2018考前三个月高考数学理科总复习训练题：小题满分练10含答案

小题满分练小题满分练．设全集＝，＝{－≤}，＝{＝，∈}，则图中阴影部分表示的区间是．答案(－∞，－)∪(，＋∞)解析因为＝{≤≤}＝[]，＝{－≤≤}＝[－]，所以∪＝[－]，所以∁(∪)＝(－∞，－)∪(，＋∞)．．(·苏州暑假测试)命题“∃＞，≥”的否定是．答案∀＞，＜解析根据存在性命题的否定规则得“∃＞，≥”的否定是“∀＞，＜”．．若复数满足＝＋，则的共轭复数是．答案＋解析∵＝＋，∴＝＝－，∴＝＋.．(·徐州、连云港、宿迁三检)已知一组数据，则该组数据的方差是．答案(或)解析这组数据的平均数＝(＋＋＋＋)＝，方差＝(＋＋＋＋)＝.．若流程图如图所示，则该程序运行后输出的值是．答案解析＝，＝⇒＝，＝⇒＝，＝⇒＝，＝…，由此可知＝，所以当＝时，＝.．(·常州期末)满足等式－＝(∈[，π])的的值为．答案解析由题意可得，－－＝，解得＝－或＝(舍去)．又∈[，π]，故＝.．(·河北衡水中学模拟)已知为等差数列，为其前项和，公差为，若－＝，则的值为．答案解析因为＝＝＋，所以)－＝＋－)－＝＝，所以＝.．(·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为．答案∶解析如图，由题意可得圆柱的侧面积为＝π＝π.圆锥的母线＝＝，故圆锥的侧面积为＝×π×＝π，所以∶＝∶.．(·无锡期末)设不等式组(\\(≥，－≤，＋≤))表示的平面区域为，若直线＝－上存在内的点，则实数的取值范围为．答案[]解析直线＝－上存在内的点，即直线与平面区域有公共点，作出平面区域，注意到直线＝－经过定点(，－)，求得直线：－＝和：＋＝的交点()及和：＝的交点()，则＝，＝，由题意可得的取值范围是[]．．已知()是定义在上的偶函数，且对于任意的∈[，＋∞)，满足(＋)＝()．若当∈[)时，()＝－－，则函数＝()－在区间[－]上的零点个数为．答案解析作出函数()的图象(如图)，则它与直线＝在[－]上的交点的个数，即为函数＝()－在[－]上的零点的个数，由图象观察知共有个交点，从而函数＝()－在[－]上的零点有个．．(·无锡期末)设点是有公共焦点，的椭圆与双曲线的一个交点，且⊥，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若＝，则＝.答案解析不妨设，分别是左、右焦点，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，则根据椭圆和双曲线的定义可得(\\(＋＝，－＝，))解得。

小题满分练91．(2017·苏北四市期末)已知集合A ＝{－2,0}，B ＝{－2,3}，则A ∪B ＝________. 答案 {－2,0,3}2．已知i 为虚数单位，则复数2i1＋i ＝________.答案 1＋i3．(2017·南通、扬州、泰州、淮安三调)某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是________． 答案 56解析 从甲、乙、丙、丁4首歌曲中随机抽取2首播放，因为播放是有顺序的，所以所有的基本事件有：(甲，乙)，(乙，甲)，(甲，丙)，(丙，甲)，(甲，丁)，(丁，甲)，(乙，丙)，(丙，乙)，(乙，丁)，(丁，乙)，(丙，丁)，(丁，丙)，共12个，而甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的事件所包含的基本事件有：(甲，乙)，(乙，甲)，(甲，丙)，(丙，甲)，(甲，丁)，(丁，甲)，(乙，丙)，(丙，乙)，(乙，丁)，(丁，乙)，共10个，故所求事件的概率为P ＝1012＝56.4．(2017·常州期末)双曲线x 24－y 212＝1的右焦点与左准线之间的距离是________．答案 5解析 因为a 2＝4，b 2＝12，所以c 2＝16，即右焦点为(4,0)，又左准线为x ＝－a 2c＝－1，故右焦点到左准线的距离为5.5．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是______________． 答案 {a |a ≤－2或a ＝1}解析 p 为真，则x 2≥a ，所以a ≤1；q 为真，则Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”为真命题， 则a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.6．(2017·苏州期末)阅读下面的流程图，如果输出的函数f (x )的值在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12内，那么输入的实数x 的取值范围是________．答案 [－2，－1]解析 流程图表示输出分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ∈[－2，2]，2，x ∉[－2，2]的值．令f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，14≤2x ≤12，解得－2≤x ≤－1.7．已知圆锥的母线长为10cm ，侧面积为60πcm 2，则此圆锥的体积为________cm 3. 答案 96π解析 设圆锥的底面半径为r cm ，高为h cm ，则12·2πr ·10＝60π，所以r ＝6cm ，从而高h＝8cm ，此圆锥的体积V ＝13×36π×8＝96π(cm 3)．8．(2017·广东佛山检测)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)．如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和．如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…，按此规律，8128可表示为________． 答案 26＋27＋…＋212解析 因为8 128＝26×127， 又由1－2n1－2＝127，解得n ＝7.所以8 128＝26×(1＋2＋…＋26) ＝26＋27＋ (212)9．(2017·常州期末)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝4，S 9－S 6＝27，则S 10＝__________. 答案 65解析 因为S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＝27，所以a 8＝9，即S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 3＋a 8)＝65.10．(2017届苏北四市一模)若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________． 答案 －13解析 因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α，即cos αsin β＝2sin αcos β.又因为cos αsin β＝23，所以sin αcos β＝13，从而sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13.11．函数f (x )的图象关于y 轴对称，且对任意x ∈R 都有f (x －3)＝－f (x )，若当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (2017)＝________.答案 －14解析 因为函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x －3)＝－f (x )， 所以f (x －6)＝－f (x －3)＝f (x )， 函数f (x )是周期为6的函数，f (2017)＝f (336×6＋1)＝f (1)，由f (x －3)＝－f (x )可得f (－2－3)＝－f (－2)＝f (1)， 因为函数f (x )的图象关于y 轴对称， 所以函数f (x )是偶函数，f (－2)＝f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所以f (2017)＝f (1)＝－f (－2)＝－14.12．(2017·南京三模)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为________．答案 13解析 将侧面展开如图，所以由平面几何性质可得：AD ＋DC 1≥AC 1，当且仅当A ，D ，C 1三点共线时取等号．此时BD ＝1，所以S △ABD ＝12×AB ×BD ＝12.在直三棱柱ABC－A 1B 1C 1中有BB 1⊥CB ，又AB ⊥CB ，易得CB ⊥平面ABD ，所以C 1B 1⊥平面ABD ，即C 1B 1是三棱锥C 1－ABD 的高，所以11D ABC C ABD V V －－＝＝13×C 1B 1×S △ABD ＝13×2×12＝13.13．(2017届苏北四市一模)已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．答案 36解析 因为正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，所以ab －5≥29ab，当且仅当9a ＝b 时等号成立，即ab －5ab －6≥0，解得ab ≥6或ab ≤－1(舍去)，因此ab ≥36，从而(ab )min ＝36.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A －1tan B的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，233解析 方法一 原式可化为1tan A －1tan B ＝cos A sin A －cos B sin B ＝sin B cos A －cos B sin A sin A sin B ＝sin (B －A )sin A sin B.由b 2－a 2＝ac ，得b 2＝a 2＋ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a ＝c －2a cos B ，也就是sin A ＝sin C －2sin A ·cos B ，即sin A ＝sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝sin(B －A )，由于△ABC 为锐角三角形，所以有A ＝B －A ，即B ＝2A ，故1tan A －1tan B ＝1sin B ，在锐角三角形ABC 中易知，π3<B <π2，32<sin B <1，故1tan A －1tan B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233.方法二 根据题意，作CD ⊥AB ，垂足为点D ，画出示意图．因为b 2－a2＝AD 2－BD 2＝(AD ＋BD )(AD －BD )＝c (AD －BD )＝ac ，所以AD －BD ＝a ，而AD ＋BD ＝c ，所以BD ＝c －a 2，则c >a ，即c a>1，在锐角三角形ABC 中有b2＋a 2>c 2，则a 2＋a 2＋ac >c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－c a －2<0，解得－1<c a <2，因此，1<c a <2.而1tan A －1tan B ＝AD －BDCD＝a a 2－⎝⎛⎭⎪⎫c －a 22＝11－14⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233.。

