一维非定常连续流动

一维非定常连续流动一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间t和一个坐标变量x有关的流动,也就是说,在某一时刻,在任何一个垂直于x轴的平面上,气流的速度和热力学参数是不变的;它包括连续流等熵波和间断流激波、接触面;下面主要介绍连续流;在进行讨论之前,首先假定气体为常比热完全气体或称量热完全气体,忽略气流的粘性和热传导作用,流动过程是等熵的;作为理解非定常连续流动的基础,首先介绍小扰动波的产生,传播及其简化分析;一、小扰动波1.产生小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小,例如声波就是一种小扰动波,它以声速传播,因此,通常人们把小扰动在介质中的传播速度称为声速;对介质的扰动形式有很多,但总归起来不外乎速度不匹配和压力不平衡;下面将要介绍的是由于活塞运动引起速度不匹配所产生的波;在一个等截面无限长的圆管中,初始时刻,活塞及其两边的气体处于静止状态;设活塞在很短的时间内,速度增加至du;此后,它以匀速向右运动;这时,活塞左右两边的气体同时受到一个微弱的扰动：右边的气体被压缩,左边的气体变得稀疏,其效果以小扰动波的形式向两边传播;这种波通过以后,波后气体均以活塞的速度向右运动;同时,右边气体压力增加一个微量dp,左边气体减小一个微量dp,这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波;上述两类小扰动波得传播过程在x,t图上的图示法如下压缩波通过以后,波后气流速度方向与波面传播方向一致,质点迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后,波后气流速度方向与波面传播方向相反,质点迹线偏离波面迹线;对于运动的气体,压缩波后气体被加速,稀疏波后气体被减速;2.传播定义向右为x轴的正方向,如果气体本身以u代数值的速度在运动,则波的传播速度为dxdt=u±a定义以速度u+a传播的波为“右行波”,以速度u-a传播的波行波”;对于右行波而言,气体质点一定从右边x轴正向进入波阵面,对于左行波而言,气体质点一定从左边x轴负向进入波阵面;2.小扰动波的简化物理分析以一道右行小扰动波为例进行分析;把坐标系取在波阵面上,则变成驻波,波前的气体以-a 的速度流进波面,而波后的气体以-a+du 的速度流出波面; 由连续性方程ρ(−a )=(ρ+dρ)(−a +du)略去二阶小量,得dρρ=du a小扰动波是一种等熵波,满足下列关系式：p =Cργ,p =ρRT 和a 2其微分形式为：dρρ=1γdp p=1γ−1dTT=2γ−1da a代入上式,可得du =2γ−1da对于左行波,则有du =−2γ−1da二、 特征线方法在可压缩流体中,有限幅值连续波流动所满足的方程一般是一组非线性偏微分方程,不能再采用小扰动线化方法,否则,将造成较大的误差;特征线法根据数学上特征线所具有的性质,运用数值解法或者图解法,为解决这类问题提供了一种比较简便而实用的计算方法;1. 基本方程连续性方程,在等截面管中ρt+x(ρu )=0动量方程,在忽略体积力和粘性力情况下u t+u ux =−1ρpx能量方程,忽略粘性和热传导作用,流动过程是等熵的,热力学第二定律可写成st+u sx =0 状态方程,对于多方气体来说,等熵关系为p =Cργ 有时为了便于应用,可将方程改写成统一用u ,a ,s 参量表示式;a t+u a x +γ−12a ux =0u t +u u x +2a γ−1ax −a 2γR sx =0st+u sx =0 2. 特征线及其相容关系假定上述方程组和x ,t 平面内沿着某一曲线x 0=x 0(t)上各点的u 0,a 0,s 0的值已知,如果不能单值地决定曲线x 0=x 0(t)附近任意点的u ,a ,s 的值,则表示x 0(t)是弱间断线,它就是所求的特征线; 特征线及其相容关系为 第一族特征线(dxdt )1=u +adu +2γ−1da =aγR ds第二族特征线(dxdt )2=u −adu −2γ−1da =−aγR ds第三族特征线(dxdt )s =uds =0 从公式可以看出,气体的流速和热力学参数的扰动沿着第第二族特征线以音速传播;熵的扰动沿着第三族特征线传播,而第三族特征线就是流体质点的运动轨迹,这就表明,对于某一个流体质点而言,在运动过程中熵值保持不变;在均熵条件下,st =0,sx =0,因而,在全流场的任何时刻都有ds =0;因此第三族特征线已经失去意义,第一族和第二族特征线简化为：第一族特征线(dxdt )1=u +adu +2γ−1da =0第二族特征线(dxdt )2=u −adu −2γ−1da =0此时特征线相容关系可以直接积分u +2γ−1a =K 1u −2γ−1a =K 2式中K 1和K 2称为黎曼不变量;(dxdt )1和(dxdt )2代表x ,t 平面上的两族特征线,称为物理平面上的特征线,见图1-3a ；K 1和K 2在u ,a 