下载文档原格式
2020年高考金榜冲刺卷（四）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．72．已知角α的终边经过点(,2)P x ，且cos α=x =（ ） A ．4- B ．2- C ．2D ．43．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升4．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥5．已知平面向量a b v v ，满足(1,1)a =-v ，||1b =u u v ，2a b +=vv a v 与b v 的夹角为（ ） A ．6πB ．56π C ．4π D ．34π 6．函数()cos()(0,0,||)f x A x A ωφωφπ=+>><的部分图象如图所示，现将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2=-g x xB ．7()2cos 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．()2sin 2g x x =D ．5()2cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭7．2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去,,A B C 三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（ ）A ．112B ．18C ．16D ．148．已知直线l 不过坐标原点O ，且与椭圆22:143x y C +=相交于不同的两点,,A B OAB ∆22OA OB +的值是（ ）A ．4B ．7C ．3D ．不能确定二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A ．若复数3i z =+，则131010iz =-． B ．复数z 满足21z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2221x y +-=．C ．若复数1z ，2z 满足21z z =，则120z z ≥．D ．复数13z i =-的虚部是3．10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是（ ） A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为411．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a R ∈）.对于不相等的实数1x ，2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-下列说法正确的是（ ）A ．对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；B ．对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >；C ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =；D ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-.12．三棱锥P−ABC 的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=︒，则下列说法正确的是（ ） A ．PAB ∆是钝角三角形B ．此球的表面积等于5πC ．BC ⊥平面P ACD ．三棱锥A−PBC 的体积为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设命题p ：x R ∀∈，()2cos 30xx π-->，则p ⌝为__________．14．已知二项式2nx⎛⎝的展开式中，第5项是常数项，则n =__________；二项式系数最大的项的系数是__________．（本题第一空3分，第二空2分）15．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且()21n n n a a a n N *++⋅=∈，则2019a 的值为__________．16．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量2(cos ,2cos1)2Cm B =-r，(,2)n c b a =-r且0m n ⋅=u r r ．（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的面积为6a b +=，求c ．18．（12分）在①325256a a a b =+=，；①234323b a a b =+=，；①345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）19．（12分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除点,A B 外的一个动点，DC 垂直于O e 所在的平面，垂足为C ，//DC EB ，且1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 为半圆弧的中点时，求二面角D AE B --的余弦值.20．（12分）某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x （单位：只）的统计情况如下表：这300天内（假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡()71418a a ≤≤只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a 只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56a -元的价钱处理.（1）若16a =，求养鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于需求量x （单位：只，*N x ∈）的函数解析式；（2）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？21．（12分）如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.22．（12分）已知函数()2ln ()af x ax x a R x=--∈. （1）若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围； （2）设35a >，,m n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{}1,2,3A =，集合{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合B 中元素的个数为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】{}1,2,3A Q =，{},,B z z x y x A y A ==-∈∈，1,2,3x ∴=，1,2,3y =.当1x =时，0,1,2x y -=--;当2x =时，1,0,1x y -=-；当3x =时，2,1,0x y -=.即2,1,0,1,2x y -=--，即{}2,1,0,1,2B =--共有5个元素.故选B.2．已知角α的终边经过点(,2)P x ，且cos α=x =（ ） A ．4- B ．2- C ．2D ．4【答案】A【解析】cos 5α==-，∴22445x x =+，且0x <，解得4x =-，故答案A. 3．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升【答案】B【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600⨯=升，故选B. 4．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则m α⊥【答案】C【解析】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误；对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误；对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确；对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误.故选：C.5．已知平面向量a b v v ，满足(1,1)a =-v ，||1b =u u v ，2a b +=vv a v 与b v 的夹角为（ ） A ．6πB ．56π C ．4π D ．34π 【答案】D【解析】因为(1,1)a =-r ,则a =r ,因为|2|ab +=r r 等式两边同时平方可得22442a a b b +⋅+=r r r r ,代入a =r ,||1b =u u r 可得1a b ⋅=-r r ,设,a b r r 夹角为α,则由平面向量数量积的定义可得2cos a b a b α⋅==-⋅=r r r r ,因为0απ≤≤,所以34πα=,故答案为 D. 6．函数()cos()(0,0,||)f x A x A ωφωφπ=+>><的部分图象如图所示，现将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2=-g x xB ．7()2cos 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．()2sin 2g x x =D ．5()2cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【解析】由图像可知2A =,且周期为236πππ⎡⎤⎛⎫⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故22πωπ==,故()2cos(2)f x x φ=+. 又()23f π=可得22,3k k Z πφπ⨯+=∈,又||φπ<,故23πφ=-.故2()2cos(2)3f x x π=-.所以()g x 的解析式为22cos 22cos 22sin 21232x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选C. 7．2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去,,A B C 三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为（ ）A ．112B ．18C ．16D ．14【答案】C【解析】由题意将甲乙看成一个整体,满足要求的安排方式种类有336m A ==,总的安排方式的种类有234336n A =⨯=ð,所以甲乙被安排到同一个场馆的概率为1P 6m n ==.故选C.8．已知直线l 不过坐标原点O ，且与椭圆22:143x y C +=相交于不同的两点,,A B OAB ∆22OA OB +的值是（ ）A ．4B ．7C ．3D ．不能确定【答案】B【解析】由题直线斜率k 不存在时，设直线x=t>0，则=解则227OA OB +=,k 存在时，设()()1122,,,A x y B x y ，y kx m,=+ 与椭圆22:143x y C +=联立得()()()()222222121222438348430,4843,,3434m km kx kmx m k m x x x x k k--+++-=∆=+-+==++,AB =，点O 到直线l 的距离12AOBS n ∴===得22342k m +=，即22234m k -=①,又222211221,1,4343x y x y +=+= ()()()222222222121212221186182462664434k m m k OA OB x x x x x x k -++⎡⎤+=++=+-+=+⎣⎦+=2222486182464mk m m k -+++ 将①代入得227OA OB +=,故选B. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A ．若复数3i z =+，则131010i z =-． B ．复数z 满足21z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()2221x y +-=．C ．若复数1z ，2z 满足21z z =，则120z z ≥．D ．复数13z i =-的虚部是3． 【答案】ABC【解析】由()()11333i 3i 3i 1010i i z -===-++-，故A 正确； 由z 在复平面内对应的点为(),x y ，则()221z i x y i -=+-=1=，则()2221x y +-=，故B 正确；设复数1z a bi =+，则2z a bi =-，所以()()21220a bi a b z bi z a +-=+=≥，故C 正确；复数13z i =-的虚部是-3，故D 不正确.故选：ABC.10．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是（ ） A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4【答案】ABC【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；B 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>，所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确；D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误；故选：ABC. 11．已知函数()2x f x =，2()g x x ax =+（其中a R ∈）.对于不相等的实数1x ，2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-下列说法正确的是（ ）A ．对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；B ．对于任意的a 及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >；C ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =；D ．对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-. 【答案】AD【解析】对于A,由指数函数的单调性可得()f x 在R 上递增,即有0m >,则A 正确; 对于B,由二次函数的单调性可得()g x 在(,)2a -∞-递减,在(2a-,)+∞递增,则0n >不恒成立,则B 错误; 对于C,若m n =,可得1212()()()()f x f x g x g x -=-,即为1122()()()()g x f x g x f x -=-,设2()2x h x x ax =+-,则应有12()()h x h x =,而()22ln 2x h x x a '=+-,当a →-∞,()h x '小于0,()h x 单调递减,则C 错误;对于D,若m n =-,可得1212()()[()()]f x f x g x g x -=--,即为1122()()()()f x g x f x g x +==+设2()2x h x x ax =++,则应有12()()h x h x =,而()22ln 2x h x x a '=++,对于任意的a ,()h x '不恒大于0或小于0,即()h x 在定义域上有增有减,则D 正确.故选:AD.12．三棱锥P−ABC 的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=︒，则下列说法正确的是（ ） A ．PAB ∆是钝角三角形B ．此球的表面积等于5πC ．BC ⊥平面P ACD ．三棱锥A−PBC 【答案】BC 【解析】如图，在底面三角形ABC 中，由1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒，利用余弦定理可得：BC == ①222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，由于PC ⊥底面ABC ，①PC AC ⊥，PC BC ⊥， ①PC AC C =I ，①BC ⊥平面P AC ，故C 正确；①2PB AB ===，由于2220PB AB PA +->，即PBA ∠为锐角，①PAB ∆是顶角为锐角的等腰三角形，故A 错误；取D 为AB 中点，则D 为BAC V 的外心，可得三角形ABC 外接圆的半径为1，设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，连接OP ，则2OP ==，即三棱锥P ABC -的外接球的半径为R =，①三棱锥球的外接球的表面积等于2452ππ⎛⨯= ⎝⎭，故B 正确；1111326P ABC V -=⨯⨯=，故D 错误；故选：BC . 