12＋4满分练(11)1.与复数z 的实部相等，虚部互为相反数的复数叫做z 的共轭复数，并记作z ，若z ＝i(3－2i)(其中i 为虚数单位)，则z 等于( ) A.3－2i B.3＋2i C.2＋3i D.2－3i 答案 D解析 复数z ＝i ()3－2i ＝3i －2i 2＝3i ＋2，∴z ＝2－3i ，故选D.2.已知命题p ：∃x 0∈(－∞，0)，02x <03x；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.p ∨(綈q )C.(綈p )∧qD.p ∧(綈q ) 答案 C解析 根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，綈p 是真命题； ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan x ＝sin x cos x ，0<cos x <1，∴tan x >sin x ，∴q 为真命题，故选C.3.已知e 1，e 2是夹角为90°的两个单位向量，且a ＝3e 1－e 2， b ＝2e 1＋e 2，则a ，b 的夹角为( )A.120°B.60°C.45°D.30° 答案 C解析 ∵e 1，e 2是夹角为90° 的两个单位向量， ∴||e 1||＝e 2＝1，e 1·e 2＝0， ∴||a ＝()3e 1－e 22＝9||e 12－6e 1·e 2＋||e 22＝10，||b ＝()2e 1＋e 22＝4||e 12＋4e 1·e 2＋||e 22＝5，a ·b ＝()3e 1－e 2·()2e 1＋e 2＝6||e 12－||e 22＝5，设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b ||a ||b ＝510×5＝22，∵θ∈[]0°，180°， ∴θ＝45°，故选C.4.已知双曲线过点(2，3)，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y212＝1 B.y 23－x 22＝1 C.x 2－y 23＝1D.3y 223－x223＝1 答案 C解析 根据题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， 则可以设其方程为y 23－x 2＝λ()λ≠0，又由其过点()2，3，得323－22＝λ，解得λ＝－1，则双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.5.设不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0所表示的平面区域为M ，函数y ＝1－x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为( )A.2πB.π4C.π8D.π16 答案 B解析 区域M 表示的是底为22，高为2的三角形，面积为12×22×2＝2，区域N 表示的是以原点为圆心，半径为1的半圆(在x 轴上方)，面积为12π×12＝π2，由几何概型计算公式，得点落在N 内的概率为P ＝π22＝π4，故选B.6.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a ，b ，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完美等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222，现有周长为10＋27的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为( ) A.6 3 B.47 C.87 D.12 答案 A解析 因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7， 所以由正弦定理得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7， 又△ABC 的周长为10＋27， 所以可得a ＝4，b ＝6，c ＝27， 所以△ABC 的面积为S ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤()272×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫()272＋42－6222＝6 3. 7.将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象.若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 D解析 由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3.又0＜φ＜π2，故φ＝π6，故选D.8.(2017·葫芦岛二模)20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成3n ＋1；如果n 是个偶数，则下一步变成n2，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下面程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A.5B.16C.5或32D.4或5或32答案 C解析 当n ＝5时，执行程序框图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6；当n ＝32时，执行程序框图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6.易知当n ＝4时，不符合，故n ＝5或n ＝32，故选C. 9.若π20(cos )d ,a x x =-⎰则⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋12ax 9的展开式中 x 3项的系数为( )A.－212B.－638C.638D.6316答案 A 解析 ππ220(cos )d sin |1,a x x x =-=-=-⎰则⎝⎛⎭⎪⎫ax ＋12ax 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －12x 9＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 9， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 9的通项公式T k ＋1＝C k 9x 9－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k 9x 9－2k ，令9－2k ＝3，得k ＝3，∴x 3项的系数为－⎝ ⎛⎭⎪⎫123C 39＝－212，故选A .10.正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为( )A.13B.12C.33D.32 答案 C解析 如图，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，因为OE 是△SAC 的中位线，故EO ∥SA ，则∠BEO 为BE 与SA 所成的角.设SA ＝AB ＝2a ，则OE ＝12SA ＝a ，BE ＝32SA ＝3a ，OB ＝22SA ＝2a ，所以△EOB 为直角三角形，所以cos∠BEO ＝OE BE＝a3a＝33，故选C.11.定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知正整数数列{a n }前n项的“均倒数”为12n ＋1，b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11等于( )A.111B.112C.1011D.1112 答案 C解析 由题意得{a n }的前n 项和S n ＝112n ＋1×n ＝2n 2＋n ，∴a n ＝4n －1，∴b n ＝n ，n ∈N *， ∴1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011，故选C. 12.(2017·衡水中学二模)设函数g (x )＝e x ＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时， f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f ()2－x ＋2x }，使得g ()g ()x 0＝x 0，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e ＋12 B.(]－∞，e ＋2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e ＋12 D.(]－∞，e ＋2 答案 B解析 设F (x )＝f (x )－x 22，则F ′(x )＝f ′(x )－x ＜0，故函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，0上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2可知，F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22＝0，则函数F (x )＝f (x )－x 22是奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，＋∞上的单调递减函数；由题设中f (x )＋2≥f ()2－x ＋2x 可得F (x )≥F ()2－x ⇒x ≤1，所以问题转化为x ＝e x＋3x －a 在(]－∞，1上有解，即a ＝e x＋2x 在(]－∞，1上有解，令g (x )＝e x＋2x ， 则g ′(x )＝e x＋2>0，故g (x )＝e x＋2x 在(]－∞，1上单调递增，则g (x )≤g (1)＝e ＋2，故选B.13.(2017·葫芦岛二模)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)， P ，Q 是C 上任意两点，点M ()0，－1满足MP →·MQ →≥0，则p 的取值范围是________. 答案 (0，2]解析 当直线MQ ，MP 与抛物线相切时， 两向量夹角最大， 设直线MQ 的斜率为k ，则当k ≥1 时，恒有MP →·MQ →≥0成立， 直线MQ 的方程为y ＝kx －1，与x 2＝2py 联立，得 x 2－2pkx ＋2p ＝0， 由Δ＝0 ，得 k 2＝2p≥1，可得p ≤2，所以p 的取值范围是(0，2].14.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C －2sin A sin B ，则sin 2A ·tan 2B 的最大值是_____. 