平面上构成两族特征线,称为状态平面特征线,见图1-3b;在x ,t 平面上,第一族特征线中的每一根,对应于一个确定的K 1值,第二族特征线中的每一根对应于一个确定的K 2值;物理平面特征线表达了小扰动波的位置随时间的变化关系,也就是小扰动波波阵面的运动迹线;其中,第一族特征线对应于右行波,第二族特征线对应于左行波;不过,此时的u ,a在不同的位置x 和时同的,可以应用节点法求解流场中气流的速度和音速; 根据K 1和K 2是否为绝维非定常均熵流动分为三类：第一类：K 1和K 2均为绝对常数K 10和K 20,此时u 和a 均为常数;第二类：K 1和K 2中有一个为绝对常数,称为简单波流动,这是流场中只有单向传播的波;第三类：K 1和K 2均不是绝对常数,称为双波流;在流场中既有左行波,也有右行波;三、 简单波假定黎曼不变量之一K 2在整个波区为绝对常数K 20,可以得到u =K 1+K 202a =γ−14(K 1−K 20)由于沿着第一族特征线,K 1保持不变,可知沿着第一族特征线流u 和a 等均为常数;dx dt=u +a =常数由此可以断定,第一族特征线一定是直线,沿着这一族特征线的根,流动参量保持不变,整个简单波流场只需用u ,a 平面上的一根特征线表示;1. 简单波的产生和分类简单波是由无穷多道小扰动波迭加而成的;在图1-5所示的一根两端敞开的无限长管中,活塞在静止气体中向右持续加速;活塞右边不断产生小扰动压缩波,当无穷多道压缩波通过后,波后气体压力、音速和质点速度便增加一个有限量;对于右行简单压缩波而言,由于小扰动压缩波连续通过时,后面压缩波的传播速度一定比前面的块,因而波面迹线第一族特征线为一族收敛的直线;同时,在活塞左边,连疏波,波面迹线第二族特征线为一族发散的直线;图1-5中各画出了四道小扰动压缩波和稀疏波的产生过程,其中1-4是一段曲线,表示活塞的加速过程,4点以后为直线,表示活塞作匀速运动,没有非定常波产生;简单波大致可分为四类：右行稀疏波,右行压缩波,左行稀疏波和左行压缩波;2. 简单波的基本关系跨过简单波波面迹线时气体参数之间的关系如下： 对于右行波x =(u +a )t +f(u)u −2γ−1a =K 20对于左行波x =(u −a )t +f(u) u +2γ−1a =K 10f(u)是速度的任意函数;若已知简单波波前气流参数u 1和a 1,求波后参数时,由K 10或K 20为常数可得u 2γ−1a =u 12γ−1a 1整理后得到a a 1=1±γ−12(u−u 1a 1)如果波前气体是静止的,u 1=0,则有a a 1=1±γ−12u a 1“+”号表示右行波,“−”号表示左行波;对于波后气流的温度、压力和密度变化,利用等熵关系得T T 1=(aa 1)2p p 1=(aa 1)2γγ−1 ρρ1=(aa 1)2γ−1四、 中心稀疏波在一维非定常简单波中,有一种比较特殊的情况,就是所谓“中心稀疏波”;它的一个重要特点是流场中的速度u 和音速a 等参数不是单独地依赖于x 和t ,而是依赖于它们的组合参数x/t ,这种运动通常称为“一维自模拟运动”;1. 中心稀疏波的产生假定活塞由静止突然向右加速至某一均匀速度,那么,在图中,活塞迹线1-4的长度便缩短为零,即图1-6;由图可见,由于活塞突然加速,在x ,t 图的坐标原点发出的所有压缩波汇聚成一道运动激波,向右传播;在活塞左边,同样由坐标原点发出一束左行稀疏波,把它称为中心稀疏波;波头与波尾之间的区域称为中心稀疏波区,波尾与活塞之间的区域属于均匀区,在该区中气流通过中心稀疏波区以后,被等熵地加速到等于活塞的速度；可以是亚音速的,等音速的,也可以是超音速的,究竟属于哪一种情况,完全由; 若要求通过稀疏波以等于音速u=a ,所需活塞的速度大小由方程2-15在波头和波尾之间积分来确定,即du =−2γ−1da ∫du u u 1=−2γ−1∫da aa 1所以U p =u =2γ+1a 1当活塞速度U p >2γ+1a 1时,波后气流将被加速到超音速,但是由于极限速度的存在,波后气流速度最大只能被加速到u max =2γ−1a 1逃逸速度;使波后气流速度达到逃逸速度的稀疏波称为“完全膨胀的稀疏波”; 2. 中心稀疏波的基本关系式中心稀疏波是简单波的一种特殊形式,因此,只要令简单波关系式中的任意函数f (u )=0,即可得到中心稀疏波的相应关系式; 对于右行波x =(u +a )tu −2γ−1a =K 20对于左行波x =(u −a )t +f(u)u +2γ−1a =K 10以左行中心稀疏波为例,可以直接解出u 和a 的表达式;u =2γ+1(xt +a 1) a =2γ+1a 1−γ−1γ+1xt由上述公式可见,u 和a 仅是x/t 的函数;根据中心系数波得基本关系式,可以确定整个波区的范围;波头前面气体u1=0,波尾通过以后,气体速度等于活塞速度,代入公式4-8,得到−a1≤xt ≤γ+12U p−a13.通过中心稀疏波时气体质点的加速度气体质点通过左行稀疏波时的速度由4-8确定; 加速度可表示为b=dudt =ut+u ux结合公式4-9,可得b=2a(γ+1)t。

