人教版选修二导数及其应用教案函数的极值与导数

1.3.2 利用导数研究函数的极值一、教学目标1．知识和技能目标(1)结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；(2)理解函数极值的概念，会用导数求函数的极值与最值．2．过程和方法目标结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系．3．情感态度和价值观目标感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识．二、教学重点.难点重点：利用导数求函数的极值、最值．难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件．三、学情分析学生已经初步学习了运用导数去研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。

本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力,让学生体会导数的工具作用。

四、教学方法师生互动探究式教学五、教学过程教材整理1极值点和极值的概念假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得__________与________，若函数在[a ，b ]内是可导的，则该函数的最值必在极值点或区间端点取得．知识应用，深化理解题型一 求函数的极值例1、求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 2－2x －1；(2)f (x )＝x 44－23x 3＋x 22－6； (3)f (x )＝|x |.总结：1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．2．极值点与导数的关系(1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点．点x 0是可导函数f (x )在区间(a ，b )内的极值点的充要条件：①f ′(x 0)＝0；②点x 0两侧f ′(x )的符号不同．(2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x ＝0点)，也可能不是极值点(如y ＝x ，在x ＝0处不可导，在x ＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f ′(x )＝0的根，也可能是不可导点．题型二 利用函数的极值求参数例2、已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若f (－1)＝32，求f (x )的单调区间和极值．总结：已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．题型三求函数的最值例3、(1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12 D．0(2)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为()A．1－e B．－1C．－e D．0(3)求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值．总结：求函数最值的四个步骤第一步，求函数的定义域；第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；第四步，求极值、端点值，确定最值．六、当堂检测1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1-3-7所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有()图1-3-7A．1个B．2个C．3个D．4个2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值3．设a∈R，若函数y＝e x＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________.4．函数y＝xe x在[0,2]上的最大值为________．5．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－a)．(1)求导数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思。

1．3．2 函数的极值与导数(1)一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.二、教学重点：求函数的极值.教学难点：严格套用求极值的步骤. 三、教学过程： （一）函数的极值与导数的关系 1、观察下图中的曲线a 点的函数值f (a )比它临近点的函数值都大．b 点的函数值f (b )比它临近点的函数值都小．2、观察函数 f (x )＝2x 3－6x 2＋7的图象，思考：函数y ＝f (x )在点x ＝0，x ＝2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点?（1）函数在x ＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说 f (0) 是函数的一个极大值；（2）函数在x ＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，则f (2)是函数的一个极小值．函数y ＝2x 3－6x 2＋7 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)．函数y ＝2x 3－6x 2＋7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2， f (2) )． 3、极值的概念：一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜ f (x 0) 我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作 y 极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)． 极大值与极小值统称为极值． 4、观察下图中的曲线考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正． 函数的极值点x i 是区间[a , b ]内部的点，区间的端点不能成为极值点．函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．函数在[a , b ]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．5、利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是：Ox a f (a )O x y bf (b )6422O y xf (0)f (2)Ox f '(a )＝0f '(x )0f '(x )＞0a O x yf '(b )＝0f '(x )＜0 f '(x )＞0b⑴如果在x 0附近的左侧f '(x )＞0，右侧f '(x )＜0，那么，f (x 0)是极大值； ⑵如果在x 0附近的左侧f '(x )＜0，右侧f '(x )＞0，那么，f (x 0)是极小值； 思考：导数为0的点是否一定是极值点？导数为0的点不一定是极值点．如函数f (x )＝x 3，x ＝0点处的导数是0，但它不是极值点．.)()()()()()('个内存在极小值点，在开区间图像如图，则函数内的函数，在，导函数，的定义域为开区间函数b a x f b a x f b a x f例1求函数3144.3y x x =-+的极值 解：y '＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令 y '＝0，解得 x 1＝－2，x 2＝2． 当 y 极大值＝283 ，当x ＝2时，y 极小值＝－3． 求可导函数f (x )的极值的步骤：⑴ 求导函数f '(x )；⑵ 求方程 f '(x )＝0的根；⑶ 检查f '(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 例2．求函数xex y -=2的极值例3 求函数y ＝(x 2－1)3＋1的极值．解：定义域为R ，y '＝6x (x 2－1)2.由y '＝0可得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1 极小值例4．23)1(22--=x x y 的极值 例5．32)1(x x y -=的极值思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？ 练习：求函数xex y -=3的极值极小值极大值y +0－0+y '(2, +∞)2(－2, 2)－2(－∞, －2)x 32834-10842-44xyO6极小值0无极值y－0－y '0(－1，0)－1(－∞，－1)x 无极值y＋0＋y '(1，+∞)1(0，1)x321-2-112xy（三）课堂小结1．考察函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．用导数求单调区间的步骤. （四）课后作业。

教学准备1. 教学目标1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤．2. 教学重点/难点【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．3. 教学用具4. 标签教学过程【教学过程】一、复习引入：1．极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)．就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而>．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4．判别f(x0)是极大、极小值的方法：5．求可导函数f(x)的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′(x)；（2）求方程f′(x)=0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，。

课题：函数的极值与导数（2课时）
课时：11 课型：新授课
28
3
;当x=2因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= 时,f(x)有极
小值,且极小值为f(2)= 43
- 函数()3
1443
f x x x =
-+的图象如: 归纳：求函数y=f(x)极值的方法是: 1求()'
f
x ,解方程()'f x =0,当()'f x =0时:
(1) 如果在x 0附近的左边()'
f x ＞0,右边()'f x ＜0,
那么
f(x 0)是极大值. (2) 如果在x 0附近的左边()'
f x ＜0,右边()'f x ＞0,那么f(x 0
)是极小值
<四>课堂练习
1、求函数f(x)=3x-x 3
的极值
2、思考：已知函数f （x ）=ax 3
+bx 2
-2x 在x=-2，x=1处取得极值, 求函数f （x ）的解析式及单调区间。

<五>课后思考题
1、
若函数f(x)=x 3
-3bx+3b 在（0，1）内有极小值，求实数b 的范围。

2、 已知f(x)=x 3
+ax 2
+(a+b)x+1有极大值和极小值，求实数a 的范围。

<六>课堂小结 1、 函数极值的定义 2、 函数极值求解步骤
3、
一个点为函数的极值点的充要条件。

<七>作业 P 32 5 ① ④ 教学反思
2
2
-。