答案 3－2 2解析 由正弦定理，得a 2＋b 2＝c 2－2ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，∵0＜C ＜π，∴C ＝3π4，A ＝π4－B ，2A ＝π2－2B ，∴sin 2A ·tan 2B ＝cos 2B ·sin 2B cos 2B ＝()2cos 2B －1()1－cos 2B cos 2B＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B ＋1cos 2B ≤3－22cos 2B ·1cos 2B＝3－22，当且仅当cos 2B ＝22时取等号， 即sin 2A ·tan 2B 的最大值是3－2 2.15.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，等差数列{}a n 满足a 1＝x ， a 5＝y ，其前n 项和为S n ，则S 5－S 2的最大值为________. 答案334解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得B ()2，3，因为a 1＝x ，a 5＝y ， 所以公差d ＝y －x4，a 3＋a 4＋a 5＝S 5－S 2＝3a 4＝3()a 5－d ＝3×⎝⎛⎭⎪⎫y －y －x 4＝3()3y ＋x 4，设z ＝9y 4＋3x 4，当直线过点B ()2，3时，有最大值334， 即S 5－S 2 的最大值为334.16.在下列命题中：①函数f (x )＝1x在定义域内为单调递减函数；②函数f (x )＝x ＋a x(x >0)的最小值为2a ；③已知定义在R 上周期为4的函数f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )一定为偶函数； ④已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则a ＋b ＋c ＝0是f (x )有极值的必要不充分条件； ⑤已知函数f (x )＝x －sin x ，若a ＋b >0，则f (a )＋f (b )>0. 其中正确命题的序号为________.(写出所有正确命题的序号) 答案 ③⑤解析 ①错，因为函数f (x )＝1x在定义域内不具有单调性；当a >0时，函数f (x )＝x ＋a x(x >0)的最小值为2a ， 当a ≤0时，函数f (x )＝x ＋a x(x >0)无最小值，故②错；由周期为4及f(2－x)＝f(2＋x)⇒f(4－x)＝f(－x)＝f(x)，③正确；函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极值，则f′(x)＝0有不相等的实数根，则b2>3ac，故④不正确；函数f(x)＝x－sin x是奇函数且在R上单调递增，所以a＋b>0⇒a>－b⇒f(a)>f(－b)＝－f(b)⇒f(a)＋f(b)>0，故⑤正确. 故正确命题的序号为③⑤.。

4．空间向量与立体几何1．(2017·苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝AB ＝2，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝13.(1)求异面直线MN 与PC 所成角的大小； (2)求二面角N －PC －B 的余弦值．解 (1)设AC ，BD 交于点O ，在正四棱锥P －ABCD 中，OP ⊥平面ABCD ，又PA ＝AB ＝2，所以OP ＝ 2.以O 为坐标原点，DA →，AB →，OP →方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图．则A (1，－1,0)，B (1,1,0)，C (－1,1,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0，2)，AP →＝(－1,1，2)．故OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－13，223，ON →＝13OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，0，所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，－223，PC →＝(－1,1，－2)，所以cos 〈MN →，PC →〉＝MN →·PC →|MN →||PC →|＝32，所以异面直线MN 与PC 所成角的大小为π6.(2)由(1)知PC →＝(－1,1，－2)，CB →＝(2,0,0)，NC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23，0.设m ＝(x ，y ，z )是平面PCB 的法向量，则m ·PC →＝0，m ·CB →＝0，可得⎩⎨⎧－x ＋y －2z ＝0，x ＝0，令y ＝2，则z ＝1，即m ＝(0，2，1)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCN 的法向量，则n ·PC →＝0，n ·CN →＝0，可得⎩⎨⎧－x 1＋y 1－2z 1＝0，－2x 1＋y 1＝0，令x 1＝2，则y 1＝4，z 1＝2，即n ＝(2,4，2)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝523×22＝53333，则二面角N －PC －B 的余弦值为53333.2．(2017·常州期末)如图，以正四棱锥V －ABCD 的底面中心O 为坐标原点建立空间直角坐标系O －xyz ，其中Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为VC 的中点．正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，且有cos 〈BE →，DE →〉＝－1549.(1)求h a的值；(2)求二面角B －VC －D 的余弦值．解 (1)根据条件，可得B (a ，a,0)，C (－a ，a,0)，D (－a ，－a,0)，V (0,0，h )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，h 2，所以BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，h 2，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，h 2，故cos 〈BE →，DE →〉＝h 2－6a 2h 2＋10a 2.又cos 〈BE →，DE →〉＝－1549，则h 2－6a 2h 2＋10a 2＝－1549， 解得h a ＝32.(2)由h a ＝32，得BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，－a 2，34a ，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，34a ，且容易得到，CB →＝(2a,0,0)，DC →＝(0,2a,0)． 设平面BVC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BE →＝0，n 1·CB →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－32ax 1－a 2y 1＋34az 1＝0，2ax 1＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，2y 1＝3z 1，取y 1＝3，z 1＝2，则n 1＝(0,3,2)．同理可得平面DVC 的一个法向量为n 2＝(－3,0,2)． cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝0×(－3)＋3×0＋2×213×13＝413，结合图形，可以知道二面角B －VC －D 的余弦值为－413.3．(2017·南京学情调研)如图，在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是线段PC 的中点．(1)求异面直线AP 与BE 所成角的大小；(2)若点F 在线段PB 上，且使得二面角F －DE －B 的正弦值为33，求PFPB的值．解 (1)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，故以{DA →，DC →，DP →}为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz .因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ， 不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，B (2,2,0)． 因为E 是PC 的中点，所以E (0,1,1)， 所以AP →＝(－2,0,2)，BE →＝(－2，－1,1)， 所以cos 〈AP →，BE →〉＝AP →·BE →|AP →||BE →|＝32，从而〈AP →，BE →〉＝π6.因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6.(2)由(1)可知，DE →＝(0,1,1)，DB →＝(2,2,0)，PB →＝(2,2，－2)． 设PF →＝λPB →，则PF →＝(2λ，2λ，－2λ)， 从而DF →＝DP →＋PF →＝(2λ，2λ，2－2λ)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面DEF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·DF →＝0，m ·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧λx 1＋λy 1＋(1－λ)z 1＝0，y 1＋z 1＝0，取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1.故m ＝(2λ－1，－λ，λ)为平面DEF 的一个法向量， 设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面DEB 的法向量． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2y 2＝0，y 2＋z 2＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1.所以n ＝(1，－1,1)为平面BDE 的一个法向量． 因为二面角F －DE －B 的余弦值的绝对值为63， 即|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n ||m||n|＝|4λ－1|3·(2λ－1)2＋2λ2＝63， 化简得4λ2＝1.因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1， 所以λ＝12，即PF PB ＝12.4.(2017·苏北四市一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点． (1)求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；(2)点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．解 (1)因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD . 又因为∠BAD ＝90°，所以PA ，AB ，AD 两两互相垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则由AD ＝2AB ＝2BC ＝4，PA ＝4可得A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,4,0)，P (0,0,4)．又因为M 为PC 的中点，所以M (1,1,2)． 所以BM →＝(－1,1,2)，AP →＝(0,0,4)， 所以cos 〈AP →，BM →〉＝AP →·BM →|AP →||BM →|＝0×(－1)＋0×1＋4×24×6＝63，所以异面直线AP ，BM 所成角的余弦值为63. (2)因为AN ＝λ，所以N (0，λ，0)(0≤λ≤4)，则MN →＝(－1，λ－1，－2)，BC →＝(0,2,0)，PB →＝(2,0，－4)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －4z ＝0.令x ＝2，解得y ＝0，z ＝1，所以m ＝(2,0,1)是平面PBC 的一个法向量．因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以|cos 〈MN →，m 〉|＝|MN →·m ||MN →||m |＝|－2－2|5＋(λ－1)2·5＝45，解得λ＝1∈[0,4]，所以λ的值为1.。