一维不定常流体运动【参考文献】L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics, Chapter 10.Ya. B. Zel ’dovich and Yu. P. Raizer, Physics of Shock Waves and High-Temperature Hydrodynamic Phenomena, Chapter 1.我们简要学习理想流体的一维不定常流动，可以帮助我们理解ICF 中的流体力学过程。

对于理想流体，在不出现参数发生跃变的情况下，流体的熵是个常数，即 0.u s t x ∂∂⎡⎤+=⎢⎥∂∂⎣⎦如果初始时刻流体的参数不依赖于空间变量，那么流体的熵始终保持不变。

在这种情况下，流体的密度仅依赖于压强，().p ρρ=就只考虑流体的连续性方程和动量方程，()0,10.u t x u u p u t x x ρρρ∂∂+=∂∂∂∂∂++=∂∂∂ 利用绝热方程，连续性方程的形式可以改写为， 210s u u u u t x x p t x u u p c t x xρρρρρ⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤++=++⎜⎟⎢⎥⎢⎥p x ∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎝⎠∂∂∂⎡⎤=++⎢⎥∂∂∂⎣⎦=∂ 或10.p u p u c c t c x x ρ∂∂∂++=∂∂∂ 这个方程与动量方程结合，可以得到如下两个方程，1()()1()()u c u u c p t x c t x u c u u c p t x c t x ρρ∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤+−−+−=⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦0,0. 引入所谓的特征线，:,:,dx C u dt dx C u dt +−c c =+=− 那么沿着特征线C +，有如下方程， 10,du dp cρ+= 那么沿着特征线C −，有如下方程， 10,du dp cρ−= 引入所谓的Riemann 不变量，其定义为J ±dp d J u u c c ρρρ±=±=±∫∫，那么沿着特征线，是个常数。

