第3章 2.定点数和浮点数

3
记作 3 ≡ + 9 （mod 12） 同理 4 ≡ + 8 （mod 12）
时钟以 12为模
5 ≡ + 7 （mod 12）
结论 一个负数加上 “模” 即得该负数的补数
一个正数和一个负数互为补数时
它们绝对值之和即为 模 数
• 计数器（模 16） 1011
1011 – 1011
0000
0000 ？
[x]补 = 27+1 +( 1011000 ) = 100000000 1011000
1,0101000
小数
[x]补 =
x 2+x
1＞x ≥0 0 ＞ x ≥ 1（mod 2）
x 为真值 如 x = + 0.1110
x = 0.1100000
[x]补 = 0.1110
[x]补 = 2 + ( 0.1100000 ) = 10.0000000
5. 移码表示法
补码表示很难直接判断其真值大小
如 十进制
二进制
补码
x = +21 x = –21
+10101 – 10101
0,10101 错 1,01011 大
x = +31
+11111
0,11111 错
x = –31
– 11111
1,00001 大
x + 25
+10101 + 100000 = 110101
加
加法 正 负
减
加法 负 正
减
加法 负 负
加
正 可正可负 可正可负
负
能否 只作加法 ?
找到一个与负数等价的正数 来代替这个负数 就可使 减 加

尾数都省去了第1位的1，所以在还原时要先在第一位加上1。它可能包含整数和纯小数两部分，也可能只包含其中一部分，视数字大小而定。对于带有整数部分的浮点数，其整数的表示法有两种，当整数大于十进制的16777215时使用的是科学计数法，如果小于或等于则直接采用一般的二进制表示法。科学计数法和小数的表示法是一样的。
C++中的浮点数有6种，分别是：
float：单精度，32位
unsigned float：单精度无符号，32位
double：双精度，64位
unsigned double：双精度无符号，64位
long double：高双精度，80位
unsigned long double：高双精度无符号，80位（嚯，应该是C++中最长的内置类型了吧！）然而不同的编译器对它们的支持也略有不同，据我所知，很多编译器都没有按照IEEE规定的标准80位支持后两种浮点数的，大多数编译器将它们视为double，或许还有极个别的编译器将它们视为128位？！对于128位的long double我也仅是听说过，没有求证，哪位高人知道这一细节烦劳告知。下面我仅以float（带符号，单精度，32位）类型的浮点数说明C++中的浮点数是如何在内存中表示的。先讲一下基础知识，纯小数的二进制表示。（纯小数就是没有整数部分的小数，讲给小学没好好学的人）
void TestDouble(double value)
...{
int count=0;
string x;
if (value>0)
...{
x+="0"; //判断符号
什么是定点数和浮点数
计算机中的数除了整数之外，还有小数。如何确定小数点的位置呢？通常有两种方法：

cloudseawang定点数与浮点数区别最近做HDR时，经常要用NV提供的16位纹理，它的说明书16位能达到24位的精度，就很奇怪？一直搞不懂浮点数的精度怎么算的？今天认真看了一下IEEE float point的标准，终于明白是什么了1. 什么是浮点数在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数。

典型的比如相对于浮点数的定点数（Fixed Point Number）。

在这种表达方式中，小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置。

货币的表达就可以使用这种方式，比如99.00 或者00.99 可以用于表达具有四位精度（Precision），小数点后有两位的货币值。

由于小数点位置固定，所以可以直接用四位数值来表达相应的数值。

SQL 中的NUMBER 数据类型就是利用定点数来定义的。

还有一种提议的表达方式为有理数表达方式，即用两个整数的比值来表达实数。

定点数表达法的缺点在于其形式过于僵硬，固定的小数点位置决定了固定位数的整数部分和小数部分，不利于同时表达特别大的数或者特别小的数。

最终，绝大多数现代的计算机系统采纳了所谓的浮点数表达方式。

这种表达方式利用科学计数法来表达实数，即用一个尾数（Mantissa ），一个基数（Base），一个指数（Exponent）以及一个表示正负的符号来表达实数。

比如123.45 用十进制科学计数法可以表达为1.2345 × 102 ，其中1.2345 为尾数，10 为基数，2 为指数。

浮点数利用指数达到了浮动小数点的效果，从而可以灵活地表达更大范围的实数。

提示: 尾数有时也称为有效数字（Significand）。

尾数实际上是有效数字的非正式说法。

同样的数值可以有多种浮点数表达方式，比如上面例子中的123.45 可以表达为12.345 ×101，0.12345 × 103 或者1.2345 × 102。

因为这种多样性，有必要对其加以规范化以达到统一表达的目标。

定点数和浮点数 任何⼀个数均可以表⽰为：(N)R=±S×R±e R：基值。

计算机中常⽤的R可取2、8、10、16等。

S：尾数。

代表数N的有效数字。

计算机中⼀般表⽰为纯⼩数。

e：阶码（指数）。

代表数N的⼩数点的实际位置。

⼀般表⽰为纯整数。

⼀、定点数 定点数：约定计算机中所有数据的⼩数点位置均是相同的，⽽且是固定不变的，即阶码e的取值固定不变的机器数表⽰。

定点数的两种表⽰⽅法： 定点⼩数：e=0，表⽰纯⼩数，⼩数点在符号位与最⾼数值位之间。

定点整数：e=n，表⽰纯整数，⼩数点在最低有效数值位之后，在最低位的右边，不占位 【例】 (123.45)10 = 0.12345×103 = 12345×10-2 (11011.101)2 = 0.11011101×105 = 11011101×2-3⼆、浮点数 浮点数⽤类似(N)R=±S×R±e科学计数法来表达，⽐如1001.101的规范浮点数表达为1.001101×23 浮点数的⼩数点位置不是固定，⽽是可以浮动的，即e的取值可变。

利⽤改变e值达到了浮动⼩数点的效果，从⽽灵活地表达更⼤范围地实数。

因此在机器中必须将e表⽰出来。

浮点数的表⽰如图 尾数的位数决定了数据表⽰的精度，为带符号的纯⼩数。

阶码的位数决定了数据表⽰的范围，为带符号的纯整数。

三、浮点数的规格化 （1）如何尽可能多地保留有效数字？ （2）如何保证浮点表⽰地唯⼀？ 规格化思想：尽可能去掉尾数中的前置“0”，尽量使⼩数点后第⼀位为“1”。

对于⼆进制数，就是要满⾜：1/2≤|S|<1 【例】0.001001×25的规格化 0.001001×25规格化表⽰为：0.100100×23四、原码规格化 若[S]原=Sf.S1S2..Sn，规格化标志是：S1=1，即：[S]原=0.1xx...x 或 [S]原=1.1xx...x。