流体力学气体的一维定常流动共27页文档

特性
由于气体一维流动中，气体参数 不随位置变化，因此流动是线性 的，可以应用一维流动方程进行 描述。
气体一维流动的分类
等熵流动
气体在流动过程中，熵值保持不变的 流动。等熵流动中，气体压力和密度 随速度增加而减小。
等温流动
气体在流动过程中，温度保持不变的 流动。等温流动中，气体压力和密度 随速度增加而增加。
火箭发动机喷管中的气体一维流动特性研究
总结词
火箭发动机喷管中的气体一维流动特性研究对于喷管 设计和火箭性能优化至关重要。
详细描述
火箭发动机喷管中的气体流动具有极高的速度和压力变 化，直接模拟三维流场非常困难且计算量大。因此，采 用一维流动模型进行研究和分析是常用的方法。一维流 动模型可以模拟喷管中气体的流动、加速和膨胀过程， 分析喷管的性能和特性。通过研究喷管中气体的流动特 性，可以优化喷管设计，提高火箭发动机的推力和效率 ，为火箭设计和发射提供重要的理论支持和技术保障。
动量守恒方程
表示动量在流动过程中的 变化，即动量在流场中不 增加也不减少。
能量守恒方程
表示能量在流动过程中的 变化，即能量在流场中不 增加也不减少。
初始条件和边界条件
初始条件
表示流动开始时流场中各物理量的值 。
边界条件
表示流场边界上各物理量的值或其变 化规律。
控制方程的离散化
有限差分法
将控制方程中的偏导数用差分近似代替 ，将连续的物理量离散为离散的数值。
有限差分法的优点是简单直观，易于编程实现，适用于各种类型的偏微分方程，特别是对波动问题和 稳定性问题有较好的处理能力。
有限元法
有限元法是一种将连续的物理量离散化为有限个单元，并在 每个单元上设置节点，通过节点上的等效源代替单元内的源 ，从而将偏微分方程离散化为线性方程组的方法。这种方法 在气体一维流动数值模拟中也有应用。

V2 k k RT RT0 2 k 1 k 1 ( k 1) 两边乘以 ，得 kRT
～
T0 k 1 2 1 M T 2
1.2 状态参数关系式
由等熵关系式
p0 0 k T0 kk1 ( ) ( ) p T
得
0 k 1 2 k1 1 (1 M ) 2 p0 k 1 (1 M ) p 2
p02 1k p02 S cv ln( ) cv (k 1) ln( ) p01 p01
p02 在增熵绝能流中，△S>0，则必定 p 1 ，即p02<p01,总 01
压下降。同理ρ02<ρ01，滞止密度下降。
1.2 状态参数关系式
设σ为两总压的比值即总压恢复系数，所以有
式中 a0 kRT0 ，T0称之为绝能滞止温度或滞止温度。 由上式可以看出，滞止温度沿流线保持不变。只要 知道滞止温度，则沿流线任意点处单位质量的气体 总能量就已确定。
1.2 状态参数关系式
在流线上任意点，如图所示的 测温计所测得的温度，就是T0。 单位质量气体微团的熵值为
在滞止状态的流线上取两点1和2，对于等熵流动 dS=S2-S1=0,则有 k 1 p02 01 01 p02 p01 k 1 ) 0 S2 S1 cv [ln( k ) ln( k )] cv ln(
在增熵流中σ<1，在等熵流中σ=1。在增熵流中说明有机 械能损失，而在等熵流中无机械能损失。σ越小机械能损 失越大。 2.临界状态：速度等于音速的状态。
p02 ， p01
临界状态的气流参数T*、P*、ρ*、V* 、a*分别称为 临界温度、临界压强、临界密度、临界速度和临界音速。
在临界状态V*=a，能量方程可写为 V2 a2 k 1 2 k 1 a kRT* C 2 k 1 2(k 1) 2(k 1) 其中T* 、a*均为常数。

