苏教版高中数学必修一核心知识专项练习3不等式.docx

2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第3章 不等式一、选择题1．已知,,则( )A. B.C. D.P,Q 的大小与x 有关在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. B. C. D.3．已知正实数a 、b 满足，则4．已知函数在上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. B. C. D.5．已知函数,若对任意的实数x,恒有成立,则实数a 的取值范围为( )A. B. C. D.6．“不等式在R 上恒成立”的充要条件是( )A.D.7．设，，，的大小关系是( )A. B. C. D.8．若，则下列不等式正确的是( )[)2,+∞22P x =+43Q x =+P Q >P Q<P Q =b ad bc d =-2x ax->3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2222e e e e a b a b ---+=+a ()23,033,x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩)0x ax +≥[]1,2x ∈-[]2,0-(][),20,-∞-+∞ []0,2(2()ln e 1xf x x =-+()2(1)2f ax x f x -+-+<()0,+∞[)0,+∞()1,+∞[)1,+∞20x x m -+>m ><1<1m >1a b >>1y =2y =3y =1y 2y 3y 123y y y <<213y y y <<321y y y <<231y y y <<0b a <<二、多项选择题9．已知正数a ,b 满足,则下列说法一定正确的是( )A. B. C. D.10．已知关于x 的不等式的解集是,则( )A. B. C. D.11．若，且，则( )的最小值为三、填空题12．已知命题p ：“不等式有解”为真命题，则a 的取值范围是__________.13．定义表示x ，y 中的最小者，设函数，若14．已知，四、解答题15．已知a ,b,c 均为正数,若,求证：（2）.16．已知关于x 的不等式.（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若对于，不等式恒成立，求实数x 的取值范围.>a <1a>22a b ab +=4a b +≥24a b +≥2ab ≥2248a b +≥()22320a x x --->{}12x x x x <<1213x x -<<<122x x +=123x x <-214x x -<0a >0b >1a b +=6a 3-+2320x x a ++≤min{,}x y {}2()min 33,3|3|f x x x x =-+--()f x >m n +=0>n >+1a b c ++=+≤()33323a b c ab bc ac abc ++≥++-244x mx x m +>+-04m ≤≤17．已知,,且.（1）求ab 的最小值;（2）求的最小值.18．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园,如图所示,用墙的一部分做下底,用篱笆做两腰及上底,且腰与墙成,当等腰梯形的腰长为多少时,所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值.19．已知.（1）若a 与b 均为正数，求的最大值；的最小值.0a >0b >0a b ab +-=23a b +2AD 60︒2284a b +=ab 22b参考答案1．答案：D解析：由题意可得,当即,当即,当即,故P、Q的大小与x有关.故选：D.2．答案：C等价于，即，所以，解得等价于，即.因为，所以，所以3．答案：A解析：由题，构造函数，则，显然在R上单调递增，所以，即所以，当且仅当时等号成立.所以故选：A.4．答案：C解析：当时，，即，当恒成立。

高中数学学习材料唐玲出品核心知识专项练习3不等式1、已知集合{}{}2230,1A x x x B x x =--<=>，则A B ⋂= 。

2、若不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -的值为 。

3、bg 糖水中有糖ag （0b a >>），若再加入mg （0m >）糖，则更甜了，将这个事实用一个不等式表示为 。

4、已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧＞０４－ｘｘ－２ｘ，Ｂ＝－１＜ｘ＜５ｘＡ＝，在集合A 中任取一个元素x ，则事件ＢＡｘ⋂∈的概率为 。

5、不等式22x x x x --> 的解集是 。

6、设123log 2,ln 2,5a b c -===则a b c 、、三者间的大小关系是 。

7、若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①1ab ≤； ②2a b +≤； ③ 222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b+≥ 8、已知二次函数2()2f x ax x c =++的值域为[0,)+∞，则11a c c a +++的最小值为 。

9、设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43y x 的最大值是 。

10、由命题“存在∈≤２ｘＲ，使ｘ＋２ｘ＋ｍ０”，是假命题，使得m 的取值范围是∞（ａ，＋），则实数a 的值为 。

11、已知函数⎧≥⎪⎨⎪⎩２２ｘ＋２ｘ，ｘ０f ＝２ｘ－ｘ，ｘ＜０若２ｆ（２－ａ）＞ｆ（ａ），则实数a 的取值范围是 。

12、若不等式2322x x x ax ++-≥对(0,4)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 。

