( )31x +1y A.2 B. C.1 D.32129.若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b 的最小值为 . x a +y b 10.若直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线y=1+sin πx (0<x<2)的对称中心,则的最小值为 1a +2b .11.(2017山西临汾二模)近来鸡蛋价格起伏较大,假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a 元/千克、b 元/千克,家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同:家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋,家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋,试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠) .(在横线上填甲或乙即可)〚导学号21500548〛12.设a ,b 均为正实数,求证:+ab ≥2.1a2+1b 22二、综合提升组13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x +对任意实数x ,y 都成立,则实数a 的最小值为( )a2xA.1B.2C.3D.414.(2017天津河东区一模,理13)已知x>0,y>0,lg 2x +lg 8y =lg 2,则的最小值是 x +yxy .15.如果a ,b 满足ab=a+b+3,那么ab 的取值范围是 .16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本为C (x )(单元:万元),当年产量不足80千件时,C (x )=x 2+10x (单位:万元).当年产量不少于80千件时,C (x )=51x+-1310 000x 1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L (x )(单位:万元)关于年产量x (单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?〚导学号21500549〛三、创新应用组17.若正实数x ,y 满足x+y+=5,则x+y 的最大值是( )1x +1y A.2 B.3C.4 D.518.(2017山东德州一模,理8)圆:x 2+y 2+2ax+a 2-9=0和圆:x 2+y 2-4by-1+4b 2=0有三条公切线,若a ∈R ,b ∈R ,且ab ≠0,则的最小值为( )4a2+1b 2A.1 B.3C.4D.5〚导学号21500550〛课时规范练33　基本不等式及其应用1.B ∵0<a<b ,∴a<<b ,故A,C 错误;-a=)>0,即>a ,D 错误,故选B .a +b2ab a (b ‒a ab 2.C ∵正数x ,y 满足=1,1y +3x ∴3x+4y=(3x+4y )=13+13+3×2=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.(1y +3x )3x y +12y x ≥x y ·4y x ∴3x+4y 的最小值是25.故选C .3.B 由题意知ab=1,则m=b+=2b ,n=a+=2a ,1a 1b ∴m+n=2(a+b )≥4=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.ab 4.D ∵x>-1,∴x+1>0.∴y==(x+1)+2,当且仅当x+1=,即x=0时等号成立,即(x +1)2+1x +11x +1≥1x +1当x=0时,该函数取得最小值2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2).5.B 由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以(a+b )=5+5+4=9,当且仅当,即2a=b=时等号成立,故选B .1a +4b=(1a +4b )b a +4a b ≥b a =4a b 236.C 设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4(m 2).容器的总造价为20ab+2(a+b )×10=80+20(a+b )≥80+40=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.ab 7.D x+2y=(x+2y )=2++2≥8,(2x +1y )4y x +x y 当且仅当,即x=2y=4时等号成立.4y x =x y 由x+2y>m 2+2m 恒成立,可知m 2+2m<8,即m 2+2m-8<0,解得-4<m<2.8.C 由a x =b y =3,1x +1y =1log a 3+1log b 3=lga +lgb lg3=lg (ab )lg3.因为a>1,b>1,所以ab =3,≤(a +b 2)2所以lg(ab )≤lg 3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立.1x +1y ≤lg3lg339.8　∵直线=1过点(1,2),x a +y b =1.∴1a +2b ∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b )=4+4+2=8.(1a +2b )(b a +4ab )≥b a ·4a b 当且仅当b=2a 时等号成立.10.3+2　由正弦函数的图象与性质可知,曲线y=1+sin πx (0<x<2)的对称中心为(1,1),故a+b=1.2则(a+b )=3+3+2=3+2,1a +2b=(1a +2b )b a +2a b ≥b a ·2a b 2当且仅当,即a=-1,b=2-时等号成立,b a =2a b 22此时的最小值为3+21a +2b 2.11.乙　甲购买产品的平均单价为,乙购买产品的平均单价为3a +3b 6=a +b22010a +10b =2aba +b.0,∵a +b 2‒2ab a +b =(a -b )22(a +b )≥且两次购买的单价不同,∴a ≠b ,>0,∴a +b 2‒2ab a +b ∴乙的购买方式的平均单价较小.故答案为乙.12.证明 因为a ,b 均为正实数,所以2,1a2+1b 2≥1a 2·1b 2=2ab 当且仅当,即a=b 时等号成立,1a2=1b 2又因为+ab ≥2=2,2ab 2ab ·ab 2当且仅当=ab 时等号成立,2ab 所以+ab +ab ≥2,1a2+1b 2≥2ab 2当且仅当即a=b=时等号成立.{1a 2=1b 2,2ab =ab ,4213.D 令f (y )=|y+4|-|y|,则f (y )≤|y+4-y|=4,即f (y )max =4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x +对任意实数x ,y 都成立,a2x∴2x +f (y )max =4,a2x≥∴a ≥-(2x )2+4×2x =-(2x -2)2+4恒成立;令g (x )=-(2x )2+4×2x ,则a ≥g (x )max =4,∴实数a 的最小值为4.14.2+4　x>0,y>0,lg 2x +lg 8y =lg 2,可得x+3y=1.3+4≥2+4=2+4.x +y xy =(x +y )(x +3y )xy =x 2+3y 2+4xy xy =x y +3yx x y ·3y x 3当且仅当x=y ,x+3y=1,即y=,x=时等号成立.33-363-12的最小值是2+4.x +yxy 315.(-∞,1)∪(9,+∞)　∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴(a+b )2=(ab-3)2.∵(a+b )2≥4ab ,∴(ab-3)2≥4ab ,即(ab )2-10ab+9≥0,故ab ≤1或ab ≥9.16.解 (1)因为每件商品售价为0.05万元,则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元,依题意得,当0<x<80时,L (x )=(0.05×1 000x )-x 2-10x-250=-x 2+40x-250;1313当x ≥80时,L (x )=(0.05×1 000x )-51x-+1 450-250=1 200-,10 000x (x +10 000x )则L (x )={-13x 2+40x -250,0<x <80,1 200-(x +10 000x),x ≥80.(2)当0<x<80时,L (x )=-(x-60)2+950,13此时,当x=60时,L (x )取得最大值L (60)=950.当x ≥80时,L (x )=1 200-(x +10 000x )≤1 200-2=1 200-200=1 000,x ·10 000x 当且仅当x=时,即x=100时,L (x )取得最大值1 000.10 000x 因为950<1 000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1 000万元.17.C ∵x>0,y>0,xy ,≤(x +y )24,即,∴1xy ≥4(x +y )2,x +y xy ≥4x +y 1x +1y ≥4x +y ∴x+y+x+y+即x+y+5.1x +1y ≥4x +y .4x +y ≤设x+y=t ,则t>0,∴t+5,得到t 2-5t+4≤0,解得1≤t ≤4,4t ≤∴x+y 的最大值是4.18.A 由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+a )2+y 2=9,x 2+(y-2b )2=1,圆心分别为(-a ,0),(0,2b ),半径分别为3和1,故有a 2+4b 2=16,(a 2+4b 2)=(8+8)=1,∴4a 2+1b 2=116(4a 2+1b 2)·116(8+16b 2a 2+a 2b 2)≥116当且仅当,即a 2=8,b 2=2时,等号成立,故选A .16b 2a2=a 2b 2。

