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不变子空间的充要条件不变子空间是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵和线性变换的研究中起着关键的作用。
在深入探讨不变子空间的性质之前，我们首先需要了解什么是子空间和线性变换。
子空间是指向量空间中的一个非空子集，它满足以下三个条件：首先，子空间中的任意两个向量的和仍然在子空间内；其次，子空间中的任意向量与任意标量的乘积仍然在子空间内；最后，子空间中包含零向量。
线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量，且保持加法和标量乘法运算。
简而言之，线性变换是一种保持线性性质的变换。
在研究线性变换时，我们经常关注的是它的不变子空间。
不变子空间是指在线性变换之后，向量空间中的某个子空间仍然保持不变。
具体来说，如果一个向量空间V经过线性变换T之后的子空间W 满足T(W) = W，那么W就是线性变换T的一个不变子空间。
接下来，我们将讨论不变子空间的充要条件。
设V是一个向量空间，T是V上的一个线性变换，W是V的一个子空间。
那么W是线性变换T的一个不变子空间的充要条件有两个方面：充分条件：如果W是线性变换T的一个不变子空间，那么对于W中的任意一个向量w，都有T(w)属于W。
换句话说，线性变换T作用在W中的任意一个向量上得到的结果仍然在W中。
必要条件：如果对于W中的任意一个向量w，都有T(w)属于W，那么W是线性变换T的一个不变子空间。
换句话说，线性变换T作用在W中的任意一个向量上得到的结果仍然在W中，则W是线性变换T的一个不变子空间。
通过充分条件和必要条件的双向推导，我们可以得出不变子空间的充要条件。
简而言之，不变子空间的充要条件是：对于W中的任意一个向量w，都有T(w)属于W，同时对于W中的任意一个向量w，都有T(w)属于W。
接下来，我们具体讨论一下不变子空间的性质。
首先，我们可以证明一个线性变换T的不变子空间必然包含零向量。
因为线性变换T 对于向量空间V中的零向量的作用结果仍然是零向量，所以零向量一定属于不变子空间。
关于不变⼦空间与特征⼦空间的专题讨论不变⼦空间命题：设σ为欧⽒空间V的对称变换，则σ的不变⼦空间W的正交补也是σ的不变⼦空间命题：设σ为n维欧⽒空间V的正交变换，则σ的不变⼦空间W的正交补W⊥也是σ的不变⼦空间，且W与W⊥均为σ−1的不变⼦空间参考答案命题：σ∈L(V,n,F)，σ有n个不同特征值λ1,⋯,λn，⽽W是σ的⼀个r维不变⼦空间，则σ在W上的限制σ|W有r个不同特征值，并且为λ1,⋯,λn中的r个命题：设T为有限维线性空间V的线性变换，W为V的T−不变⼦空间，则T|W最⼩多项式整除T的最⼩多项式命题：设σ∈L(V,n,F)，f(λ)为σ的特征多项式，则f(λ)在数域F上不可约的充要条件是V⽆关于σ的⾮平凡不变⼦空间命题：设σ是n维线性空间V的可对⾓化的线性变换，W是σ的不变⼦空间，则(1)存在σ的不变⼦空间W′，使得V=W⊕W′(2)设σ|W是σ在W上的限制线性变换，则σ|W可对⾓化命题：设f(x)为数域F上的线性空间V的线性变换σ的最⼩多项式，f(x)=p(x)q(x)，其中p(x)q(x)为数域F上的不同的不可约多项式，则存在σ的不变⼦空间V1,V2，使得V=V1⊕V2，且σ|V1的最⼩多项式为p(x)，σ|V2的最⼩多项式为q(x)命题：设σ∈L(V,n,F)，λ1,λ2,⋯,λs是σ的互不相同的特征值，且V=Vλ1⊕Vλ2⊕⋯⊕VλsW是σ的不变⼦空间，则(1)W=W∩Vλ1⊕W∩Vλ2⊕⋯⊕W∩Vλs(2)W的每⼀个向量η可唯⼀表⽰为η=ξ1+ξ2+⋯+ξs，其中ξi∈Vλi∩W,i=1,2,⋯,s(3)若σ有n个互异的特征根，求出σ的所有不变⼦空间命题：设σ是n维线性空间V的⼀个线性变换，V有由σ的特征向量构成的基，证明：V的任意⾮零的σ不变⼦空间W必有由σ的特征向量构成的基1命题：(10中科院六)设σ为n(n⩾维实线性空间V的线性变换，证明：\sigma⾄少有⼀个维数为1或2的不变⼦空间特征⼦空间\bf命题：设A为n阶矩阵，若存在n维列向量\alpha ，使得\alpha ,A\alpha , \cdots ,{A^{n - 1}}\alpha 线性⽆关，则A的特征⼦空间都是⼀维的\bf命题：附录(不变⼦空间)\bf命题：设\sigma为复线性空间V的线性变换，证明：\sigma相似于对⾓阵充要条件是对任意的\sigma不变⼦空间U，都有\sigma不变⼦空间W，使得V = U \oplus W1\bf命题：()()()Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js。
