18.2.2菱形练习题

2020春人教版八下数学18.2.2菱形同步课堂练习(学生版)第1课时菱形的性质01基础题知识点1菱形的性质1．(2018·十堰)菱形不具备的性质是()A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2．(2019·河北)如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝()A．30°B．25°C．20°D．15°3．(2019·贵阳)如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是() A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm4．(2019·呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为() A．2 2 B．2 5 C．4 2 D．2105．(2019·赤峰)如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是()A．2.5B．3C．4D．56．(2019·衢州)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.知识点2菱形的面积7．(2018·徐州)若菱形两条对角线的长分别是6 cm和8 cm，则其面积为cm2.8．(教材P56例3变式)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面积．易错点点的位置不确定导致漏解9．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上．若OE＝3，则CE的长为．02中档题10．(2019·泸州)一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为()A．8 B．12 C．16 D．3211．如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为()A．28°B．52°C．62°D．72°12．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为()A．(2，3) B．(3，2) C．(3，3) D．(3，3)13．(2019·广西)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝．14．(2019·百色)如图，在菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.(1)求证：AE＝BF；(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．03综合题16．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点．若P为对角线BD上一动点，则EP ＋AP的最小值为．17．(2019·宁波)如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．(1)求证：BG＝DE；(2)若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．对角线互相垂直的四边形的面积我们已经知道：菱形的面积等于对角线乘积的一半，那么，如果是对角线互相垂直的任意一个四边形，还有这样的结论吗？如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，其中对角线BD长为15，AC长为20，垂足为O，求四边形ABCD的面积．(请写出求解过程)结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于．第2课时菱形的判定01基础题知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是()A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD2．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：四边形AEDF是菱形．知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)4．(2018·遂宁)如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF 是菱形．知识点3四条边相等的四边形是菱形5．(2019·兰州)如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以5为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；(2)求BD的长．6．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E，F，G，H依次是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH 是菱形．易错点对菱形的判定方法掌握不透导致出错7．下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是．(填序号)02中档题8．(2019·宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A．AC⊥BD B．AB＝ADC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD9．(2019·永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD ＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为()A．40 B．24 C．20 D．1510．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.(1)求证：∠1＝∠2；(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．11．(2019·宿迁)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF＝3 2.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)求线段EF的长．03综合题12．(2019·滨州)如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．2020春人教版八下数学18.2.2菱形同步课堂练习(教师版)第1课时菱形的性质01基础题知识点1菱形的性质1．(2018·十堰)菱形不具备的性质是(B)A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形2．(2019·河北)如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝(D)A．30°B．25°C．20°D．15°3．(2019·贵阳)如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是(A)A．1 cm B．2 cmC．3 cm D．4 cm4．(2019·呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为(C) A．2 2 B．2 5 C．4 2 D．2105．(2019·赤峰)如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是(A)A．2.5B．3C．4D．56．(2019·衢州)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，连接AE，AF.求证：AE＝AF.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)．∴AE＝AF.知识点2菱形的面积7．(2018·徐州)若菱形两条对角线的长分别是6 cm和8 cm，则其面积为24cm2.8．(教材P56例3变式)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且∠ACD＝30°，BD＝4，求菱形ABCD的面积．解：∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝4，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ＝2，AC ⊥BD.∵在Rt △OCD 中，∠OCD ＝30°， ∴CD ＝2OD ＝4，OC ＝CD 2－OD 2＝42－22＝2 3.∴AC ＝2OC ＝4 3.∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝12×43×4＝8 3.易错点 点的位置不确定导致漏解9．四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝6，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上．若OE ＝3，则CE 的长为02 中档题 10．(2019·泸州)一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为(C ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．3211．如图，在菱形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO.若∠DAC ＝28°，则∠OBC 的度数为(C )A ．28°B ．52°C ．62°D ．72°12．(2019·绵阳)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC ＝60°，则对角线交点E 的坐标为(D )A ．(2，3)B ．(3，2)C ．(3，3)D ．(3，3)13．(2019·广西)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，已知BO ＝4，S 菱形ABCD ＝24，则AH ＝245．14．(2019·百色)如图，在菱形ABCD 中，作BE ⊥AD ，CF ⊥AB ，分别交AD ，AB 的延长线于点E ，F. (1)求证：AE ＝BF ；(2)若点E 恰好是AD 的中点，AB ＝2，求BD 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ，AD ∥BC.∴∠A＝∠CBF.∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°.∴△AEB≌△BFC(AAS)．∴AE＝BF.(2)∵点E是AD的中点，且BE⊥AD，∴直线BE为AD的垂直平分线．∴BD＝AB＝2.15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.∴AE∥CD.又∵DE⊥BD，∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝AO2＋DO2＝5.∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.03综合题16．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点．若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为17．(2019·宁波)如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD 的对角线BD上．(1)求证：BG＝DE；(2)若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．解：(1)证明：∵四边形EFGH是矩形，∴EH＝FG，EH∥FG.∴∠GFH＝∠EHF.∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE.∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC.∴∠GBF＝∠EDH.∴△BGF≌△DEH(AAS)．∴BG＝DE.(2)连接EG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵E为AD中点，∴AE＝ED.∵BG＝DE，∴AE＝BG，AE∥BG.∴四边形ABGE是平行四边形．∴AB＝EG.∵在矩形EFGH中，EG＝FH＝2，∴AB＝2.∴菱形ABCD的周长为8.对角线互相垂直的四边形的面积我们已经知道：菱形的面积等于对角线乘积的一半，那么，如果是对角线互相垂直的任意一个四边形，还有这样的结论吗？如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，其中对角线BD长为15，AC长为20，垂足为O，求四边形ABCD的面积．(请写出求解过程)解：∵S四边形ABCD＝S△ADC＋S△BAC＝12AC·OD＋12AC·BO＝12AC·(OD＋OB)＝12AC·BD，∴S四边形ABCD＝12×20×15＝150.结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．第2课时菱形的判定01基础题知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是(C)A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD2．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：四边形AEDF是菱形．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∠FAD＝∠EDA.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.∴∠EDA＝∠EAD.∴AE＝ED.∴四边形AEDF是菱形．知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件BO＝DO(答案不唯一)，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)4．(2018·遂宁)如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF 是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD綊BC.∵DE＝BF，∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝FC.∵AE∥FC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．知识点3四条边相等的四边形是菱形5．(2019·兰州)如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以5为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由；(2)求BD的长．解：(1)四边形ABCD 为菱形，理由如下：由作法得AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝5，∴四边形ABCD 为菱形．(2)∵四边形ABCD 为菱形，∴OA ＝OC ＝12AC ＝4，OB ＝OD ，AC ⊥BD. 在Rt △AOB 中，OB ＝52－42＝3，∴BD ＝2OB ＝6.6．如图，在四边形ABCD 中，AC ＝BD ，E ，F ，G ，H 依次是AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是菱形．证明：∵E ，F ，G ，H 分别是线段AB ，BC ，CD ，AD 的中点，∴EH ，FG 分别是△ABD ，△BCD 的中位线，EF ，HG 分别是△ABC ，△ACD 的中位线．∴EH ＝FG ＝12BD ，EF ＝HG ＝12AC. 又∵AC ＝BD ，∴EH ＝FG ＝EF ＝HG.∴四边形EFGH 是菱形．易错点 对菱形的判定方法掌握不透导致出错7．下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是①③⑤．(填序号)02中档题8．(2019·宁夏)如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(C)A．AC⊥BD B．AB＝ADC．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD9．(2019·永州)如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点．若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD ＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为(B)A．40 B．24 C．20 D．1510．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC，BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.(1)求证：∠1＝∠2；(2)连接BE，DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．解：(1)证明：在△ADC 和△ABC 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，AC ＝AC ，DC ＝BC ，∴△ADC ≌△ABC(SSS )．∴∠1＝∠2.(2)四边形BCDE 是菱形．理由：∵∠1＝∠2，CD ＝BC ，∴AC 垂直平分BD.∵OE ＝OC ，∴四边形DEBC 是平行四边形．∵AC ⊥BD ，∴四边形DEBC 是菱形．11．(2019·宿迁)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE ＝DF ＝32. (1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)求线段EF 的长．解：(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，∴CD ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝2，CD ∥AB ，∠D ＝∠B ＝90°.∴AF ＝CE ＝22＋（32）2＝52. ∵BE ＝DF ＝32，∴CF ＝AE ＝4－32＝52. ∴AF ＝CF ＝CE ＝AE ＝52. ∴四边形AECF 是菱形．(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H ，则四边形AHFD 是矩形，∴AH ＝DF ＝32，FH ＝AD ＝2. ∴EH ＝52－32＝1. ∴EF ＝FH 2＋HE 2＝22＋12＝ 5.03 综合题12．(2019·滨州)如图，矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 落在AD 边上的点F 处，过点F 作FG ∥CD 交BE 于点G ，连接CG .(1)求证：四边形CEFG 是菱形；(2)若AB ＝6，AD ＝10，求四边形CEFG 的面积．解：(1)证明：由题意得△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE.∵FG ∥CE ，∴∠FGE ＝∠CEB.∴∠FGE ＝∠FEG.∴FG ＝FE.∴FG ＝EC.∴四边形CEFG 是平行四边形．又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形．(2)∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ，∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10.∴AF ＝8.∴DF ＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x.∵∠FDE ＝90°，∴22＋(6－x)2＝x 2.解得x ＝103. ∴CE ＝103. ∴S 四边形CEFG ＝CE·DF ＝103×2＝203.。

