河南省洛阳市理工学院附中-2013学年十月月考高一数学试卷

2021届河南省洛阳市第一高级中学高三上学期10月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|||2,}M x x x Z =≤∈，2{|230}N x x x =--<，则M N =（ ）A ．(1,2]-B ．[1,2]-C ．{0,2}D ．{0,1,2}【答案】D【分析】可以先求出集合,M N ，然后进行交集的运算即可. 【详解】{}{}{}2,22,2,1,0,1,2M x x x Z x x x Z =≤∈=-≤≤∈=--，{}{}223013N x x x x x =--<=-<<，因此，{}0,1,2M N =.故选：D.【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了一元二次不等式以及绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于容易题. 2．下列命题中错误的是（ ）A ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题B ．命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-” C ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题 D ．00,x ∃>使“00x x a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件 【答案】C【分析】A .利用原命题和其逆否命题的真假一致原理可以判断该命题是正确的；B .利用特称命题的否定可以判断该命题是正确的；C .,p q 中至少有一个是真命题，则p q ∧不一定是真命题，所以该命题是错误的；D .里哟红必要不充分的定义可以判断该命题是正确的.【详解】A .命题“若x y =，则sin sin x y =”是真命题，所以它的逆否命题是真命题，所以该命题是正确的；B .命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”,所以该命题是正确的；C .若p q ∨为真命题，,p q 中至少有一个是真命题，则p q ∧不一定是真命题，所以该命题是错误的；D .00,x >00x x a b >，不一定有“0a b >>”，如：01,1,2x a b ==-=-，所以是非充分条件；00,x >“0a b >>”,一定有00x x a b >，所以是必要条件.所以该命题是正确的. 故选：C【点睛】本题主要考查四种命题和特称命题的否定，考查复合命题的真假，考查充分条件和必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若p:()000,:f x q x x '==是()f x 的极值点，则（） A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 【答案】C【解析】试题分析：根据函数极值的定义可知，函数0x x =为函数()y f x =的极值点，()00f x '=一定成立，但当()00f x '=时，函数不一定取得极值，比如函数()3f x x =，函数的导数()23f x x '=，当0x =时，()00f x '=，但函数()3f x x =单调递增，没有极值，则p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，故选C ． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判定．4．若α，β为锐角，且2cos()sin()63ππαβ-=+，则（ ） A ．3παβ+=B ．6παβ+=C ．3παβ-= D ．6παβ-=【答案】C【分析】化简已知得cos()=cos(+)66ππαβ-，再通过分析角的范围结合余弦函数的图象即得解.【详解】因为2cos()sin()63ππαβ-=+，所以cos()sin(+)=cos(+)6266ππππαββ-=+，因为0,022ππαβ<<<<，所以2,366663ππππππαβ-<-<<+<，所以(),663πππαβαβ-=-+∴-=.故选：C【点睛】本题主要考查三角恒等变换和余弦函数的图象的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．O为ABC∆内一点，且20OA OB OC++=，AD t AC=，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．13B．14C．12D．23【答案】A【解析】试题分析：由AD t AC=有()OD OA t OC OA-=-,所以(1)OD tOC t OA=+-,因为B，O，D三点共线,所以BO ODλ=,则2(1)OA OC tOC t OAλλ+=+-,故有2(1){1ttλλ=-=,13t=,选A.【考点】1.向量共线的条件；2.两向量相等的条件.6．由y x=，1yx=，2x=及x轴所围成的平面图形的面积是（）A．ln21+B．2ln2-C．1ln22-D．1ln22+【答案】D【分析】画出三个函数的图像，求出它们交点的坐标，利用定积分计算图形的面积. 【详解】画出图像如下图所示，由图可知，所围成的平面图形的面积2211111111ln|ln2222S dx xx=⨯⨯+=+=+⎰.故选D.【点睛】本小题主要考查利用定积分来计算曲边图形的面积，考查了数形结合的数学思想方法.属于基础题.7．已知非零实数,a b满足||||a ab b>，则下列不等式一定成立的是（）A ．33 a b >B ．22 a b >C ．11a b< D ．1122log ||log ||a b <【答案】A【分析】由非零实数,a b 满足||||a a b b >，通过分类讨论，求得a b >，再结合函数的单调性，不等式的性质等，即可求解.【详解】由题意，非零实数,a b 满足||||a a b b >，当0,0a b >>时，由||||a a b b >，可得22a b >，即0a b >>； 当0,0a b ><时，由||||a a b b >，可得a b >； 当0,0a b <<时，由||||a a b b >，可得22a b ，可得0a b >>，综上可得a b >，由幂函数()3f x x =在R 上为单调递增函数，可得33 a b >，所以A 是正确的；由22()()a b a b a b -=+-，正负不能确定，所以B 不正确； 由11b a a b ab--=，正负不能确定，所以C 不正确； 由111222log ||log ||log aa b b-=，正负不能确定，所以D 不正确. 故选：A.