13、若对任意的20,31x x a x x ><++恒成立，则实数a 的取值范围是 。

14、设x y 、满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 。

课时分层作业(十一）基本不等式的应用（建议用时：40分钟）一、选择题1．若a＞1，则a＋错误!的最小值是（)A．2 B．aC．错误!D．3D［∵a＞1,∴a－1＞0，∴a＋错误!＝a－1＋错误!＋1≥2错误!＋1＝3．]2．已知f（x）＝x＋错误!－2(x<0），则f(x）有（）A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－4 D．最小值为－4C[∵x〈0，∴f(x)＝－错误!－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝错误!，即x＝－1时取等号．］3．已知a＞0，b＞0,ab＝1，且m＝b＋错误!,n＝a＋错误!,则m ＋n的最小值是()A．3B．4C．5D．6B［由题意知ab＝1，∴m＝b＋错误!＝2b，n＝a＋错误!＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4错误!＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．］4．若x＞0，y＞0,且错误!＋错误!＝1，则x＋y的最小值是(）A．3 B．6C．9 D．12C[x＋y＝(x＋y)错误!＝1＋错误!＋错误!＋4＝5＋yx＋错误!≥5＋2错误!＝5＋4＝9．当且仅当错误!即错误!时等号成立,故x＋y的最小值为9．］5．已知x＞0，y＞0,且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y）的最大值为（）A．16 B．25C．9 D．36B[(1＋x)(1＋y)≤错误!错误!＝错误!错误!＝错误!错误!＝25，因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x）（1＋y）取最大值25，故选B．]二、填空题6．函数y＝x＋错误!（x≥0)的最小值为___________．［答案]17．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2（图中阴影部分），上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1dm，则四周空白部分面积的最小值是____________dm2．56[设阴影部分的高为x dm，则宽为错误!dm,四周空白部分的面积是y dm2．由题意，得y＝(x＋4）错误!－72＝8＋2错误!≥8＋2×2错误!＝56（dm2）．当且仅当x＝错误!，即x＝12 dm时等号成立．]8．若a，b∈（0，＋∞）,满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是____________．[6，＋∞）［∵a，b∈（0，＋∞）,a＋b＋3＝ab≤错误!错误!，∴（a＋b)2－4(a＋b）－12≥0，解之得a＋b≥6，当且仅当a ＝b＝3时取等号．]三、解答题9．已知a>b〉0，求a2＋16b a－b的最小值．[解]∵a>b>0，所以b（a－b)≤错误!错误!＝错误!，∴a2＋16b a－b≥a2＋错误!≥16．当且仅当错误!即错误!时取等号．故a2＋错误!的最小值为16．10．为了改善居民的居住条件,某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋错误!－118（千元)，其中x表示提前完工的天数,试问提前多少天,才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)［解]设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得y＝2x－错误!＝118－错误!＝118－错误!＝130－错误!≤130－2错误!＝130－112＝18(千元），当且仅当4(x＋3)＝错误!,即x＝11时取等号．所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．1．若－4<x〈1,则f(x）＝错误!()A．有最小值1 B．有最大值1C．有最小值－1 D．有最大值－1D［f（x)＝错误!＝错误!错误!,又∵－4〈x〈1，∴x－1<0．∴－（x－1)>0．故f（x)＝－错误!错误!≤－1．当且仅当x－1＝错误!,即x＝0时等号成立．］2．已知x〉0，y〉0,且错误!＋错误!＝1,若x＋2y〉m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是（)A．（－∞，－2］∪[4，＋∞)B．(－∞,－4］∪［2,＋∞)C．(－2,4）D．(－4，2)D[∵x〉0，y〉0且2x＋错误!＝1，∴x＋2y＝（x＋2y)错误!＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y）min＝8,要使x＋2y〉m2＋2m恒成立，只需（x＋2y）min〉m2＋2m恒成立，即8〉m2＋2m，解得－4<m<2．］3．已知实数x,y，z满足错误!则xyz的最小值为_____________．9错误!－32[由xy＋2z＝1，得z＝错误!，所以5＝x2＋y2＋错误!错误!≥2｜xy|＋错误!，即错误!或错误!解得0≤xy≤－3＋2错误!或5－2错误!≤xy＜0，所以xyz＝xy·错误!＝－错误!错误!错误!＋错误!．综上,知当xy＝5－2错误!时，xyz取得最小值9错误!－32．]4．在下面等号右侧两个分数的分母方块处,各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝错误!＋错误!，则这两个数的和_______________．16[设错误!＋错误!＝1，a,b∈N＊,∴a＋b＝（a＋b）·1＝(a＋b）错误!＝1＋9＋错误!＋错误!≥10＋2b a·9a b＝10＋2×3＝16，当且仅当错误!＝错误!,即b＝3a时等号成立．又错误!＋错误!＝1，∴错误!＋错误!＝1，∴a＝4,b＝12．这两个数的和是16．］5．如图，设矩形ABCD（AB＞BC）的周长为24,把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x．（1)用x表示DP；（2)用x表示△ADP的面积；(3）求△ADP面积的最大值及此时x的值．［解](1）∵AB＝x,∴AD＝12－x，又DP＝PB′，∴AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP，∴由勾股定理有（12－x）2＋DP2＝(x－DP)2，∴DP＝12－错误!（6＜x＜12）．(2)S△ADP＝错误!AD·DP＝错误!(12－x)错误!＝108－错误!（6＜x＜12)．（3）∵6＜x＜12,∴6x＋错误!≥2 错误!＝72错误!，∴S△ADP＝108－错误!≤108－72错误!，当且仅当6x＝错误!,即x＝6错误!时取等号．∴当x＝6错误!时，△ADP的面积取最大值108－72错误!．。