课时规范练33 基本不等式及其应用一、基础巩固组1.设0<a<b,则下列不等式正确的是()A.a<b<B.a<<bC.a<<b<D.<a<<b2.(2017山东枣庄一模)若正数x,y满足=1,则3x+4y的最小值是()A.24B.28C.25D.263.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.64.函数y=(x>-1)的图象的最低点的坐标是()A.(1,2)B.(1,-2)C.(1,1)D.(0,2)5.(2017山东日照一模)已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为()A.8B.9C.16D.186.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元7.若两个正实数x,y满足=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)8.设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2,则的最大值为()A.2B.C.1D.9.若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.10.若直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线y=1+sin πx(0<x<2)的对称中心,则的最小值为.11.(2017山西临汾二模)近来鸡蛋价格起伏较大,假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/千克、b元/千克,家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同:家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋,家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋,试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠).(在横线上填甲或乙即可) 〚导学号21500548〛12.设a,b均为正实数,求证:+ab≥2.二、综合提升组13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为()A.1B.2C.3D.414.(2017天津河东区一模,理13)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则的最小值是.15.如果a,b满足ab=a+b+3,那么ab的取值范围是.16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?〚导学号21500549〛三、创新应用组17.若正实数x,y满足x+y+=5,则x+y的最大值是()A.2B.3C.4D.518.(2017山东德州一模,理8)圆:x2+y2+2ax+a2-9=0和圆:x2+y2-4by-1+4b2=0有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则的最小值为()A.1B.3C.4D.5 〚导学号21500550〛课时规范练33基本不等式及其应用1.B∵0<a<b,∴a<<b,故A,C错误;-a=)>0,即>a,D错误,故选B.2.C∵正数x,y满足=1,∴3x+4y=(3x+4y)=13+13+3×2=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.∴3x+4y的最小值是25.故选C.3.B由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2(a+b)≥4=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.4.D∵x>-1,∴x+1>0.∴y==(x+1)+2,当且仅当x+1=,即x=0时等号成立,即当x=0时,该函数取得最小值2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2).5.B由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以(a+b)=5+5+4=9,当且仅当,即2a=b=时等号成立,故选B.6.C设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4(m2).容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.7.D x+2y=(x+2y)=2++2≥8,当且仅当,即x=2y=4时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.8.C由a x=b y=3,因为a>1,b>1,所以ab=3,所以lg(ab)≤lg 3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立.9.8∵直线=1过点(1,2),=1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)=4+4+2=8.当且仅当b=2a时等号成立.10.3+2由正弦函数的图象与性质可知,曲线y=1+sin πx(0<x<2)的对称中心为(1,1),故a+b=1.则(a+b)=3+3+2=3+2,当且仅当,即a=-1,b=2-时等号成立,此时的最小值为3+211.乙甲购买产品的平均单价为,乙购买产品的平均单价为0,且两次购买的单价不同,∴a≠b,>0,∴乙的购买方式的平均单价较小.故答案为乙.12.证明因为a,b均为正实数,所以2,当且仅当,即a=b时等号成立,又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时等号成立,所以+ab+ab≥2,当且仅当即a=b=时等号成立.13.D令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,∴2x+f(y)max=4,∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.14.2+4x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,可得x+3y=1.+4≥2+4=2+4.当且仅当x=y,x+3y=1,即y=,x=时等号成立.的最小值是2+4.15.(-∞,1)∪(9,+∞)∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴(a+b)2=(ab-3)2.∵(a+b)2≥4ab,∴(ab-3)2≥4ab,即(ab)2-10ab+9≥0,故ab≤1或ab≥9.16.解 (1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,依题意得,当0<x<80时,L(x)=(0.05×1 000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250;当x≥80时,L(x)=(0.05×1 000x)-51x-+1 450-250=1 200-, 则L(x)=(2)当0<x<80时,L(x)=-(x-60)2+950,此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.当x≥80时,L(x)=1 200-≤1 200-2=1 200-200=1 000,当且仅当x=时,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.因为950<1 000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1 000万元.17.C∵x>0,y>0,xy,,即,∴x+y+x+y+即x+y+5.设x+y=t,则t>0,∴t+5,得到t2-5t+4≤0,解得1≤t≤4,∴x+y的最大值是4.18.A由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+a)2+y2=9,x2+(y-2b)2=1,圆心分别为(-a,0),(0,2b),半径分别为3和1,故有a2+4b2=16,(a2+4b2)=(8+8)=1, 当且仅当,即a2=8,b2=2时,等号成立,故选A.。