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，函数的单调性，以及作差比较法的应用，其中解答中分类讨论求得a 和b 的关系，再结合不等式性质、函数单调性及作差比较进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.8．已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小．【详解】551log 2log 2a =<<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=，10.200.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<． 故选A ．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较． 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c b －＝cosCcosB，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D【答案】A【分析】由已知式子和正弦定理可得3B π=，再由余弦定理可得16ac ≤，由三角形的面积公式可得所求． 【详解】∵在△ABC 中2a c b －＝cos cos CB， ∴()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A =+=+=． 又sin 0A ≠， ∴1cos 2B =， ∵0B π<<， ∴3B π=．在△ABC 中，由余弦定理得22222b 162cos 2a c ac B a c ac ac ac ac ==+-=+--=，∴16ac ≤，当且仅当a c =时等号成立．∴△ABC 的面积1sin 24S ac B ac ==≤故选A ．【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.10．已知6x π=是函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，且()()2f f ππ<，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．2[,]()63k k k Z ππππ++∈ B ．，[,]()36k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()2k k k Z πππ+∈D ．[,]()2k k k Z πππ-∈【答案】B【分析】利用正弦函数的图象的对称性求得ϕ的值，求得函数的解析式，再结合正弦型函数的性质，即可求解函数的单调递增区间，得到答案. 【详解】由6x π=是函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象的一条对称轴，可得sin(2)16πϕ⨯+=±，解得,32ππφk πk Z +=+∈，即6,k k Z πϕπ=+∈，因为()sin()sin ,()sin(2)sin 2f f ππϕϕππϕϕ=+=-=+=且()()2f f ππ<，所以sin sin ϕϕ-<，即sin 0ϕ>， 所以2,6k k Z πϕπ=+∈，所以()sin(22)sin(2)66f x x k x πππ=++=+，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-++∈.故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记正弦函数的对称性，单调性等知识是解答的关键，着重考查推理与运算能力.11．已知函数()2x f x e x =+-的零点为a ，函数()2g x lnx x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．ln 2+>a e b B ．ln 2+<a e b C ．223a b +< D ．1ab >【答案】C【分析】本题首先可以绘出函数xy e =、ln y x =、2y x =-的图像，然后结合题意得出(,)aA a e 、(,ln )B b b ，根据反函数性质知A 、B 关于()1,1对称，从而判断出A 、B 、D 错误，再然后根据函数()f x 的单调性、(0)0f <以及1()02f >得出102a <<，最后根据点(,)aA a e 在直线2y x =-上即可判断出C 正确.【详解】令()0f x =、()0=g x ，则2=-x e x 、ln 2x x =-， 在同一坐标系中分别绘出函数xy e =、ln y x =、2y x =-的图像，因为函数()2xf x e x =+-的零点为a ，函数()2g x lnx x =+-的零点为b ，所以(,)aA a e ，(,ln )B b b ，因为函数xy e =与ln y x =互为反函数， 所以由反函数性质知A 、B 关于()1,1对称，则2a b +=，ln 2+=ae b ，2()14a b ab +≤=，A 、B 、D 错误，因为()e 10xf x '=+>，所以()f x 在R 上单调递增，因为(0)10f =-<，13()022f e =>，所以102a <<，因为点(,)aA a e 在直线2y x =-上， 所以2=-=a e a b ，2222134aa b a e e +=+<+<，故C 正确， 故选：C.【点睛】本题考查函数零点的性质，可通过将函数零点转化为两个函数交点的形式求解，考查借助函数图像解决问题的能力，考查通过二分法确定函数零点的位置，体现了综合性，是难题.12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数()y f x =满足：()()x xf x f x xe '-=且(1)3f =-，(2)0f =．则函数()y f x =（ ）A ．有极小值，无极大值B ．有极大值，无极小值C ．既有极小值又有极大值D ．既无极小值又无极大值【答案】A【解析】∵()()()20x f x xf x f x e x x x '⎛⎫'-==> ⎪⎝⎭，∴()f x x 在()0,∞+上是增函数，∵()()xxf x f x xe '-=，∴()()x f x f x e x'=+，∵x y e =在()0,∞+上是增函数，∴()f x '在()0,∞+上是增函数，又∵()130f e '=-+<，()2200f e '=+>，故()f x '在()0,∞+上先负值，后正值；故函数()y f x =有极小值，无极大值，故选A.二、填空题13．函数sin y x x =-的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移_______个单位长度得到. 【答案】23π 【分析】先利用辅助角公式将两函数的解析式转化成同名三角函数式，再根据三角函数图像变换遵循“左加右减”规律求解.