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设命题p ：x R ∀∈，()2cos 30xx π-->，则p ⌝为__________．【答案】0x R ∃∈，()002cos 30xx π--≤【解析】命题p 是全称命题，则p ⌝为特称命题，故将“x R ∀∈”改为“0x R ∃∈”，将“()2cos 30xx π-->”改为“()002cos 30xx π--≤”，即p ⌝为0x R ∃∈，()002cos 30xx π--≤，故答案为：0x R ∃∈，()002cos 30x x π--≤.14．已知二项式2nx⎛⎝的展开式中，第5项是常数项，则n =__________；二项式系数最大的项的系数是__________．（本题第一空3分，第二空2分） 【答案】6 160【解析】二项式2n x⎛ ⎝展开式的通项为()321C 22C rn r n r r n r r r n n T x x---+==，因为第5项是常数项，所以3402n -⨯=，即6n =.当3r =时，二项式系数6C r最大，故二项式系数最大的项的系数是63362C 160-=.15．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且()21n n n a a a n N *++⋅=∈，则2019a 的值为__________．【答案】2【解析】因为()*21n n n a a a n N++⋅=∈，由11a =，22a =，得32a =；由22a =，32a =，得41a =；由32a =，41a =，得512a =；由41a =，512a =，得612a =；由512a =，612a =，得71a =；由612a =，71a =，得82a =L ,由此推理可得数列{}n a 是一个周期为6的周期数列，所以201932a a ==.16．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是__________． 【答案】11【解析】由于()()11f x f x -=+，所以，函数()y f x =的周期为2，且函数()y f x =为偶函数，由()0h x =，得出()()f x g x =，问题转化为函数()y f x =与函数()y g x =图象的交点个数，作出函数()y f x =与函数()y g x =的图象如下图所示，由图象可知，()01f x ≤≤，当10x >时，()lg 1g x x =>，则函数()y f x =与函数()y g x =在()10,+∞上没有交点，结合图像可知，函数()y f x =与函数()y g x =图象共有11个交点. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量2(cos ,2cos1)2Cm B =-r，(,2)n c b a =-r且0m n ⋅=u r r ．（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆的面积为6a b +=，求c ．【解析】（1）①()cos ,cos m B C =r ，(),2n c b a =-r ，0m n ⋅=r r， ①()cos 2cos 0c B b a C +-=，①()sin cos sin 2sin cos 0C B B A C +-=，即sin 2sin cos A A C = ，又①sin 0A ≠，①1cos 2C =，又①()0,C π∈，①3C π=． （2）①1sin 2ABC S ab C ∆==①8ab =，又2222cos c a b ab C =+-，即()223a b ab c +-=，①212c =，故c =．18．（12分）在①325256a a a b =+=，；①234323b a a b =+=，；①345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．（2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【解析】方案一：选条件①（1）325211561a a a b a b d q d ====>Q ，＋，，，,11125256a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩或1256512a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）112b q =⎧∴⎨=⎩,()1–1n n d αα∴=＋21n =-,1112n n n b b q --==. （2）n n n a c b =Q ,11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯, 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L211111112(21)22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭- 13(23)2n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭,116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭.方案二：选条件①（1）2343112,3,,,1b a a b a b d q d =+===>Q ,12112253a d a d a d =⎧∴⎨+=⎩,112256a d a d d =⎧∴⎨+=⎩ , 解得112a d =⎧⎨=⎩或112a d =-⎧⎨=-⎩（舍去）,112b q =⎧∴⎨=⎩,1(1) =n a a n d ∴+-=2n-1,1112n n n b b q --== . （2）n n n a c b =Q ,11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯ , 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L211111112(21)22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭-13(23)2n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭.方案三：选条件①3452119,8,,,1S a a b a b d q d ∴=+===>,1113278a d a d a d+=⎧∴⎨+=⎩,o 解得112a d =⎧⎨=⎩或121838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）.112b q =⎧⎨=⎩.1(1)n a a n d ∴=+-21n =-,11n n b b q -=12n -=. （2）n n n a c b =Q ,11211(21)22n n n n c n ---⎛⎫∴==-⨯ ⎪⎝⎭, 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L211111112(21)22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212m nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭-13(23)2n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭,116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭.19．（12分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除点,A B 外的一个动点，DC 垂直于O e 所在的平面，垂足为C ，//DC EB ，且1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 为半圆弧的中点时，求二面角D AE B --的余弦值.【解析】（1）证明：因为AB 是半圆O 的直径，所BC AC ⊥.因为DC 垂直于O e 所在的平面，BC O ⊂e ， 所以DC BC ⊥，所以BC ⊥平面ACD .因为//DC EB ，且1DC EB ==，所以四边形BCDE 为平行四边形.所以//BC DE ，所以DE ⊥平面ACD ，因为DE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面ACD . （2）由题意，AC BC ==，CA 、CB 、CD 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系.则(0,0,1)D，(0,E，A，(0,B，所以(AB =-u u u r ，(0,0,1)BE =u u u r，DE =u u u r，1)DA =-u u u r.设平面DAE 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r ，则110,0,n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v即1110,0,z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩令11x =，则1(1n =u r . 设平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r ，则220,0,n BE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u vu u v u u u v即2220,0,z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 则2(1,1,0)n =u u r，则121212cos ,6n n n n n n ⋅===u r u u ru r u u r u r u u r . 因为二面角D AE B --是钝角，所以二面角D AE B --的余弦值为6-.20．（12分）某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x （单位：只）的统计情况如下表：这300天内（假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡()71418a a ≤≤只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a 只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56a -元的价钱处理.（1）若16a =，求养鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于需求量x （单位：只，*N x ∈）的函数解析式；（2）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？【解析】（1）当x a <时，()()()()2704056401416y x a a x a x a a =-+--⋅-=++-， 当x a ≥时，30y a =，()()2*1416,N 30,a x a a x a y x a x a⎧++-<=∈⎨≥⎩，当16a =时，()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩. （2）若出栏112只，则16a =，由（1）知，当16a =时，()*30,16N 480,16x x y x x <⎧=∈⎨≥⎩，记1Y 表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润. 1Y 可取420，450，480，()14200.15P Y ==，()14500.2P Y ==，()14800.65P Y ==，1Y 的分布列为：()14200.154500.24800.65465E Y =⨯+⨯+⨯=，若出栏119只，则17a =，记2Y 表示养鸡厂当天在一个饭店获得的利润.当17a =时，()*3117,17N 510,17x x y x x -<⎧=∈⎨≥⎩，2Y 可取417，448，479，510，()24170.15P Y ==，()24480.2P Y ==，()24790.25P Y ==，()25100.4P Y ==，2Y 的分布列为：()24170.154480.24790.255100.4475.9E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.综上可知，()()1277E Y E Y <，则养鸡厂出栏119只时，利润最大.21．（12分）如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭Q ，l ∴的方程为2p y x =-.由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=，①12416x x p M p N ++===，4p =，①抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ，①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=，()22222484464640k k k k ∆=+-⋅⋅=+>， 212248k x x k++=，124x x =.①直线PM ，PN 关于x 轴对称， ①0PM PN k k +=，()112PM k x k x a -=-，()222PN k x k x a-=-. ①()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+--+--=-+++=-=⎡⎤⎣⎦， ①2a =-时，此时()2,0P -. ①当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可.综上，存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称.22．（12分）已知函数()2ln ()a f x ax x a R x=--∈. （1）若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围；（2）设35a >，,m n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =-，求S 的取值范围. 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()22222a ax x a f x a x x x-+'=+-= ①()f x 在定义域内单调递增，①()0f x '≥，即220ax x a -+≥对0x >恒成立. 则221x a x ≥+恒成立. ①2max21x a x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，①2211x x ≤+，，①1a ≥. 所以，a 的取值范围是[)1,+∞. （2）将S 表示为关于1x 的函数，由2440a ∆=->且35a >，得315a <<， 设方程()0f x '=，即220ax x a -+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<.则()1m f x =，()2n f x =，①121=x x ，122x x a +=,①11121023x x a <+=<,①1113x <<, 1122122ln 2ln a a S m n ax x ax x x x ⎛⎫=-=----- ⎪⎝⎭1111111112ln 2ln 22ln a a a ax x ax x ax x x x x ⎛⎫⎛⎫=----+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ①21120ax x a -+=, ①12121x a x =+代入得222111122111114ln 4ln 112x x S x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 令21x t =，则119t <<，得()11ln 12t g t t t -=-+，119t <<，则()4S g t =, ()()()221021t g t t t --'=<+, ①()g t 而且1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，从而()()119g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即()40ln 35g t <<-, ①1604ln 35S <<-.。