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

课时规范练33 基本不等式及其应用一、基础巩固组1.设0<a<b,则下列不等式正确的是()A.a<b<B.a<<bC.a<<b<D.<a<<b2.(2017山东枣庄一模)若正数x,y满足=1,则3x+4y的最小值是()A.24B.28C.25D.263.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.64.函数y=(x>-1)的图象的最低点的坐标是()A.(1,2)B.(1,-2)C.(1,1)D.(0,2)5.(2017山东日照一模)已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则的最小值为()A.8B.9C.16D.186.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元7.若两个正实数x,y满足=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)8.设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2,则的最大值为()A.2B.C.1D.9.若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.10.若直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线y=1+sin πx(0<x<2)的对称中心,则的最小值为.11.(2017山西临汾二模)近来鸡蛋价格起伏较大,假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/千克、b元/千克,家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同:家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋,家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋,试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠).(在横线上填甲或乙即可) 〚导学号21500548〛12.设a,b均为正实数,求证:+ab≥2.二、综合提升组13.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为()A.1B.2C.3D.414.(2017天津河东区一模,理13)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则的最小值是.15.如果a,b满足ab=a+b+3,那么ab的取值范围是.16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?〚导学号21500549〛三、创新应用组17.若正实数x,y满足x+y+=5,则x+y的最大值是()A.2B.3C.4D.518.(2017山东德州一模,理8)圆:x2+y2+2ax+a2-9=0和圆:x2+y2-4by-1+4b2=0有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则的最小值为()A.1B.3C.4D.5 〚导学号21500550〛课时规范练33基本不等式及其应用1.B∵0<a<b,∴a<<b,故A,C错误;-a=)>0,即>a,D错误,故选B.2.C∵正数x,y满足=1,∴3x+4y=(3x+4y)=13+13+3×2=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.∴3x+4y的最小值是25.故选C.3.B由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,∴m+n=2(a+b)≥4=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.4.D∵x>-1,∴x+1>0.∴y==(x+1)+2,当且仅当x+1=,即x=0时等号成立,即当x=0时,该函数取得最小值2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2).5.B由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以(a+b)=5+5+4=9,当且仅当,即2a=b=时等号成立,故选B.6.C设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4(m2).容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.7.D x+2y=(x+2y)=2++2≥8,当且仅当,即x=2y=4时等号成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.8.C由a x=b y=3,因为a>1,b>1,所以ab=3,所以lg(ab)≤lg 3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立.9.8∵直线=1过点(1,2),=1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)=4+4+2=8.当且仅当b=2a时等号成立.10.3+2由正弦函数的图象与性质可知,曲线y=1+sin πx(0<x<2)的对称中心为(1,1),故a+b=1.则(a+b)=3+3+2=3+2,当且仅当,即a=-1,b=2-时等号成立,此时的最小值为3+211.乙甲购买产品的平均单价为,乙购买产品的平均单价为0,且两次购买的单价不同,∴a≠b,>0,∴乙的购买方式的平均单价较小.故答案为乙.12.证明因为a,b均为正实数,所以2,当且仅当,即a=b时等号成立,又因为+ab≥2=2,当且仅当=ab时等号成立,所以+ab+ab≥2,当且仅当即a=b=时等号成立.13.D令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,∴2x+f(y)max=4,∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+4×2x,则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.14.2+4x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,可得x+3y=1.+4≥2+4=2+4.当且仅当x=y,x+3y=1,即y=,x=时等号成立.的最小值是2+4.15.(-∞,1)∪(9,+∞)∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴(a+b)2=(ab-3)2.∵(a+b)2≥4ab,∴(ab-3)2≥4ab,即(ab)2-10ab+9≥0,故ab≤1或ab≥9.16.解 (1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,依题意得,当0<x<80时,L(x)=(0.05×1 000x)-x2-10x-250=-x2+40x-250;当x≥80时,L(x)=(0.05×1 000x)-51x-+1 450-250=1 200-,则L(x)=(2)当0<x<80时,L(x)=-(x-60)2+950,此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950.当x≥80时,L(x)=1 200-≤1 200-2=1 200-200=1 000,当且仅当x=时,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.因为950<1 000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1 000万元.17.C∵x>0,y>0,xy,,即,∴x+y+x+y+即x+y+5.设x+y=t,则t>0,∴t+5,得到t2-5t+4≤0,解得1≤t≤4,∴x+y的最大值是4.18.A由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+a)2+y2=9,x2+(y-2b)2=1,圆心分别为(-a,0),(0,2b),半径分别为3和1,故有a2+4b2=16,(a2+4b2)=(8+8)=1,当且仅当,即a2=8,b2=2时,等号成立,故选A.。