不变子空间的限制一、什么是不变子空间？在线性代数中，一个向量空间的子空间是指该向量空间中的一个非空集合，它构成了一个向量空间。
不变子空间是指在线性变换下保持不变的子空间。
二、不变子空间的性质1. 零子空间是任何线性变换的不变子空间。
零子空间由零向量组成，它不受线性变换的影响。
2. 原像空间是线性变换的不变子空间。
原像空间由所有使得线性变换映射到零向量的向量组成。
3. 列空间是线性变换的不变子空间。
列空间由线性变换的所有可能输出向量组成。
4. 零空间是线性变换的不变子空间。
零空间由所有使得线性变换映射到零向量的向量组成。
5. 行空间是转置线性变换的不变子空间。
行空间由转置线性变换的所有可能输出向量组成。
三、不变子空间的应用1. 在计算机图形学中，不变子空间被用来描述物体的形变。
通过找到形变前后的不变子空间，可以实现对物体的形状进行变换而不改变其整体结构。
2. 在量子力学中，不变子空间被用来描述粒子的自旋。
自旋是粒子的固有属性，它在旋转变换下保持不变，因此自旋构成了一个不变子空间。
3. 在控制理论中，不变子空间被用来设计控制系统。
通过找到系统的不变子空间，可以设计出能够稳定系统的控制器。
4. 在机器学习中，不变子空间被用来降维和特征提取。
通过找到数据的不变子空间，可以将高维数据映射到低维空间，从而减少计算复杂度和提高算法的效率。
5. 在信号处理中，不变子空间被用来分离信号和噪声。
通过找到信号和噪声的不变子空间，可以将它们分离开来，从而提高信号的质量。
四、不变子空间的计算方法1. 对于线性变换，可以通过求解其特征值和特征向量来得到不变子空间。
特征向量对应于特征值所构成的不变子空间。
2. 对于矩阵，可以通过求解其零空间和列空间来得到不变子空间。
零空间是矩阵的特征值为零所构成的不变子空间，列空间是矩阵的特征值不为零所构成的不变子空间。
3. 对于转置线性变换，可以通过求解其零空间和行空间来得到不变子空间。
零空间是转置线性变换的特征值为零所构成的不变子空间，行空间是转置线性变换的特征值不为零所构成的不变子空间。
一个线性变换的所有不变子空间探讨摘 要线性变换的不变子空间理论是高等代数的重要理论之一,但是对于一个线性变换的所有不变子空间，在高等代数教材中也只是简单的讲解一下，于是本文对它做了更进一步的讨论.本文首先给出了线性变换与不变子空间的定义，然后介绍线性变换以及不变子空间的性质，讨论了复数域及一般数域P 上的线性空间的线性变换的不变子空间.同时本文总结了求解一个线性变换所有不变子空间的方法，并且结合一些实例加以应用.关键词：线性变换，子空间，不变子空间引言线性变换与不变子空间是高等代数中的重要的概念，但是对于一个线性变换的所有不变子空间的探讨，在高等代数教材中也只是粗略的讲解一下.为了增加这方面的知识，本文首先给出了线性变换，子空间的定义和不变子空间的性质,由线性变换与不变子空间的相关定理,得出复数域上和一般数域P 上的线性变换的所有不变子空间. 这样对每一个具体的线性变换,我们能表示出它的不变子空间,所以本文尝试探究一个线性变换的所有不变子空间的求法，又给出了一些具体应用事例.本文如不特别指明,所考虑的线性空间V 都是某一数域P 上的线性空间V，线性空间V 上的线性变换的集合为L(V).一、预备知识（一）、线性变换和不变子空间定义定义1[1] 线性空间V 的一个变换σ称为线性变换,如果对于V 中任意的元素,αβ和数域P 中任意数k ，都有()()()σαβσασβ+=+()()k k σασα=定义2[1] 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换,W 是V 的子空间.如果W中的向量在σ下的像仍然在W 中,换句话说,对于W 中任意一个向量ξ,有(),W σξ∈我们W是σ的不变子空间,简称σ-子空间.（二）、不变子空间的性质性质1[2] 设()L V σ∈，1V ，2V 都是σ的不变子空间，则1212,V V V V + 都是σ的不变子空间. 性质2[2] 设()L V σ∈，若1V 为σ的不变子空间，则1V 也是()f σ的不变子空间，其中()f x 是数域P 上x 的多项式. 