6. 一维流动的数值模拟明渠非恒定流, 管道非恒定流特征线法, 差分法, 有限体积法6.1 特征线理论的基本思想例1：一维对流方程的初值问题0=∂∂+∂∂xu c t u (c = 常数) u (x ,0 ) = f (x )解析解为 u = f (x –ct ) —— 一个向右（c>0时）或向左（c<0时）传播的波形，c = 波的传播速度。

即：在x ～t 平面上，沿着斜率为 c dtdx=的直线（特征线）， u 保持不变。

特征线方程 c dt dx= 特征方程 0=dtdu例2： 方程 ()()()u t x c xu u t x b t u u t x a ,,,,,,=∂∂+∂∂ 沿着()()u t x a u t x b dt dx ,,,,=的方向上 ac x u b t u a a xu a b t u dt dx x u t u dt du =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=1两个常微分方程，一个自变量。

已知：某特征线的起点 u (x 0, t 0) = u 0取时间步长∆t ，特征线上下一个点为: t 1 = t 0 + ∆t ，t xxtx(t 0, x 0, u 0 )t u t x w x x ∆+=),,(00001 ()()t u t x a u t x c u u ∆+=00000001,,,,由此递推：t i+1 = t i + ∆t ，()t u t x w x x i i i i i ∆+=+,,1, ()()t u t x a u t x c u u i i i i i i i i ∆+=+,,,,1 （显格式）也可以用隐格式： ()t u t x w x x i i i i i ∆+=++++1111,,，()()t u t x a u t x c u u i i i i i i i i ∆+=+++++++1111111,,,,或： ()()()[]t u t x w u t x w x x i i i i i i i i ∆θ+θ-+=++++1111,,,,1()()()()()t u t x a u t x c u t x a u t x c u u i i i i i i i i i i i i i i ∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ+θ-+=+++++++1111111,,,,,,,,1 （ θ∈[0，1] ）特征线法体现了双曲型方程的波的传播性质。