苏教版必修第一册《第3章不等式》单元测试卷（1）一、单选题1. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．2. 不等式1x <12的解集是( )A.(−∞, 0)B.(2, +∞)C.(0, 2 )D.(−∞, 0)∪(2, +∞)3. 设M=2a(a−2)，N=(a+1)(a−3)，则( )A.M>NB.M≥NC.M<ND.M≤N4. 不等式x2−ax−12a2<0(a<0)的解集是（）A.(−3a, 4a)B.(4a, −3a)C.(−3, 4)D.(2a, 6a)5. 已知函数y=x−4+9x+1(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b等于( )A.−3B.2C.3D.86. 方程x2+(m−2)x+5−m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是（）A.(−5, −4]B.(−∞, −4]C.(−∞, −2]D.(−∞, −5)∪(−5, −4]7. 已知函数f(x)={x+2,x≤0−x+2,x>0，则不等式f(x)≥x2的解集是（）A.[−1, 1]B.[−2, 2]C.[−2, 1]D.[−1, 2]8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是()A.245B.285C.5D.6二、多选题已知a，b，c∈R，则下列推证中不正确的是（）A.a>b⇒am2>bm2B.ac >bc⇒a>bC.ac2>bc2⇒a>bD.a2>b2,ab>0⇒1a <1b若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（）A.a2+b2≥2abB.a+b≥2√abC.1a +1b>√abD.ba+ab≥2下列各式中，最小值为4的是（）A.y=x2+8xB.y=sin x+4sin x(0<x<π)C.y＝e x+4e−xD.y=√x2+1√x2+1下列判断错误的是（）A.x+1x的最小值为2 B.若a>b，则a3>b3C.不等式x2−3x≥0的解集为[0, 3]D.如果a<b<0，那么1a2<1b2三、填空题不等式x2−2x+3≤a2−2a−1在R上的解集是⌀，则实数a的取值范围是________．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−4x，那么，不等式f(x+2)<5的解集是________．设x>0，y>0，x+2y＝4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为________．函数f(x)=2√x2+4的最小值为________．四、解答题当x>3时，求函数y=2x2x−3的值域．若不等式(1−a)x2−4x+6>0的解集是{x|−3<x<1}．(1)解不等式2x2+(2−a)x−a>0；(2)当ax2+bx+3≥0的解集为R时，求b的取值范围.春兰公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD(AB>AD)为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能．（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？已知不等式ax2−3x+6>4的解集为{x|x<1, 或x>b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2−(ac+b)x+bc<0．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2+x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．已知函数f(x)＝2x+2−x．（1）解不等式f(x)>52；（2）若对任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)−6恒成立，求实数m的最大值．参考答案与试题解析苏教版必修第一册《第3章不等式》单元测试卷（1）一、单选题1.【答案】130,15【考点】简单线性规划【解析】①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值；②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得(m−x)×80%≥m×70%，解不等式，结合恒成立思想，可得x的最大值．