性质3[3] 设()L V σ∈，若σ可逆且1V 为σ的不变子空间，则1V 也为1σ-的不变子空间.性质4[3] 设W 是线性变换σ，τ的不变子空间，则W 在στ+，στ下也不变.二、复数域上线性变换的所有不变子空间我们来研究Jordan 块mmJ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ11定理4[2] 设V 是复数域上n 维线性空间，σ是V 的线性变换，在基1α，2α， ，n α 下的矩阵是一若当标准形11A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭证明：σ有且仅有{}0和以下非零不变子空间1(,,,)i i i n W L ααα+= ，(1,2,,)in =证明 由不变子空间性质可知，{}0是σ的不变子空间.又由于A 中一阶主子式所在列的其他元素全部是零的只有第n 列，因此一维不变子空间仅有()n L α；A 中二阶主子式所在列其余元素全部是零的子式只有第1n -，n 列的主子式，故二维不变子空间只有1(,)n n L αα-，以此类推可得，A中所在列的其他元素均为零的1n -阶主子式为第2,,n 列的主子式为111n λλλ-.因此σ的1n -维不变子空间仅有2(,,)n L αα ，而n 维不变子空间只有12(,,,)n V L ααα=综上，于是得到σ的非零不变子空间有且仅有n 个1(,,,)i i i n W L ααα+= ，(1,2,,)in = .注：由此证明了以下推论：推论1 V 中包含1α的σ的不变子空间只有V 自身； 推论2 V 中σ的任一非零不变子空间都包含n α； 推论3 V 不能分解成σ的两个非平凡不变子空间的直和；1111(,,,)ii i i in n jn j n n W L ααα---++++= ，(1,2,,)i jn =，(1,2,,)is = .定理4[1] 在复数域上 （1）如果线性变换σ是一个对称变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.（2）如果线性变换σ是一个反对称变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.（3）如果线性变换σ是一个酉变换，那么σ的不变子空间的正交补也是σ的不变子空间.三、一般数域P 上的线性变换的不变子空间例1 对任意的()L V σ∈,V本身及零子空间都是σ的不变子空间,称为平凡不变子空间.例2 对任意的()L V σ∈,分别称 (){V V σα=∈︱,}V βασβ∃∈=1(0){Vσα-=∈︱0}σα=为σ的像与核.容易证得()v σ与1(0)σ-都是σ的不变子空间.例3[6] 设()L V σ∈，λ是σ的一个特征值，()L V ε∈为V的恒等变换，则称{VVα*=∈︱存在正整数k ，()0}kλεσα-=为σ的对应于λ的根子空间，Vα*∈称为σ的属于λ的高为k 的根向量，V λ*为σ的不变子空间. 证明 若∀,V λαβ*∈，其高分别为12,k k ，令12m a x {,}kk k =，则,a bP∈，()()[()()][()Kkka b a b λεσαβλεσαλεσβ-+=-+- 1122[()()()][()()()]k k kk k k a b λεσλεσαλεσλεσβ--=--+--12[()(0)][()(0)]k k k k a b λεσλεσ--=-+-= 0故V λ*为V 的子空间.又设Vα*∈且高为k ，则()()[()]kkλεσσαλεσσα-=- = [()]kσλεσα-=(0)σ= 0 故V λ*为σ的不变子空间.四、应用举例例4[8]设σ是2R 的线性变换，σ在基12,εε下矩阵2512A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求σ的所有不变子空间解 在V 中至少有以下四个σ的不变子空间：2R ，{0}，2()R σ，1(0)σ-，又A ≠，知σ为可逆的线性变换. 故，2()R σ=2R ，1(0)σ-={0}，此外若还有其它不变子空间必是一维的，因而应为特征向量所生成，但是由于σ的特征多项式2()1f λλ=+无实根，故σ在R 中无特征值，从而没有实特征向量，这表明σ仅有两个平凡的不变子空间.结论 （1）在求σ的所有不变子空间时，既不能漏掉也不能重复. （2）给定σ后，线性空间V 中至少有V ，{0}，()V σ，1(0)σ-四个不变子空间， 然后再设法去找其他的不变子空间.结束语本文在一个线性变换的所有不变子空间等知识具备的条件下，借助一定的数学思想方法，探讨与研究了一个线性变换的所有不变子空间，通过一些具体事例的求解,归纳、总结了求解线性变换的所有不变子空间的方法. 由于学习知识的有限,对求解线性变换的所有不变子空间的方法可能不够系统与全面，在以后的学习中我会继续加强对相关知识的学习与总结, 进而进一步加深对相关理论知识的理解.。