解答题滚动练61．在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A . (1)若cos C ＝63，求证：2a －3c ＝0； (2)若B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，且cos(A －B )＝45，求sin B . (1)证明 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，得32sin A ＋12cos A ＝2cos A ， 即sin A ＝3cos A ，因为A ∈(0，π)，且cos A ≠0，所以tan A ＝3，所以A ＝π3. 因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，cos C ＝63，C ∈(0，π)， 所以sin C ＝33， 由正弦定理知a sin A ＝c sin C ，即a c ＝sin A sin C ＝3233＝32， 即2a －3c ＝0.(2)解 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以A －B ＝π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3， 因为sin 2(A －B )＋cos 2(A －B )＝1， 所以sin(A －B )＝35， 所以sin B ＝sin(A －(A －B ))＝sin A cos(A －B )－cos A ·sin(A －B )＝43－310. 2．已知函数f (x )＝ax 3－2x －ln x ，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝b ，求a ＋b 的值；(2)在(1)的条件下，求函数f (x )零点的个数．解 (1)f ′(x )＝3ax 2－2－1x， 由题意，f ′(1)＝0，f (1)＝b ，解得，a ＝1，b ＝－1，所以a ＋b ＝0.(2)由(1)知，f (x )＝x 3－2x －ln x ，f ′(x )＝3x 2－2－1x ＝3x 3－2x －1x＝(x －1)(3x 2＋3x ＋1)x， 令f ′(x )＝0，得x ＝1，且当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．因为f (1)＝－1＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e 3－2e ＋1＞0，f (e)＝e 3－2e －1＞0，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1和[1，e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，知函数f (x )有两个零点．3．已知圆M ：x 2＋(y －4)2＝4，点P 是直线l ：x －2y ＝0上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B .(1)当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标；(2)若△PAM 的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；(3)求线段AB 长度的最小值．解 (1)由题意可知，圆M 的半径r ＝2，设P (2b ，b )，因为PA 是圆M 的一条切线，A 为切点，所以∠MAP ＝90°，所以MP ＝(0－2b )2＋(4－b )2＝AM 2＋AP 2＝4，解得b ＝0或b ＝85， 所以P (0,0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫165，85. (2)设P (2b ，b )，因为∠MAP ＝90°，所以经过A ，P ，M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为(x －b )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b ＋422＝4b 2＋(b －4)24， 即(2x ＋y －4)b －(x 2＋y 2－4y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝85，y ＝45，所以圆过定点(0,4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. (3)因为圆N 方程为(x －b )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b ＋422＝4b 2＋(b －4)24，即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0.①圆M：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0.②②－①得圆M与圆N的相交弦AB所在直线方程为2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，点M到直线AB的距离d＝4 5b2－8b＋16，相交弦长AB＝24－d2＝41－45b2－8b＋16＝41－45⎝⎛⎭⎪⎫b－452＋645.当b＝45时，AB有最小值11.4．如图是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽2m(从拐角处，即图中A，B处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．(1)在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由．解(1)由题意，PA＝2sinθ，QA＝4cosθ，所以l＝PA＋QA＝2sinθ＋4cosθ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2. (2)设f(θ)＝2sinθ＋4cosθ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.由f′(θ)＝－2cosθsin2θ＋4sinθcos2θ＝2(22sin3θ－cos3θ)sin2θcos2θ，令f′(θ)＝0，得tanθ0＝22.且当θ∈(0，θ0)，f′(θ)＜0；当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫θ0，π2，f′(θ)＞0，所以f(θ)在(0，θ0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫θ0，π2上单调递增，所以当θ＝θ0时，f(θ)取得极小值，即为最小值．当tanθ0＝22时，sinθ0＝13，cosθ0＝23，所以f(θ)的最小值为36，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为36m.因为36＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．。

3．曲线与方程、抛物线1．(2017·江苏南通天星湖中学质检)已知点A (1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上．(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值； (2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值． 解 (1)由点A (1,2)在抛物线F 上，得p ＝2，∴抛物线F ：y 2＝4x ， 设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2， ∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1. (2)另设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0. 2．(2017·江苏赣榆中学月考)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px .∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ，则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)． ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB ，由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)，∴y 1＋y 2＝－4，由①－②得直线AB 的斜率k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－44＝－1(x 1≠x 2)． 3．(2017·江苏常州中学质检)已知点A (－1,0)，F (1,0)，动点P 满足AP →·AF →＝2||FP →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)在直线l ：y ＝2x ＋2上取一点Q ，过点Q 作轨迹C 的两条切线，切点分别为M ，N .问：是否存在点Q ，使得直线MN ∥l ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋1，y )，FP →＝(x －1，y )，AF →＝(2,0)，由AP →·AF →＝2|FP →|，得2(x ＋1)＝2(x －1)2＋y 2，化简得y 2＝4x .