课时标准练32 根本不等式及其应用根底稳固组1.设0<a<b,那么以下不等式正确的选项是()A.a<b<√aa<a+a2B.a<√aa<a+a2<bC.a<√aa<b<a+a2D.√aa<a<a+a2<b2.(2021山东枣庄一模,文5)假设正数x,y满足1a +3a=1,那么3x+4y的最小值是()A.24B.28C.25D.263.a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a ,n=a+1a,那么m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.64.函数y=a2+2a+2a+1(x>-1)的图象的最低点的坐标是()A.(1,2)B.(1,-2)C.(1,1)D.(0,2)5.(2021山东日照一模,文6)圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,那么1a +4a的最小值为()A.8B.9C.16D.186.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,那么该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元7.假设两个正实数x,y满足2a +1a=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,那么实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4)D.(-4,2)8.设x,y∈R,a>1,b>1,假设a x=b y=3,a+b=2√3,那么1a +1a的最大值为()A.2B.32C.1 D.12〚导学号24190921〛9.(2021山东,文12)假设直线aa +aa=1(a>0,b>0)过点(1,2),那么2a+b的最小值为.10.(2021江苏徐州模拟)正数a,b满足2a2+b2=3,那么a√a2+1的最大值为.11.(2021山西临汾二模,文14)近来鸡蛋价格起伏较大,假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/千克、b元/千克,家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同:家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋,家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋,试比拟谁的购置方式更优惠(两次平均价格低视为实惠).(在横线上填甲或乙即可)12.设a,b均为正实数,求证:1a2+1a2+ab≥2√2.〚导学号24190922〛综合提升组13.不等式|y+4|-|y|≤2x+a2a 对任意实数x ,y 都成立,那么实数a 的最小值为( )A.1B.2C.3D.414.x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,那么a +aaa 的最小值是 . 15.如果a ,b 满足ab=a+b+3,那么ab 的取值范围是 .16.某工厂某种产品的年固定本钱为250万元,每生产x 千件,需另投入本钱为C (x )(单元:万元),当年产量缺乏80千件时,C (x )=13x 2+10x (单位:万元).当年产量不少于80千件时,C (x )=51x+10 000a-1450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润L (x )(单位:万元)关于年产量x (单位:千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?〚导学号24190923〛创新应用组17.假设正实数x ,y 满足x+y+1a+1a =5,那么x+y 的最大值是( )A.2B.3C.4D.518.(2021山东德州一模,文9)圆:x 2+y 2+2ax+a 2-9=0和圆:x 2+y 2-4by-1+4b 2=0有三条公切线,假设a ∈R ,b ∈R ,且ab ≠0,那么4a 2+1a 2的最小值为( )A.1B.3C.4D.5〚导学号24190924〛答案：1.B ∵0<a<b ,∴a<a +a 2<b ,故A,C 错误;√aa -a=√a (√a −√a )>0,即√aa >a ,D 错误,应选B .2.C ∵正数x ,y 满足1a +3a =1,∴3x+4y=(3x+4y )(1a +3a )=13+3a a +12aa≥13+3×2√a a·4aa=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.∴3x+4y 的最小值是25.应选C .3.B 由题意知ab=1,那么m=b+1a =2b ,n=a+1a =2a ,∴m+n=2(a+b )≥4√aa =4,当且仅当a=b=1时,等号成立.4.D ∵x>-1,∴x+1>0.∴y=(a +1)2+1a +1=(x+1)+1a +1≥2,当且仅当x+1=1a +1,即x=0时等号成立,即当x=0时,该函数取得最小值2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2).5.B 由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以1a +4a =(1a +4a )(a+b )=5+a a +4aa≥5+4=9,当且仅当a a =4aa,即2a=b=23时等号成立,应选B . 6.C 设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,那么ab=4 m 2.容器的总造价为20ab+2(a+b )×10=80+20(a+b )≥80+40√aa =160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).应选C. 7.D x+2y=(x+2y )(2a +1a )=2+4a a +aa +2≥8,当且仅当4a a =aa ,即x=2y=4时等号成立. 由x+2y>m 2+2m 恒成立, 可知m 2+2m<8,即m 2+2m-8<0, 解得-4<m<2.8.C 由a x=b y =3,1a +1a =1loga3+1loga3=lg a +lg alg3=lg(aa )lg3.因为a>1,b>1,所以ab ≤(a +a 2)2=3, 所以lg(ab )≤lg 3,从而1a+1a≤lg3lg3=1,当且仅当a=b=√3时等号成立.9.8 ∵直线aa +aa =1过点(1,2),∴1a +2a =1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b )·(1a +2a )=4+(a a +4aa)≥4+2√a a ·4aa=8.当且仅当b=2a 时等号成立.10.√2 a √a 2+1=√22×√2a √a 2+1≤√22×12(2a 2+b 2+1)=√24×(3+1)=√2,当且仅当√2a=√a 2+1,且2a 2+b 2=3,即a 2=1,b 2=1时,等号成立.故a √a 2+1的最大值为√2. 11.乙 甲购置产品的平均单价为3a +3a6=a +a 2,乙购置产品的平均单价为2010a +10a=2aaa +a .∵a +a 2−2aaa +a=(a -a )22(a +a )≥0,且两次购置的单价不同,∴a ≠b , ∴a +a 2−2aaa +a>0,∴乙的购置方式的平均单价较小.故答案为乙.12.证明 因为a ,b 均为正实数,所以1a 2+1a 2≥2√1a 2·1a 2=2aa,当且仅当1a 2=1a 2,即a=b 时等号成立, 又因为2aa +ab ≥2√2aa ·aa =2√2, 当且仅当2aa =ab 时等号成立, 所以1a 2+1a 2+ab ≥2aa +ab ≥2√2,当且仅当{1a 2=1a 2,2aa=aa ,即a=b=√24时等号成立.13.D 令f (y )=|y+4|-|y|,那么f (y )≤|y+4-y|=4,即f (y )max =4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x +a2a 对任意实数x ,y 都成立, ∴2x +a2a ≥f (y )max =4,∴a ≥-(2x )2+4×2x =-(2x -2)2+4恒成立;令g (x )=-(2x )2+4×2x,那么a ≥g (x )max =4,∴实数a 的最小值为4. 14.2√3+4 x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,可得x+3y=1.a +a aa=(a +a )(a +3a )aa=a 2+3a 2+4aaaa=a a +3a a +4≥2√a a ·3aa+4=2√3+4. 当且仅当x=√3y ,x+3y=1,即y=3-√36,x=√3-12时等号成立. a +aaa的最小值是2√3+4.15.(-∞,1)∪(9,+∞) ∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴(a+b )2=(ab-3)2.∵(a+b )2≥4ab , ∴(ab-3)2≥4ab ,即(ab )2-10ab+9≥0,故ab ≤1或ab ≥9.16.解 (1)因为每件商品售价为0.05万元,那么x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元,依题意得,当0<x<80时,L (x )=(0.05×1 000x )-13x 2-10x-250=-13x 2+40x-250;当x ≥80时,L (x )=(0.05×1 000x )-51x-10 000a+1 450-250=1 200-(a +10 000a),那么L (x )={-13a 2+40a -250,0<a <80,1 200-(a +10 000a),a ≥80.(2)当0<x<80时,L (x )=-13(x-60)2+950, 此时,当x=60时,L (x )取得最大值L (60)=950. 当x ≥80时,L (x )=1 200-(a +10 000a)≤1 200-2√a ·10 000a=1 200-200=1 000,当且仅当x=10 000a时,即x=100时,L (x )取得最大值1 000.因为950<1 000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1 000万元. 17.C ∵x>0,y>0,xy ≤(a +a )24,∴1aa ≥4(a +a )2,a +aaa≥4a +a ,即1a +1a ≥4a +a ,∴x+y+1a +1a ≥x+y+4a +a .即x+y+4a +a ≤5.设x+y=t ,那么t>0,∴t+4a ≤5,得到t 2-5t+4≤0,解得1≤t ≤4,∴x+y 的最大值是4.18.A 由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+a )2+y 2=9,x 2+(y-2b )2=1,圆心分别为(-a ,0),(0,2b ),半径分别为3和1,故有a 2+4b 2=16,∴4a 2+1a 2=116(4a 2+1a 2)·(a 2+4b 2)=116(8+16a 2a 2+a 2a 2)≥116(8+8)=1,当且仅当16a 2a 2=a 2a 2,即a 2=8,b 2=2时,等号成立,应选A .。