（蓝金-许贡纽公式）。
第三节 正激波
气流经过激波时，部 分动能不可逆转变为 热能，气流受到剧烈 加热，温度增高，从 而使压强突跃引起的 密度突跃受到限制。
例题
• 设长管中静止空气参数p1=1.013×105Pa， T1=288K，γ=1.4。用活塞压缩气体以产生 激波，波后压强p2=1.1143×105Pa。求ρ2 ，T2，c2以及vs、vg。
• 激波出现时，另当考虑。
第四节 变截面管流
• 一、气流速度与通道截面的关系
dA dv dr 0 Av r
动量方 rvdv dp 程 c p / r
dp r vdv Ma2 dv
pp
v
p
r
C, dp dr pr
p / r RT , dp dr dT prT
气流加速必然伴随气体压 强、密度和温度的降低。
第三节 正激波
• 二、激波的形成和厚度
由于速度、温度等参数是连续变化的，实际的激波 是有厚度的。
Ma=2时，激波厚度为2.54×10-4mm，只有几个分 子平均自由行程。
第三节 正激波
• 三、正激波的传播速度
连续性方程
r2
r1 Ax
t
r2
Avs
0
vs x t
r2 r1 vs r2vg 0
vcr
ccr
12
2 1
cT
12
11 vmax
RTcr 1 2
2
1
RTT
12
Tcr 2
TT 1
pcr pT
2
1
1
1
rcr rT
2 1
1
第二节 气体特定状态和参考速度
速度系数
气流速度与临界音速之比称为速度系数，用M* 表示，即

工程流体力学
第六章 气体的一维定常流动
第一节 气体一维流动的基本概念
气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S熵
pp(V,T)
EE(V,T) SS(V,T)
比定容热容和比定压热容
cV 比定容热容 c p 比定压热容 两者的关系 cp cV
热力学过程
等温过程 p2 V1 p1 V2
绝热过程 dQ0
v
A
p dp 2 A dA
p dp
整理并略去二阶以上的无穷小量有
dF
v dv
vAdA v ddpF
dx
vdvdpdF0
A
单位质量流体的损失可以表示为
dF dx v2 A d 2
第七节 实际气体在管道中的定常流动
粘性气体的绝热流动微分关系式可表示为
vdvdpdxv2 0 d2
联立可导出
ddvdA0 v A
能量方程 由热力学
hcpTcR ppcpc pcVp1p
代入 得
v2
h 2 h0
声速公式
p v2 -1 2
h0
c2 v2 -1 2
h0
c
p
RT
完全气体状态方程
RTv2 -1 2
h0
第四节 气流的三种状态和速度系数
滞止状态 ： 气流速度等熵地滞止到零这时的参数称为滞止参数
d 2
0 .025
q m cv c rr 4 2 .86 35 .3 2 3 3 14 1 .80 ks g 76
第六节 喷管流动的计算和分析
缩放喷管
流量
1
qm,crAt212-1 p00
由连续方程求得
A A crccr At Acr v

M数很小，说明单位质量气体的动能相对于内能而言很小， 速度的变化不会引起气体温度的显著变化 ，对不可压流体来 说，不仅可以认为密度是常值而且温度T也是常值。
流动参数增加为四个：p、ρ、T、和u，
已经有了三个基本方程，它们是：状态方程、连续方程和理想 流的动量方程（即欧拉方程）。
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规
律
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总结
临界流速达到当地声速cf ,cr kpcr / cr
喷管 dcf>0
Ma<1 dA<0 渐缩
Ma=1 dA=0 临界截面
Ma>1 dA>0 渐扩
Ma<1→Ma>1 dA<0→dA>0 缩放（拉伐尔）
dc f d cf
Ma<1
dc f d cf
dc f d cf
dc f d cf
(c)
在的垂直平面的下游半空间(成为扰动
B
2 3
区)内传播，永远不可能传播到上游半
4
空间(成为寂静区)。
u+c0=2c0 →
3c
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2
4
二、亚、超声速流场中小扰动的传播特性
气流A超马声赫锥速流动 Ma>1
vc
vc
由的图扰可动o 见波，不2由 仅c 于 不3c能u>向c0上，游相传对播气，流反传而播被
2）对于气体等可压流，流速的变化取决于截面和密度的综合 变化。超音速时比体积的增加要大于流速的增大，因此，只 有增大通流面积才能保证通过一定不变的质量流量。
一、声速和马赫数
小扰动在弹性介质中的传播速度为声速，气体经历小扰动而压 缩及恢复过程并无能量损耗，作定熵过程处理，对理想气体：