故动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)直线l 方程为y ＝2(x ＋1)，设Q (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．设过点M 的切线方程为x －x 1＝m (y －y 1)，代入y 2＝4x ，得y 2－4my ＋4my 1－y 21＝0， 由Δ＝16m 2－16my 1＋4y 21＝0，得m ＝y 12，所以过点M 的切线方程为y 1y ＝2(x ＋x 1)，同理过点N 的切线方程为y 2y ＝2(x ＋x 2)．所以直线MN 的方程为y 0y ＝2(x 0＋x )，又MN ∥l ，所以2y 0＝2，得y 0＝1，而y 0＝2(x 0＋1)， 故点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 4．(2017·江苏宝应中学质检)如图，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A (x 1，y 1)(y 1＞0)，B (x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA →·TB →＝1，求直线l 的斜率；(2)求∠ATF 的最大值．解 (1)因为抛物线y 2＝4x 焦点为F (1,0)，T (－1,0)．当l ⊥x 轴时，A (1,2)，B (1，－2)，此时TA →·TB →＝0，与TA →·TB →＝1矛盾，所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，① 所以y 21y 22＝16x 1x 2＝16，所以y 1y 2＝－4，②因为TA →·TB →＝1，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝1， 将①②代入并整理得，k 2＝4，所以k ＝±2.(2)因为y 1＞0，所以tan ∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝1y 14＋1y 1≤1，当且仅当y 14＝1y 1，即y 1＝2时，取等号，所以∠ATF ≤π4，所以∠ATF 的最大值为π4.。

压轴大题突破练1．函数与导数1．设函数f (x )＝x ln x ＋ax ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最小值； (3)若g (x )＝f (x )＋12ax 2－(2a ＋1)x ，求证：a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件．(1)解 由f (x )＝x ln x ＋ax ，得f ′(x )＝ln x ＋a ＋1.当a ＝1时，f ′(x )＝ln x ＋2，f (1)＝1，f ′(1)＝2，求得切线方程为y ＝2x －1.(2)解 令f ′(x )＝0，得x ＝e－(a ＋1)． ∴当e －(a ＋1)≤1e ，即a ≥0时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≥0恒成立，f (x )单调递增， 此时f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝a －1e . 当e －(a ＋1)≥e ，即a ≤－2时，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时f ′(x )≤0恒成立，f (x )单调递减，此时f (x )min ＝f (e)＝a e ＋e.当1e <e －(a ＋1)<e ，即－2<a <0时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e －(a ＋1)时f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(e －(a ＋1)，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，此时f (x )min ＝f (e－(a ＋1))＝－e －(a ＋1)．(3)证明 g ′(x )＝f ′(x )＋ax －(2a ＋1)＝ln x ＋ax －a ＝ln x ＋a (x －1)，∴当a ≥0时，x ∈(1,2)时，ln x >0，a (x －1)≥0， g ′(x )>0恒成立，函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增，充分条件成立；又当a ＝－12时，代入g ′(x )＝ln x ＋a (x －1) ＝ln x －12x ＋12. 设h (x )＝g ′(x )＝ln x －12x ＋12，x ∈(1,2)，则h ′(x )＝1x －12＝2－x 2x>0恒成立， ∴当x ∈(1,2)时，h (x )单调递增．又h (1)＝0，∴当x ∈(1,2)时，h (x )>0恒成立．而h (x )＝g ′(x )，∴当x ∈(1,2)时，g ′(x )>0恒成立，函数y ＝g (x )单调递增，∴必要条件不成立．综上，a ≥0是函数y ＝g (x )在x ∈(1,2)时单调递增的充分不必要条件．2．设函数f (x )＝e x －|x －a |，其中a 是实数．(1)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数有极大值点x 2和极小值点x 1，且f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝e x －|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －x ＋a ，x ≥a ，e x ＋x －a ，x <a ，则f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1，x ≥a ，e x ＋1，x <a ，因为f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0恒成立，当x <a 时，f ′(x )＝e x ＋1≥1>0恒成立，当x ≥a 时，f ′(x )＝e x－1≥0恒成立， 故应f ′(a )≥0，即a ≥0.(2)由(1)知当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增，不符合题意，所以有a <0.此时，当x <a 时，f ′(x )＝e x ＋1≥1>0，f (x )单调递增，当x ≥a 时，f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0，所以f ′(x )<0在(a,0)上恒成立，f (x )在(a,0)上单调递减，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )极大＝f (a )＝e a ，f (x )极小＝f (0)＝1＋a ，即a <0符合题意．由f (x 2)－f (x 1)≥k (x 2－x 1)恒成立，可得e a －a －1≥ka 对任意a <0恒成立，设g (a )＝e a －(k ＋1)a －1，求导，得g ′(a )＝e a －(k ＋1)，①当k ≤－1时，g ′(a )>0恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递增，又因为g (－1)＝1e＋k <0，与g (a )>0矛盾；②当k ≥0时，g ′(a )<0在(－∞，0)上恒成立，g (a )在(－∞，0)上单调递减， 又因为g (0)＝0，所以此时g (a )≥0恒成立，符合题意；③当－1<k <0时，g ′(a )>0在(－∞，0)上的解集为(ln(k ＋1)，0)，即g (a )在(ln(k ＋1)，0)上单调递增，又因为g (0)＝0，所以g (ln (k ＋1))<0不符合题意． 综上，实数k 的取值范围为[0，＋∞)．3．(2017·江苏泰兴中学质检)已知函数f (x )＝13x 3－mx 2－x ＋13m ，其中m ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4，求实数m 的取值范围；(3)求函数f (x )的零点个数．解 (1)f ′(x )＝x 2－2mx －1，由f ′(x )≥0，得x ≤m －m 2＋1或x ≥m ＋m 2＋1；故函数f (x )的单调增区间为(－∞，m －m 2＋1)，(m ＋m 2＋1，＋∞)，由f ′(x )<0，得m －m 2－1<x <m ＋m 2＋1，故函数f (x )的单调减区间为(m －m 2＋1，m ＋m 2＋1)．(2)“对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f ′(x 1)－f ′(x 2)|≤4”等价于“函数y ＝f ′(x )，x ∈[－1,1]的最大值与最小值的差小于等于4”．对于f ′(x )＝x 2－2mx －1，对称轴x ＝m .①当m ＜－1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)，最小值为f ′(－1)，由f ′(1)－f ′(－1)≤4，即－4m ≤4，解得m ≥－1，舍去；②当－1≤m ≤1时，f ′(x )的最大值为f ′(1)或f ′(－1)，最小值为f ′(m )，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)－f ′(m )≤4，f ′(－1)－f ′(m )≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3≤0，m 2＋2m －3≤0，解得－1≤m ≤1；③当m ＞1时，f ′(x )的最大值为f ′(－1)，最小值为f ′(1)，由f ′(－1)－f ′(1)≤4，即4m ≤4，解得m ≤1，舍去．综上，实数m 的取值范围是[－1,1]．(3)由f ′(x )＝0，得x 2－2mx －1＝0，因为Δ＝4m 2＋4＞0，所以y ＝f (x )既有极大值也有极小值．设f ′(x 0)＝0，即x 20－2mx 0－1＝0，x 20＝2mx 0＋1，则f (x 0)＝13x 30－mx 20－x 0＋13m ＝－13mx 20－23x 0＋13m ＝－23x 0(m 2＋1)， 所以极大值f (m －m 2＋1)＝－23(m －m 2＋1)(m 2＋1)＞0， 极小值f (m ＋m 2＋1)＝－23(m ＋m 2＋1)(m 2＋1)＜0， 故函数f (x )有三个零点．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2，a ∈R .(1)若a <0，试求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若a ＝0，且曲线y ＝f (x )在点A ，B (A ，B 不重合)处切线的交点位于直线x ＝2上，证明：A ，B 两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x 1，x 2，x 3∈[0,1]，总存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为三边长的三角形，试求正实数a 的取值范围．