2019年人教版八下数学《18.2 菱形》同步复习资料【1】一．选择题（共10小题）1．如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，四边形AEDF周长为（）A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm2．如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BC C．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°3．如图，两条宽度都为3cm的纸条，交叉重叠放在一起，它们的交角α为60°，则它们重叠部分（阴影部分）的面积为（）A．2cm2B．cm2 C．cm2D．cm24．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿射线BC向右平移到△DCE，连接AD、BD，下列结论错误的是（）A．AD=BC B．BD⊥DE C．四边形ACED是菱形D．四边形ABCD的面积为4【1】【2】【3】【4】5．如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（）A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC=60°，点E，F分别是BC，CD的中点，BD分别与AE，AF相交于点M，N，连接OE，OF，下列结论：（1）△AEF是等边三角形；（2）四边形CEOF是菱形；（3）OF⊥AE；（4）BM=MN=ND．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【5】【6】7．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB=3，则菱形AECF的面积为（）A．1 B．2C．2D．48．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC 交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（）A．2 B．C．3 D．【7】【8】9．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的是（）A．①④B．①③④C．①②③D．②③④10．如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（）A．100°B．105°C．110°D．120°【9】【10】二．填空题（共10小题）11．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为．12．下列说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的说法是（填正确的序号）13．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．14．如图，有甲乙两张纸条，甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，将这两张纸条随意交叉重叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，那么AB与BC的数量关系是．15．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是．（填序号）①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．【13】【14】【15】16．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是．17．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是．18．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE 的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若FG=5，CF=6，则四边形BDFG的面积为．【16】【17】【18】19．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是．20．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2=．【19】【20】三．解答题（共7小题）21．如图，在▱ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AC⊥CD，AB=6，BC=10，求四边形AECF的面积．22．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠CBA交AC于E，交CD于F，CG⊥BE交AB于G．（1）求证：四边形CFGE是菱形；23．如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于O，且∠1=∠2．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）F为AD上一点，连结BF交AC于E，且AE=AF，求证：AO=（AF+AB）．24．如图，∠ABC=90°，M为AC的中点，CD∥MB，AD⊥CD，点N在CD上，DN=MB，试说明BD与MN的位置关系．25．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC分别与AB、AC交于点G、F，连接CG．（1）求证：四边形BCGD是菱形；（2）若BC=1，求DF的长．26．四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H为BD、AC、AD、BC的中点，问EF、GH的关系？27．已知如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC中点，MN⊥BD且与MD的平行线BN相交于N．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若∠BAC=30°，∠ACD=45°，求菱形BNDM相邻两角的度数．第18章《菱形》复习资料【1】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2013秋•宁阳县校级期中）如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（）A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD，∵∠EAD=∠FAD，∴∠EAD=∠EDA，∴EA=ED，∴平行四边形AEDF是菱形．∴四边形AEDF周长为4AE=16．故选B．2．（2014•山东模拟）如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD B．AB=BCC．AB=CD，AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180°【解答】解∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D分别作BC，CD边上的高为AE，AF．则AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；∵平行四边形ABCD中，S△ABC=S△ACD，即BC×AE=CD×AF，∴BC=CD，即AB=BC．故B正确；∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A正确；AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C正确；如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．故选：D．3．（2012•凯里市校级三模）如图，两条宽度都为3cm的纸条，交叉重叠放在一起，它们的交角α为60°，则它们重叠部分（阴影部分）的面积为（）A．2cm2B．cm2C．cm2D．cm2【解答】解：如右图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵AD∥CB，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵纸条宽度都为3，∴AE=AF=3，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形．∴BC=AB，∵=sinα，∠α=60°，∴BC=AB=2，∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=3×2=6（cm2），故选D．4．（2012•山西模拟）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿射线BC向右平移到△DCE，连接AD、BD，下列结论错误的是（）A．AD=BC B．BD⊥DEC．四边形ACED是菱形D．四边形ABCD的面积为4【解答】解：∵△ABC沿射线BC向右平移到△DCE，∴AD=BC，AD∥BC，故选项A正确；∴四边形ABCD为平行四边形，又△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，由平移可知：AC∥DE，则DE⊥BD，故选项B正确；∵△ABC沿射线BC向右平移到△DCE，∴AD=CE，AD∥CE，∴四边形ACED为平行四边形，由平移可得△DCE也为等边三角形，∴DE=CE，∴四边形ACED为菱形，选项C正确；过A作AF⊥BC，如图所示：∵△ABC为边长为2的等边三角形，∴BF=CF=BC=1，在Rt△ABF中，AB=2，BF=1，根据勾股定理得：AF==，则S菱形ABCD=BC•AF=2，选项D错误，则原题结论错误的选项为D．故选D5．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（）A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于1【解答】解：如图所示：作EN∥AB，FM∥CD，过点E作EG⊥MN于点G，可得阴影部分面等于四边形EFMN的面积，则四边形EFMN是平行四边形，且EN=FM=1，∵EN=1，∴EG＜1，∴它们的公共部分（即阴影部分）的面积小于1．故选：C．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABC=60°，点E，F分别是BC，CD的中点，BD分别与AE，AF相交于点M，N，连接OE，OF，下列结论：（1）△AEF是等边三角形；（2）四边形CEOF是菱形；（3）OF⊥AE；（4）BM=MN=ND．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，OA=OD=AC，OB=OD=BD，AC⊥BD，∴△ABC、△ADC是等边三角形，∴OB是等边三角形ABC的高，∵点E是BC的中点，∴AE时等边三角形ABC的高，∴AE=OB，同理：AF=OD，∴AE=AF，∵点E，F分别是BC，CD的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=BD=OB，EF∥BD，∴AE=AF=EF，即△AEF是等边三角形，∴（1）正确；∵点E，F分别是BC，CD的中点，AC⊥BD，∴OE=BC=CE，OF=CD=CF，∴OE=OF=CE=CF，∴四边形CEOF是菱形，∴（2）正确；∵四边形CEOF是菱形，∴OF∥BC，∵AE⊥BC，∴OF⊥AE，∴（3）正确；∵AE、BO是等边三角形ABC的中线，∴AM=BM，同理：AN=ND，∵△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°，∵EF∥BD，∴∠AMN=∠AEF=60°，∠ANM=∠AFE=60°，∴∠AMN=∠ANM=60°，∴AM=AN，∴BM=MN=ND，∴（4）正确；正确的结论有4个，故选：D．7．（2016•陕西一模）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB=3，则菱形AECF的面积为（）A．1 B．2C．2D．4【解答】解：∵四边形AECF是菱形，AB=3，∴假设BE=x，则AE=3﹣x，CE=3﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=3﹣x，解得：x=1，∴CE=2，利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2，BC===，又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2，则菱形的面积是：AE•BC=2．故选：C．8．（2015春•启东市期中）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：设AP，EF交于O点，∵PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，∴四边形AFPE为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积，∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，菱形ABCD的面积=AC•BD=5，∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．故选：B．9．（2015春•滨江区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的是（）A．①④B．①③④C．①②③D．②③④【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD=DE，∴AB=DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG=DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG=CD=AB，∴①正确；∵AB∥CE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD=∠BAD=60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，∴②不正确；∵OB=OD，AG=DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG=AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，∴S四边形ODGF=S△ABF；③不正确；正确的是①④．