1 1

1 2 1 M* 0 1
1 1
0 1 2 1 Ma 2
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
第六章 气体的一维定常流动
第五节 气流参数与通道截面 之间的关系
变截面一维定常等熵流动模型
§6-1 气体一维流动的基本概念
气体的比热容
比热容：单位质量物质温度升高 1K 或 1 ℃ 时所 吸收的热量。 单位质量气体升高 1K 或 1 ℃ 时所吸收的热量与 热力学过程有关，故气体的比热容不唯一。 定容比热容cV：容积不变条件下的比热容。 定压比热容cp：压强不变条件下的比热容。 比热比γ：定压比热与定容比热的比值。
v h h0 2
c v h0 1 2
2 2
2
v h0 1 2 v RT h0 1 2

p
2

2
cp p cp p p h R cp cV 1
§6-3 气体一维定常流动的基本方程
第六章 气体的一维定常流动
第四节 气体流动的三种状态 和速度系数
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
速度系数
速度系数的优点在于： 临界声速是常数，故速度系数与流动速度成 线性正比关系； 速度存在极限速度，故速度系数的极限是有 限值。
vmax 1 M *max ccr 1
v M* ccr
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
滞止状态
气流速度减到零时的状态称为滞止状态，对应 的流动参数称为滞止参数或总参数。 能量方程可以写为
1 v2 v2 T T T0 R 2 2cp
c

v1
v2
2.斜激波
波面与气流方向不垂直的平面激波
Ma1>1
2< 2 max
3.曲激波
波面与气流方向不垂直的曲面激波
Ma1>1 2< 2 max
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工程流体力学
0 B 气体的一维流动 第七章 A
二、正激波的形成和厚度
1.正激波的形成
第一道波 波前当地声速 c1 dvg1
p1 1 T1
0 p B A
2 T0 c0 1 2 2 1 Ma T c 2

0 1 2 11 (1 Ma ) 2
p0 1 2 1 (1 Ma ) p 2
10
工程流体力学
第七章 气体的一维流动
二、极限状态
假定气体的分子无规则运动的动能（即气流的 静温和静压均降到零）全部转换成宏观运动动能的 状态称为极限状态。
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工程流体力学
第七章 气体的一维流动
2 v2 1 2 ( 1) Ma1 2 2 v1 M *1 ( 1)Ma1 2 2 ( 1)Ma1 2 M *1 2 1 2 ( 1)Ma1 2 p2 ( 1)M * 2 2 1 1 ( 1) Ma 1 2 p1 ( 1) ( 1)M *1 1 1
2.正激波的厚度
激波是有厚度的， 激波厚度随马赫数的增大二迅速减小， 激波的厚度非常小，通常忽略不计， 实际计算中将激波作为间断面来处理。
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工程流体力学
第七章 气体的一维流动
三、正激波的传播速度
vg
2
p2 , 2 , T2
1
vs
p1 , 1 , T1
x vs t

6-3 气体一维定常流动的基本方程
连续性方程
ρvA = 常数
dρ
dv dA + + =0 v A ρ
能量方程
cp p p κ p = = cp = h = c pT Rρ c p − cV ρ κ − 1 ρ
代入
v h+ = h0 得 2
2
κ p v2 + = h0 κ -1 ρ 2
κp c= = κRT ρ
c = κRT
⇒ c = 20.05 T
1 声速的大小与流动介质的压缩性大小有关，流体越容易 声速的大小与流动介质的压缩性大小有关， 压缩，其中的声速越小， 压缩，其中的声速越小，反之就越大 2 声速随流体参数而变化，通常我们说的声速是指特定点 声速随流体参数而变化， 上的声速， 上的声速，称为当地声速
⇒
c2 v2 + = h0 κ -1 2
v2 κ RT + = h0 κ -1 2
6-4 气流的三种状态和速度系数
滞止状态
2 vv 2 h + = h0 T0 T+ = 2c p
cp =
2
κR κ −1
v2 Ma = 2 c
c 2 = κRT
}
T00 c0 v 2 κ − 1 T = 1 +2 κ= 2 = 1 + 2 Ma 2 T T c 2c pTc κR 2
⇒
vmax =
2κR T0 κ −1
α = arcsin
1 = arcsin 1.5 = 41.8 Ma
设飞机在观察站上方时,马赫波与地面交点离观察站距 设飞机在观察站上方时 马赫波与地面交点离观察站距 离为l, 时间t后到达观察站 离为 时间 后到达观察站 l =Vt = Hctgα