决战2020年高考冲刺卷（02）数学（山东专版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：高中全部内容.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，集合{}21,B x x n n A ==+∈，则A B =I （ ） A ．{}1B ．{}1,3C ．{}2,4D ．{}0,1,32．已知i 是虚数单位，复数1111i i--+的共轭复数是（ ） A ．iB ．i -C ．1D ．-13．命题p ：对任意x R ∈，210x +>的否定是( ) A ．p ⌝：存在0x R ∈,0210x +≤ B ．p ⌝：存在0x R ∈,0210x +> C ．p ⌝：不存在0x R ∈,0210x +≤D ．p ⌝：对任意x R ∈，210x +≤4．2018年5月1日，某电视台的节目主持人手里提着一个不透明的袋子，若袋中共有10个除颜色外完全相同的球，其中有7个白球，3个红球，若从袋中任取2个球，则“取得2个球中恰有1个白球1个红球”的概率为（ ）A ．521 B ．715C ．1115 D ．2215．已知在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，过点P 作直线l 分别交边AB 、AC 于M 、N ，若AM mAB =u u u u r u u u r ，()0,0AN nAC m n =>>u u ur u u u r ，则mn 的最小值为（ ）A ．49B ．53C ．43D ．36．在数列{}n a 中，12a =，1212n n na a a ++=()*n∈N ，若对*n N ∈，不等式2122312n n a a a a a a m m ++++<-+L 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞UB ．(,1][2,)-∞-+∞UC ．(,2)(1,)-∞-+∞UD ．(,2][1,)-∞-+∞U 7．函数4cos e x y x =-（e 为自然对数的底数）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知圆()()221:3221C x y -+-=和焦点为F 的抛物线221:8,C y x N C =是上一点，M 是2C 上，当点M 在1M 时，MF MN +取得最小值，当点M 在2M 时，MF MN -取得最大值，则12M M = A ．22 B ．32C ．42D ．17二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60元的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）A ．样本中支出在[)50,60元的频率为0.03B ．样本中支出不少于40元的人数为132C ．n 的值为200D ．若该校有2000名学生，则定有600人支出在[)50,60元 10．下列有关说法正确的是（ ） A ．当0x >时，1lg 2lg x x +≥； B ．当0x >时，2x x+≥； C ．当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin θθ+的最小值为22； D ．当0a >，0b >时，114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立 11．已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）. A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D ．函数()f x 的图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移4π个单位得到 12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF V 的面积与BEF V 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数()xf x e x =+在0x =处的切线的方程为______.14．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．则他乘上上等车的概率为________．15．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的内接ABC ∆的顶点B 为短轴的一个端点，右焦点F ，线段AB 中点为K ，且2CF FK =u u u r u u u r，则椭圆离心率的取值范围是___________.16．已知函数y ＝f (x )在R 上的图象是连续不断的一条曲线，且图象关于原点对称，其导函数为f '(x )，当x ＞0时，x 2f '(x )＞﹣2xf (x )成立，若∀x ∈R ，e 2x f (e x )﹣a 2x 2f (ax )＞0恒成立，则a 的取值范围是_____.四、解答题：本小题共6小题，共70分。
高三数学下学期二轮质量检测试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A.{x |－4<x <3} B.{x |－4<x <－2} C.{x |－2<x <2}D.{x |2<x <3}2.设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ) A.(x ＋1)2＋y 2＝1 B.(x －1)2＋y 2＝1 C.x 2＋(y －1)2＝1 D.x 2＋(y ＋1)2＝13.若a >b ，则( )A.ln(a －b )>0B.3a <3bC.a 3－b 3>0D.|a |>|b |4.已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么“a ·b ＝0”是“α＝k π＋π4(k ∈Z )”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( ) A.324 B.322 C.2 2 D.3 26.已知正项等比数列{a n }满足：a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝32，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.34 B.910 C.32 D.957.已知四棱锥M －ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，∠BCD ＋∠BAD ＝180°，MA ＝2，BC ＝26，∠ABM ＝30°.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A.20π B.22π C.40π D.44π8.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP |的最小值为( )A. 2B. 3C.3D.43二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )10.“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007～2018年，某企业连续12年累计研发投入达4 100亿元，我们将研发投入与经营投入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入(单位：十亿元)用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论正确的有( )A.2012年至2013年研发投入占营收比增量相比2017年至2018年研发投入占营收比增量大B.2013年至2014年研发投入增量相比2015年至2016年研发投入增量小C.该企业连续12年来研发投入逐年增加D.该企业连续12年来研发投入占营收比逐年增加11.将函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列关于函数g (x )的说法正确的是( ) A.最大值为3，图象关于直线x ＝π12对称 B.图象关于y 轴对称 C.最小正周期为πD.图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称12.已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列判断正确的是( )A.函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增B.当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值C.函数y ＝f (x )在区间(－2,2)内单调递增D.当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.为了解某高中学生的身高情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取24人，高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人，则该校学生总人数为________.14.已知(2－x 2)(1＋ax )3的展开式的所有项系数之和为27，则实数a ＝________，展开式中含x 2的项的系数是________.15. “中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China 又可以简写为CN ，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有________种. 16.若函数f (x )＝a ln x (a ∈R )与函数g (x )＝x 在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为________.四、解答题（本题共6小题，共70分）17.（10分）已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1. (1)设b n ＝a n ＋n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n .18.（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b 2＋3c 2－42bc ＝3a 2. (1)求sin A ；(2)若3c sin A ＝2a sin B ，△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长.19.（12分）已知如图1直角梯形ABCD ，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，E 为AB 的中点，沿EC 将梯形ABCD 折起(如图2)，使平面BED ⊥平面AECD .(1)证明：BE ⊥平面AECD ；(2)在线段CD 上是否存在点F ，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由.20.（12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，且椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，22.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆：x 2＋y 2＝2交于E ，F 两点，求|AB |·|EF |2的取值范围.21.（12分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，(15，20]，(20，25]，(25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示.(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；(2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男 女 总计 网购迷20非网购迷 45总计100(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的期望.附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .临界值表：22.（12分）已知函数f (x )＝x －1＋a e x. (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，设－1<x 1<0，x 2>0且f (x 1)＋f (x 2)＝－5，证明：x 1－2x 2>－4＋1e .参考答案一、单选 1.答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C. 2.答案 C解析 ∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )， ∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ). 3.答案 C解析 由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0<a －b <1时，ln(a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确.故选C.∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C. 4.答案 B解析 ∵a ·b ＝0＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2a －sin 2α＝cos 2α， ∴2α＝2k π±π2(k ∈Z )， 解得α＝k π±π4(k ∈Z )，∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z )的必要不充分条件，故选B. 5.答案 A解析 不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6， 所以|OF |＝ 6. 6.答案 A解析 因为数列{a n }是正项等比数列，a 2a 8＝a 25＝16a 5，所以a 5＝16， 又a 3＋a 5＝20， 所以a 3＝4， 所以q ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1， 因为a m a n ＝32，所以2m －12n －1＝210，即m ＋n ＝12，所以1m ＋4n ＝112(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝112⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥112⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝34(m >0，n >0)，当且仅当n ＝2m ，即m ＝4，n ＝8时“＝”成立， 所以1m ＋4n 的最小值为34.又tan∠POF ＝b a ＝22，所以等腰△POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.7.答案 C解析 因为∠BCD ＋∠BAD ＝180°，所以A ，B ，C ，D 四点共圆，∠ADC ＝∠ABC ＝90°.由tan 30°＝2AB ，得AB ＝23，所以AC ＝(23)2＋(26)2＝6.设AC 的中点为E ，MC 的中点为O ，则OE ∥MA ， 因为MA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 点O 到M ，A ，C ，D 四点距离相等， 易知点O 为四面体MACD 外接球的球心， 所以OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝10， 所以该球的表面积S ＝4π·OC 2＝40π. 8.答案 B解析 设|AB →|＝3a ，|AC →|＝b ，则△ABC 的面积为12×3ab sin π3＝23， 解得ab ＝83，由AP →＝mAC →＋12AB →＝mAC →＋34AD →，且C ，P ，D 三点共线，可知m ＋34＝1，即m ＝14， 故AP →＝14AC →＋34AD →.以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点，过A 作AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，D (2a ，0)，B (3a ，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，32b ， 则AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，32b ，AD →＝(2a ，0)，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18b ＋32a ，38b ，则|AP →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18b ＋32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫38b 2＝164b 2＋94a 2＋38ab ＋364b 2＝116b 2＋94a 2＋1 ≥2116b 2×94a 2＋1＝34ab ＋1＝3.⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当116b 2＝94a 2即b ＝6a 时取“＝” 故||AP 的最小值为 3. 二、多选 9.答案 BD解析 在A 中，AB 与CE 的夹角为45°，所以直线AB 与平面CDE 不垂直，故A 不符合； 在B 中，AB ⊥CE ，AB ⊥DE ，CE ∩DE ＝E ，所以AB ⊥平面CDE ，故B 符合； 在C 中，AB 与EC 的夹角为60°，所以直线AB 与平面CDE 不垂直，故C 不符合； 在D 中，AB ⊥DE ，AB ⊥CE ，DE ∩CE ＝E ，所以AB ⊥平面CDE ，故D 符合. 10.答案 ABC解析 对于选项A,2012年至2013年研发投入占营收比增量为2%,2017年至2018年研发投入占营收比增量为0.3%，所以该选项正确；对于选项B,2013年至2014年研发投入增量为2,2015年至2016年研发投入增量为19，所以该选项正确；对于选项C ，该企业连续12年来研发投入逐年增加，所以该选项是正确的；对于选项D ，该企业连续12年来研发投入占营收比不是逐年增加，如2009年就比2008年的研发投入占营收比下降了.所以该选项是错误的. 11.答案 BCD解析 将函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3－1＝3cos(2x ＋π)－1＝－3cos 2x －1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝－3cos 2x 的图象，对于函数g (x )，它的最大值为3，由于当x ＝π12时，g (x )＝－32，不是最值，故g (x )的图象不关于直线x ＝π12对称，故A 错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故B 正确； 它的最小正周期为2π2＝π，故C 正确；当x ＝π4时，g (x )＝0，故函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故D 正确. 12.答案 BC解析 对于A ，函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－12内有增有减，故A 不正确； 对于B ，当x ＝－2时，函数y ＝f (x )取得极小值，故B 正确；对于C ，当x ∈(－2,2)时，恒有f ′(x )>0，则函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上单调递增，故C 正确；对于D ，当x ＝3时，f ′(x )≠0，故D 不正确. 三、填空 13.答案 1 200解析 由题意知高三年级抽取了100－24－26＝50(人)， 所以该校学生总人数为600÷50100＝1 200. 14.答案 2 23解析 由已知可得，(2－12)(1＋a )3＝27，则a ＝2.所以(2－x 2)(1＋ax )3＝(2－x 2)(1＋2x )3＝(2－x 2)(1＋6x ＋12x 2＋8x 3)， 所以展开式中含x 2的项的系数是2×12－1＝23. 15.答案 600解析 根据题意，分2步进行分析：先从其他5个字母中任取4个，有C 45＝5(种)选法，再将“ea”看成一个整体，与选出的4个字母全排列，有A 55＝120(种)情况，则不同的排列有5×120＝600(种). 16.答案 e 2解析 函数f (x )＝a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ，g ′(x )＝12x ，设曲线f (x )＝a ln x 与曲线g (x )＝x 的公共点为(x 0，y 0)， 由于在公共点处有共同的切线，∴a x 0＝12x 0，解得x 0＝4a 2，a >0.由f (x 0)＝g (x 0)，可得a ln x 0＝x 0.联立⎩⎨⎧x 0＝4a 2，a ln x 0＝x 0，解得a ＝e2.四、解答题17.(1)证明 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1. 由b n ＝a n ＋n ，那么b n ＋1＝a n ＋1＋n ＋1，∴b n ＋1b n ＝a n ＋1＋n ＋1a n ＋n ＝2a n ＋n －1＋n ＋1a n ＋n＝2； 即公比q ＝2，b 1＝a 1＋1＝2，∴数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)可得b n ＝2n ， ∴a n ＋n ＝2n ，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －n ， ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n －n＝(21＋22＋…＋2n )－(1＋2＋3＋…＋n ) ＝2n ＋1－2－n 22－n2.18.解 (1)因为3b 2＋3c 2－42bc ＝3a 2， 所以b 2＋c 2－a 2＝423bc ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－89＝13.(2)因为3c sin A ＝2a sin B ，所以3ac ＝2ab ，即b ＝3c2.因为△ABC 的面积为2，所以12bc sin A ＝2，即2×2×3＝2，解得c ＝2. 所以b ＝32，在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6，所以a ＝6，所以△ABC 的周长为2＋32＋ 6. 19.(1)证明 连接AC ，则AC ⊥DE ，又平面BDE ⊥平面AECD ，平面BDE ∩平面AECD ＝DE ，AC ⊂平面AECD ， 所以AC ⊥平面BDE ， 所以AC ⊥BE .又BE ⊥CE ，AC ∩CE ＝C ，AC ，CE ⊂平面AECD ， 所以BE ⊥平面AECD .(2)解 如图，由(1)得BE ⊥平面AECD ，所以BE ⊥AE .所以EA ，EB ，EC 两两垂直，分别以EA →，EB →，EC →方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系E －xyz 如图所示，则E (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)， 设F (a ，0，2)，0≤a ≤2，所以AF →＝(a －2，0，2)，BF →＝(a ，－2，2)， 设平面FAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AF →·n ＝(a －2)x ＋2z ＝0，BF →·n ＝ax －2y ＋2z ＝0，取x ＝2，得n ＝(2，2，2－a ). 取平面EBC 的法向量为m ＝(1，0，0).所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝2a 2－4a ＋12＝23，所以线段CD 上存在点F ，且F 为CD 中点时，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23.20.解 (1)由已知可得c a ＝33，所以a 2＝32b 2，所以椭圆C 的方程为x 232b2＋y 2b 2＝1，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，22代入方程得b 2＝2，即a 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 23＋y 22＝1. (2)由(1)知椭圆的右焦点为(1，0).①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝1， 不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－233，E (1，1)，F (1，－1)， 所以|AB |＝433，|EF |2＝4，|AB |·|EF |2＝1633； ②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线l 与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k (x －1)，可得(2＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0， 则x 1＋x 2＝6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2， 所以|AB |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 22＋3k 22－4×3k 2－62＋3k 2＝43(k 2＋1)2＋3k 2，因为圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|k |k 2＋1，所以|EF |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫2－k 2k 2＋1＝4(k 2＋2)k 2＋1，所以|AB |·|EF |2＝43(k 2＋1)2＋3k 2·4(k 2＋2)k 2＋1＝163(k 2＋2)2＋3k 2＝1633·k 2＋2k 2＋23＝1633⎝⎛⎭⎪⎫1＋43k 2＋23， 因为k 2∈[0，＋∞)，所以|AB |·|EF |2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1633，163，综上，|AB |·|EF |2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1633，163.21.解 (1)在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.01＋0.02＋0.04)×5＝0.35， 后2个小矩形的面积之和为(0.04＋0.03)×5＝0.35，所以中位数位于区间(15，20]内. 设直方图的面积平分线为15＋x ，则0.06x ＝0.5－0.35＝0.15，得x ＝2.5，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.(2)由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.35×100＝35， 所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人. 所以补全的列联表如下：因为K 2＝100(45×20－15×20)260×40×35×65＝60091≈6.593>5.024，查表得P (K 2≥5.024)＝0.025， 所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.(3)由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为12，23. 设甲、乙两人采用支付宝支付的次数分别为X ，Y ，由题意知，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23.所以E (X )＝2×12＝1，E (Y )＝2×23＝43. 因为ξ＝X ＋Y ，则E (ξ)＝E (X )＋E (Y )＝73， 所以ξ的期望为73.22.(1)解 f ′(x )＝1＋a e x ，当a ≥0时，f ′(x )>0， 则f (x )在R 上单调递增.当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ， 则f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ， 令f ′(x )<0，得x >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.综上所述，当a ≥0时，f (x )在R 上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减. (2)证明 方法一 设g (x )＝f (x )＋2x ＝－e x ＋3x －1，则g ′(x )＝－e x ＋3， 由g ′(x )<0得x >ln 3； 由g ′(x )>0得x <ln 3，故g (x )max ＝g (ln 3)＝3ln 3－4<0， 从而得g (x )＝f (x )＋2x <0， ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴f (x 2)＋2x 2＝－5－f (x 1)＋2x 2<0， 即x 1－2x 2>－4＋1e .方法二 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5， ∴x 1＝1e x ＋2e x －x 2－3， ∴x 1－2x 2＝1e x ＋2e x －3x 2－3， 设g (x )＝e x －3x ，则g ′(x )＝e x －3， 由g ′(x )<0得x <ln 3， 由g ′(x )>0得x >ln 3， 故g (x )min ＝g (ln 3)＝3－3ln 3. ∵－1<x 1<0，x 2>0，∴x 1－2x 2>e －1＋3－3ln 3－3＝1e －3ln 3，∵3ln 3＝ln 27<4， ∴x 1－2x 2>－4＋1e .。
基础保分强化训练(二)A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A解析 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析 因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13 答案 C解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3 答案 A解析 由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i－2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A.6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0C ．函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称 答案 B解析 函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k ＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C 错误；当x ＝－π8时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，故D 错误．故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64B.14C.26D.36 答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D 与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋(6)2－222×2×6＝64.故选A.8．把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有( )A ．18种B ．9种C ．6种D ．3种 答案 A解析 由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2,3,4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2,3,4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有C 13·C 13·C 12·1＝18种．故选A. 9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0 答案 A解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.10．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析 依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎨⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x 24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA→＋OB →|＝( )A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析 由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m 2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y －3＝0上，∴4m －2×m 2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA→＋OB →＝(2,1)，∴|OA →＋OB →|＝ 5.故选C.12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案 －35解析 设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝－35.13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD 中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB＝sin ∠BDCsin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB⇒AC ＝34BC ，34sin A，又B＝2A，即sin B＝2sin A cos A，求得cos A＝3 8.由正弦定理，得sin B＝。