课时规范练33 基本不等式及其应用基础巩固组1。

(2020山东潍坊临朐模拟一,3)设p:a,b是正实数，q:a+b>2√ab，则()A。

p是q的充分条件但不是必要条件B。

p是q的必要条件但不是充分条件C.p是q的充要条件D。

p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件2.(2020辽宁实验中学五模,文9）已知正实数x，y满足x2—xy+y2=1，则x+y的最大值为()A。

1 B.2 C.3 D。

43.已知a<0,b<0,a+b=-2,则y=1a +1b的最大值为（)A。

—1 B.-32C。

—4 D。

—24。

（2020重庆高三模拟,文4）已知a，b〉0,a+2b=2，则ba +1b的取值范围是()A。

（0,+∞） B.[2,+∞)C。

［√2+1,+∞) D.［2√2，+∞）5。

设正实数x，y满足x〉y,x+2y=3,则1x-y +9x+5y的最小值为(）A.83B.3 C.32D.2√336。

（2020吉林联考，理5）若log2x+log4y=1,则x2+y的最小值为（)A.2 B。

2√3C。

4 D.2√27.(2020贵州六盘水模拟,理4)已知x〉0,y>0,且4x+y=xy，则x+y的最小值为（）A.8B.9C.12D.168。

（2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1（x，y∈R),则x2+y2的最小值是。

9。

经过长期观测，某一公路段在交通繁忙的时段内,汽车的车流量(单位:千辆/时）与vv2-5v+900成正比,其中v（单位:千米/时）是汽车的平均速度.则该公路段在交通繁忙的时段内，汽车的平均速度v为时,车流量最大。

10。

（2020安徽合肥第二中学月考)已知a〉0，b>0.（1)若1a +4b=4,求ab的最小值;(2)若a+b=1，求1a +4b的最小值。

综合提升组11。

（2020新高考全国1,11改编）已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列结论不成立的是(）A.a2+b2≥12B。