故选：A．10．（2014春•大庆期中）如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（）A．100°B．105°C．110°D．120°【解答】解：∵四边形ABCD的四边都相等，∴四边形ABCD是菱形，∴∠B=∠D，∠A=∠C，AD∥BC，∴∠DAB+∠B=180°，∵△AEF是等边三角形，AE=AB，∴∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，由三角形的内角和定理得：∠BAE=∠FAD，设∠BAE=∠FAD=x，则∠D=∠AFD=180°﹣60°﹣2x，∵∠FAD+∠D+∠AFD=180°，∴x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，解得：x=20°，∴∠C=∠BAD=2×20°+60°=100°，故选A．二．填空题（共10小题）11．（2014•泸州）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为4．【解答】解：∵平行四边形两条对角线互相平分，∴它们的一半分别为2和，∵22+（）2=32，∴两条对角线互相垂直，∴这个四边形是菱形，∴S=4×2=4．故答案为：4．12．（2016春•江汉区期中）下列说法：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的说法是①③（填正确的序号）【解答】解：①平行四边形的一组对边平行且另一组对边相等，说法正确；②一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误；③菱形的对角线互相垂直，说法正确；④对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误；正确的说法是①③，故答案为：①③．13．（2012•长春一模）如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为4 cm．【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，∵OA=OB，∴OA=OB=BC=AC，∴四边形OACB是菱形，∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2，∴AB•OC=×2×OC=4，解得OC=4cm．故答案为：4．14．（2012春•浦东新区期末）如图，有甲乙两张纸条，甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，将这两张纸条随意交叉重叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，那么AB与BC的数量关系是AB=2BC．【解答】解：过A作AE⊥CD于E、作AF⊥GH于F，根据题意得：甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，则AF=AE，∵四边形AGHD是平行四边形，∴∠AGF=∠ADE，在△AGF和△ADE中，，∴△AGF≌△ADE，∴AG=AD，又∵AG=AB=AG，AD=BC，∴AB=BC，∴AB=2BC．故答案为：AB=2BC．15．（2015春•太康县期末）如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是①②④．（填序号）①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．【解答】解：∵图中有三个菱形，如菱形ABCD、菱形HOFD、菱形BEPG，∴①正确；∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD=∠CBD，∵EF∥BC，GH∥AB，∴四边形BEPG是平行四边形，∴PE=BG，PG=BE，在△BEP和△PGB中，∴△BEP≌△PGB（SSS），∴②正确；∵只有当H为AD中点，E为AB中点时，四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半，∴③错误；∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵EF∥BC，GH∥AB，∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，∴四边形AEPH、四边形HPFD、四边形BEPG、四边形PFCG是平行四边形，∴AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，∵四边形ABCD是菱形，∴∠EBP=∠GBP，∵PE∥BG，∴∠EPB=∠GBP，∴∠EBP=∠EPB，∴BE=PE，∴AH=PE=BG=BE=CF=PG，同理AE=HP=DF=PF=CG，∴四边形AEPH的周长=四边形GPFC的周长，∴④正确；故答案为：①②④．16．（2015春•南长区期中）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，则线段AC、BF、CD之间的关系式是AC2+BF2=4CD2．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB∥CE，AD∥BC，∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB=BC=CD=DE=EA，∴四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，∴OB2+OC2=BC2，∵AC=2OC，BF=2OB，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，又∵BC=CD，∴AC2+BF2=4CD2．故答案为：AC2+BF2=4CD2．17．（2015春•武昌区期中）如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是5﹣5．【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥BD于点E，当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，∵平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，∴AB=AD=CD=BC=10，∠BAD=∠BCD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AE过点O，E为BD中点，则此时EO=5，故AO的最小值为：AO=AE﹣EO=ABsin60°﹣×BD=5﹣5．故答案为：5﹣5．18．（2014春•泗阳县校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若FG=5，CF=6，则四边形BDFG的面积为15．【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CE⊥BD，∴CE⊥AG，又∵BD为AC的中线，∴BD=DF=AC，∴四边形BDFG是菱形，过点B作BH⊥AG于点H，∵四边形BDFG是菱形，∴GF=DF=5，∵∠BEF=∠EFH=∠BHF=90°，∴四边形BHFE是矩形，∴BH=EF=CF=3，∴S菱形BDFG=GF•BH=15．故答案为：15．19．（2012春•莱州市期末）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是4千米．【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，∵村庄C到公路l1的距离为4千米，∴CF=4千米，∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，∴CE=CF=4千米，即C到公路l2的距离是4千米．故答案是：4千米．20．（2012•凉山州）如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2= 36．【解答】解：如右图，连接EF，FG，GH，EH，∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH=BD=3，同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，∴EF=GH=AC=3，FG=BD=3，∴EH=EF=GH=FG=3，∴四边形EFGH为菱形，∴EG⊥HF，且垂足为O，∴EG=2OE，FH=2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9，等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36，∴（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36．故答案为：36．三．解答题（共7小题）21．（2013秋•姜堰市期末）如图，在▱ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AC⊥CD，AB=6，BC=10，求四边形AECF的面积．【解答】解：（1）∵EF垂直平分AC，∴AO=OC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1=∠4=∠3，∴AF=AE，∴AE=EC=CF=FA，∴四边形AECF是菱形．（2）∵AC⊥CD，AC⊥EF∴EF∥CD∴EF=AB=6∵BC=10，∴由勾股定理得：AC=8，∴四边形AECF的面积为：AC•EF=×6×8=24；22．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠CBA交AC于E，交CD于F，CG⊥BE交AB于G．（1）求证：四边形CFGE是菱形；【解答】解：（1）证明：设BE交CG于M．如图所示：∵BE是∠CBA的平分线，∴∠1=∠2，∵CG⊥BE，∴∠3=∠4=90°，在△BMG和△BMC中，，∴△BMG≌△BMC（ASA），∴MC=MG，∴EC=EG，FG=FC，∵CD⊥AB，∴∠DFB+∠1=90°，∵∠CEF+∠2=90°，∠CFE=∠DFB，∴∠CEF=∠CFE，∴EC=FC，∴EC=EG=FG=FC，∴四边形CFGE是菱形；23．（2016秋•江阴市校级月考）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD交于O，且∠1=∠2．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）F为AD上一点，连结BF交AC于E，且AE=AF，求证：AO=（AF+AB）．【解答】解：（1）证明：∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠2=∠ACB，又∵∠1=∠2，∴∠1=∠ACB∴AB=BC，∴▱ABCD是菱形；（2）∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠AFE=∠EBC，又∵AF=AE，∴∠AFE=∠AEF=∠BEC，∴∠EBC=∠BEC，∴BC=CE，∴AC=AE+CE=AF+BC=2OA，∴OA=（AF+BC），又∵AB=BC，∴OA=（AF+AB）．24．如图，∠ABC=90°，M为AC的中点，CD∥MB，AD⊥CD，点N在CD上，DN=MB，试说明BD与MN的位置关系．【解答】解：如图，连接BN，∵CD∥MB，DN=MB，∴四边形BNDM是平行四边形，∵∠ABC=90°，AD⊥CD，M为AC的中点，∴BM=DM=AC，∴平行四边形BNDM是菱形，∴BD与MN的位置关系BD⊥MN．25．（2012•枣阳市校级模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC分别与AB、AC交于点G、F，连接CG．（1）求证：四边形BCGD是菱形；（2）若BC=1，求DF的长．【解答】（1）证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CE=AC，∵CD=AC，∴CE=AC，∴CE=DE，∵DF∥BC，∴∠EDG=∠ECB，在△EDG和△ECB中，，∴△DEG≌△CEB（ASA），∴EG=BE，∴四边形BCGD是平行四边形，∵CD⊥AB，∴▱BCGD是菱形．（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，∴CE=AC=CD，∴CE=ED．∴BC=BD=1．又∵∠ECB+∠ACE=90°，∠A+∠ACE=90°，∴∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，∴BE=BC=BD=，在直角三角形ABC中，∠A=30°，则AB=2BC=2．则AE=AB﹣BE=，∵Rt△AEC≌Rt△DFC，∴DF=AE=．26．（2011秋•鹤山区校级月考）四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H为BD、AC、AD、BC的中点，问EF、GH 的关系？【解答】解：EF⊥GH．理由如下：连接EG，GF，FH，EH，∵E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点∴EG=AB，EH=CD，又∵AB=DC，∴EG=EH，∵EG∥AB，HF∥AB，∴EG∥HF，同理GF∥EH，∴四边形EGFH是菱形，EF，GH分别为对角线，∴EF⊥GH．27．已知如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M是AC中点，MN⊥BD且与MD的平行线BN相交于N．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若∠BAC=30°，∠ACD=45°，求菱形BNDM相邻两角的度数．【解答】（1）证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC中点，∴BM=DM=AC，设BD与MN相交于点O，∵MN⊥BD，∴BO=DO，∵MD∥BN，∴∠MDO=∠NBO，在△MDO和△NBD中，，∴△MDO≌△NBD（ASA），∴OM=ON，∴BD、MN互相垂直平分，∴四边形BMDN是菱形；（2）解：∵∠BAC=30°，∠ACD=45°，∴∠BMC=30°×2=60°，∠CMD=90°，∴∠BMD=60°+90°=150°，∵DM∥BN，∴∠MBN=180°﹣150°=30°，∴菱形BNDM相邻两角的度数是150°，30°．。