冲刺卷02-决战2020年高考数学冲刺卷（山东专版）一、单选题 1．已知集合{}0,1,2,3,4A =，集合{}21,B x x n n A ==+∈，则A B =I（ ）A ．{}1 B ．{}1,3C ．{}2,4D ．{}0,1,3【答案】B 【解析】 【分析】 先根据{}0,1,2,3,4A =，化简{}{}21,13579B x x n n A ==+∈=，，，，，再求交集. 【详解】 因为{}0,1,2,3,4A =，所以{}{}21,13579B x x n n A ==+∈=，，，，， 所以A B =I {}1,3.故选：B 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．已知i 是虚数单位，复数1111i i--+的共轭复数是（ ） A ．i B ．i -C ．1D ．-1【答案】B 【解析】 【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数. 【详解】因为()1i 1i 11i 1i 1i 2+---==-+, 所以共轭复数就是i -. 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3．命题p ：对任意x R ∈，210x +>的否定是( ) A ．p ⌝：存在0x R ∈,0210x +≤ B ．p ⌝：存在0x R ∈,0210x +> C ．p ⌝：不存在0x R ∈,0210x +≤ D ．p ⌝：对任意x R ∈，210x +≤【答案】A 【解析】试题分析：所给命题是全称性命题，它的否定是一个存在性命题，即存在0x R ∈，0210x +≤. 考点：全称命题的否定4．2018年5月1日，某电视台的节目主持人手里提着一个不透明的袋子，若袋中共有10个除颜色外完全相同的球，其中有7个白球，3个红球，若从袋中任取2个球，则“取得2个球中恰有1个白球1个红球”的概率为（ ） A ．521B ．715C ．1115D ．221【答案】B 【解析】 【分析】由组合数公式求出从10个球中任取2个球的取法个数，再求出有1个红球1个白球的取法个数，即可求出结论. 【详解】从10个球中任取2个球共有210C 种取法， 其中“有1个红球1个白球”的情况有1137C C （种），所以所求概率1113277C 15p C C ==. 故选:B. 【点睛】本题考查利用组合数公式求古典概型的概率，属于基础题.5．已知在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，过点P 作直线l 分别交边AB 、AC 于M 、N ，若AM mAB =u u u u r u u u r ，()0,0AN nAC m n =>>u u ur u u u r ，则mn 的最小值为（ ）A ．49B ．53C ．43D ．3【答案】A 【解析】根据在ABC ∆内有一点，0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，点P 为重心，有()13AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，再根据,,M N P 共线，有()1AM AN AP λλ+-=u u u u r u u u r u u u r ，得到11313m n+=，然后用基本不等式求解. 【详解】因为在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC++=u u u r u u u r u u u rr，且,PB PA AB PC PA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以30PA AB AC ++=u u u r u u u r u u u r()13AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， 因为,,M N P 共线，所以()1AM AN AP λλ+-=u u u u r u u u r u u u r ，又因为AM mAB =u u u u r u u u r ，()0,0AN nAC m n =>>u u ur u u u r ， 所以()1nAC mAB AP λλ+-=u u u u r u u r u u u r，所以()1,1133n m λλ==-， 所以11313m n+=，所以11133m n =+≥=， 所以49mn ≥，当且仅当1133m n =，11313m n +=，即23m n ==时，取等号. 故选：A 【点睛】本题主要考查平面向量和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．在数列{}n a 中，12a =，1212n n na a a ++=()*n ∈N ，若对*n N ∈，不等式2122312n n a a a a a a m m ++++<-+L 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞UB ．(,1][2,)-∞-+∞UC ．(,2)(1,)-∞-+∞UD ．(,2][1,)-∞-+∞U【答案】B 【解析】先利用递推公式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消和放缩求出数列的和，最后再利用恒成立问题和不等式进行求解。
“12＋4”限时提速练(四)(满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ＋1≥0}，则∁U (A ∪B )＝( ) A.{x |x ≤－3或x ≥1} B.{x |x ＜－1或x ≥3} C.{x |x ≤3} D.{x |x ≤－3}解析：选D 因为B ＝{x |x ≥－1}，A ＝{x |－3＜x ＜1}，所以A ∪B ＝{x |x ＞－3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－3}.故选D.2.若复数z 满足(3＋4i)z ＝25i ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是( ) A.3i B.－3i C.3D.－3解析：选D 因为(3＋4i)z ＝25i ，所以z ＝25i 3＋4i ＝25i （3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25i （3－4i ）25＝4＋3i ，所以z ＝4－3i ，所以z 的虚部为－3.故选D.3.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作试验基地.这n 座城市共享单车的使用量(单位：人次/天)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )A.x 1，x 2，…，x n 的平均数B.x 1，x 2，…，x n 的标准差C.x 1，x 2，…，x n 的最大值D.x 1，x 2，…，x n 的中位数解析：选B 平均数、中位数可以反映一组数据的集中程度；方差、标准差可以反映一组数据的波动大小，同时也即反映这组数据的稳定程度.故选B.4.已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12，则a 4＝( )A.4B.32C.108D.256解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知q ＞0，又首项a 1＝4，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4·qn －1，又b n ＝log 2a n ，所以b n ＝log 2(4·qn －1)＝2＋(n －1)·log 2q ，所以{b n }为等差数列，则b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝12，所以b 2＝4，由b 2＝2＋(2－1)log 2q ＝4，解得q ＝4，所以a 4＝4×44－1＝44＝256.故选D.5.椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.1633B.3233C.16 3D.32 3解析：选A 法一：由椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2知，|F 1F 2|＝2c ＝6，在△F 1PF 2中，不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝10，在△F 1PF 2中，由余弦定理|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，得(2c )2＝m 2＋n 2－2m ·n cos 60°，即4c 2＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ，解得mn ＝643，所以S △F 1PF 2＝12·|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12mn sin 60°＝1633.故选A. 法二：由椭圆的焦点三角形的面积公式S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2(其中P 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，θ＝∠F 1PF 2)得S △F 1PF 2＝b 2·tan θ2＝16×tan60°2＝1633.故选A. 6.已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，则下列结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 2解析：选C 把曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象，再把图象向右平移7π12个单位长度，得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－7π12＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，即得曲线C 2.故选C.7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：“你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”.看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”.根据以上信息，则( )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 若乙、丙均优秀(或良好)，则根据四人中两人优秀两人良好可知，甲、丁均良好(或优秀)，所以甲看后应该知道自己的成绩，但这与题意矛盾，从而乙、丙必一人优秀一人良好，进而可知甲、丁也必一人优秀一人良好.于是，根据乙知道丙的成绩，丁知道甲的成绩，易知乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.8.设函数f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3(－2＜x ＜2)，则使得f (2x )＋f (4x －3)＞0成立的x 的取值范围是( )A.(－1，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，54 解析：选 B 因为f (x )＝2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3，－2＜x ＜2，f (x )＋f (－x )＝[2ln(x ＋x 2＋1)＋3x 3]＋[2ln(－x ＋（－x ）2＋1)＋3(－x )3]＝2[ln(x ＋x 2＋1)＋ln(－x ＋x 2＋1)]＝2ln 1＝0，所以f (x )为奇函数.易得f (x )在(－2，2)上单调递增.所以f (2x )＋f (4x－3)＞0可转化为f (2x )＞－f (4x －3)＝f (3－4x )，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜2x ＜2，－2＜3－4x ＜22x ＞3－4x ，，解得12＜x＜1.故选B.9.已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0，则k ＝y ＋1x －3的取值范围是( )A.k ＞12或k ≤－5B.－5≤k ＜12C.－5≤k ≤12D.k ≥12或k ≤－5解析：选A 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，x ≥2，x ＋y －6≥0作出可行域，如图中阴影部分所示，其中A (2，4)，k ＝y ＋1x －3的几何意义为可行域内的动点(x ，y )与定点P (3，－1)连线的斜率，∵k PA ＝4－（－1）2－3＝－5，x －2y ＋4＝0的斜率为12，由图可知，k ≤－5或k ＞12.故选A.10.魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：f 1(x )＝2x ，f 2(x )＝2x，f 3(x )＝x 2，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝1－2x1＋2x .现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是( )A.25B.35C.12D.13解析：选A 由题意知，在已知的6个函数中，奇函数有f 1(x )，f 4(x )，f 6(x )，共3个；偶函数有f 3(x )，f 5(x )，共2个；非奇非偶函数为f 2(x ).则从6张卡片中任取2张，根据函数奇偶性的性质知，函数乘积为奇函数的有f 1(x )·f 3(x )，f 1(x )·f 5(x )，f 4(x )·f 3(x )，f 4(x )·f 5(x )，f 6(x )·f 3(x )，f 6(x )·f 5(x )，共6个，而已知的6个函数任意2个函数相乘，可得15个新函数，所以所求事件的概率P ＝615＝25.故选A.11.已知数列{a n }满足2a n ＋1＋a n ＝3(n ≥1)，且a 3＝134，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n－n －6|＜1123的最小整数n 是( )A.8B.9C.10D.11解析：选C 由2a n ＋1＋a n ＝3，得2(a n ＋1－1)＋(a n －1)＝0，即a n ＋1－1a n －1＝－12，又a 3＝134，所以a 3－1＝94，代入上式，有a 2－1＝－92，a 1－1＝9，所以数列{a n －1}是首项为9，公比为－12的等比数列.所以|S n －n －6|＝|(a 1－1)＋(a 2－1)＋…＋(a n －1)－6|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪9×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－6＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＜1123，又n ∈N *，所以n 的最小值为10.故选C. 12.已知三棱锥P ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径.