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题课时规范练2 不等关系及简单不等式的解法一、基础巩固组1.(2017安徽合肥模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是()A.若a>b,则|a|>|b|B.若a>b,则C.若|a|>b,则a2>b2D.若a>|b|,则a2>b22.(2017山东潍坊模拟,理4)函数f(x)=的定义域是()A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是()A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}D.{a|0≤a≤4}4.(2017贵州贵阳测试)下列命题正确的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac>bc,则a>bC.若,则a<bD.若a>b,c>d,则a-c>b-d5.(2017重庆一中调研,理4)若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是()A.a>b2B.C.D.a2>2b6.不等式<0的解集为()A.{x|1<x<2}B.{x|x<2,且x≠1}C.{x|-1<x<2,且x≠1}D.{x|x<-1或1<x<2}7.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x都成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪[2,+∞)D.(-∞,2]8.(2017陕西西安模拟)已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是.9.已知关于x的不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是.10.已知a∈R,关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0的解集有下列四种说法:①原不等式的解集不可能为⌀;②若a=0,则原不等式的解集为(2,+∞);③若a<-,则原不等式的解集为;④若a>0,则原不等式的解集为∪(2,+∞).其中正确的个数为.〚导学号21500701〛11.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是.二、综合提升组12.(2017吉林长春模拟)若<0,则在下列不等式:①;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④13.若关于x的不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为()14.(2017河南郑州月考)已知实数x,y满足0<xy<4,且0<2x+2y<4+xy,则x,y的取值范围是()A.x>2,且y>2B.x<2,且y<2C.0<x<2,且0<y<2D.x>2,且0<y<215.(2017江西九江模拟)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是.三、创新应用组16.(2017辽宁大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)<0的解集是()A.B.C.D.〚导学号21500702〛17.(2017湖北襄阳高三1月调研,理14)已知f(x)=若对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则t的取值范围是.课时规范练2不等关系及简单不等式的解法1.D当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a>|b|≥0,则a2>b2,故选D.2.D由题意知解得故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).3.D由题意知当a=0时,满足条件.当a≠0时,由集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,可知得0<a≤4.综上,可知0≤a≤4.4.C取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c<0时,ac>bc⇒a<b,∴B错误;,∴c≠0,又c2>0,∴a<b,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.5.A对于A,∵-1<b<1,∴0≤b2<1.∵a>1,∴a>b2,故A正确;对于B,若a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但,故B错误;对于C,若a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但,故C错误;对于D,若a=,b=,此时满足a>1>b>-1,但a2<2b,故D错误.6.D因为不等式<0等价于(x+1)·(x-1)(x-2)<0,所以该不等式的解集是{x|x<-1或1<x<2}.故选D.7.A原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0,当m=2时,对任意x不等式都成立;当m-2<0时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0,∴-2<m<2.综上,得m∈(-2,2].8.(-∞,-1)∵ab2>a>ab,∴a≠0.当a>0时,有b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,有b2<1<b,即无解.综上可得b<-1.9∵不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0.∴b2≤4a2.∴a2+b2-2b+b2-2b=-∴a2+b2-2b的取值范围是10.3原不等式等价于(ax+1)(x-2)>0.当a=0时,不等式化为x-2>0,得x>2.当a≠0时,方程(ax+1)(x-2)=0的两根分别是2和-,若a<-,解不等式得-<x<2;若a=-,不等式的解集为⌀;若-<a<0,解不等式得2<x<-;若a>0,解不等式得x<-或x>2.故①不正确,②③④正确.11.(-∞,1)函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的图象的对称轴方程为x=-当<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k不存在;当-11,即2≤k≤6时,f(x)的值恒大于零等价于f+4-2k>0,即k2<0,故k不存在;当>1,即k<2时,f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.12.C因为<0,故可取a=-1,b=-2.因为|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,②④错误,故选C.13.B(方法一)由根与系数的关系知=-2+1,-=-2,解得a=-1,c=-2.所以f(x)=-x2-x+2.所以f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),图象开口向下,与x轴的交点为(-1,0),(2,0),故选B.(方法二)由题意可画出函数f(x)的大致图象,如图.又因为y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,所以y=f(-x)的图象如图.14.C由题意得由2x+2y-4-xy=(x-2)(2-y)<0,得又xy<4,可得故选C.15.(-∞,-2)不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max.令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)=-2,∴a<-2.16.A由f(x)>0的解集为(-1,3),易知f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),故由f(-2x)<0得-2x<-1或-2x>3,∴x>或x<-17.[,+∞)(方法一)∵对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,∴f(t+t)=f(2t)≥2f(t).当t<0时,f(2t)=-4t2≥2f(t)=-2t2,这不可能,故t≥0.∵当x∈[t,t+2]时,有x+t≥2t≥0,x≥t≥0,∴当x∈[t,t+2]时,不等式f(x+t)≥2f(x),即(x+t)2≥2x2,∴x+t x,∴t≥(-1)x对于x∈[t,t+2]恒成立.∴t≥(-1)(t+2),解得t(方法二)当x<0时,f(x)=-x2单调递增,当x≥0时,f(x)=x2单调递增,∴f(x)=在R上单调递增,且满足2f(x)=f(x),∵不等式f(x+t)≥2f(x)=f(x)在[t,t+2]恒成立,∴x+t x在[t,t+2]上恒成立,即t≥(-1)x在x∈[t,t+2]恒成立,∴t≥(-1)(t+2),解得t,故答案为[,+∞).。