§18.2.2（2）菱形的判定一.菱形判断的证明：1.四条边相等的四边形是菱形．已知：AB=BC=CD=AD ． 求证：四边形ABCD 是菱形．2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形．已知：ABCD ，对角线AC 、BD相交于点O ，AC ⊥ BD.求证：四边形ABCD 是菱形．O DA三.判定菱形问题：3. 如图ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,且AB =5，AO =4，BO =3.求证：平行四边形ABCD 是菱形．3.如图所示，已知平行四边形ABCD ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是E ，F ，并且DE ＝DF.求证：(1)△ADE ≌△CDF ；(2)四边形ABCD 是菱形．2．如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．求证:四边形AFCE 是菱形．3．如图E 、F 、G 、H 分别是矩形ABCD 四边的中点，求证：四边形EFGH 为菱形．4．如图，△ABC 中， ∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，CD ⊥AB 与D ，E H ⊥AB 于H ，CD 交BE 于F ． 求证：四边形CE H F 为菱形．2.如图所示，在四边形ABCD 中，点E ，F 是对角线BD 上的两点且BE ＝DF. (1)若四边形AECF 是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形； (2)若四边形AECF 是菱形，那么四边形ABCD 也是菱形吗？为什么？(3)若四边形AECF 是矩形，试判断四边形ABCD 是否为矩形，不必写理由．3．（导学案88页能力提升7）如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF ∥AB ． （1）求证：CF=AD ；（2）若∠ACB=90°，试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由．12．（导学案88页拓展创新8）如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，G ，H 分别是BD ，AC 的中点，AB ，CD 满足什么条件时，四边形EGFH 是菱形？请证明你的结论．1.（导学案88页能力提升6）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；（2）如果∠BAC=90°，判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（3）如果AD平分∠BAC，判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（4）如果AD⊥BC且AB=AC，判断四边形AEDF，并说明理由．6．（导学案85页拓展创新7，87页展示交流2）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于G．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）求证：DE∥BF；（3）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并说明理由．（4）若BG=6，AG=8，AB=10,则四边形DEBF是菱形吗？为什么？三.课后作业：（一）选择题1.下列条件能判定四边形是菱形的是( )A．对角线相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形C．对角线互相垂直平分的四边形 D．对角线相等且互相垂直的四边形1．下列条件AC⊥BD；∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD中能使□ABCD是菱形的是（） A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③2．如图，已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）A．AD平分∠BAC B．AB＝AC且BD＝CD C．AD为中线 D．EF⊥AD2.如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形3.（2013•海南）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°AB D CFE4．（2013•大庆）已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（）A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形 D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形（二）填空题1．填空：⑴对角线互相平分的四边形是；⑵对角线互相垂直平分的四边形是；⑶两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．2.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，请添加一个条件，使四边形ABCD是菱形，所添加的条件是________．4．用两张平行的纸条交叉重叠放在一起，则四边形ABCD为_________；两张纸条互相垂直时，四边形ABCD为___ ___ ；若两张纸条的宽度相同，则四边形ABCD为_ _____．2.□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，（1）若AB=AD，则□ABCD是形；（2）若AC=BD，则□ABCD是形；（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是形；（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是形.（三）解答题2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为4c m、6c m．1.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3．求证：平行四边形ABCD是菱形．5．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点．求证：四边形EFGH是菱形．A E DFGHB C6．如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形．5. 如图，已知四边形ABCD中，对角线AC=BD，点E、F、G、H分别是四条边的中点.求证：四边形EFGH是菱形.3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形．DB CA参考答案 1．C 2．C 3．A 4．C5．证明：∵E 、F 分别是AD 、AB 的中点，∴EF =12BD ，同理可得：GH =12BD ，EH =12AC ，FG =12AC . 又∵AC =BD ，∴四边形EFGH 是菱形.第2课时 菱形的判定1.理解并掌握菱形的定义及其它两个判定方法.2.会用这些判定方法进行有关的论证和计算.自学指导：阅读课本57页至58页，完成下列问题. 知识探究1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四边相等的四边形是菱形. 自学反馈1.判断下列说法是否正确：(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；(×)(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；(√)(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；(×)(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.(×) 2.□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，(1)若AB=AD ，则□ABCD 是菱形； (2)若AC=BD ，则□ABCD 是矩形；(3)若∠ABC 是直角，则□ABCD 是矩形； (4)若∠BAO=∠DAO ，则□ABCD 是菱形.活动1 小组讨论例1 如图，□ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=5，AC=8，DB=6. 求证:四边形ABCD 是菱形.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC=4,OB=OD=3.又AB=5，则32+42=52，即OA 2+OB 2=AB 2. ∴∠AOB=90°,即AC ⊥BD, ∴四边形ABCD 是菱形. 例2 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E,DF ∥AB 交AC 于点F.试问四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由.解：四边形AEDF 是菱形. 理由：∵DE ∥AC ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形. ∵DE ∥AC ， ∴∠2=∠3.∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AE=DE ，∴四边形AEDF 是菱形.活动2 跟踪训练1.下列命题中正确的是( C ) A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形2.对角线互相垂直且平分的四边形是( C )A.矩形B.一般的平行四边形C.菱形D.以上都不对 3.下列条件中，不能判定四边形ABCD 为菱形的是( C ) A.AC ⊥BD,AC 与BD 互相平分 B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,且AC ⊥BDD.AB=CD,AD=BC,AC ⊥BD要严格根据判定定理来判断.4.如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC,CE ∥BD.求证：四边形OCED 是菱形.证明：DE ∥AC,CE ∥BD.则四边形OCED 是平行四边形.矩形ABCD 的对角线相交于点O ，则OD=OC.所以四边形OCED 是菱形.5.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于点E ，连接AE 、CD.求证：四边形ADCE 是菱形.根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.得出AD=DC,AE=EC.CE ∥AB 得出∠DAO=∠ECO.又AO=CO ，Rt △ADO ≌Rt △CEO ，得AD=CE.四边形ADCE 是平行四边形，AD=DC.故四边形ADCE 是菱形. 活动3 课堂小结菱形常用的判定方法：1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.有四条边相等的四边形是菱形.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.5．（导学案84页难点探究2变式）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．。