【详解】设()5sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭， ()sin 2sin 3g x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将()g x 的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数：()()52sin 2sin 33g x x x f x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()5233x x k k Z ππϕπ-+=++∈， 此时()423k k Z πϕπ=--∈， 当1k =-时，ϕ有最小值为23π. 故答案为：23π. 【点睛】本题主要考查了辅助角公式以及图像变换问题.属于较易题. 14．已知向量a 与b 的夹角为o 30，且||1a =，|2|1a b -=，则||b =_____.【分析】首先计算()221a b -=，再根据数量积的公式转化为关于b 的一元二次方程求解. 【详解】21a b -=，()2222441a ba ab b ∴-=-⋅+=，1a =，向量a 与b 的夹角为o 30，234411b b ∴-⨯⨯⨯+=，即22330b b -+=， 整理为()230b -=，所以3b =.【点睛】本题考查向量数量积公式，模的计算，重点考查计算能力，属于基础题型. 15．若函数3()ln(1)2x f x e ax =++是偶函数，则a =_____. 【答案】34-【分析】根据函数奇偶性的定义，得到33ln(1)2ln(1)2xx e ax e ax -+-=++，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，函数3()ln(1)2xf x eax =++是偶函数，根据函数奇偶性的定义，可得()()f x f x -=，即33ln(1)2ln(1)2x xe ax e ax -+-=++，可得3333314ln(1)ln(1)ln ln 31x xxx x e ax e ee x e --+-=+-+===+，解得34a =-.故答案为：34-. 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义，结合对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 16．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；③()f x 在[],ππ-有4个零点；④()f x 的最大值为2； 其中所有正确结论的编号是_________. 【答案】①④【分析】结合题意，得出函数的奇偶性，根据奇偶性研究函数在0x >时的性质对结论逐一判断即可．【详解】解：∵()sin |||sin |f x x x =+，定义域为R ， ∴()()sin |||sin |f x x x -=-+-sin sin ()x x f x =+=， ∴函数()f x 是偶函数，故①对；当[]0,x π∈时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin 2sin x x x =+=， ∴由正弦函数的单调性可知，函数()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故②错； 当[]0,x π∈时，由()2sin 0f x x ==得0x =，x π=，根据偶函数的图象和性质可得，()f x 在[),0π-上有1个零点x π=- ， ∴()f x 在[],ππ-有3个零点，故③错；当0x ≥时，()sin |||sin |f x x x =+sin sin x x =+2sin ,sin 00,sin 0x x x ≥⎧=⎨<⎩， 根据奇偶性可得函数()f x 的图象如图，∴当sin 1x =时，函数()f x 有最大值()max 2f x =，故④对； 故答案为：①④．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题17．如图,D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,3AC DC =．（Ⅰ）若6DAC，求角B 的大小；（Ⅱ）若2BD DC =，且23AD =DC 的长． 【答案】 （I ）60B ∠=︒；（II ）2.【分析】（1）先根据正弦定理求得sin ADC ∠，由此得到ADC ∠的值，进而求得C ∠，在直角三角形ABC 中求得B 的大小.（2）设DC x =，利用DC 表示出,AB BD ，求得sin ,cos B B 的值，利用余弦定理列方程，解方程求出x ，也即求得DC 的值. 【详解】（1）在ADC ∆中，根据正弦定理，有sin sin AC DCADC DAC=∠∠，∵3AC DC =，∴3sin 3sin ADC DAC ∠=∠=， 又006060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+>， ∴0120ADC ∠=，于是00001801203030C ∠=--=， ∴060B ∠=.（2）设DC x =，则2BD x =，3BC x =，3AC x =，于是3sin AC B BC ==，6cos B =，6AB x =， 在ABD ∆中，由余弦定理，得2222?cos AD AB BD AB BD B =+-， 即(2222623642622x x x x x =+-⨯=， 6x =6DC =【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查方程的思想，属于基础题.18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2243n n n a a S +=+.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）21n a n =+；（2）3(23)nn +.【分析】（1）利用n a 与n S 关系可证得数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式可求得结果；（2）整理得到n b ，利用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）2243n n n a a S +=+，2111243n n n a a S +++∴+=+， 221112()4n n n n n a a a a a +++∴-+-=，即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-.0n a >， 12n n a a +∴-=.