课时规范练2 不等关系及简单不等式的解法基础巩固组1.(2017安徽合肥模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是()A.若a>b,则|a|>|b|B.若a>b,则C.若|a|>b,则a2>b2D.若a>|b|,则a2>b22.已知集合A={x|(1-x)(1+x)≥0},集合B={y|y=2x,x<0},则A∩B=()A.(-1,1]B.[-1,1]C.(0,1)D.[-1,+∞)3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是()A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}D.{a|0≤a≤4}4.(2017贵州贵阳测试)下列命题正确的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac>bc,则a>bC.若,则a<bD.若a>b,c>d,则a-c>b-d5.(2017重庆一中调研,文5)若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是()A.a>b2B.C.D.a2>2b6.不等式<0的解集为()A.{x|1<x<2}B.{x|x<2,且x≠1}C.{x|-1<x<2,且x≠1}D.{x|x<-1或1<x<2}7.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x都成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪[2,+∞)D.(-∞,2] 〚导学号24190850〛8.(2017陕西西安模拟)已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是.9.已知关于x的不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是.10.已知a∈R,关于x的不等式ax2+(1-2a)x-2>0的解集有下列四种说法:①原不等式的解集不可能为⌀;②若a=0,则原不等式的解集为(2,+∞);③若a<-,则原不等式的解集为;④若a>0,则原不等式的解集为∪(2,+∞).其中正确的个数为.11.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是.综合提升组12.(2017吉林长春模拟)若<0,则在下列不等式:①;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④13.若关于x的不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为()14.(2017河南郑州月考)已知实数x,y满足0<xy<4,且0<2x+2y<4+xy,则x,y的取值范围是()A.x>2,且y>2B.x<2,且y<2C.0<x<2,且0<y<2D.x>2,且0<y<2 〚导学号24190851〛15.(2017江西九江模拟)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是.创新应用组16.(2017辽宁大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)<0的解集是()A.B.C.D.〚导学号24190852〛17.(2017湖北襄阳高三1月调研,文15)已知f(x)=若对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则t的取值范围是.〚导学号24190853〛答案：1.D当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a>|b|≥0,则a2>b2,故选D.2.C由题意得A={x|-1≤x≤1}=[-1,1],B={y|0<y<1}=(0,1),所以A∩B=(0,1),故选C.3.D由题意知当a=0时,满足条件.当a≠0时,由集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,可知得0<a≤4.综上,可知0≤a≤4.4.C取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c<0时,ac>bc⇒a<b,∴B错误;∵,∴c≠0,又c2>0,∴a<b,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.5.A对于A,∵-1<b<1,∴0≤b2<1.∵a>1,∴a>b2,故A正确;对于B,若a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但,故B错误;对于C,若a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但,故C错误;对于D,若a=,b=,此时满足a>1>b>-1,但a2<2b,故D错误.6.D因为不等式<0等价于(x+1)·(x-1)(x-2)<0,所以该不等式的解集是{x|x<-1或1<x<2}.故选D.7.A原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0,当m=2时,对任意x不等式都成立;当m-2<0时,Δ=4(m-2)2+16(m-2)<0,∴-2<m<2.综上,得m∈(-2,2].8.(-∞,-1)∵ab2>a>ab,∴a≠0.当a>0时,有b2>1>b,即解得b<-1;当a<0时,有b2<1<b,即无解.综上可得b<-1.9.∵不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0.∴b2≤4a2.∴a2+b2-2b≥+b2-2b=≥-.∴a2+b2-2b的取值范围是.10.3原不等式等价于(ax+1)(x-2)>0.当a=0时,不等式化为x-2>0,得x>2.当a≠0时,方程(ax+1)(x-2)=0的两根分别是2和-,若a<-,解不等式得-<x<2;若a=-,不等式的解集为⌀;若-<a<0,解不等式得2<x<-;若a>0,解不等式得x<-或x>2.故①不正确,②③④正确.11.(-∞,1)函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的图象的对称轴方程为x=-.当<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k 不存在;当-1≤≤1,即2≤k≤6时,f(x)的值恒大于零等价于f+4-2k>0,即k2<0,故k不存在;当>1,即k<2时,f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.12.C因为<0,故可取a=-1,b=-2.因为|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,②④错误,故选C.13.B(方法一)由根与系数的关系知=-2+1,-=-2,解得a=-1,c=-2.所以f(x)=-x2-x+2.所以f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),图象开口向下,与x轴的交点为(-1,0),(2,0),故选B.(方法二)由题意可画出函数f(x)的大致图象,如图.又因为y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,所以y=f(-x)的图象如图.14.C由题意得由2x+2y-4-xy=(x-2)(2-y)<0,得又xy<4,可得故选C.15.(-∞,-2)不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max.令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)<g(4)=-2,∴a<-2.16.A由f(x)>0的解集为(-1,3),易知f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞),故由f(-2x)<0得-2x<-1或-2x>3,∴x>或x<-.17.[,+∞)(方法一)∵对任意x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,∴f(t+t)=f(2t)≥2f(t).当t<0时,f(2t)=-4t2≥2f(t)=-2t2,这不可能,故t≥0.∵当x∈[t,t+2]时,有x+t≥2t≥0,x≥t≥0,∴当x∈[t,t+2]时,不等式f(x+t)≥2f(x),即(x+t)2≥2x2,∴x+t≥x,∴t≥(-1)x对于x∈[t,t+2]恒成立.∴t≥(-1)(t+2),解得t≥.(方法二)当x<0时,f(x)=-x2单调递增,当x≥0时,f(x)=x2单调递增,∴f(x)=在R上单调递增,且满足2f(x)=f(x),∵不等式f(x+t)≥2f(x)=f(x)在[t,t+2]恒成立,∴x+t≥x在[t,t+2]上恒成立,即t≥(-1)x在x∈[t,t+2]恒成立,∴t≥(-1)(t+2),解得t≥,故答案为[,+∞).。