18.2.2 菱形同步练习一、选择题（本大题共8道小题）1. 对角线互相垂直平分的四边形是( ).A.平行四边形B.矩形C.菱形D.任意四边形2. 在▱ABCD中,下列结论不一定正确的是( )A.AC=BDB.当AC⊥BD时,它是菱形C.当AC=BD时,它是矩形D.AB=CD3. 下列命题中正确的是( )A.对角线相等的四边形是菱形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形4. 如图,若要使平行四边形ABCD成为菱形,则需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD5. ▱ABCD的对角线相交于点O,分别添加下列条件:①AC⊥BD;②AB=BC;③AC平分∠BAD;④AO=DO,使得▱ABCD是菱形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6. 如图,在菱形ABCD中,E,F,G,H分别是菱形四边的中点,连接EG,FH,交于点O,则图中的菱形共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个7. 如图,△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,若AE=4 cm,那么四边形AEDF的周长为( )A.12 cmB.16 cmC.20 cmD.22 cm8. 如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,连接EF,则△AEF 的面积是( )A.43B.33C.23D.3二、填空题（本大题共6道小题）9. 菱形的周长为20cm,一条对角线长为8cm,则菱形的面积为 .10. 菱形的两条对角线长分别是6和8,则菱形的边长为。

11. 下列命题:①四边都相等的四边形是菱形;②两组邻边分别相等的四边形是菱形;③对角线互相垂直的平行四边形是菱形;④对角线相等的四边形是菱形;⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.其中正确的是.(填序号)12. 若菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm,则它的周长为______cm,面积为______cm2.13. 已知菱形的周长为40cm,两个相邻角度数之比为1:2,则较长对角线的长为_____cm.14. 在四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,从(1)AB=CD;(2)AB∥CD;(3)OA=OC;(4)OB=OD;(5)AC⊥BD;(6)AC平分∠BAD这六个条件中,选取三个推出四边形ABCD是菱形。

