傅里叶变换公式
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An
﹡﹡﹡
n
﹡﹡﹡
0 2
0 2
周期信号的频谱三个特点：离散性、谐 波性、收敛性 例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶
级数并画出频谱图 解：
x(t) … T -A A … t
解： 信号的基频
非对称周期方波 周期方波
2 0 T
傅里叶系数
奇函数： a 0 a n 0 t 的偶函数 T
bn
2 2 T x (t ) sin n 0tdt T 2
4 T 2A 2 A sin n 0tdt 1 cos n 0 T n 4A n为奇数 n 0 n为偶数
n次谐波的幅值和相角
2 2 An a n bn bn
4A n n ， 2 ( n 1,3,5, )
最后得傅立叶级数
x (t )
n
4A cos( n0t ) n 2
( n 1,3,5,)
频谱图
4A
An 4 A 4A φ … ω 5ω 0
n
3 5
3ω 0
An
A1
c1 A2 cn
A1 2
c2
0 2 0 n 2 0 2 0 1
单边频谱
0 2 0
n 1 1 2 0 2 0
0 1
2
2 0
双边频谱
第二种：实谱频谱图:Recn-，虚频谱图： Imcn-；也就是an- 和-bn- . #
1 x (t ) 2
X ( )e jt d
傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信 号可以分解为角频率 连续变化的无数 谐波 1 X ( )e jt d 2 的叠加。 称X()其为函数x(t)的频谱密度函 数。
对应关系：
1 j t jn 0 t X ( ) d e c e n 2
其中an，bn的计算公式与三角函数形式相 同，只是n包括全部整数。 一般cn是个复数。 因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数， 因此 #
an a n bn bn
即：实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。 cn的复指数形式
cn cn e j n
共轭性还可以表示为 ， 即：cn与c-n模相等，相角相反。 傅立叶级数复指数也描述信号频率结 构。它与三角函数形式的关系 对于n>0
X()描述了x(t)的频率结构 X()的指数形式为
X () X () e j ( )
以频率 f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)， 得
X(f)
x ( t )e j 2
f t
dt
x (t )
X ( f ) e j 2 f t df
X( f )的指数形式
2 an (bn ) 2 An cn 2 2
cn c－n
n n
（等于三角
函数模的一半）
bn n arctg an
（与三角函数形式中的
相角相等）
c n An 2
bn b arctg n an an
n arctg
用cn画频谱：双边频谱 第 一 种 ： 幅 频 谱 图 :|cn|- ， 相 频 谱 图:n-
<page break>
§2－3
非周期信号与连续频谱
分两类： a.准周期信号 定义：由没有公共周期（频率）的周期 信号组成 频谱特性：离散性，非谐波性 判断方法： 周期分量的频率比 （或周期 比）不是有理数 b.瞬变非周期信号
x(t) x(t) x(t)
t
t
t
几种瞬变非周期信号 数学描述：傅里叶变换 一、 傅里叶变换 演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（2.22）借助（2.16）演变成：
x(t ) (t t0 ) x( ) (t t0 ) d
x(t t0 ) (t t0 ) d
x(t t0 )
结论：平移
x(t)
(t t 0 )
x (t t 0 )
t0
（三）脉冲函数的频谱
t
(t ) ( f ) (t )e j 2 ft dt 1
x(t ) y (t ) x( ) y(t )d
（2）卷积定理
FT x(t ) y(t) X ( f )Y ( f ) FT x(t ) y (t ) X ( f ) Y ( f )
三、 脉冲函数及其频谱 （一） 脉冲函数： x(t) x(t) (t ) 1/
N 次谐波的幅值 些不
n 1
N 次谐波的频率 些不 N 次谐波 些不
x(t ) a0 An cos( n 0t n )
信号的均值， 直流分量 些不
N 次谐波的相角 些不
2 2 An an bn
n arctg
bn an
n 1, 2, 3,
周期信号可以看作均值与一系列谐波之和 --谐波分析法 频谱图
在脉冲发生时刻的函数值 2.脉冲函数与任意函数乘积的积分 等于该函数在脉冲发生时刻的的值。 2． 脉冲函数的卷积性质： (a) 利用结论2
x(t ) (t ) x( ) (t )d
x ( t ) ( t ) d
x (t )
(b) 利用结论2
ω0
2
…ω
幅频谱图
相频谱图
二、 周期信号傅里叶级数的复指数形 式 欧拉公式
e j t cos t j sin t
或
1 j t j t cos t e e 2 j sin t e j t e j t 2
FT
均匀幅值谱 由பைடு நூலகம்导出的其他3个结果
FT (t t 0 ) e j 2 ft
0
（利用时移性
质）
FT 1 f f
（利用对称性
质）
FT e j 2f0 t ( f f0 )
（对上式，
再用频移性质）
（四）正弦函数和余弦函数的频谱
简谐信号及其三个要素
x0 cos( 0t 0 )
幅值 频率 相角
频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方 法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之 和，每一个谐波称作该信号的一个频率 成分，考察信号含有那些频率的谐波， 以及各谐波的幅值和相角。
<page break> §2－2 周期信号与离散频谱
一、 周期信号傅里叶级数的三角函数 形式 周期信号时域表达式
x(t ) x(t T ) x(t 2T ) x(t nT ) ( n 1 ， 2， )
T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无 终”
#
傅里叶级数的三角函数展开式
x (t ) a0 ( an cos n0t bn sin n0t )
x(t) 弹簧 刚度 K
x(t) 质量 M x0 o t
质 量－弹簧 系 统的力学模型
k x (t ) A cos m t 0
非确定性信号（随机信号） ：给定条件下 取值是不确定的 按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号： 属于离散信号， 幅值离散， 并用二进制表示。 信号描述方法 时域描述 如简谐信号
n 1
（n=1, 2, 3，…）
傅立叶系数：
1 a0 T 2 an T bn 2 T
T 2
T 2 T 2
x(t )dt
T 2 T 2
x(t ) cos n 0tdt x(t ) sin n 0tdt
T 2
式中 Ｔ--周期；0--基频, 0=2/T。 三角函数展开式的另一种形式：
(t t 0 )
x(t)
t
t0
t
函数值：
t 0 x(t ) (t t0 ) 0 t 0
强度：
x(t ) (t t 0 )dt x(t 0 ) (t t 0 ) dt x(t0 )
结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t)
第2章
信号分析
本章提要
信号分类 周期信号分析--傅里叶级数 非周期信号分析--傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号： 反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法 和手段
§2－1
信号的分类
两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定 的。 进一步分为：周期信号， 非周期信号。
cos 2 ft 1 j 2 ft 1 1 FT j 2 ft e e ( f f 0 ) ( f f 0） 2 2 2
sin 2 ft j j 2 ft j j FT j 2 ft e e ( f f 0 ) ( f f 0） 2 2 2
x(t)的傅里叶变换X(ω ) 1 j t x (t ) x ( t ) e dt 2
e j t d
定义x(t)的傅里叶变换X(ω )
X ( ) x(t ) e j t dt
X(ω )的傅里叶反变换x(t):
-/2 /2
A
A (t t 0 )
t
t0
t
定义函数 （要通过函数值和面积两方面定 义） 函数值：
t 0 (t ) 0 t 0