若平面PCA ⊥平面PCB ，PA ＝AC ，PB ＝BC ，三棱锥P ABC 的体积为a ，则球O 的体积为( )A.2πaB.4πaC.23πa D.43πa 解析：选B 设球O 的半径为R ，因为PC 为球O 的直径，PA ＝AC ，PB ＝BC ，所以△PAC ，△PBC 均为等腰直角三角形，点O 为PC 的中点，连接AO ，OB (图略)，所以AO ⊥PC ，BO ⊥PC ，因为平面PCA ⊥平面PCB ，平面PCA ∩平面PCB ＝PC ，所以AO ⊥平面PCB ，所以V 三棱锥P ABC ＝13·S△PBC·AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×PC ×BO ×AO ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2R ×R ×R ＝13R 3＝a ，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝4πa .故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知e 1，e 2为单位向量且夹角为2π3，设a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，则a 在b 方向上的投影为________.解析：因为a ＝3e 1＋2e 2，b ＝3e 2，所以a ·b ＝(3e 1＋2e 2)·3e 2＝9e 1·e 2＋6e 22＝9×1×1×cos 2π3＋6＝32，又|b |＝3，所以a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝323＝12.答案：1214.已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )的图象与直线x －y ＋1＝0相切，则实数a 的值为________.解析：设直线x －y ＋1＝0与函数f (x )＝ln x －ax 的图象的切点为P (x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x －a ，所以由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＋1＝0，f ′（x 0）＝1x 0－a ＝1，f （x 0）＝ln x 0－ax 0＝y 0，解得a ＝1e2－1.答案：1e2－115.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为P ，交另一条渐近线于点Q ，若5PF ―→＝3FQ ―→，则双曲线E 的离心率为________.解析：由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)，设一条渐近线OP (O 为坐标原点)的方程为y ＝ba x ，另一条渐近线OQ 的方程为y ＝－b ax ，不妨设P ⎝⎛⎭⎪⎫m ，b a m ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，－b a n ，由5PF ―→＝3FQ ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧5（c －m ）＝3（n －c ），5⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a m ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45c ，n ＝43c ，因为OP ⊥FP ，所以k PF ＝－ba mc －m ＝－a b，解得a 2＝4b 2，所以e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝54，故双曲线E 的离心率e ＝52.答案：5216.(2018·浙江高考)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________.解析：当λ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2，x 2－4x ＋3，x <2，其图象如图①所示.由图知f (x )<0的解集为(1，4).f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ恰有2个零点有两种情况：①二次函数有两个零点，一次函数无零点； ②二次函数与一次函数各有一个零点.在同一平面直角坐标系中画出y ＝x －4与y ＝x 2－4x ＋3的图象如图②所示，平移直线x ＝λ，可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞).答案：(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)。
2020届山东省泰安市高三第二轮复习质量检测考试数学试题一、单选题1．若集合()(){}120A x x x =+-<，{}ln 0B x x =>，则A B =（ ）A ．{}12x x << B ．{}11x x -<<C ．{}12x x -<<D ．{}21x x -<<【答案】A【解析】分别化简集合A 和B ，然后直接求解A B 即可【详解】∵()(){}{}12012A x x x x x =+-<=-<<，{}{}ln 01B x x x x =>=>，∴{}12A B x x ⋂=<<. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题 2．已知12iz i-=+，则z =（ ） A ．1355i - B ．1355i + C ．1355i -- D ．1355i -+ 【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由共轭复数的概念得结论. 【详解】∵()()()()21212213222555i i i i i i z i i i i -----+====-++-， ∴1355z i =+. 故选：B . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 3．已知直线l 过点P (3，0)，圆22:40C x y x +-=，则（ ） A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．l 与C 的位置关系不确定【答案】A【解析】代入计算得到点P 在圆内，得到答案. 【详解】2240x y x +-=，即()2224x y -+=，()223204-+<，故点P 在圆内，故l 与C相交. 故选：A. 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，确定点P 在圆内是解题的关键.4．已知()20121nn n px b b x b x b x -=+++⋅⋅⋅+，若123,4b b =-=，则p =（ ） A ．1 B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】根据二项式定理得到13b pn =-=-，()22142n n b p -==，解得答案. 【详解】()1npx -展开式的通项为：()()()11n rr rrrr n n T C px C px -+=⋅⋅-=⋅-，故()113n b C p pn =⋅-=-=-，()2222142n n n b C p p -=⋅==，解得9n =，13p =.故选：C. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.5．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】总共有10种结果，其中相生的有5种，由古典概型的计算公式计算出概率即可 【详解】从五种不同属性的物质中随机抽取2种，共2510C =种，而相生的有5种，则抽到的两种物质不相生的概率511102P =-= 故选：D 【点睛】本题考查的是计算古典概型的概率，较简单.6．命题[]2:2,1,0p x x x m ∃∈-+-≤成立的充要条件是（ ）A ．0m ≥B ．14m ≥-C ．124m -≤≤ D ．2m ≥【答案】B【解析】根据题意2min ()m x x ≥+，设221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】[]2,1x ∃∈-，20x x m +-≤，则2m x x ≥+，故2min ()m x x ≥+，设221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，[]2,1x ∈-，故当12x =-时，函数有最小值为14-. 故14m ≥-. 故选：B. 【点睛】本题考查了充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力，转化为求函数的最小值是解题的关键.7．在直角三角形ABC 中，,22ACB AC BC π∠===，点P 是斜边AB 上一点，且BP =2PA ，则CP CA CP CB ⋅+⋅=（ ） A ．4- B ．2-C ．2D ．4【答案】D【解析】如图所示：以CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，计算得到答案. 【详解】如图所示：以CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，则()0,2A ，()2,0B ，24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()()242484,0,2,2,04333333CP CA CP CB ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=⋅+⋅=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.【点睛】本题考查了向量的数量积的计算，建立直角坐标系可以简化运算，是解题的关键. 8．已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤或12a ≥ B ．0a ≤或13a ≥C ．0a ≤D ．0a ≥或13a ≤-【答案】A【解析】讨论0a =，0a ≠两种情况，变换得到x x xe e a-=-，设()x x g x e e -=-，求导得到单调性，画出函数()g x 和xy a=的图像，根据图像得到答案. 【详解】()()212x x af x x e e ax =--+，则()'20x x f x xe ae a =-+=，故0x x a x ae e-+=，当0a =时，()'x fx xe =，函数在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()'00f =，故函数有唯一极大值点，满足； 当0a ≠时，即x x xe e a-=-，设()x x g x e e -=-， 则()'2xxg x e e-=+≥恒成立，且()'02g =，画出函数()g x 和xy a=图像，如图所示： 根图像知：当12a ≤时，即0a <或12a ≥时，满足条件.综上所述：0a ≤或12a ≥. 故选：A.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，变换x x xe e a-=-，画出函数图像是解题的关键.二、多选题9．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm )服从正态分布，其密度曲线函数为()()()2100200,,102x f x x π--=∈-∞+∞，则下列说法正确的是（ ）A ．该地水稻的平均株高为100cmB ．该地水稻株高的方差为10C ．随机测量一株水稻，其株高在120cm 以上的概率比株高在70cm 以下的概率大D ．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm )的概率一样大 【答案】AC【解析】根据函数解析式得到100μ=，2100σ=，故A 正确B 错误，根据正态分布的对称性得到C 正确D 错误，得到答案. 【详解】()()2100200102x f x eπ--=，故100μ=，2100σ=，故A 正确B 错误；()()()1208070p x p x p x >=<><，故C 正确；根据正态分布的对称性知：()()()100110901008090p x p x p x <<=<<><<，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布的理解和应用.10．如图，正方体ABCD —1111D C B A 的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,M N ，且1MN =，则下列结论正确的是（ ）A ．AC BM ⊥B ．MN ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BMN 的体积为定值D ．△AMN 的面积与△BMN 的面积相等【答案】ABC【解析】如图所示，连接BD ，根据AC ⊥平面11BDD B 得到AC BM ⊥，A 正确，//MN BD ，故MN ∥平面ABCD ，B 正确，计算2A MNB V -=，C 正确，1BMN S =△，1AMN S >△，D 错误，得到答案.【详解】如图所示：连接BD ，易知AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 故1AC DD ⊥，故AC ⊥平面11BDD B ，BM ⊂平面11BDD B ，故AC BM ⊥，A 正确； 易知11//D B BD ，故//MN BD ，故MN ∥平面ABCD ，B 正确；11121223323A MNB BMN V S AO -=⋅=⨯⨯⨯=△为定值，故C 正确；1BMN S =△，122AMN hS MN h =⋅=△，其中h 为点A 到直线11B D 的距离，根据图像知2h >，故1AMN S >△，故D 错误； 故选：ABC.【点睛】本题考查了立体几何中直线垂直，线面平行，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，双曲线的左焦点在直线50x y ++=上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k +的取值可能为（ ） A ．34B ．1C ．43D ．2【答案】CD【解析】计算得到双曲线方程为2214x y -=，则()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，1202k y k x =+， 根据渐近线方程知：00102y x <<，代入计算得到答案. 【详解】根据题意知：12ba=，5c=，故2a=，1b=，双曲线方程为2214xy-=，则()2,0A-，()2,0B，设()00,P x y，则2214xy-=，00x>，y>，000002120022242y y x y xx x xk ky=+==+--+，根据渐近线方程知：012yx<<，故01212xk ky=>+.故选：CD.【点睛】本题考查了双曲线中斜率的计算，确定012yx<<是解题的关键.12．在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动)，点D恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y的轨迹方程是()y f x=，则对函数()y f x=的判断正确的是（）A．函数()()22g x f x=-[]39-，上有两个零点B．函数()y f x=是偶函数C．函数()y f x=在[]86--，上单调递增D．对任意的x∈R，都有()()14f xf x+=-【答案】AB【解析】根据题意中的轨迹，画出函数图像，根据图像判断每个选项得到答案.【详解】当以A点为中心滚动时，B点轨迹为()2,0-为圆心，2为半径的14圆弧；当以D点为中心滚动时，B点轨迹为()0,0为圆心，2214圆弧；当以C 点为中心滚动时，B 点轨迹为()2,0为圆心，2为半径的14圆弧； 当以B 点为中心滚动时，B 点不动，然后周期循环，周期为8. 画出函数图像，如图所示：()()00220g f =-=，()()()88220220g f f =-=-=，A 正确；根据图像和周期知B 正确；函数()y f x =在[]0,2上单调递减，故在[]86--，上单调递减，C 错误； 取2x =-，易知()()122f f ≠--，故D 错误.故选：AB.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，画出图像确定周期是解题的关键.三、填空题13．函数cos 434y x x =+的单调递增区间为______.【答案】(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】化简得到2sin 46y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取242262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得答案. 