人教版数学八年级下18.2.2 菱形测试题一．选择题（每题 3 分，共 30 分）1.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，此中由两个正六边形构成的图形部分栽花，则栽花部分图形的周长为（）A.12mB.20mC.22mD.24m2.如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， OE⊥ AB，垂足为 E，若∠ ADC=130°，则∠ AOE的大小为（）A.75 °B.65 °C.55 °D.50 °3.如图，在□ ABCD中， AB=5，AD=6，将□ ABCD沿 AE 翻折后，点 B 恰巧与点 C 重合，则折痕 AE 的长为（）A.33B.215C.D.44.菱形不具备的性质是（）A.四条边都相等B.对角线相等C.既是轴对称图形，又是中心对称图形D.对角线相互垂直且相互均分5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC， BD 交于点 O， E 为 AD 的中点，菱形ABCD的周长为28，则 OE 的长等于（）B.4C.7D.146.菱形不具备的性质是（）A.四条边都相等B.对角线必定相等C.是轴对称图形D.是中心对称图形7.平面直角坐标系中，四边形 ABCD的极点坐标分别是 A（-3，0），B（ 0，2）， C（3，0），D （ 0， -2），则四边形 ABCD是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形8.如图，在菱形 ABCD中，E 是 AC 的中点， EF∥ CB，交 AB 于点 F，假如 EF=3，那么菱形 ABCD 的周长为（）A.24B.18C.12D.99.如图，在菱形 ABCD中，∠ B=60°，AB=1，延伸 AD 到点 E，使 DE=AD，延伸 CD到点 F，使DF=CD，连结 AC， CE， EF，AF，则以下描绘正确的选项是（）A.四边形 ACEF是平行四边形，它的周长是4B.四边形 ACEF是矩形，它的周长是2+23C.四边形 ACEF是平行四边形，它的周长是43D.四边形 ACEF是矩形，它的周长是4+4310..图，在菱形 ABCD中， AC=62，BD=6，E 是 BC边的中点， P，M 分别是 AC，AB 上的动点，连结 PE， PM，则 PE+PM 的最小值是（）A.63B.36C.2二．填空题（每题 3 分，共 18 分）11.如图，四边形ABCD是平行四边形，若AB=，则四边形ABCD是菱形 .【菱形的判断（定义法）】有一组邻边的四边形是菱形.12.菱形 ABCD中，∠ A=60°，其周长为 24cm，则菱形的面积为cm2.13.如图，四边形 ABCD是菱形，，若∠ABO=30°，∠ CBO=，∠ ADO=30°，∠ CDO=30°.结论：菱形的对角线；而且每一条对角线均分一组对角.14.如图，四边形ABCD是平行四边形，AC丄，则四边形ABCD是菱形 .【判断定理一】对角线的平行四边形是菱形.15.如图，四边形ABCD是菱形，若AB=1，则 BC=，CD=，AD=.结论：菱形的四条边都.16.已知菱形的边长为 3，一个内角为 60°，则该菱形的面积是.17.菱形 OACB在平面直角坐标系中的地点如下图，点 C 的坐标是（ 6，0），点 A 的纵坐标是 1，则点 B 的坐标为．18.如图，四边形ABCD是平行四边形，若AB=AD，则四边形ABCD是.【菱形】有一组邻边的四边形叫做菱形.三．解答题（共66 分）19 如图，矩形ABCD的对角线AC， BD 交于点 O，且 DE∥ AC， CE∥ BD.（1）求证：四边形 OCED是菱形；（2）若∠ BAC=30°，AC=4，求菱形 OCED的面积 .20.矩形，菱形因为其特别的性质，为拼图供给了方便，因此墙面瓷砖一般设计为矩形，图案也以菱形居多．如图，是一种长 30cm ，宽 20cm 的矩形瓷砖， E、F、G、H 分别是矩形ABCD 各边的中点，暗影部分为淡黄色，中间部分为白色，现有一面长 4.2m ，宽 2.8m 的墙壁准备贴瓷砖．问：这面墙壁最少要贴这类瓷砖多少块？所有贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形？此中淡黄色的菱形有多少个？21.如图，菱形ABCD的边长为8，∠ ABC=60°，求对角线AC的长 .22.如图，在△ ABC 中，∠ ABC=90°，点 D 为 AC的中点，过点作BD 的平行线，交 CE的延伸线于点 F，在 AF 的延伸线上截取（1）求证：四边形 BDFG是菱形；（2）若 AC=10， CF=6，求线段 AG 的长度 .C 作 CE⊥ BD 于点 E，过点 A FG=BD，连结 BG、 DF.23.如图，在△ABC中， AD⊥BC 于点 D，点 E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 ED∥ AC，DF∥AB，当知足什么条件时，四边形 AEDF是菱形？人教版数学八年级下18.2.2 菱形测试题答案选择题（每题 3 分，共 30 分）1.答案： B.解：如图：∵四边形 ABCD为菱形，且∠ A=120 ，°∴∠ FAE=60. °∵EFGMNH 为正六边形，∴∠ BMG=60 °，∠ AFE=60 ，°MG=GF=AF,∴△ BGM 和△ AEF均为等边三角形，∴E F=AF， BG=MG.∴B G=GF=FA=2，∴正六边形的边长为 2.又∵ 正六边形有一个公共边OE，∴可得两个六边形的周长为 6 × 2+6 × 2-4=20，∴可得栽花部分的图形周长为20m.应选 B.2.如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， OE⊥ AB，垂足为 E，若∠ ADC=130°，则∠ AOE的大小为（）A.75 °B.65 °C.55 °D.50 °3.答案： D.解：∵翻折后点 B 恰巧与点 C 重合，∴AE⊥ BC， BE=CE.∵BC=AD=6，∴BE=3，∴A E=AB2-BE2=4.应选 D.4.答案： B.解：A.菱形的四条边都相等，不切合题意；B.菱形的对角线相互垂直且均分，不必定相等，切合题意；C.菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不切合题意；D.