第七章 气体的一维流动
三、马赫数
马赫数：气体在某点的流速与当地声速之比定义为该点气流的马 赫数，用Ma表示。
Ma v / c
马赫数是零量纲速度 完全气体
Ma2 v2
RT
过程装备与控制工程教研室
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第七章 气体的一维流动
Ma v / c
马赫数代表的是气体的宏观运动动能与气体内分子运动动能之比。 在气体流动的分析和计算中，将以马赫数作为判断气体压缩性的影响
波后气体以和活塞同样的微小速度dv运动。
过程装备与控制工程教研室
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第七章 气体的一维流动
微弱压强波在圆管中的传播速度c
假定微弱压强波的波面已传到A-A，右侧尚未传 到，速度为零，压强为p，密度为ρ；
A-A的左侧是已受扰区，气体速度为dv，压强为 p+dp，密度为ρ+dρ；
对静止观测者，流动是非定常的； 如果取以波速c同步运动的坐标观测该流场，则流
动是定常的。
过程装备与控制工程教研室
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第七章 气体的一维流动
取图中虚线部分为控制面 流体始终以速度c流向波面，压强和密度分别为p、ρ 流体又始终以c-dv的速度离开波面，其压强和密度分别为p+dp，
ρ+dρ 由连续方程 (ρ+dρ)(c-dv)A- ρcA=0
ρcA-ρdvA+ cdρA- dρdv A -ρcA=0 略去二阶微量 cdρ=ρdv
过程装备与控制工程教研室
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第七章 气体的一维流动
倘若管内的活塞突然以微小的速度dv向左运动
首先使紧靠活塞右侧的一层气体膨胀，这层气体膨胀后，接着又 使下一层气体膨胀，一层一层地依次传下去，便在管内形成一道 以速度c向左传播的微弱膨胀波。

为两总压的比值即总压恢复系数， 设σ为两总压的比值即总压恢复系数，所以有 σ = 在增熵流中σ<1，在等熵流中σ=1。 在增熵流中σ<1，在等熵流中σ=1。在增熵流中说明有机 σ<1 σ=1 械能损失，而在等熵流中无机械能损失。 械能损失，而在等熵流中无机械能损失。σ越小机械能损 失越大。 失越大。
∆ρVB = ( ρ + ∆ρ )∆V
（1）
由于动量守恒， 由于动量守恒，该空间内动量的增加应等于压力冲 量加上从左方流进该空间的动量， 量加上从左方流进该空间的动量，即
1.1 扰动传播速度和音速
简化得 将式(1)代入式(2),得 将式(1)代入式(2),得 (1)代入式(2), （2）
此式就是任意强度的扰动传播速度。 此式就是任意强度的扰动传播速度。 三、音速 若扰动是微弱的，则气体受扰动后物理参数的变化 若扰动是微弱的， 很微弱， 都可作为无限小量来处理。 很微弱，即△p和△ρ都可作为无限小量来处理。在极限 情况下， 情况下，上式可以写成
p02 ， p01
2.临界状态：速度等于音速的状态。 2.临界状态：速度等于音速的状态。 临界状态 临界状态的气流参数T*、P*、ρ*、V* 、a*分别称为 临界状态的气流参数T 临界温度、临界压强、临界密度、临界速度和临界音速。 临界温度、临界压强、临界密度、临界速度和临界音速。 在临界状态V =a， 在临界状态V*=a，能量方程可写为 V2 a2 k +1 2 k +1 + = a = kRT* = C 2 k − 1 2(k − 1) 2(k − 1) 其中T 均为常数。 其中T* 、a*均为常数。
1.1 扰动传播速度和音速
一、基本概念 1.扰动 扰动： 1.扰动：气流绕物体流动或物体在空气中运动时气体的物 理参数( 会发生变化， 理参数(ρ、p、v、t）等，会发生变化，这种现 象称之为气体受到物体的扰动。 象称之为气体受到物体的扰动。 2.弱扰动 弱扰动： 2.弱扰动：气体受到扰动后其物理参数相对原来的数值变 化不大，叫弱扰动。 化不大，叫弱扰动。 3.强扰动 强扰动： 3.强扰动：气体受到扰动后其物理参数相对原来的数值变 化很大，叫强扰动。 化很大，叫强扰动。 4.扰动的传播 扰动的传播： 4.扰动的传播：气体受到扰动后除其扰动点周围气体的参 数发生变化外会引起由近及远处气体参数的变化， 数发生变化外会引起由近及远处气体参数的变化， 这种现象称之为扰动的传播。 这种现象称之为扰动的传播。 5.波阵面 扰动总是从已被扰动区向未被扰动区传播、 波阵面： 5.波阵面：扰动总是从已被扰动区向未被扰动区传播、扰 动区与被扰动区的界面称之为波阵面。 动区与被扰动区的界面称之为波阵面。