【详解】cos 4342sin 46y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，取242262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得(),26212k k x k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的单调区间，意在考查学生的计算能力.14．北京大兴国际机场为4F 级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源，于2019年9月25日正式通航.目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示；若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，则共有______种不同的安排方法.(用数字作答).【答案】10【解析】根据题意，共有2412A =种选择，排除西一跑道、西二跑道都没有的2种选择，得到答案. 【详解】不考虑西一跑道、西二跑道共有2412A =种选择，排除西一跑道、西二跑道都没有的222A =种选择，共有10种选择.故答案为：10. 【点睛】本题考查了排列的应用，利用排除法可以简化运算，是解题的关键.15．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________． 【答案】144π【解析】易知当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O 的半径为R ，列方程求解即可.【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥的体积最大， 设球O 的半径为R ，此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝×R 2×R ＝R 3＝36， 故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.故答案为144π. 【点睛】本题主要考查了三棱锥体积的求解,球的几何特征和面积公式，属于基础题.四、双空题16．已知抛物线()2:20C x py p =>的准线方程为1y =-，直线:3440l x y -+=与抛物线C 和圆2220x y y +-=从左至右的交点依次为A 、B 、E 、F ，则抛物线C 的方程为______，EF AB=______.【答案】24x y = 16【解析】计算2p =，故抛物线方程为24x y =，联立方程得到114y =，24y =，计算14AB =，4EF =，得到答案.【详解】 根据题意知12p-=-，故2p =，故抛物线方程为24x y =，设焦点为()0,1M ， 2220x y y +-=，即()2211x y +-=，直线:3440l x y -+=过圆心，联立方程243440x y x y ⎧=⎨-+=⎩，得到241740y y -+=，解得114y =，24y =.故1111144AB AM =-=+-=，14114EF FM =-=+-=，故16EF AB =. 故答案为：24x y =；16.【点睛】本题考查了抛物线方程，抛物线中的弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.五、解答题17．在①5462a b b =+，②()35144a a b b +=+，③24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为{},n n S b 是等差数列.已知11a =，32214352,S S a a a b b -=+=+，__________.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+，求n T . 【答案】（1）1,.n n n a b n -=2=（2）()12 1.n n T n =-⋅+【解析】（1）直接利用等差数列等比数列公式计算得到答案.（2）2nn n a b n =⋅，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）方案一：选条件①：设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，220q q ∴--=，解得2q 或1q =-，0q >，2q ∴=，12n na .设等差数列{}n b 的公差为d ，435546,2a b b a b b =+=+，1126831316b d b d +=⎧∴⎨+=⎩，解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,n n n a b n -∴==.方案二：选条件②：设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，220q q ∴--=，解得2q 或1q =-，0q >，2q ∴=，12n na .设等差数列{}n b 的公差为d ，()4353514,4a b b a a b b =++=+，11268235b d b d +=⎧∴⎨+=⎩， 解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,.n n n a b n -∴==方案三：选条件③，设等比数列{}n a 的公比为q ，132211,2a S S a a =-=+，220q q ∴--=，解得2q 或1q =-，0q >，2q ∴=，12n na .设等差数列{}n b 的公差为d ，4352423,5a b b b S a b =+=，112680b d b d +=⎧∴⎨-=⎩，解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，12,.n n n a b n -∴==（2）12,n n n a b n -==，1122n n n T a b a b a b ∴=++⋅⋅⋅+()01211222122n n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，()12121222122n n n T n n -∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，12112222n nn T n -∴-=+++⋅⋅⋅+-⨯12221212nn n n n n -=-⨯=--⨯-，()12 1.n n T n ∴=-⋅+【点睛】本题考查了等差数列等比数列通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18．如图，在△ABC 中，5:5:3,1sin 5AD DC BD A ===，，0BA BD ⋅=（1）求BC 的长度；（2）若E 为AC 上靠近A 的四等分点，求sin DBE ∠. 【答案】（1）2BC =（2310【解析】（1）计算得到5cos ADB ∠=35DC =，利用余弦定理计算得到答案.（2）根据余弦定理得到5BE =，利用正弦定理计算得到答案. 【详解】（1）0BA BD ∴⋅=，BA BD ∴⊥，在ABD ∆中，1BD =，sin A =，AD ∴=，cos ADB ∠=:5:3AD DC =，DC ∴=，在BCD ∆中，cos 5BDC ∠=-，222=2cos BC CD BD CD BD BDC ∴+-⨯⨯⨯∠9=121555⎛+-⨯⨯- ⎝⎭=4 2BC ∴=.（2）由（1）知AB =2，14AE AC ==cos A =， ABE ∆中，2222cos BE AB AE AB AE A =+-⨯⨯⨯44225=+-⨯85=，5BE ∴=，在sin =55BDE DE BDE ∆=∠中，，sin sin DE BE DBE BDE =∠∠，sin sin 10DE BDE DBE BE ⨯∠∴∠==. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中AB AC ⊥，，侧面11ABB A 是正方形，3,AB AC ==（1）证明：平面11AB C ⊥平面11A BC ； （2）若16AM AC =，求二面角11M BC A --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）3π 【解析】（1）证明11A C ⊥平面11ABB A 得到111AB AC ⊥，证明1AB ⊥平面11A BC 得到答案.（2）如图，以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，求得平面1MBC 的一个法向量为61,,15n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1AB 是平面11A BC 的一个法向量，计算向量夹角得到答案.【详解】 （1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，111AA AC ∴⊥，AB AC ⊥，1111A C A B ∴⊥，又111,AA A B ⊂平面111111,ABB A AA A B A ⋂=，11A C ∴⊥平面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，111AB AC ∴⊥，又侧面11ABB A 为正方形，11A B AB ∴⊥，又111,A C A B ⊂平面11A BC ，1111A B A C A =，1AB ∴⊥平面11A BC ，又1AB ⊂平面11AB C ，∴平面11AB C ⊥平面11A BC .（2）如图，以1A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()()()()()110,0,3,0,3,3,0,3,0,36,0,0,36,0,3A B B C C ，()()136,0,0,0,3,3AC AB ∴==-，()()10,3,0,36,3,3AB BC ==--，MB AB AM ∴=-16AB AC =-62⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面1MBC 的一个法向量为(),,1n x y =，则100n MB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得6155x y ==，61,,155n ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，又1AB 是平面11A BC 的一个法向量，13315cos ,2321825n AB -∴==-⨯，12,3n AB π∴=， ∴二面角11M BC A --的大小为3π.【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20．某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是16，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子开始在第0站，选手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次，若掷出朝上的点数为1或2，棋子向前跳两站；若掷出其余点数，则棋子向前跳一站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束；设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明：()()1111983n n n n P P P P n +--=--≤≤； （3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜，请分析这个游戏是否公平.【答案】（1）详见解析（2）证明见解析；（3）游戏不公平，详见解析【解析】（1）随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，6，计算概率得到分布列，计算得到数学期望.（2）根据题意得到112133n n n P P P +-=+，化简得到()1113n n n n P P P P +--=--.（3）计算得到9998972133P P P =+，10099P P <，得到答案. 【详解】（1）随机变量X 的所有可能取值为3，4，5，6，()()3213282143,4327339P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2323212115,6339327P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列为：()842134564279927E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）由题意知，当198n ≤≤时，棋子要到第()1n +站，有两种情况：①由第n 站跳1站得到，其概率为23n P ； ②由第()1n -站跳2站得到，其概率为113n P -112133n n n P P P +-∴=+，()111211333n n n n n n n P P P P P P P +--∴-=+-=--， ()()1111983n n n n P P P P n +-∴-=--≤≤， （3）由（2）知，当棋子落到第99站游戏结束的概率为9998972133P P P =+， 当棋子落到第100站游戏结束的概率为1009813P P =， 10099P P <，∴最终棋子落在第99站的概率大于落在第100站的概率， ∴游戏不公平.【点睛】本题考查了分布列和数学期望，数列的递推公式，概率的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e 满足223220e e -+=，以坐标原点为圆心，椭圆C 的长轴长为半径的圆与直线2450x y -+=相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P (0，1)的动直线l (直线l 的斜率存在)与椭圆C 相交于A ，B 两点，问在y 轴上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得APQ BPQSQA QB S=恒成立？若存在，求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）存在；定点()0,2Q【解析】（1）根据点到直线距离公式计算得到2a =，计算2e =，得到答案. （2）设()()()()11220,1,,,,Q m m A x y B x y ≠，直线l 的方程为1y kx =+，联立方程得到12122242,2121k x x x x k k +=-=-++，sin sin APQ BPQS QA PQA SQB PQB∠=∠，得到QA QB k k =-，计算得到答案. 【详解】（1）由题意知0045241a -+=+，2a ∴=，由223220e e -+=，解得22e =或2e =，故2c =2b ∴= ∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）存在，假设y 轴上存在与点P 不同的定点Q ，使得APQ BPQSQA QB S=恒成立，设()()()()11220,1,,,,Q m m A x y B x y ≠，直线l 的方程为1y kx =+，由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2221420k x kx ++-=，12122242,2121k x x x x k k ∴+=-=-++， ()222168213280k k k ∆=++=+>， 1sin sin 21sin sin 2APQ BPQQP QA PQA S QA PQA S QB PQB QP QB PQB ∆∆∠∠==∠∠， APQ BPQS QA QBS=，sin sin PQA PQB ∴∠=∠，PQA PQB ∴∠=∠，QA QB k k ∴=-，1212y m y mx x --∴=-，()()121212m x x kx x ∴-+=，即()2242122121k m k k k --=-++， 解得2m =，∴存在定点()0,2Q ，使得APQBPQS QA QB S ∆∆=恒成立. 【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 22．已知函数()()()11,0xx f x x e x e x -=++-≥.（1）证明：()1011x f x x e x ⎛⎫≤≤+-⎪+⎝⎭； （2）若()32cos 2x x g x ax x x x e ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，当[]()()0,1,x f x g x ∈≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）(],3-∞-【解析】（1）()()xxf x x e e-'=-，得到()0f x '≥，()00f =得到()0f x ≥，整理得到()()221x e x ≥+，即1x e x ≥+，令()()10xx e x x ϕ=--≥，证明()0x ϕ≥得到答案.