菱形的对角线相互垂直且相互均分，不切合题意，应选 B.5.答案： A.解：∵菱形 ABCD的周长为28，∴菱形的边长AB=BC=CD=AD=7.∵四边形 ABCD为菱形，∴B O=OD.又∵ E 为 AD 边的中点，∴OE 为三角形 ABD 的中位线，∴O E=1/2AB=3.5.6.答案： B.解：菱形的四条边都相等，既是轴对称图形，又是中心对称图形，但对角线不必定相等.应选 B.7.答案： B.解：∵A（-3， 0）， B（ 0，2）， C（ 3， 0）， D（ 0，-2），∴AO=CO， DO=BO，∴四边形 ABCD为平行四边形.∵AC⊥BD，∴四边形 ABCD是菱形 .应选 B.8.答案： A.解：∵ E 是 AC 中点，∵E F∥ BC，交 AB 于点 F，∴EF 是△ ABC的中位线，∴E F=12BC，三角形中位线性质∴B C=6，∴菱形 ABCD的周长是 4 × 6=24．菱形的四条边相等应选 A．9.答案： B.解：∵ DE=AD， DF=CD，∴四边形 ACEF是平行四边形 .∵四边形 ABCD为菱形，∠ B=60 ，°∴∠ B=∠D=60 .°∵AD=CD，∠ D=60 ，°∴△ ACD是等边三角形，∴A C=AD=CD=1.∵A E=AD+DE， CF=CD+DF， AD=CD=1∴A E=CF=2.∵四边形 ACEF是平行四边形，AE=CF，∴四边形 ACEF是矩形，∴∠ FAC=90. °在Rt△ ACF中， CF=2， AC=1.∴A F=2AG=3，∴矩形 ACEF的周长为： (1+3)× 2=23+2.应选 B．10答案： C.解：如图，作点 E 对于AC 的对称点E′，过点E′作E′M⊥ AB 于点M ，交AC 于点P，则此时PE+PM 获得最小值 .∵点 E、 E′对于直线AC 对称，∴P E=PE ′.∴PE+PM=PE ′ +PM=E ′ M.∵四边形 ABCD是菱形，∴点 E′在 CD 上，∵A C=62， BD=6，∴AB=(32)2+32=33.∵S 菱形 ABCD=12AC?BD=AB?E ，′M∴12 × 62 ×6=33?EM，′解得：E′M=26.即PE+PM的最小值是 26.应选 C．填空题（每题 3 分，共 18 分）11.答案： AD 或 BC；相等；平行.解：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，所以若AB=AD 或AB=BC时，四边形ABCD是菱形 .12.答案： 18313.答案： AC⊥ BD； 30°；相互垂直 .解：∵四边形 ABCD是菱形，∴A B=BC=CD=DA，∴点 A、 C 在 BD 上的垂直均分线上，∴AC⊥BD，∴∠ CBO=∠ ABO=30 .°结论：菱形的对角线相互垂直；而且每一条对角线均分一组对角.14.答案： BD；相互垂直 .解：依据对角线相互垂直的平行四边形是菱形可知：当AC⊥ BD 时，四边形ABCD是菱形 .15.答案： 1； 1；1；相等 .解：∵四边形 ABCD是菱形，∴AB=CD， AD=BC，且 AB=BC，∴A B=BC=CD=AD=1，即菱形的四边都相等 .9316.答案：2解：因为菱形的一个内角是60°，所以较短的对角线与菱形的一组邻边构成一个等边三角形，即较短的对角线为3，依据勾股定理可求得较长的对角线的长为33，93则这个菱形的面积 =1/2×3×33=217.答案：（ 3， -1） .解：连结AB 交 OC于点 D，∵四边形 ABCD是菱形，∴AB⊥ OC， OD=CD， AD=BD，∵点 C 的坐标是（ 6， 0），点 A 的纵坐标是1，∴O C=6， BD=AD=1，∴O D=3，∴点 B 的坐标为（ 3， -1）．18.答案：菱形；相等；平行.解：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，所以四边形ABCD是菱形 .解答题（共66 分）19证明：（ 1）∵ DE∥ OC，CE∥ OD，∴四边形 OCED是平行四边形 .∵四边形 ABCD是矩形，∴AC=BD， OC=1/2AC，OD=1/2BD，∴OC=OD，∴四边形 OCED是菱形 .（2）在矩形 ABCD中，∠ABC=90°，∠ BAC=30°，AC=4，∴BC=2，∴A B=DC=2 3 .如图：连结OE，交 CD 于点 F.∵四边形 OCED为菱形，∴F为 CD中点，∴O F=1/2BC=1，∴O E=2OF=2，1OE CD1 2 2 3 2 3∴S 菱形 OCED=2220.解：（ 1）∵ 墙壁的长为 4.2 米，宽为 2.8 米，∴墙壁的面积为 4.2× 2.8=11.平76方米 .30 厘米 =0.3 米，20 厘米 =0.2 米，同理可得瓷砖的面积为0.3 × 0.2==0.06平方米 .∴起码需要的瓷砖数为11.76/0.06=196 块 .（2）因为矩形中间的菱形各边都相等，当摆出菱形最多时，墙壁的长摆下的瓷砖数为 4.2/0.3=14 个，墙壁的宽摆下的瓷砖为 2.8/0.2=14 个 .每四个和△AHG 全等的三角形构成一个新的菱形，共有三角形数为196×4=784个 .∵周围共有 (14+14)× 4-4=108个三角形不可以构成菱形，∴新构成最多的菱形数为(784-108 )/4=169 个，即淡黄色的菱形有169 个，∴出现的菱形数为196+169=365 个 .∵这些菱形的面积都相等，∴这面墙璧最多会出现365 个面积相等的菱形 .21.解：∵四边形 ABCD是菱形，∴A B=BC.又∵∠ ABC=60°.∴△ ABC是等边三角形.∴A C=AB=8.22.证明：（ 1）∵ AG∥ BD， FG=BD，∴四边形 BDFG是平行四边形 .∵CE⊥ BD，∴C F⊥ AG.∵BD、FC分别△ ABC和△ AFC斜边上的中线，∴B D=DF=1/2AC，∴四边形 BDFG是菱形 .（2）∵四边形 BDFG为菱形，∠ ABC=90°，点 D 是 AC的中点，∴G F=DF=1/2AC=5.∵C F⊥ AG，∴AF=AC 2CF 2= 10262=8，∴A G=AF+FG=8+5=13.23.解：当 AB=AC时，四边形AEDF是菱形 .∵DE∥ AC， DF∥AB，∴四边形 AFDE为平行四边形，∠EAD=∠FDA.∵AD⊥ BC， AB=AC，∴AD 是∠ BAC的均分线，∴∠ EAD=∠ FAD，∴∠ FDA=∠ FAD，∴A F=DF(等角平等边 )，∴四边形 AEDF为菱形 (一组邻边相等的平行四边形是菱形).。