【解答】①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），即有顾客需要支付140−10＝130（元）；②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得(m−x)×80%≥m×70%，即有x≤m8恒成立，由题意可得m≥120，可得x≤1208=15，则x的最大值为15元．2.【答案】D【考点】分式不等式的解法【解析】由不等式1x <12可得x<0或者{x>0x>2，由此解得x的范围．【解答】解：由不等式1x <12得当x<0，不等式显然成立，当x>0，解得x>2，所以x<0或x>2. 故选D.3.【答案】A【考点】不等式的基本性质不等式比较两数大小不等式的概念与应用【解析】比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M −N 的结果，判断结果的符号． 【解答】解：∵ M −N =2a(a −2)−(a +1)(a −3) =(a −1)2+2>0， ∴ M >N ． 故选A ． 4.【答案】 B【考点】一元二次不等式的解法 【解析】把原不等式的左边分解因式，根据两数相乘积为负数，得到两因式为异号，转化为两个一元一次不等式组，根据a 小于0，得到4a 小于0，−3a 大于0，即可求出原不等式的解集． 【解答】解：x 2−ax −12a 2<0，因式分解得：(x −4a)(x +3a)<0， 可化为：{x −4a >0x +3a <0或{x −4a <0x +3a >0，∵ a <0，∴ 4a <0，−3a >0， 解得：4a <x <−3a ，则原不等式的解集是(4a, −3a)． 故选B 5.【答案】 C【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】 将y =x −4+9x+1(x >−1)，转化为y ＝(x +1+9x+1)−5，再利用基本不等式求解即可． 【解答】解：∵ x >−1， ∴ x +1>0，∴ y =x −4+9x+1=(x +1)+9x+1−5≥2√(x +1)⋅9x+1−5=1， 当且仅当x =2时取等号． ∴ a =2，b =1， ∴ a +b =3． 故选C . 6. 【答案】令f （x ）＝x 2+（m ﹣2）x+5﹣m ，其对称轴方程为x =2−m 2由已知方程x 2+（m ﹣2）x+5﹣m＝0的两根都大于2，故有{2−m2>2f(2)>0△≥0即{2−m2>24+2m−4+5−m>0(m−2)2−4(5−m)≥0解得﹣5＜m≤﹣4m的取值范围是（﹣5，﹣4]故应选A【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】方程x2+(m−2)x+5−m＝0的两根都大于2，则其相应的函数f(x)＝x2+(m−2)x+5−m与x轴的两个交点都在直线x＝2的右边，由图象的特征知应有对称轴大于2，f(2)>0，且△≥0，解此三式组成的方程组即可求出参数m的范围．【解答】令f(x)＝x2+(m−2)x+5−m，其对称轴方程为x=2−m2由已知方程x2+(m−2)x+5−m＝0的两根都大于2，故有{2−m2>2f(2)>0△≥0即{2−m2>24+2m−4+5−m>0(m−2)2−4(5−m)≥0解得−5<m≤−4m的取值范围是(−5, −4]故应选A．7.【答案】A【考点】一元二次不等式的应用【解析】已知分段函数f(x)求不等式f(x)≥x2的解集，要分类讨论：①当x≤0时；②当x>0时，分别代入不等式f(x)≥x2，从而求出其解集．【解答】①当x≤0时；f(x)＝x+2，∵f(x)≥x2，∴x+2≥x2，x2−x−2≤0，解得，−1≤x≤2，∴−1≤x≤0；②当x>0时；f(x)＝−x+2，∴−x+2≥x2，解得，−2≤x≤1，∴0<x≤1，综上①②知不等式f(x)≥x2的解集是：−1≤x≤1，8.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】将x+3y=5xy转化成35x +15y=1，然后根据3x+4y=(35x+15y)(3x+4y)，展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值．【解答】解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，∴35x +15y=1，∴3x+4y=(35x +15y)(3x+4y)=95+45+12y5x+3x5y≥135+2√12y5x⋅3x5y=5，当且仅当12y5x =3x5y时取等号，∴3x+4y≥5，即3x+4y的最小值是5，故选C.