求不变子空间的方法
那啥是不变子空间呢？简单说啊，就是对于一个线性变换，有个空间在这个变换下，就像被保护起来似的，这个空间里的向量经过变换后还在这个空间里，这就是不变子空间啦。
一种常见的方法呢，就是从特征向量入手。
你想啊，如果一个向量是某个线性变换的特征向量，那由这个特征向量生成的一维子空间就是不变子空间哦。
比如说，对于线性变换T，向量v是它的特征向量，也就是T(v)=λv（这里λ是特征值），那{v}这个一维空间就是不变子空间啦。
还有啊，如果有一组线性无关的特征向量，那由它们张成的子空间也是不变子空间呢。
这就像是一群小伙伴，每个小伙伴自己就是个小不变子空间，合起来也是个大一点的不变子空间啦。
再就是从矩阵的角度看。
如果能把矩阵A化成块对角矩阵，那每一个对角块对应的列向量张成的子空间就是不变子空间。
这就好比把一个大的空间划分成了几个小空间，每个小空间都有自己的小规则，在变换下各自安好，不互相干扰。
另外呢，对于一些特殊的线性变换，比如投影变换。
投影到某个子空间的投影变换，那个被投影的子空间本身就是不变子空间呀。
就像光投影到墙上，墙这个空间就是光投影变换下的不变子空间呢。
宝子，求不变子空间其实也没那么难啦，只要抓住这些小窍门，多做几道题，就会慢慢有感觉的。
就像交朋友一样，刚开始觉得陌生，混熟了就好啦。
加油哦，宝子，我相信你肯定能掌握这个小知识点的！。
不变子空间意义
不变子空间在线性代数和线性变换理论中有重要的意义。
它是指在某个线性变换下保持不变的向量空间的子集。
不变子空间的意义如下：
1.不变子空间的存在使我们能够更好地理解线性变换的结构。
线性变换将向量从一个向量空间映射到另一个向量空间，而不变子空间是映射后的向量空间中的一个子集，它在映射过程中保持不变。
这有助于分析线性变换的性质和特征。
2.一个不变子空间是一个线性变换的特征向量的生成子空间，因为特征向量是在线性变换下不变的。
这对于研究线性变换的特征值和特征向量很有帮助。
3.不变子空间在线性代数的许多应用中发挥重要作用，如矩阵对角化、线性微分方程的解、信号处理等。
它们使复杂问题变得更加可管理，因为它们减小了问题的维度，使问题更容易解决。
4.在物理学和工程领域，不变子空间用于分析和描述物理系统中的守恒量、稳定性和周期性。
例如，在量子力学中，不变子空间有助于理解物质的能级结构和态演化。
第22讲线性变换与矩阵回顾，特征值与特征向量一、线性变换的概念和基本性质定义设σ: V→V 是线性空间V 到自身的一个映射(变换), 如果σ保持加法及数乘运算, 即对任意α, β∈V, 对任意常数k, 都有σ(α+β) = σ(α)+σ(β),σ(kα) = kσ(α),则称σ是线性空间V 的一个线性变换,称σ(α) 为向量α在线性变换σ下的象.我们用L(V)来表示线性空间V 的全部线性变换所作成的集合.12定理设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换, α1, α2,⋯,αn 是V 的一组基, 则V 中任一向量α的象σ(α)由基的象σ(α1), σ(α2),⋯, σ(αn ) 所完全确定.11112121212122221122()() (1)()n n n n n n n nn na a a a a a a a a σαααασαααασαααα=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩记σ(α1, α2,⋯, αn ) = (σ(α1), σ(α2),⋯, σ(αn )), A = (a ij )n ⨯n , 则(1)式可表示为σ(α1, α2,⋯, αn ) = (α1, α2,⋯, αn )A .n 阶矩阵A 叫做线性变换σ在基α1, α2,⋯, αn 下的矩阵. 其中A 的第j 列就是基向量αj 的象σ(αj ) 在这组基下的坐标.