(1)解 函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3. 因为a <0，由f ′(x )<0，解得a 3<x <－a . 所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，－a . (2)证明 当a ＝0时，f (x )＝x 3＋2.设在点A (x 1，x 31＋2)，B (x 2，x 32＋2)处的切线交于直线x ＝2上一点P (2，t )．因为y ′＝3x 2，所以曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为k ＝3x 21，所以在点A 处的切线方程为y －(x 31＋2)＝3x 21(x －x 1)．因为切线过点P ，所以t －(x 31＋2)＝3x 21(2－x 1)，即2x 31－6x 21＋(t －2)＝0.同理可得2x 32－6x 22＋(t －2)＝0，两式相减得2(x 31－x 32)－6(x 21－x 22)＝0，即(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)－3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，因为x 1－x 2≠0，所以x 21＋x 1x 2＋x 22－3(x 1＋x 2)＝0，即(x 1＋x 2)2－x 1x 2－3(x 1＋x 2)＝0. 因为x 1x 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，且x 1≠x 2， 所以x 1x 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222. 从而上式可以化为(x 1＋x 2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－3(x 1＋x 2)<0，即(x 1＋x 2)(x 1＋x 2－4)<0. 解得0<x 1＋x 2<4，即A ，B 两点的横坐标之和小于4.(3)解 由题设知，f (0)<f (1)＋f (1)，即2<2(－a 2＋a ＋3)，解得－1<a <2.又因为a >0，所以0<a <2.因为f ′(x )＝3(x ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3， 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝a 3时，f (x )有最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2. 从而条件转化为⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－527a 3＋2>0， ①f (0)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2， ②f (1)<2⎝ ⎛⎭⎪⎫－527a 3＋2. ③由①得a <33235；由②得a <335，再根据0<a <2，得0<a <335.不等式③化为1027a 3－a 2＋a －1<0. 令g (a )＝1027a 3－a 2＋a －1，则g ′(a )＝109a 2－2a ＋1>0，所以g (a )为增函数． 又g (2)＝－127<0，所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，335时，g (a )<0恒成立，即③成立． 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，335.。

6.与新定义、推理证明有关的压轴小题1.有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票，在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍，在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票，则只持有B股票的股民人数是()A.7B.6C.5D.4答案 A解析设只持有A股票的人数为X(如图所示)，则持有A股票还持有其它股票的人数为X－1(图中d＋e＋f的部分)，因为只持有一支股票的人中，有一半没持有B或C股票，则只持有了B或C股票的人数和为X(图中b＋c部分).假设只同时持有了B和C股票的人数为a，那么X＋X－1＋X＋a＝28，即3X＋a＝29，则X的取值可能是：9，8，7，6，5，4，3，2，1.与之对应的a值为：2，5，8，11，14，17，20，23，26.因为没持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票人数的2倍，得b＋a＝2(c＋a)，即X－a＝3c，故X＝8，a＝5时满足题意，故c＝1，b＝7，故只持有B股票的股民人数是7，故选A.2.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为()A.77B.49C.45D.30答案 C解析因为集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}所以集合A中有5个元素(即5个点)，集合B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}中有25个元素(即25个点)，集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的横纵坐标都为整数的点(除去四个顶点)，即7×7－4＝45(个).3.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ](其中[x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋510 B.y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋410 C.y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋310 D.y ＝⎣⎡⎦⎤x 10 答案 C解析 根据题意，当x ＝16时，y ＝1，所以选项A ，B 不正确，当x ＝17时，y ＝2，所以D 不正确，故选C.4.下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A.设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B.由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C.由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD.由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 答案 A解析 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确.5.给出以下数对序列： (1，1) (1，2)(2，1) (1，3)(2，2)(3，1) (1，4)(2，3)(3，2)(4，1) …若第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3，2)，则a nm 等于( )A.(m ，n －m ＋1)B.(m －1，n －m )C.(m －1，n －m ＋1)D.(m ，n －m ) 答案 A解析 由前4行的特点，归纳可得：若a nm ＝(a ，b )，则a ＝m ，b ＝n －m ＋1，∴a nm ＝(m ，n －m ＋1).6.若函数f (x )，g (x )满足ʃ1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 C解析 对①，ʃ1－1⎝⎛⎭⎫sin 12x ·cos 12x d x ＝ʃ1－112sin x d x ＝－12cos x|1－1＝0，则f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的正交函数；对②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x |1－1≠0，则f (x )，g (x )不是区间[－1，1]上的正交函数；对③，ʃ1－1x 3d x ＝14x 4|1－1＝0，则f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的正交函数. 7.已知点A (0，1)，点B 在曲线C 1：y ＝e x －1上，若线段AB 与曲线C 2：y ＝1x 相交且交点恰为线段AB 的中点，则称点B 为曲线C 1与曲线C 2的一个“相关点”，记曲线C 1与曲线C 2的“相关点”的个数为n ，则( ) A.n ＝0 B.n ＝1 C.n ＝2 D.n ＞2 答案 B解析 设B (t ，e t－1)，则AB 的中点为P ⎝⎛⎭⎫t 2，e t2，所以有e t2＝2t ，e t ＝4t，所以“相关点”的个数就是方程e x ＝4x 解的个数，由于y ＝e x 的图象在x 轴上方，且是R 上的增函数，y ＝4x 在(0，＋∞)上是减函数，所以它们的图象只有一个交点，即n ＝1，故选B.8.老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有4个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这4个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束，在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为n ，则n 等于( )A.7B.8C.11D.15 答案 C解析 由题意得，根据甲乙丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个盘子不同时操作的次数(23－1)要多，比四个盘子不同时操作的次数(24－1)要少，相当于与操作三个不同盘子的时候相比，最上面的那个动了几次，就会增加几次，故游戏结束需要移动的最少次数为11.9.定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )图象的两个端点为A ，B ，M (x ，y )是f (x )图象上任意一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b ，λ∈[0，1].已知向量ON →＝λOA →＋(1－λ)OB →，若不等式|MN →|≤k 恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”.若函数y ＝x －1x在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( )A.[0，＋∞)B.⎣⎡⎭⎫112，＋∞C.⎣⎡⎭⎫32＋2，＋∞D.