课时作业32 数列求和1．已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( B )A ．9B ．18C ．36D ．72解析：∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4，∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2.∴S 9＝9b 5＝18，故选B.2．(2019·某某调研)数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( A )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n解析：该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n .3．(2019·某某调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝( B ) A ．22 018－1 B ．3×21 009－3C ．3×21 009－1 D ．3×21 008－2解析：a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2，∴a n ＋2a n＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列， ∴S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 017＋a 2 018 ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018) ＝1－21 0091－2＋21－21 0091－2＝3×21 009－3.4．定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，又b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( C )A.111B.112C.1011D.1112 解析：依题意有na 1＋a 2＋…＋a n ＝12n ＋1，即前n 项和S n ＝n (2n ＋1)＝2n 2＋n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －1，a 1＝3满足该式． 则a n ＝4n －1，b n ＝a n ＋14＝n .因为1b n b n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， 所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝1－12＋12－13＋…＋110－111＝1011. 5．(2019·华中师大联盟质量测评)在数列{a n }中，已知a 1＝3，且数列{a n ＋(－1)n}是公比为2的等比数列，对于任意的n ∈N *，不等式a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1恒成立，则实数λ的取值X 围是( C )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，25B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23D ．(－∞，1] 解析：由已知，a n ＋(－1)n ＝[3＋(－1)1]·2n －1＝2n，∴a n ＝2n －(－1)n.当n 为偶数时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2＋22＋…＋2n )－(－1＋1－…＋1)＝2n ＋1－2，a n ＋1＝2n＋1－(－1)n ＋1＝2n ＋1＋1，由a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1，得λ≤2n ＋1－22n ＋1＋1＝1－32n ＋1＋1对n ∈N *恒成立，∴λ≤23；当n 为奇数时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2＋22＋…＋2n )－(－1＋1－…＋1－1)＝2n ＋1－1，a n ＋1＝2n ＋1－(－1)n ＋1＝2n ＋1－1，由a 1＋a 2＋…＋a n ≥λa n ＋1得，λ≤2n ＋1－12n ＋1－1＝1对n ∈N *恒成立，综上可知λ≤23.6．(2019·某某质检)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就．北宋沈括在《梦溪笔谈》卷十八《技艺》篇中首创隙积术，隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有a 个，宽有b 个，共计ab 个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放n 层，设最底层长有c 个，宽有d 个，则共计有木桶n [2a ＋c b ＋2c ＋a d ＋d －b ]6个．假设最上层有长2宽1共2个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15层，则木桶的个数为1_360.解析：各层木桶长与宽的木桶数自上而下组成一等差数列，且公差为1，根据题意得，a ＝2，b ＝1，c ＝2＋14＝16，d ＝1＋14＝15，n ＝15，则木桶的个数为15[2×2＋16×1＋2×16＋2×15＋15－1]6＝1 360(个)．7．(2019·某某模拟)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n－a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝4n－1.解析：由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4， ∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列， ∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝31－4n1－4＝4n－1.8．(2019·某某调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则S 2n ＋3＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋2.解析：依题意得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1＝1－14n ＋21－14＝43⎝⎛⎭⎪⎫1－14n ＋2.9．(2019·某某某某模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝12－13n ＋1－1.解析：因为a n ＋1a n ＝2·3n2·3n －1＝3，且a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以S n ＝21－3n1－3＝3n－1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1.10．(2019·潍坊模拟)若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ＞0，n ∈N *)． (1)证明数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .解：(1)∵S n ＝2a n －λ，当n ＝1时，得a 1＝λ， 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－λ， ∴S n －S n －1＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是以λ为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝λ2n －1.(2)∵λ＝4，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，∴T 2n ＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋ (22)＋2n ＋1 ＝(22＋24＋ (22))＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝4－4n ·41－4＋n 3＋2n ＋12＝4n ＋1－43＋n (n ＋2)， ∴T 2n ＝4n ＋13＋n 2＋2n －43. 11．(2019·某某百校联盟联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意，得S n n＝a 1＋n －1， 即S n ＝n (a 1＋n －1)，所以a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5. 解得a 1＝1，所以S n ＝n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又n ＝1时也满足，故a n ＝2n －1. (2)由(1)得b n ＝(2n －1)·3n，所以T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n， 则3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1.∴T n －3T n ＝3＋2×(32＋33＋ (3))－(2n －1)·3n ＋1，则－2T n ＝3＋2×32－3n×31－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1＝(2－2n )·3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.12．(2019·某某一模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13 (1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2)．故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列．故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．(2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.所以b n ＝log 13 (1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1，因为1b n b n ＋1＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2， 所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n2n ＋2.13．(2019·某某四地七校联考)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，且b n＝a n cos 2n π3，记S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 24＝( D )A ．294B ．174C ．470D ．304解析：∵na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a nn＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是公差与首项都为1的等差数列． ∴a nn＝1＋(n －1)×1，可得a n ＝n 2. ∵b n ＝a n cos 2n π3，∴b n ＝n 2cos 2n π3，令n ＝3k －2，k ∈N *， 则b 3k －2＝(3k －2)2cos23k －2π3＝－12(3k －2)2，k ∈N *，同理可得b 3k －1＝－12(3k －1)2，k ∈N *，b 3k ＝(3k )2，k ∈N *.∴b 3k －2＋b 3k －1＋b 3k ＝－12(3k －2)2－12(3k －1)2＋(3k )2＝9k －52，k ∈N *，则S 24＝9×(1＋2＋…＋8)－52×8＝304.14．(2019·某某联考)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n ＞0,6S n ＝a 2n ＋3a n ，n ∈N *，b n ＝2a n 2a n －12a n ＋1－1，若∀n ∈N *，k ＞T n 恒成立，则k 的最小值是( B )A.17B.149 C ．49 D.8441解析：当n ＝1时，6a 1＝a 21＋3a 1， 解得a 1＝3或a 1＝0. 由a n ＞0，得a 1＝3.由6S n ＝a 2n ＋3a n ，得6S n ＋1＝a 2n ＋1＋3a n ＋1. 两式相减得6a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋3a n ＋1－3a n . 所以(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0.因为a n ＞0，所以a n ＋1＋a n ＞0，a n ＋1－a n ＝3. 即数列{a n }是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n . 所以b n ＝2a n2a n －12a n ＋1－1＝8n8n－18n ＋1－1＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫18n －1－18n ＋1－1. 所以T n ＝17⎝ ⎛ 18－1－182－1＋182－1－183－1＋ (18)－1⎭⎪⎫－18n ＋1－1 ＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18n ＋1－1＜149. 要使∀n ∈N *，k ＞T n 恒成立，只需k ≥149.故选B.15．设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017，则S ＝1_008.解析：∵f (x )＝4x4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ，∴f (x )＋f (1－x )＝4x4x ＋2＋22＋4x ＝1.S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017，①S ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0162 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152 017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017，②①＋②，得2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＋ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152 017＋…＋ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0162 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＝2 016， ∴S ＝2 0162＝1 008.16．已知数列{a n }的首项a 1＝3，前n 项和为S n ，a n ＋1＝2S n ＋3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式．(2)设b n ＝log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n ，并证明：13≤T n ＜34.解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋3，得a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)， 两式相减得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ， 故a n ＋1＝3a n (n ≥2)，所以当n ≥2时，{a n }是以3为公比的等比数列． 因为a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，a 2a 1＝3，所以{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，a n ＝3n. (2)a n ＝3n，故b n ＝log 3a n ＝log 33n＝n ，b n a n ＝n 3n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n， T n ＝1×13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，①13T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1.②①－②，得23T n ＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋11－13－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1， 所以T n ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＞0，所以T n ＜34.又因为T n ＋1－T n ＝n ＋13n ＋1＞0，所以数列{T n }单调递增，所以(T n )min ＝T 1＝13，所以13≤T n ＜34.。