二、多选题【答案】A,B,D【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的性质及赋值法逐项判断即可．【解答】当m＝0时，am2＝bm2，故A错误；当c<0时，由ac >bc，可得a<b，故B错误；由ac2>bc2，可得a>b，故C正确；取a＝−3，b＝−2，由−13>−12，可知D错误．【答案】A,D【考点】基本不等式及其应用【解析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】对于A；a2+b2≥2ab所以A对对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab>0∴ba +ab≥2【答案】C,D【考点】基本不等式及其应用A，当x<0时，y<0，其最小值不可能为4；B，易知sin x∈(0, 1]，根据y＝sin x+4sin x在sin x∈(0, 1]上的单调性即可作出判断，C，利用基本不等式求最小值，取等条件为x＝ln2；D，先换元，令t=√x2+1∈[1, +∞)，则y＝t+4t，再利用基本不等式求最小值，取等条件为t＝2．【解答】选项A，函数的定义域为{x|x≠0}，当x<0时，y<0，显然其最小值不可能为4，即A不符合题意；选项B，∵0<x<π，∴0<sin x≤1，而y＝sin x+4sin x在sin x∈(0, 1]上单调递减，∴y≥5，即B不符合题意；选项C，y＝e x+4e−x≥2√e x⋅4e−x=4，当且仅当e x＝4e−x，即x＝ln2时，等号成立，即C符合题意；选项D，令t=√x2+1，则t∈[1, +∞)，y＝t+4t ≥2√t⋅4t=4，当且仅当t=4t，即t＝2时，等号成立，即D符合题意．【答案】A,C【考点】一元二次不等式的应用基本不等式及其应用命题的真假判断与应用【解析】反例判断A，不等式的解集判断BC；不等式的基本性质判断D．【解答】对于A，x+1x的最小值为2，x<0时，不成立，所以A不正确；对于B，若a>b，则a3>b3，正确；对于C，不等式x2−3x≥0化为：x(x−3)≥0，解得x≤0或x≥3，所以不等式的解集为[0, 3]，不正确；对于D，如果a<b<0，可得a2>b2>0，那么1a2<1b2，所以D正确；三、填空题【答案】{a|−1<a<3}【考点】一元二次不等式的解法【解析】把不等式的右边移项到左边合并后，设不等式的坐标为一个开口向上的抛物线，由不等式的解集为空集，得到此二次函数与x轴没有交点即根的判别式小于0，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围．【解答】解：由x2−2x+3≤a2−2a−1移项得：x2−2x+3−a2+2a+1≤0，因为不等式的解集为⌀，所以Δ=4−4(3−a 2+2a +1)<0，即a 2−2a −3<0， 分解因式得：(a −3)(a +1)<0， 解得：−1<a <3，则实数a 的取值范围是：{a|−1<a <3}． 故答案为：{a|−1<a <3}. 【答案】 (−7, 3) 【考点】一元二次不等式的解法 偶函数【解析】由偶函数性质得：f(|x +2|)＝f(x +2)，则f(x +2)<5可变为f(|x +2|)<5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x +2|的范围，再求x 范围即可． 【解答】解：因为f(x)为偶函数，所以f(|x +2|)=f(x +2)， 则f(x +2)<5可化为f(|x +2|)<5，即|x +2|2−4|x +2|<5，(|x +2|+1)(|x +2|−5)<0， 所以|x +2|<5，解得−7<x <3，所以不等式f(x +2)<5的解集是(−7, 3)． 故答案为：(−7, 3)． 【答案】92【考点】基本不等式及其应用 【解析】利用基本不等式求最值． 【解答】x >0，y >0，x +2y ＝4， 则(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy ；x >0，y >0，x +2y ＝4，由基本不等式有：4＝x +2y ≥2√2xy ， ∴ 0<xy ≤2，5xy≥52，故：2+5xy≥2+52=92；（当且仅当x ＝2y ＝2时，即：x ＝2，y ＝1时，等号成立）， 故(x+1)(2y+1)xy的最小值为92；【答案】52【考点】基本不等式及其应用【解析】根据分离常数法，将f(x)变形为f(x)=√x 2+4√x 2+4，换元，令t =√x 2+4∈[2, +∞)，于是f(t)＝t +1t ，再结合对勾函数的单调性即可得解． 【解答】 f(x)=2√x 2+4=2√x 2+4=√x 2+4+√x 2+4，令t =√x 2+4，则t ∈[2, +∞)， f(t)＝t +1t 在t ∈[2, +∞)上单调递增，∴ f(t)min ＝f(2)＝2+12=52． 