流场：运动流体所占据的空间。

非（定）常流动：流线的形状和位置（不）随时间变化的流动。

流线：在稳定流动中，流场中每点都与速度矢量相切的曲线。

迹线：流体微团在流场中的运动的轨迹。

流管：通过流场中任一闭合曲线C（不是流线且包含流量）上各点作流线，由这些流线所围成的管子。

流谱：由许多流线及涡线组成的反映流体流动全貌的图形。

全压：静压（P）与动压(PV^2/2)之和。

粘性流体：有粘性的实际流体。

理想流体：粘性系数等于零的流体。

附面层：流体绕固态物体流动时在紧挨着物体壁面附近形成的粘性流体薄层。

转捩点：层流附面层与紊流附面层之间有一个过渡区，通常把它看成是一点。

分离点：附面层气流开始离开翼面的点。

相对弯度：最大弧高中的弧度与弦长的比。

相对厚度：翼型的最大厚度与弦长的比。

展弦比：展长与平均弦长之比。

根尖比：翼根弦长与翼尖弦长之比。

后掠角：机翼上有代表性的等百分弦线（如：前缘线、1/4弦线、后缘线）在XOZ平面上的投影与OZ轴之间的夹角。

迎角：翼弦与相对气流方向之间的夹角。

压力中心：机翼升力的作用点（升力作用线与翼弦的交点）。

压力系数：剩余压力与远前方气流动压之比。

剩余压力：气流静压与大气压力之差。

临界迎角：升力系数最大的迎角。

零升迎角：升力系数等于零的迎角。

升力系数斜率：增加单位迎角时的升力系数的增量。

摩擦阻力：气流与飞机表面发生摩擦形成的阻力。

压差阻力：由于空气粘性作用导致机翼前后压力不等而形成的阻力。

诱导阻力：由升力诱导而产生的阻力。

翼尖涡：由于空气的粘性作用及旋涡的相互作用，旋涡面在翼后不远处卷成两个大涡索。

侧滑：飞机对称面同相对气流方向不一致的飞行。

侧滑角：相对气流方向同飞机对称面之间的夹角。

升阻比：同一迎角下升力与阻力的比值。

总空气动力：飞机升力和阻力的合力。

有利迎角：升阻比最大的迎角。

飞机极线：横坐标表示阻力系数，纵坐标表示升力系数，迎角为参变量，把升力系数和阻力系数随迎角变化的规律用一条曲线表示出来，这条曲线叫做飞机极线。

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旋流排气管的一维非定常流动研究
朱伟平;高大明
【期刊名称】《华北电力大学学报(自然科学版)》
【年(卷),期】2005(032)006
【摘要】在不考虑摩擦,且管道通流面不变时,针对旋流排气管的一维非定常流动数理模型中旋流动量矩方程的特殊性,采用一种新型含有可导函数的变形加法分离变量法,导出满足该方程新的代数显式解析解.该解含有任意可导函数,即有无限多个解.由此提出了求解一阶线性齐次偏微分方程的新算法,即含有可导函数的加法分离变量法.理论研究表明,由加法分离变量法所得的解为自变量的任意可导函数都可满足该类方程.
【总页数】4页(P25-28)
【作者】朱伟平;高大明
【作者单位】华北电力大学,能源与动力工程学院,河北,保定,071003;华北电力大学,能源与动力工程学院,河北,保定,071003
【正文语种】中文
【中图分类】TK123
【相关文献】
1.旋流排气管内非定常几何一维流动的研究 [J], 朱伟平;高大明
2.排气管内二维非定常流动的计算研究 [J], 邓康耀;顾宏中;邬静川
3.进排气管一维非定常流动计算方法的比较 [J], 方适应;邓康耀;崔静;顾宏中
4.排气管中二维非定常流动的试验研究 [J], 邓康耀;顾宏中;邬静川
5.旋流排气管的一维非定常流动计算 [J], 邓康耀;顾宏中;陈吉荃
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阿伦尼乌斯方程的四种形式
阿伦尼乌斯方程是利用数学表达式来描述流体流动的方程之一，其四种形式分别为一维定常阿伦尼乌斯方程、一维非定常阿伦尼乌斯方程、二维定常阿伦尼乌斯方程和二维非定常阿伦尼乌斯方程。

一维定常阿伦尼乌斯方程用于描述一维稳态流动，是最简单的阿伦尼乌斯方程形式。

公式为：Q = A×V，其中Q是单位时间内经过横截面的液体体积，A是横截面积，V是液体的流速。

一维非定常阿伦尼乌斯方程用于描述一维非稳态流动，即具有时间变化的流量和速度。

公式为：dQ/dt + A(dV/dx) = 0，其中t是时间，x是位置。

二维定常阿伦尼乌斯方程用于描述二维稳态流动，即流体在平面内的流动情况。

公式为：(d/dx)(VxH) + (d/dy)(VyH) = 0，其中Vx
和Vy是x和y方向的速度，H是液体的厚度。

二维非定常阿伦尼乌斯方程用于描述二维非稳态流动，即流体在平面内具有时间变化的流量和速度。

公式为：(dH/dt) + (d/dx)(VxH) + (d/dy)(VyH) = 0。

这四种形式的阿伦尼乌斯方程在流体力学中有广泛的应用，能够帮助工程师和科学家理解流体流动的复杂性，以及设计和优化各种流体系统。

一维非定常连续流动一维非定常流动是指气流的速度和热力学参数仅与时间t和一个坐标变量x有关的流动，也就是说，在某一时刻，在任何一个垂直于x轴的平面上，气流的速度和热力学参数是不变的。