c
vmax c0 c v 1 2 2 1
2
2
2
2
c0
vmax v
§6-4 气体流动的三种状态和速度系数
临界状态
流体等熵膨胀时，当 v=c 时， Ma=1 ，该状态称 为临界状态。
2 1 ccr c0 vmax 1 1 2RT0 ccr RTcr 1
基本假设： 完全气体一维定常流动； 截面积变化是影响流动变化的唯一因素； 忽略摩擦、传热、质量力等因素； 流动是等熵流动。
微弱扰动的传播
若气体静止，而扰动源以亚声速、声速、超声 速运动，则扰动波的传播规律仍是类似的。 微弱扰动在亚声速流动中可以传遍全流场，而 在超声速流中只能向下游传播，并被限制在马 赫锥之内，这是两者的最重要区别。
§6-2 微弱扰动在气体中的传播
第六章 气体的一维定常流动
第三节 气体一维定常流动 的基本方程
§6-1 气体一维流动的基本概念
气体的比热容
比热容：单位质量物质温度升高 1K 或 1 ℃ 时所 吸收的热量。 单位质量气体升高 1K 或 1 ℃ 时所吸收的热量与 热力学过程有关，故气体的比热容不唯一。 定容比热容cV：容积不变条件下的比热容。 定压比热容cp：压强不变条件下的比热容。 比热比γ：定压比热与定容比热的比值。
速度系数
马赫数与速度系数的关系
2 2 M* 1 Ma 2 1 2 1 M* 1
M* < 1 M* = 1 M* > 1
1 1
亚声速流动 声速流动 超声速流动
M*
1
M*
2
1
1
2
2
Ma 2 Ma
2
1

第六章气体的一维流动
汇报人：XX
目录
• 气体一维流动基本概念 • 等熵流动过程分析 • 喷管设计与性能分析 • 气体一维流动中的激波现象 • 膨胀波与压缩波在气体一维流动中应用 • 总结与展望
01
气体一维流动基本概念
Chapter
一维流动定义及特点
01
02
一维流动定义：气体流 动时，若其流动参数（ 如速度、密度、压力等 ）仅在一个方向上发生 变化，而在其他两个方 向上保持均匀一致，则 称这种流动为一维流动 。
气体一维流动的精确测量对实验设备 和测量技术提出了较高要求。目前， 尚需进一步提高测量精度和效率，以 满足日益增长的工程需求。
03
多场耦合分析
在气体一维流动过程中，流动、传热 、化学反应等多场耦合作用显著。如 何进行多场耦合分析，揭示各场之间 的相互作用机制，是当前研究的难点 之一。
未来发展趋势和前景
02
等熵流动过程分析
Chapter
等熵流动条件及特点
条件
流动过程中没有热交换，即熵值保持 不变。
特点
流动过程中，气体的密度、压力和速 度等参数发生变化，但熵值保持不变 。
亚声速等熵流动过程
亚声速等熵流动特 点
气流速度减小时， 压力和密度增加。
亚声速流动定义： 气流速度小于当地 声速的流动。
气流速度增加时， 压力和密度减小。
要点三
智能化技术应用
人工智能、大数据等智能化技术的发 展将为气体一维流动研究提供新的思 路和方法。通过智能化技术可以对大 量实验数据进行深度挖掘和分析，发 现新的规律和现象，推动气体一维流 动研究的创新发展。
THANKS
感谢观看
采用新材料和制造
工艺