18.2.2 菱形第1课时菱形的性质学习目标：1、记忆菱形的定义；2、记忆菱形的性质；3、能区别菱形与平行四边形；4、菱形的面积计算公式。

重难点：菱形的性质；菱形的性质的应用。

学习过程一、自主学习看课本回答下列问题：平行四边形菱形1、叫做菱形。

菱形是的平行四边形。

2、从菱形的定义中可以发现：两层意义1、；2、二、探究菱形的性质与面积计算1、菱形的一般性质（1）菱形也具有平行四边形的所有性质．、、。

2、菱形的特殊性质观察剪下来的图形是怎样的图形．实际上，学生很容易发现，剪下的一个图形是菱形．动手操作后发现：（1）菱形是轴对称图形，有条对称轴对称轴就是它的对角线所在的直线（两条）．（2）利用轴对称图形的性质可知：性质定理1：（1）菱形的四条边都相等；几何语言: ∵∴性质定理2：（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．几何语言: ∵∴3、菱形被两条对角线分成四个全等的小直角三角形，思考：你可以用哪些方法求菱形的面积？每种方法中要知道哪些条件？得出菱形的面积计算公式：（方法一）第2课时菱形的判定学习目标：记忆菱形的三种判定方法；重难点：菱形判定方法的应用。

学习过程一、复习旧知菱形的定义是什么？（一组邻边相等的四边形是菱形）性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都；（2）角的性质：对角；（3）对角线的性质：两条对角线互相、，每条对角线平分一组对角；（4）对称性：是轴对称图形，有条对称轴，是两条对角线所在的直线．二、探究新知1、菱形的四边都相等。

反过来，四边都相等的四边形是菱形，对吗？答：简单说理：由此得到菱形的判定定理1（从四边形错误!未找到引用源。

菱形）：几何语言表述:在四边形ABCD中∵ AB= = = ∴2、（1）菱形的定义：一组邻边相等的四边形是菱形由此得到菱形的判定定理2（从平行四边形错误!未找到引用源。

菱形）---定义法：几何语言表述: 在□ABCD中∵或或或∴（2）教具：两根一长一短的细木条，钉子、橡皮筋．操作：教师在两根细木条的中点处固定一个小钉子，做成一个可转动的十字，再将四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形，问：这个四边形是怎样的四边形？（答：）．问：将木条转成互相垂直的位置，这时这个平行四边形是怎样的平行四边形呢？为什么？由此得到菱形判定定理3（从平行四边形错误!未找到引用源。