又2111243a a a +=+，13a ∴=，11a =-(舍去)，{}n a ∴是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+. （2）由21n a n =+， 得111111()(21)(23)22123n n b a a n n n n +===-++++. 设数列{}n b 的前n 项和为n T ， 则12n n T b b b =+++1111111111[()()()]23557212323233(23)nn n n n ⎛⎫=-+-++-=-= ⎪++++⎝⎭.所以数列{}n b 的前n 项和为3(23)nn +.【点睛】本题考查利用n a 与n S 关系求解数列通项公式以及裂项相消法求解数列的前n 项和的问题，属于较易题.19．已知向量3sin 22a x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，b ＝（sinx ，cosx ），f （x ）＝a b ⋅． （1）求f （x ）的最大值及f （x ）取最大值时x 的取值集合M ； （2）在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边若24c M π+∈且c ＝1，求△ABC 的周长的取值范围．【答案】（1）1,5,12x x k k z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）(]2,3.【解析】试题分析：（1）利用平面向量数量积运算公式，通过降幂公式及辅助角公式可将()f x 化简为()sin 232f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭－，利用三角函数的性质可得最值及集合M ；（2）由24C M π+∈结合角的范围可得3C π=，利用余弦定理结合均值不等式可得2a b +≤，结合c 的值即可得周长的取值范围.试题解析：（1）()cos a x x =，()21sin cos sin2cos2sin 222232f x a b x x x x x x π⎛⎫=⋅==--=-⎪⎝⎭－，()f x ∴的最大值为12-，此时22,32x k πππ-=+ 即512x k ππ=+5,12k z M x x k k z ππ⎧⎫∈∴=+∈⎨⎬⎩⎭（2）24C M π+∈ 52412C k πππ∴+=+，23C k ππ=+, ()0,C π∈ 3C π∴=1c =由2222cos c b a ab c =+-得222c a b ab =+- ()()()()22223344a b a b a b ab a b ++=+-≥+-=2a b ∴+≤又1a b +>, 故23a b c <++≤，即周长的范围为(]2,3∈.20．已知函数2()ln f x x ax x =+-，a R ∈；(Ⅰ)若函数()f x 在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)令2()()g x f x x =-，是否存在实数a ，当(0,]x e ∈(e 是自然对数的底数)时，函数()g x 的最小值是3．若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【详解】试题分析：(1)()212120x ax f x x a x x+-=+-=≤'在[1,2]上恒成立令h(x)＝2x 2＋ax －1，x ∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立()()110{2720h a h a =+≤∴=+≤得1{72a a ≤-≤-，72a ∴≤-. (2)假设存在实数a ，使g(x)＝f(x)－x 2，x ∈(0，e]有最小值3 g(x)＝ax －lnx ，x ∈(0，e]，g′(x)＝a －1x ＝1ax x- ①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减 ∴g(x)min ＝g(e)＝ae －1＝3，∴a ＝4e(舍去) ②当0<1a <e 即a>1e时，在(0，1a )上，g′(x)<0；在(1a ，e]上，g′(x)>0 ∴g(x)在(0，1a ]上单调递减，在(1a，e]上单调递增 ∴g(x)min ＝1g a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1＋lna ＝3，∴a ＝e 2满足条件 ③当1a ≥e 即0<a≤1e时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减 g(x)min ＝g(e)＝ae －1＝3 ∴a ＝4e >1e(舍去) 综上所述，存在a ＝e 2使得当x ∈(0，e]时，g(x)有最小值3. 【考点】函数导数判定单调性求最值点评：第一小题已知函数在某一区间上是减函数得到结论()0f x '≤，学生解题时容易忽略等号写成()0f x '<，第二问要分情况讨论极值点与区间(0，e]的关系从而确定在区间(0，e]上的单调性求出函数最值 21．已知函数()x f x xe =.（1）求函数()f x 的单调区间与极值； （2）若函数()()2ag x f x ax =-+在(0,)+∞上存在两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，递增区间为(1,)-+∞，极小值为1e-，无极大值；（2）(2,)e +∞. 【分析】（1）求出()f x 的导函数和单调区间，从而得到极值； （2）利用()()2ag x f x ax =-+的单调性，对a 进行讨论，结合零点情况可得答案. 【详解】（1）()(1)xf x x e '=+.当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x <，当(1,)x ∈-+∞时，'()0f x >， 所以函数()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 所以1x =-是函数()f x 的极小值点，()f x 的极小值为1(1)f e-=-. 综上，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，递增区间为(1,)-+∞， 极小值为1e-，无极大值. （2）()()2a g x f x ax =-+，()()(1)xg x f x a x e a ''=-=+-. 设()()(1),()(2)0xxh x g x x e a h x x e ''==+-=+>，()g x '∴在区间(0,)+∞上单调递增.当1a >时，ln (0)10,(ln )(ln 1)ln 0a g a g a a e a a a ''=-<=+-=>， 故()'g x 在区间(0,ln )a 上存在唯一零点0x ， 即000()(1)0xg x x e a '=+-=，故()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增. 