41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
流体力学气体的一维定常流 动
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
45、自己的饭量自己知道。——苏联

v=0
v c， Ma 1 (亚声速)
v = c Ma = 1 （跨声速）
v>c
Ma > 1（超声速）
（4）扰动源以大于声速的速度运动， 即：v > c Ma > 1（超声速）。 扰动源将永远走在所产生的扰动之前。 马赫锥 —— 扰动波面形成的一个空间圆面。 马赫角 —— 马赫锥半顶角。 sin = c / v = 1 / Ma 在不可压缩流体中，由于声速接近无穷大， 扰动将立刻传至各处，扰动源永远不会到达扰动 波的前方。在可压缩流体中，当Ma≪1时，扰动 的传播特征与不可压缩流体相近，因此，对于低 速流体，可以按不可压缩流体来处理。
dp
v2 C 2
1 1
对于做等熵流动的理想气体，有：
p

则：
C （绝热方程式） 即 p C
1
dp dp p1 C C
1
1

1 1 dp p p p 1 p 1 1 1
2、伯努利方程
根据三个限制条件曾对欧拉运动微分方程 （理想流体运动微分方程）化简后得：
v2 gdz d 2 dp
忽略质量力(重力)，g = 0
2 dp v d 2
0
得：
dp 或 v d v 0
积分上式得：

c 1.4 287T 20.1 T m s
二、马赫数 1、马赫数的定义：气体流动速度 v 与其本身(该 介质中) 的声速 c 之比。 记为：Ma = v / c 马赫数反映了气体的可压缩性程度，是气体 可压缩性效应的一个重要度量。
气体动力学依据马赫数对可压缩气体流动进行分类: Ma 1 即 v c， 为亚声速流动； Ma 1 即 v c， 为(跨)声速流动(兼有亚 声速区和超声速区)； Ma >1 即 v > c， 为超声速流动。

连续性方程 一维定常流的连续 性方程式
A C
取对数后微分得
d dv dA 0 v A
能量方程
由热力学,单位质量气体的焓可以表示为：
c c p p pp p h c T p R c c 1 p V
对于气体的一维定常绝热流动，质量力 可以忽略，所以有
第六章 气体的一维定常流动
本章的任务是讨论完全气体一维定常流动， 另外还讨论一维定常等截面摩擦管流和等截面 换热管流。
第一节 气体一维流动的基本概念
一、气体的状态方程
T 热力学温度 E 流体的内能 S
p p ( V ,T )
E E ( V ,T )
熵
SS ( V ,T )
上述方程为热状态方程，或简称为状态方程。
p2
2
T2
c dv

p1
1
T1
活塞以微小的速度dv向右 运动,产生一道微弱压缩波, 流动是非定常的
选用与微弱扰动波一起运动的相 对坐标系作为参考坐标系,流动转 化成定常的了
由连续方程
d c d A v cA 0 1 1
(1)
1 1
dv 略去二阶微量 cd 1
c
p
完全气体状态方程

RT
v2 RT h 0 -1 2

等熵指数。
第四节 气流的三种状态和速度系数
气体在运动过程中有速度为零和以声速运动的 状态，为了计算分析问题起见，还假定一种热力 学温度为零的极限状态。 在这三种状态下，可推导出一些极具应用价值 的公式；本节建立气体在三种状态下的有关计算 公式，并介绍与此相关的速度系数。
当Ma=1时， 90°，达到马赫锥的极限位 置，即图（c）中AOB公切面，所以也称它为 马赫锥。当Ma＜1时，微弱扰动波的传播已无 界，不存在马赫锥。