定理设线性变换σ在基α, α2,⋯, αn下的矩阵是A, 即1σ(α) = (α1, α2,⋯, αn)A,设向量α, σ(α) 在这组基下的坐标分别是X = (x1, x2,⋯, x n)T , Y = (y1, y2,⋯, y n)T, 则Y = AX.定理设α, α2,⋯, αn是n 维线性空间V 的一组基, 对任意1, β2,⋯, βn, 都存在线性变换σ, 使得给定的n 个向量β1σ(αi)= βi(i= 1, 2,⋯, n)., α2,⋯, αn, 是n 维线性空间V 的一组基, A = (a ij) 是定理设α1任一n 阶矩阵, 则有唯一的线性变换σ满足σ(α1, α2,⋯, αn) = (α1, α2,⋯, αn)A推论σ∈L(V) 是双射⇔σ对应的矩阵可逆.34定义设σ, τ∈L(V),:,; :,V V V V τ→αβσ→βγ 定义σ和τ的复合映射为:,.V V στ→αγ 定理线性变换的乘积(即复合映射)对应于矩阵的乘积.推论1 (1)线性变换乘法一般不满足交换律.(2)非零线性变换的乘积可以是零变换.(3)线性变换的乘法一般不满足消去律.二、线性变换的值域、核定义设σ是V 的线性变换, V中向量在σ的作用下全体象的集合称为σ的值域, 记为Imσ= σV = {σα|α∈V}.定理Imσ是V 的子空间.dim Imσ称为线性变换σ的秩.,ε2,…,εn是线性空间V的一组基，A 是σ在这组基下的矩阵设ε1(1) Imσ=L(σε1,…,σεn), (2) dimImσ=r(A)定义设σ是V 的线性变换,所有被σ映成零向量的向量的集合称为σ的核, 记为kerσ.定理kerσ是V 的子空间。
dim kerσ称为σ的零度.dim Imσ+ dim kerσ= dim V56注1 σ是单射⇔ker σ= {0} ⇔dimker σ= 0⇔dimIm σ= dimV ⇔Im σ=V⇔σ是满射⇔σ是双射.1Im [],dim Im dim ker ,n F X n σσσ-=+=例在F n [X] 上定义微分运算如下：()[],()(),ker ,n f X F X f X f X F σσ'∀∈==dim(Im ker ) 1.n σσ+=-注2因为dim dim ker dim Im V σσ=+dim(Im ker )dim(Im ker )σσσσ=++⋂Im ker dim(Im ker )dim V Vσσσσ∴=+⇔+=dim(Im ker )0σσ⇔⋂=Im ker {}σσ⇔⋂=0ker I m V σσ⇔=⊕7幂等变换：σ2= σ例设n 维线性空间V 的线性变换σ是幂等变换，则σ在V的某组基下的矩阵为.0r I ⎡⎤⎢⎥⎣⎦定义设σ是V 上的线性变换, W 是V 的子空间, 如果对W 中任一向量α, 有σα属于W, 则称W 为σ的不变子空间.{0}, V , Im σ和ker σ均为σ不变子空间.9习题课8. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σn-1 ≠ 0,σn = 0,试证(1)σ在某组基α1,α2,…,αn下的矩阵是.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡011010 (2)若V 0 是σ的一个不变子空间，且a 1α1+a 2α2+…+a k αk ∈V 0，1 ≤ k ≤ n, a k ≠ 0，则α1,α2,…,αk ∈V 0。
(3) {0}, L(α1) , L(α1,α2),…,L(α1,α2,…,αn-1),V 是(V 中全部)σ的不变子空间。
10习题课8. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σn-1 ≠ 0,σn = 0,试证(1)σ在某组基α1,α2,…,αn下的矩阵是证明要点：(1) σn-1 ≠ 0, 存在V 中的非零元α, 使得σn-1α≠ 0设k 1α+ k 2σα+…+ k n-1σn-2α+ k n σn-1α= 0，依次以σn-1,…,σ作用于( k 1α+ …+ k n σn-1α)，可得k 1= 0,…,k n = 0，可知α,σα,…, σn-1α线性无关，即为所求α1,α2,…,αn .⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡01101011习题. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σn-1 ≠ 0,σn = 0, 证(2)若V 0 是σ的一个不变子空间，且a 1α1+a 2α2+…+a k αk ∈V 0，1 ≤ k ≤ n, a k ≠ 0，则α1,α2,…,αk ∈V 0。