又ln (0)0,(ln )ln ln 0222a a a ag g a a e a a =>=⋅-+=>， 故只需0()0g x ，则()g x 在区间(0,)+∞上存在两个零点.又00(1)0x x e a +-=，所以只需0000000(1)()(1)02x x x e g x x e x x e +=-++<，解得01x >，或012x <-(舍去).又00(1)xa x e =+，设(1),(2)0x xy x e y x e '=+=+>在区间[1,)+∞上恒成立，所以函数(1)x y x e =+在[1,)+∞上单调递增，所以min (11)2y e e =+=. 当2a e >时，0()0,()g x g x <在区间(0,)+∞上存在两个零点.当1a ≤时，()0g x '>在区间(0,)+∞上恒成立，故()g x 在(0,)+∞上单调递增， 不可能在区间(0,)+∞上存在两个零点.综上，函数()g x 在(0,)+∞上存在两个零点时，a 的取值范围是(2,)e +∞. 【点睛】本题主要考查用导数求函数的极值，根据函数的零点个数求参数的问题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，圆C 的方程为22(2)(1)5x y -+-=.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 及圆C 的极坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求cos AOB ∠的值.【答案】（1）sin cos 2ρθρθ=+，4cos 2sin ρθθ=+；（2. 【分析】（1）直线l 的参数方程消去参数后得到直线的普通方程，根据公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入圆C 的直角坐标方程，得到原C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程和圆C 的极坐标方程联立，利用θ的几何意义求cos AOB ∠的值.【详解】解：（1）由直线l的参数方程11x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 得其普通方程为2y x =+，∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+. 又∵圆C 的方程为()()22215x y -+-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+.（2）将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+， 与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=，整理得2sin cos 3cos θθθ=，∴tan 32πθθ==，或.不妨记点A 对应的极角为2π，点B 对应的极角为θ，且tan =3θ.于是，cos cos()sin 2AOB πθθ∠=-==. 【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中θ的几何意义的应用，属于中档题型. 23．已知函数()|1||3|f x x x =-+-. (1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数,a b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：22111a b a b +≥++. 【答案】（1）[]1,5；（2）证明见解析.【分析】(1) ()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+.利用零点分域法，分别讨论当1x <、13x ≤≤、3x >时取绝对值，解不等式即可；(2)先利用绝对值三角不等式求出2c =，可得2a b +=，令1,1a m b n +=+=，则4m n +=，()()22221111m n a b a b m n--+=+++，展开后利用基本不等式即可证明. 【详解】(1)()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+. 当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，解得：1≥x 又∵1x <，∴x ∈∅；当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，解得：1≥x 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤.当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，解得：5x ≤ 又∵3x >，∴35x <≤.综上所得，13x ≤≤或35x <≤，即15x ≤≤. ∴原不等式的解集为[]1,5.(2)由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥---=， ∴2c =，即2a b +=.令1,1a m b n +=+=，则1,1m n >>，114a m b n m n =-=-+=,,，()()2222211114441112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 等且仅当2m n ==即1a b ==时等号成立. 原不等式得证.【点睛】关键点点睛：证明22111a b a b +≥++成立的关键点是()()13132x x x x -+-≥---=，令1,1a m b n +=+=，则()()22221111411m n a b m n a b m n m n--+=+=+++-++，再利用基本不等式即可得证.。

洛阳一高2020-2021学年第一学期高三年级10月月考理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{|||2,}M x x x Z =≤∈，2{|230}N x xx =--<，则MN =.(1,2]A -.[1,2]B - .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列命题中错误的是.A 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题.B 命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-” .C 若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题.D 00,x ∃>使“00x x a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件3。