⎣⎡⎭⎫32－2，＋∞ 答案 D解析 由题意可知，A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，32， M ⎝⎛⎭⎫2－λ，2－λ－12－λ，N ⎝⎛⎭⎫2－λ，32(1－λ)， ∴|MN →|＝⎪⎪⎪⎪32－32λ－(2－λ)＋12－λ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ2＋12－λ－32，∵2－λ2＋12－λ≥22－λ2·12－λ＝2，当且仅当2－λ2＝12－λ，λ＝2－2时，等号成立， 又∵λ∈[0，1]，∴2－λ∈[1，2]， ∴2－λ2＋12－λ≤32，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ2＋12－λ－32max ＝32－2，即实数k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32－2，＋∞. 10.(2017届四川遂宁、广安、眉山、内江四市联考)已知函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝F (x )在区间[a ，b ]同时递增或同时递减时，把区间[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y ＝||2x－t 的“不动区间”，则实数t 的取值范围是( )A.(0，2]B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞C.⎣⎡⎦⎤12，2D.⎣⎡⎦⎤12，2∪[4，＋∞) 答案 C解析 易知y ＝|2x －t |与y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x －t 在[1，2]上单调性相同，当两个函数递增时，y ＝|2x －t |与y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x －t 的图象如图1所示，易知⎩⎪⎨⎪⎧log 2t ≤1，－log 2t ≤1，解得12≤t ≤2；当两个函数递减时，y ＝|2x －t |的图象如图2所示，此时y ＝|2x －t |关于y 轴对称的函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x －t 不可能在[1，2]上为减函数.综上所述，12≤t ≤2，故选C.11.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10…根据以上排列规律，数阵中第n (n ＞3)行从左至右的第3个数是________. 答案 n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)＝n (n －1)2个，即n 2－n2个，因此第n 行从左至右的第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.12.设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”. 已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为__________.答案 b n ＝2n －1(n ∈N *)解析 设等差数列{b n }的公差为d ，由S n S 2n 为常数，设S n S 2n ＝k 且b 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ， 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0， 因为对任意正整数n 上式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧d (4k －1)＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *). 13.已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， …，(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是________；(2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7cos 2π7cos 3π7，…，前n 项和S n ＝1 0231 024，则n ＝________.答案 (1)cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) (2)10解析 (1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cosn π2n ＋1＝12n (n ∈N *). (2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n ＝2n－12n ＝1 0231 024，解得n ＝10.14.(2016·四川)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题： ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号) 答案 ②③解析 对于①，若令A (1，1)，则其伴随点为A ′⎝⎛⎭⎫12，－12，而A ′⎝⎛⎭⎫12，－12的伴随点为(－1，－1)，而不是P .故错误；对于②，令单位圆上点的坐标为P (cos x ，sin x )，其伴随点为P ′(sin x ，－cos x )仍在单位圆上，故②正确；对于③，设曲线f (x ，y )＝0关于x 轴对称，则f (x ，－y )＝0与曲线f (x ，y )＝0表示同一曲线，其伴随曲线分别为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别为f ⎝⎛⎭⎪⎫y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 2＋y 2，－x x 2＋y 2＝0的图象关于y 轴对称，所以③正确；对于④，反例为直线y ＝1，取三个点A (0，1)，B (1，1)，C (2，1)，这三个点的伴随点分别是A ′(1，0)，B ′⎝⎛⎭⎫12，－12，C ′⎝⎛⎭⎫15，－25，而这三点不在同一条直线上.故④错误.所以正确的序号为②③.。

小题满分练31．(2017·南京三模)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B )＝__________.答案 {2}解析 由题意可得A ∪B ＝{1,3,4}，故∁U (A ∪B )＝{2}．2．(2017届苏北四市一模)已知复数z 满足z (1－i)＝2，其中i 为虚数单位，则z 的实部为________．答案 1解析 因为z (1－i)＝2，所以z ＝21－i＝1＋i ，故实部为1. 3．某工厂生产A ，B ，C ，D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号有16件，那么此样本的容量n 为________．答案 88解析 根据分层抽样的特点，样本中A 种型号产品应是样本容量的22＋3＋5＋1＝211，所以样本的容量n ＝16÷211＝88. 4．函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 答案 (0,1]解析 根据题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1，故定义域为(0,1]．5．(2017届苏北四市一模)若随机地从1,2,3,4,5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为__________．答案 35解析 从1,2,3,4,5五个数中选出两个数的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中一奇一偶的基本事件有6个，故所求事件的概率为P ＝610＝35.6．(2017届南京、盐城一模)如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是________．答案 9解析 经过第一次循环后得x ＝1＋4＝5，y ＝9－2＝7，此时x ＜y ，进行第二次循环；经过第二次循环后得x ＝5＋4＝9，y ＝7－2＝5，此时x ＞y ，退出循环，故输出的x ＝9.7．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AC ＝4，BC ＝27，则△ABC 的面积为________． 答案 2 3解析 由题意知，在△ABC 中，已知A ＝120°，b ＝4，a ＝27，由余弦定理得cos A ＝42＋c 2－(27)22×4×c ＝－12， 解得c ＝2或c ＝－6(舍去)，则S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×32＝2 3. 8．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，则实数a 的值是________．答案 1解析 由双曲线的方程可知其渐近线方程为y ＝±2ax .因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平行，所以2a＝2，解得a ＝1. 9．(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市调研)已知{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝27，则a 1的值是________．答案 －5解析 首先由S 9＝9a 5＝27，得a 5＝3.设公差为d (d ≠0)，则(3－3d )(3－2d )＝3(3－d )，即d 2－2d ＝0，从而得d ＝2.所以a 1＝a 5－4d ＝3－8＝－5.10．(2017·苏州暑假测试)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－35，则cos β＝________. 答案 －4＋6215解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223.又α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，sin(α＋β)＝－35＜0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×13－35×223＝－4＋6215. 11.(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市调研)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值是__________．答案 9解析 BC →·DC →＝(OC →－OB →)·(OC →－OD →)＝(OC →＋OD →)·(OC →－OD →)＝OC 2－OD 2，类似AB →·AD →＝AO2－OD 2＝－7，所以BC →·DC →＝OC 2－OD 2＝OC 2－AO 2－7＝9.12．将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O －EFG 体积的最大值是________． 