(3) {0}, L(α1) , L(α1,α2),…,L(α1,α2,…,αn-1),V 是V 中全部σ的不变子空间。
证明要点：(2) 由于V 0 是σ的一个不变子空间，σ(αk )=αk-1、可得σ(a 1α1+a 2α2+…+a k αk )=a 2α1+a 2α2+…+a k αk-1∈V 0σ(a 2α1+a 2α2+…+a k-1αk )=a 3α1+a 2α2+…+a k αk-2∈V 0… 即α1∈V 0，上述过程逐步逆推，可得α1,α2,…,αk ∈V 0(3) σn-1值域的秩是1，使得σn-1α≠ 0 的α 只差一个倍数，令α1=α，任一σ的不变子空间均为L(α1,α2,…,αk ), 的形式。
三、线性变换的特征值与特征向量定义设σ∈L(V), 若存在数λ及非零向量ξ, 使得σξ= λξ, (1)则称λ是σ的特征值, ξ是σ的属于特征值λ的特征向量.例如V 中任意非零向量均为L(V)中的数乘变换的特征向量. 平面上的镜面反射的特征值为1和-1, 对称轴上的非零向量均为镜面反射属于特征值1的特征向量,而与对称轴垂直的所有非零向量均为镜面反射属于特征值-1的特征向量. 平面上的旋转变换只有旋转角度为2kπ或(2k+1)π时(此时,旋转变换为乘1或-1的数乘变换) 有实特征值和实特征向量.12特征向量的性质:1.设ξ是σ属于特征值λ的特征向量, 即σξ= λξ, 又设k∈F, 则σ(kξ) = kσξ= kλξ= λkξ, 若k ≠0, 则kξ是σ属于特征值λ的特征向量.2.设ξ1, ξ2 是σ属于特征值λ的特征向量, 即σξ1= λξ1, σξ2= λξ2, 则σ(ξ1+ξ2) = σξ1+σξ2= λξ1+λξ2= λ(ξ1+ξ2), +ξ2 ≠0, 则它为σ属于特征值λ的特征向量.若ξ1由这两条性质, σ属于特征值λ的特征向量的任意非零线性组合仍是属于λ的特征向量, 加上零向量就构成V 的一个子空间.定义设σ∈L(V), λ是σ的一个特征值, 则称Vλ= {ξ∈V|σξ= λξ} 为σ的属于特征值λ的特征子空间,其维数称为特征值λ的几何重数.1314例设W 是σ的一维不变子空间, 则0,,,W W F ασαλ∀≠∈∈∴∃∈ 使得,σαλα=所以α是σ属于λ的特征向量.反之设α是σ属于λ的特征向量, 设β∈L(α), 则存在k ∈F,使得β= k α, 故σ(β) = k σ(α) = k λα∈L(α), 所以L(α) 为σ不变子空间.σ属于特征值λ的特征子空间是若干个一维不变子空间的直和.151(), ,,n L V σεε∈ 是V 的一组基, A 是σ在这组基设下的矩阵, 即11(,,)(,,),n n A σεεεε= 设λ是σ的特征值, ξ是σ的属于特征值λ的特征向量,则σξ= λξ, 设ξ在1,,n εε 下的坐标为X, 则111(,,)(,,)(,,)n n n AX X Xεεσεελεε== 1(,,),n X εελ= 1,,n εε 是V 的一组基, 所以AX = λX.定义设A 是n 阶方阵, 若存在数λ及非零向量X, 使得AX = λX, (1)则称λ是A 的特征值, X 是A 的属于特征值λ的特征向量.17对于特征值2得到齐次线性方程组:12122020x x x x +=⎧⎨--=⎩解得属于2的特征向量是,1221⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k x x k 是任意非零常数.对于特征值3可得到齐次线性方程组:12122200x x x x +=⎧⎨--=⎩解得属于3的特征向量是121,1x k x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦k 是任意非零常数.根据以上讨论, 求给定方阵A 的特征值与特征向量的步骤如下:(1)计算A 的特征多项式f A(λ)(2)求出特征多项式f A(λ) 的所有根, 它们就是A 的全部特征值.(3)分别把的每个特征值λ代入方程组(λI-A)X = 0, 并求出它的基础解系, 则基础解系的所有非零线性组合就是A 的属于λ的全部特征向量.20第二十二讲作业习题六18, 19(3)，20(3,7,9)21。