函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:'()0p f x =;0:q x x =是()f x 的极值点,则.A p 是q 的充分必要条件.B p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件.C p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件.D p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4. 若α，β为锐角，且2cos()sin()63ππαβ-=+，则A 。

3παβ+=B .6παβ+=C .3παβ-=D .6παβ-=5。

若O 为ABC ∆内一点，且20OA OB OC ++=，AD t AC =,若D O B ,,三点共线，则t 的值为.A 41.B 31 .C 21 .D 32 6.由2,1,===x xy x y 及x 轴所围成的平面图形的面积是.A 12ln +.B 2ln 2-.C 212ln -.D 212ln +7.已知非零实数,a b 满足||||a a b b >，则下列不等式一定成立的是3322112211. . . .log ||log ||A a b B a b C D a b a b >><<8。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1、曲线2x y =在(1,1)处的切线方程是（ ）A.230x y ++=B.032=--y xC.210x y ++=D.012=--y x 2．已知函数y=f(x)的导函数存在，则函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3．函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值 4．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-5．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 6、曲线3πcos 02y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为( ). Ａ．4 Ｂ．2 Ｃ．52Ｄ．37、若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h →+--=（ ）A ．3-B ．12-C ．9-D ．6- 8．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--9．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ．()f x =()g xB ．()f x -()g x 为常数函数C ．()f x =()0g x =D ．()f x +()g x 为常数函数10．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_____________ 12、=---⎰dx x x )2)1(1(10213．已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，上有最小值3，那么在[33]-， 上()f x 的最大值是14．设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 。

河南省偃师高中2013-2014学年高一上学期第一次月考数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{3,4,5}，B ＝{1,3,6}，则A ∩(∁U B)等于( )A ．{4,5}B ．{2,4,5,7}C ．{1,6}D ．{3}2. 若集合()(){}1,2,3,4A =，则集合A 真子集的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个3．集合{}=|1P x y x =-，集合{}|1Q y y x ==-，Q=则P 与Q 的关系是（ ）A.P=QB.P QC.D.4．已知2(1)1f x x +=-,则(21)f x -的定义域为 （ ）A ．1(,1]2B ．13(,)22C ．3[1,)2D ．13[,]225. 若函数()y f x =的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为 N ＝{y |0≤y ≤2},则函数()y f x =的图象可能是6．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x+y ）=f （x ）+f （y ）+2xy （x ，y ∈R ），f（1）=2，则f （﹣3）等于（ ）A ． 2B ． 3C ． 6D ． 97. 函数212)(-+-=x x x f 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68. 已知集合{,}M a b =，集合{1,0,1}N =-，在从集合M 到集合N 的映射中，满足()()f a f b ≤的映射的个数是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．计算()()00)21(51121242---+-+-,结果是（ ）A.1B. 22C. 2D. 212-10．函数f (x )＝ax 2－x ＋a ＋1在(－∞，2)上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．B ．0，1411．f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－312．函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )，其中a >0，记f (x )在区间上的最大值为g (a )，则函数g (a )的最大值为( )A.12B ．0C ．1D ．2 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知函数f(2x ＋1)＝3x ＋2，且f(a)＝4，则a ＝________.14.已知偶函数f （x ）在区间-1,1hslx3y3h 上是单调递 减函数.因此只需()g x 的最小值大于零即可，∴(1)0g >代入得：1310m -+-> 解得：m 《—1所以实数m 的取值范围是：(－∞，—1)。