四、解答题 【答案】解：由y =2x 2x−3得：2x 2−yx +3y =0；根据题意，该关于x 的一元二次方程在(3, +∞)上有解； ∴ {△=y 2−24y =0y4>3(I)，或{△=y 2−24y >0y+√y 2−24y 4>3(II)； ∴ 解(I)得y =24，解(II)得y >24；∴ y ≥24；∴ 原函数的值域为[24, +∞)． 【考点】函数的值域及其求法 【解析】根据原函数便可得到2x 2−yx +3y =0，所以这个关于x 的一元二次方程在(3, +∞)上有解，△=0时该方程的根y4>3；当△>0时，方程的大根需大于3，也就是得到：{△=y 2−24y =0y4>3，或{△=y 2−24y >0y+√y 2−24y 4>3，所以解不等式组即得原函数的值域． 【解答】 解：由y =2x 2x−3得：2x 2−yx +3y =0；根据题意，该关于x 的一元二次方程在(3, +∞)上有解； ∴ {△=y 2−24y =0y4>3(I)，或{△=y 2−24y >0y+√y 2−24y 4>3(II)； ∴ 解(I)得y =24，解(II)得y >24；∴ y ≥24；∴ 原函数的值域为[24, +∞)． 【答案】解：(1)由题意知，1−a <0，且−3和1是方程(1−a)x 2−4x +6=0的两根，∴ { 1−a <0，41−a =−2，61−a=−3， 解得a =3．∴ 不等式2x 2+(2−a)x −a >0， 即2x 2−x −3>0， 解得x <−1或x >32．∴ 所求不等式的解集为{x|x <−1或x >32}. (2)ax 2+bx +3≥0即为3x 2+bx +3≥0，若此不等式的解集为R ，则Δ=b 2−4×3×3≤0， ∴ −6≤b ≤6．【考点】一元二次不等式的应用 【解析】（1）由不等式(1−a)x 2−4x +6>0的解集是{x|−3<x <1}，利用根与系数关系列式求出a 的值，把a 代入不等式2x 2+(2−a)x −a >0后直接利用因式分解法求解； （2）代入a 得值后，由不等式对应的方程的判别式小于等于0列式求解b 的取值范围． 【解答】解：(1)由题意知，1−a <0，且−3和1是方程(1−a)x 2−4x +6=0的两根， ∴ { 1−a <0，41−a =−2，61−a=−3， 解得a =3．∴ 不等式2x 2+(2−a)x −a >0， 即2x 2−x −3>0， 解得x <−1或x >32．∴ 所求不等式的解集为{x|x <−1或x >32}. (2)ax 2+bx +3≥0即为3x 2+bx +3≥0，若此不等式的解集为R ，则Δ=b 2−4×3×3≤0， ∴ −6≤b ≤6．【答案】 解：（1）由题意，AB =x ，BC =2−x ．因x >2−x ，故1<x <2，设DP =y ，则PC =x −y ．因△ADP ≅△CB ′P ，故PA =PC =x −y ．由 PA 2=AD 2+DP 2，得(x −y)2=(2−x)2+y 2，即有y =2(1−1x )，1<x <2，（2）记△ADP 的面积为S 1，则S 1=(1−1x )(2−x)=3−(x +2x )≤3−2√2， 当且仅当x =√2∈(1, 2)时，S 1取得最大值． 故设计薄板的长为√2，宽为2−√2时，最节能． 【考点】函数的最值及其几何意义 函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）AB =x ，BC =2−x ．因x >2−x ，故1<x <2，设DP =y ，则PC =x −y ．运用三角形全等，结合勾股定理，可得y 的关系式；（2）记△ADP 的面积为S 1，则S 1=(1−1x )(2−x)，运用基本不等式可得最大值，即有长与宽．【解答】 解：（1）由题意，AB =x ，BC =2−x ．因x >2−x ，故1<x <2，设DP =y ，则PC =x −y ．因△ADP ≅△CB ′P ，故PA =PC =x −y ．由 PA 2=AD 2+DP 2，得(x −y)2=(2−x)2+y 2， 即有y =2(1−1x )，1<x <2， （2）记△ADP 的面积为S 1，则S 1=(1−1x)(2−x)=3−(x +2x)≤3−2√2，当且仅当x =√2∈(1, 2)时，S 1取得最大值． 故设计薄板的长为√2，宽为2−√2时，最节能． 