答案 4解析 设Rt △EFG 的两条直角边分别为a ，b ，则a 2＋b 2＝16，三棱锥O －EFG 的高为3，从而V O －EFG ＝13S △EFG ·3＝12ab ≤a 2＋b 24＝4，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，故三棱锥O －EFG 的体积的最大值为4.13．(2017届南京、盐城一模)如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线y ＝33(x ＋1)上从左向右依次取点A k ，B k ，k ＝1,2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________．答案 512解析 设第n 个正三角形的边长为a n ，则点B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1，32a 1在直线y ＝33(x ＋1)上， 从而32a 1＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＋1，解得a 1＝1， 当n ≥2时，B n ⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n －1＋12a n ，32a n . 因为B n 在直线y ＝33(x ＋1)上， 所以32a n ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n －1＋12a n ＋1， 即a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋1，从而a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1，两式相减得a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 2＝a 1＋1＝2，故{a n }是以a 1＝1为首项，q ＝2为公比的等比数列，从而△A 10B 10A 11的边长为a 10＝29＝512.14．已知函数f (x )＝(x －1)e x ＋12ax 2＋1(其中a ∈R )有两个零点，则a 的取值范围是____________________．答案 (－∞，－1)∪(－1,0)解析 由题意，f ′(x )＝x (e x ＋a )，其中f (0)＝0，故函数还有一个不为零的零点，分类讨论：(1)当a ≥0时，由f ′(x )＜0，得x ＜0，由f ′(x )＞0，得x ＞0，此时函数仅有一个零点；(2)当a ＜0时，由f ′(x )＝0可得，x 1＝0，x 2＝ln(－a )，①当ln(－a )＜0，即－1＜a ＜0时，当x ∈(－∞，ln(－a ))∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，当x ∈(－ln(－a )，0)时，f ′(x )＜0，所以当x ＝ln(－a )时，f (x )取得极大值，当x ＝0时，函数取得极小值，而f (ln(－a ))＞f (0)可知函数有两个零点，此时满足条件．②当ln(－a )＝0，即a ＝－1时，当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，函数单调递增，函数只有一个零点，不满足条件．③当ln(－a)＞0，即a＜－1时，当x∈(－∞，0)∪(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)＞0，当x∈(0，ln(－a))时，f′(x)＜0，所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，当x＝0时，函数取得极大值，由f(ln(－a))＜f(0)可知函数有两个零点，此时满足条件．综上可得，a的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,0)．。

解答题滚动练81．(2017·江苏溧阳中学模拟)在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA ＝AB ＝AC ＝33BC ，点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE ＝4DE ，点M 是线段SD 上一点．(1)求证：BC ⊥AM ；(2)若AM ⊥平面SBC ，求证：EM ∥平面ABS . 证明 (1)∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ， ∵SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，又AD ∩SA ＝A ，AD ，SA ⊂平面SAD ， ∴BC ⊥平面SAD ，又AM ⊂平面SAD ，∴BC ⊥AM .(2)∵AM ⊥平面SBC ，SD ⊂平面SBC ，∴AM ⊥SD .设SA ＝1，则AD ＝12，SD ＝52，AM ＝55，SM ＝255，MD ＝510.∴SM ＝4MD . 又AE ＝4DE ， ∴ME ∥SA ，又ME ⊄平面ABS ，SA ⊂平面ABS ， ∴EM ∥平面ABS .2．(2017·江苏郑集高级中学质检)在△ABC 中，已知(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C . (1)求角A 的值；(2)求3sin B －cos C 的最大值．解 (1)因为(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C ， 由正弦定理，得(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由A ＝π3，得B ＋C ＝2π3，所以3sin B －cos C ＝3sin B －cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B＝3sin B －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos B ＋32sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6，当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，3sin B －cos C 取最大值1.3．(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)一缉私艇巡航至距领海边界线l (一条南北方向的直线)3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．(1)若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；(参考数据：sin17°＝36，33≈5.7446)； (2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．解 (1)如图甲，设缉私艇在点C 处拦截到走私船． 在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝4，设BC ＝a ，AC ＝3a . 由正弦定理，得sin A a ＝sin120°3a ，所以sin A ＝36.因为B ＝120°，所以A 为锐角，从而A ＝17°. 由余弦定理，得(3a )2＝42＋a 2－2×4a cos120°， 即2a 2－a －4＝0，解得a ＝1＋334≈1.7. 点B 到l 的距离为3.8－2＝1.8，而a ＜1.8，所以点C 在领海内． 答 缉私艇的追击方向应为北偏东47°.(2)如图乙，以A 为原点，正北方向为y 轴正方向，1海里为1个单位长度，建立平面直角坐标系xAy ，则A (0,0)，B (2,23)，直线l 的方程为x ＝3.8. 设缉私艇在点P (x ，y )处拦截到走私船．由AP ＝3BP ，得x 2＋y 2＝9[(x －2)2＋(y －23)2]．整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9342＝94.点P 的轨迹是以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，934为圆心，半径r ＝32的圆．圆心M 到直线l 的距离d ＝3.8－94＝1.55＞r ，所以直线l 与圆M 外离，即点P 总在领海内．答 无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k 1k 2的值；(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ值；若不存在，说明理由； (3)求证：直线AC 必过点Q .(1)解 设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 204＋y 20＝1，所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 20x 20－4＝1－14x 20x 20－4＝－14.(2)解 由题意得直线AP 的方程为y ＝k 1(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －2)，x 2＋y 2＝4，得(1＋k 21)x 2－4k 21x＋4(k 21－1)＝0， 设P (x p ，y p )，解得x p ＝2(k 21－1)1＋k 21，y p ＝k 1(x p －2)＝－4k 11＋k 21，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －2)，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 21)x 2－16k 21x ＋4(4k 21－1)＝0，设B (x B ，y B )，解得x B ＝2(4k 21－1)1＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 11＋4k 21，所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y p x p ＋65＝－4k 11＋k 212(k 21－1)1＋k 21＋65＝－5k 14k 21－1，所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝52k BC ，(3)证明 当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－85，则k AQ ＝852＋65＝12＝k 2，所以直线AC 必过点Q .当直线PQ 与x 轴不垂直时，直线PQ 方程为y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－5k 14k 21－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋65x 2＋y 2＝4，，解得x Q ＝－2(16k 21－1)16k 21＋1，y Q ＝16k 116k 21＋1，所以k AQ＝16k116k21＋1－2(16k21－1)16k21＋1－2＝－14k1＝k2，故直线AC必过点Q.。