它包括连续流（等熵波）和间断流（激波、接触面）。

下面主要介绍连续流。

在进行讨论之前，首先假定气体为常比热完全气体（或称量热完全气体），忽略气流的粘性和热传导作用，流动过程是等熵的。

作为理解非定常连续流动的基础，首先介绍小扰动波的产生，传播及其简化分析。

一、小扰动波1.产生小扰动是指气流的速度和热力学参量的相对变化量都很小，例如声波就是一种小扰动波，它以声速传播，因此，通常人们把小扰动在介质中的传播速度称为声速。

对介质的扰动形式有很多，但总归起来不外乎速度不匹配和压力不平衡。

下面将要介绍的是由于活塞运动引起速度不匹配所产生的波。

在一个等截面无限长的圆管中，初始时刻，活塞及其两边的气体处于静止状态。

设活塞在很短的时间内，速度增加至du。

此后，它以匀速向右运动。

这时，活塞左右两边的气体同时受到一个微弱的扰动：右边的气体被压缩，左边的气体变得稀疏，其效果以小扰动波的形式向两边传播。

这种波通过以后，波后气体均以活塞的速度向右运动。

同时，右边气体压力增加一个微量dp，左边气体减小一个微量dp，这两种波分别称为小扰动压缩波和小扰动稀疏波。

上述两类小扰动波得传播过程在(x，t)图上的图示法如下压缩波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向一致，质点迹线靠近波面迹线；稀疏波通过以后，波后气流速度方向与波面传播方向相反，质点迹线偏离波面迹线。

对于运动的气体，压缩波后气体被加速，稀疏波后气体被减速。

2.传播定义向右为x轴的正方向，如果气体本身以u（代数值）的速度在运动，则波的传播速度为dxdt=u±a定义以速度(u+a)传播的波为“右行波”，以速度(u-a)传播的“左行波”。

对于右行波而言，气体质点一定从右边（x轴正向）进入波阵面，对于左行波而言，气体质点一定从左边（x 轴负向）进入波阵面。

定常流动流体（气体、液体）流动时，若流体中任何一点的压力，速度和密度等物理量都不随时间变化，则这种流动就称为定常流动；反之，只要压力，速度和密度中任意一个物理量随时间而变化，液体就是作非定常流动或者说液体作时变流动。

所以，定常流动时，管中流体每单位时间流过的体积(体积流量)qV为常量，流体每单位体积的质量(密度)ρ也是常量。

非定常流动流体的流动状态随时间改变的流动。

若流动状态不随时间而变化，则为定常流动。

流体通常的流动几乎都是非定常的。

分类按流动随时间变化的速率，非定常流动可分为三类：①流场变化速率极慢的流动：流场中任意一点的平均速度随时间逐渐增加或减小，在这种情况下可以忽略加速度效应，这种流动又称为准定常流动。

水库的排灌过程就属于准定常流动。

可认为准定常流动在每一瞬间都服从定常流动的方程，时间效应只是以参量形式表现出来。

②流场变化速率很快的流动：在这种情况下须考虑加速度效应。

活塞式水泵或真空泵所造成的流动，飞行器和船舶操纵问题中所考虑的流动都属这一类。

这类流动和定常流动有本质上的差别。

例如，用伯努利方程（见伯努利定理）描述这类流动，就须增加一个与加速度有关的项，成为：,式中为理想流体沿流线的速度分布；A和B表示同一流线上的两个点;P 为压强;为密度；g为重力加速度；z为重力方向上的坐标；ds为流线上的长度元。

③流场变化速率极快的流动：在这种情况下流体的弹性力显得十分重要，例如瞬间关闭水管的阀门。

阀门突然关闭时，整个流场中流体不可能立即完全静止下来，速度和压强的变化以压力波（或激波）的形式从阀门向上游传播，产生很大的振动和声响，即所谓水击现象。

这种现象不仅发生在水流中，也发生在其他任何流体中。

在空气中的核爆炸也会发生类似现象。

除上述三类流动外，某些状态反复出现的流动也被认为是一种非定常流动。

典型的例子是流场各点的平均速度和压强随时间作周期性波动的流动，即所谓脉动流，这种流动存在于汽轮机、活塞泵和压气机的进出口管道中。