【答案】因为不等式ax 2−3x +6>4的解集为{x|x <1, 或x >b}， 所以1和b 是方程ax 2−3x +2＝0的两个实数根，且b >1； 由根与系数的关系，得{1+b =3a1×b =2a，解得a ＝1，b ＝2；所求不等式ax 2−(ac +b)x +bc <0化为x 2−(2+c)x +2c <0， 即(x −2)(x −c)<0；①当c >2时，不等式(x −2)(x −c)<0的解集为{x|2<x <c}； ②当c <2时，不等式(x −2)(x −c)<0的解集为{x|c <x <2}；③当c ＝2时，不等式(x −2)(x −c)<0的解集为⌀． 【考点】根与系数的关系一元二次不等式的应用 一元二次不等式的解法【解析】（1）根据不等式ax 2−3x +6>4的解集，利用根与系数的关系，求得a 、b 的值； （2）把不等式ax 2−(ac +b)x +bc <0化为x 2−(2+c)x +2c <0， 讨论c 的取值，求出对应不等式的解集． 【解答】因为不等式ax 2−3x +6>4的解集为{x|x <1, 或x >b}， 所以1和b 是方程ax 2−3x +2＝0的两个实数根，且b >1； 由根与系数的关系，得{1+b =3a1×b =2a ，解得a ＝1，b ＝2；所求不等式ax 2−(ac +b)x +bc <0化为x 2−(2+c)x +2c <0， 即(x −2)(x −c)<0；①当c >2时，不等式(x −2)(x −c)<0的解集为{x|2<x <c}； ②当c <2时，不等式(x −2)(x −c)<0的解集为{x|c <x <2}； ③当c ＝2时，不等式(x −2)(x −c)<0的解集为⌀． 【答案】解：(1)行车所用时间为t =130x(ℎ)，根据汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2+x 2360)升，司机的工资是每小时14元，可得行车总费用： y =130x×2×(2+x 2360)+14×130x=2340x+13x 18(50≤x ≤100).(2)y =2340x+13x 18≥26√10，当且仅当2340x=13x 18，即x =18√10时，等号成立，∴ 当x =18√10时，这次行车的总费用最低，最低费用为26√10元． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式函数模型的选择与应用 【解析】（1）求出车所用时间，根据汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2+x 2360)升，司机的工资是每小时14元，可得行车总费用；（2）利用基本不等式，即可求得这次行车的总费用最低． 【解答】解：(1)行车所用时间为t=130x(ℎ)，根据汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2+x 2360)升，司机的工资是每小时14元，可得行车总费用：y=130x ×2×(2+x2360)+14×130x=2340x+13x18(50≤x≤100).(2)y=2340x +13x18≥26√10，当且仅当2340x =13x18，即x=18√10时，等号成立，∴当x=18√10时，这次行车的总费用最低，最低费用为26√10元．【答案】由题意可得2x+2−x>52，设t＝2x，(t>0)，t+t−1>52，即2t2−5t+2>0，解得t>2或t<12（舍去），由2x>2，解得x>1，则解集为{x|x>1|；若对任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)−6恒成立，即为22x+2−2x≥m(2x+2−x)−6，设s＝2x+2−x，s≥2，则22x+2−2x＝s2−2，s2≥ms−4，即m≤s+4s恒成立，由s+4s ≥2√s⋅4s=4，当且仅当s＝2，即x＝0时，取得等号，则m≤4，即实数m的最大值为4．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）设t＝2x，(t>0)，由二次不等式的解法和指数函数的单调性，可得所求解集；（2）由题意可得22x+2−2x≥m(2x+2−x)−6，设s＝2x+2−x，s≥2，由参数分离和基本不等式可得所求m的最大值．【解答】由题意可得2x+2−x>52，设t＝2x，(t>0)，t+t−1>52，即2t2−5t+2>0，解得t>2或t<12（舍去），由2x>2，解得x>1，则解集为{x|x>1|；若对任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)−6恒成立，即为22x+2−2x≥m(2x+2−x)−6，设s＝2x+2−x，s≥2，则22x+2−2x＝s2−2，s2≥ms−4，即m≤s+4s恒成立，由s+4s ≥2√s⋅4s=4，当且仅当s＝2，即x＝0时，取得等号，则m≤4，即实数m的最大值为4．。