（2）当[]0,1x ∈时，要证()()f x g x ≥即证()32112cos 02xx x eax x x -⎛⎫+-+++≥ ⎪⎝⎭，令()22cos 2x G x x =+，证明()G x 在[]01，上是减函数，得当3a ≤-时，()()f x g x ≤在[]01，上恒成立，再证明3a >-时，()()f x g x ≥在[]01，上不恒成立，得到答案.【详解】（1）()()xxf x x e e-'=-，当0x ≥时，1,1xx ee -≥≤，()0f x '∴≥，()f x ∴在[)0+∞，上是增函数，又()00f =，()0f x ∴≥.由()111x f x x e x ⎛⎫≤+-⎪+⎝⎭整理得()()221x e x ≥+，即1x e x ≥+， 令()()10xx e x x ϕ=--≥，即()'10xx e ϕ=-≥，()x ϕ∴在[)0+∞，上是增函数，又()0x ϕ=，()0x ϕ∴≥，1x e x ∴≥+，()111x f x x e x ⎛⎫∴≤+- ⎪+⎝⎭，综上，()1011x f x x e x ⎛⎫≤≤+-⎪+⎝⎭. （2）当[]0,1x ∈时，要证()()f x g x ≥，即证()()3112cos 2xxx x x e x e ax x x x e -⎛⎫++-≥+++ ⎪⎝⎭，只需证明()32112cos 02xx x eax x x -⎛⎫+-+++≥ ⎪⎝⎭.由（1）可知：当[]0,1x ∈时，()()()110xx f x x e x e -=++-≥，即()211xx ex -+≥-，()332112cos 112cos 22xx x x eax x x x ax x x-⎛⎫∴+-+++≥----- ⎪⎝⎭第 21 页 共 21 页 212cos 2x x a x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭， 令()22cos 2x G x x =+，则()2sin G x x x '=-， 令()2sin H x x x =-，则()12cos H x x '=-，当[]0,1x ∈时，()0H x '<，()G x '∴在[]01，上是减函数，故当[]0,1x ∈时，()()00G x G ''≤=，()G x ∴在[]01，上是减函数，()()0=2G x G ∴≤，()13a G x a ∴++≤+，故当3a ≤-时，()()f x g x ≤在[]01，上恒成立.当3a >-时，由（1）可知：()221x e x ≥+，即()2111x x e x -+≤+， ()3321112cos 12cos 212x x x x e ax x x ax x x x-⎛⎫∴+-+++≤---- ⎪+⎝⎭ 32cos 12x x ax x x x -=---+212cos 12x x a x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭， 令()()2112cos 121x I x a x a G x x x=+++=++++，则()()()211I x G x x -''=++， 当[]0,1x ∈时，()0I x '<，()I x ∴在[]01，上是减函数，()I x ∴在[]01，上的值域为[]12cos1,3a a +++.3a >-，30a ∴+>，∴存在[]00,1x ∈，使得()00I x >，此时()()00f x g x <故3a >-时，()()f x g x ≥在[]01，上不恒成立.综上，实数a 的取值范围是(],3-∞-.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
巧用10种解题术解题术一 “抛砖引玉,特例引路”术对条件与结论之间关系不太明显的命题求解,可采用“投石问路”的方式,先解决与它有关的一个简单的特例或一个熟悉的特例,然后将这一特例的解法拓展到一般情形,从而使原命题获得解决.这就是“特例引路术”.一般地,对于涉及定值、定点的问题,常常从图形的特殊情况入手,先把定值、定点确定下来,使结论有一个明确的方向.这是因为一般情况与特殊情况之间往往有某种内在的联系可以使用,或论证方法有相似之处可以借鉴.典例1 已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),O 为坐标原点,A,B 是抛物线C 上异于O 的两点.(1)求抛物线C 的方程;(2)若直线OA,OB 的斜率之积为-12,求证:直线AB 过x 轴上一定点.解析 (1)因为抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的坐标为(1,0),所以p2=1,所以p=2. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x. (2)证明:①当直线AB 的斜率不存在时, 设A (t 24,t),B (t 24,-t).因为直线OA,OB 的斜率之积为-12, 所以t t 24·-t t 24=-12,化简得t 2=32.所以A(8,t),B(8,-t),此时直线AB 的方程为x=8.②当直线AB 的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),联立得{y 2=4x,y =kx +b,化简得ky 2-4y+4b=0.根据根与系数的关系得y A y B =4bk,因为直线OA,OB 的斜率之积为-12,所以yA x A·yB x B=-12,即x A x B +2y A y B =0.即y A24·y B24+2y A y B =0,解得y A y B =0(舍去)或y A y B =-32.所以y A y B =4bk =-32,即b=-8k,所以直线AB 的方程为y=kx-8k,即y=k(x-8). 综上所述,直线AB 过定点(8,0).名师点拨先以直线AB的斜率不存在为特例,求出直线AB的方程,从而探求出直线AB过的定点,为探求直线AB斜率存在时过的定点提供方向.解题术二“图作向导,用图探路”术对题设条件不够明显的数学问题求解,要注意相关的图形,巧用图形作向导,可打破思维瓶颈,多途径找到突破方法.尤其是对一些以函数、三角函数、不等式等形式给出的命题,其本身虽不带有图形,但可以设法构造相应的辅助图形进行分析,将代数问题转化为几何问题求解.力争做到有图用图,无图想图,补形改图,充分运用其几何特征的直观性来启迪思维,从而较快地获得解题的途径.这就是“用图探路术”.典例2已知函数f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,构造函数F(x)如下:当|f(x)|≥g(x)时,F(x)=f(x);当|f(x)|<g(x)时,F(x)=-g(x).则F(x)()A.有最小值0,无最大值B.无最小值,有最大值1C.有最小值-1,无最大值D.无最小值,也无最大值答案C解析在同一直角坐标系中,作出函数y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,如图(1)所示.从而得到函数F(x)的图象,如图(2)所示.故选C.名师点拨(1)解决本题的关键是读懂F(x)的意义,利用y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象作出F(x)的图象.(2)y=|f(x)|的图象就是保留y=f(x)的图象在x 轴上方的部分,将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上对称翻折而得到. 解题术三 “巧记变量,引参搭桥”术当利用题目条件中的已知量或变量无法直接与要求的结论之间建立关系式时,可考虑引入一些中间变量,即参数(可以是角度、线段、斜率及点的坐标等),来建立条件与结论之间的联系,这是一种非常重要的解题方法,也就是我们所说的“引参搭桥术”,尤其在解析几何中,应用较为广泛.典例3 如图,△ABC 的外接圆的圆心为O,半径r=1,且∠ACB=45°,若存在实数p,q 使OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =p OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +q OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则p+q 的取值范围是 .答案 [-√2,1)解析 由已知得圆O 的方程为x 2+y 2=1, 设动点C 的坐标为(cos θ,sin θ)(θ∈(π2,2π)).由A(0,1),B(1,0),C(cos θ,sin θ)及OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =p OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +q OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得p=sin θ,q=cos θ. 于是p+q=√2sin (θ+π4),又θ+π4∈(3π4,9π4),所以p+q ∈[-√2,1).名师点拨向量关系中的系数范围问题是近几年高考考查的热点,这种问题常常与平面几何中的三角形、四边形、圆相交汇,利用建系设点、向量关系代数化、引入参数、建立目标函数等方法即可解决此种问题.解题术四 “解题常招,设参换元”术在解答数学问题时,我们常把某个代数式看成一个新的未知数,或将某些变元用另一参变量的表达式来替换,以便将所求的式子变形,优化思考对象,让原来不醒目的条件或隐含的信息显露出来,促使问题的实质明朗化,使非标准型问题标准化,从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉,从中找出解题思路.这种通过换元改变式子形式来变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去探究解题思路,就是“设参换元术”,常见的换元法:三角代换、比值代换、整体代换等.典例4 已知椭圆Ω:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),直线√22x+y=1经过Ω的右顶点和上顶点. (1)求椭圆Ω的标准方程;(2)设椭圆Ω的右焦点为F,过点G(2,0)作斜率不为0的直线交椭圆Ω于M,N 两点,求△FMN 的面积S 的最大值.解析 (1)已知直线√22x+y=1经过Ω的右顶点和上顶点,令x=0,得y=1,所以椭圆的上顶点的坐标为(0,1),即b=1;令y=0,得x=√2,所以椭圆的右顶点的坐标为(√2,0),即a=√2.所以椭圆Ω的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由题意可得直线MN 过点G(2,0),其斜率存在且不为0,可设其方程为y=k(x-2)(k ≠0), 由{y =k(x -2),x 22+y 2=1消去y 整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x+8k 2-2=0.因为直线MN 与椭圆交于两点,所以Δ=(-8k 2)2-4(1+2k 2)(8k 2-2)=8(1-2k 2)>0, 解得0<k 2<12.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=8k 21+2k 2,x 1x 2=8k 2-21+2k 2, 所以|MN|=√1+k 2·|x 1-x 2| =√(k 2+1)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] =√(k 2+1)[(8k 21+2k 2)2-4×8k 2-21+2k 2]=√8(k 2+1)(1-2k 2)1+2k 2.易知椭圆的右焦点为F(1,0),则点F(1,0)到直线MN 的距离d=√2=√2,所以S=12|MN|·d=12·√8(k 2+1)(1-2k 2)1+2k 2·√2=12|k|√8(1-2k 2)1+2k 2=√2·√(1-2k 2)k 2(2k 2+1)2.令t=1+2k 2,t ∈(1,2),则k 2=t -12, 则S=√2·√-t 2+3t -22t 2=√2·√-1t 2+32t -12=√2·√-(1t -34)2+116,所以当t=43,即k 2=16时,S 取得最大值,最大值为√24.经检验,k 2=16满足0<k 2<12,故△FMN 的面积S 的最大值为√24. 名师点拨解析几何中的最值问题的常见解题思路:先利用已知条件,建立关于参数的函数,再求解函数的最值.所建立的函数通常结构复杂,不易直接求解,可通过换元将其转化为简单的函数,然后求最值.如该题就是利用t=2k 2+1,将所求转化为二次函数的最值问题. 解题术五 “变量交错,分离协调”术对含有多个变量的问题,在求解时往往需要分离变量,即将混为一团的变量分开,使之各自成为一个小整体,便于分别分析各自所具有的特征、研究它们之间的差异,从中发现解题的思路.这种通过对变量的分离来协调变量间的关系,理顺解题思路进行各个击破的解题策略,就是“分离变量术”.典例5 设函数f(x)=lg1+2x +…+(n -1)x +n x ax,其中a ∈R,n 是任意给定的自然数,且n ≥2,如果当x ∈(-∞,1]时, f(x)有意义,求a 的取值范围.解析 由题意有1+2x +…+(n-1)x +n x a>0, 从而a>-[(1n )x+(2n )x+…+(n -1n)x ].因为n ≥2,而y=(k n )x(k=1,2,…,n-1)是(-∞,1]上的递减函数, 所以[(1n )x+(2n )x+…+(n -1n)x ]≥1n +2n +…+n -1n=n -12,故a>-n -12.名师点拨巧将变元a 与变元n,x 分离,促使它们的隐含关系显露出来,以便获得解题方向.这种做法就是“分离变量”战术思想的体现. 解题术六 “因势推导,反客为主”术解答数学题时通常把注意力集中在主变元上,当思维受阻时,要从条件与结论的内在联系变换思考方向,视其参变元为主变元进行研究、推导,也能得到解决问题的途径,有时还能获得问题的巧解.这种做法就是“反客为主术”.典例6已知f(x)=ax2+2(2a-1)x+4a-7,a∈N*,若f(x)=0至少有一个整数根,则a的值为.答案1和5解析依题意可知,当f(x)=0时,有2x+7=a(x+2)2,①显然,当x=-2时,方程①不成立.(x≠-2),②故有a=2x+7(x+2)2于是,当a为正整数时,必有2x+7≥(x+2)2,且x∈Z,x≠-2,即x必须满足条件-3≤x≤1(x∈Z,x≠-2).由此可知,x只能在-3,-1,0,1中取值.将-3,-1,0,1分别代入②中,得知:仅当x=-3,x=-1和x=1时能保证a为正整数,且此时有a=1和a=5,所以,当a=1和a=5时,方程f(x)=0至少有一个整数根.名师点拨从函数的角度看x为主变元,参数a是次变元.这里将原问题转化为a是x的函数关系式来讨论x ②,就是“反客为主”的一种具体的体现.易知,本题若用求根公式解出x=1-2a±√3a+1a的整数值,将是十分烦琐的.解题术七“换位推理,声东击西”术有些命题直接求解会感到困难或根本难以从条件入手,这时可避开正面强攻,从结论的对立面入手,或考查与其相关的另一问题,或反例,从中也可以找到解决问题的途径,有时甚至还能获得最佳的解法.这就是“声东击西术”.常见的基本方法:反证法、补集法、反例法等.典例7若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形答案 D解析 由题意可知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,则△A 1B 1C 1是锐角三角形.由已知条件得△A 2B 2C 2不是直角三角形.假设△A 2B 2C 2是锐角三角形,则由题意可得{sin A 2=cos A 1=sin (π2-A 1),sin B 2=cos B 1=sin (π2-B 1),sin C 2=cos C 1=sin (π2-C 1),解得{ A 2=π2-A 1,B 2=π2-B 1,C 2=π2-C 1,所以A 2+B 2+C 2=(π2-A 1)+(π2-B 1)+(π2-C 1), 即π=3π2-π,显然该等式不成立,所以假设不成立.所以△A 2B 2C 2不是锐角三角形,所以△A 2B 2C 2是钝角三角形.故选D. 解题术八 “追求界值,极端原理”术选择运动变化中的极端值,往往是动静转换的关键点,可以起到降低解题难度的作用,因此是一种较高层次的思维方法.从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变,运用极端值法解决某些问题,可以避开抽象、复杂的运算,降低难度,优化解题过程.典例8 双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F,点P 为左支下半支上异于顶点A 的任意一点,则直线PF 斜率的变化范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(1,+∞) 答案 C 解析 如图所示,当P →A 时,PF 的斜率k →0.当PF ⊥x 轴时,PF 的斜率不存在,即k →±∞. 当P 在无穷远处时,PF 的斜率k →1. 结合四个备选项可知,选C.解题术九 “关注整体,设而不求”术设而不求是数学解题中的一种很有用的方法,采用设而不求的策略,往往能避免盲目推演而造成的复杂运算,从而达到准确、快速的解题效果.方法一 整体代入,设而不求在解决某些涉及若干个量的求值问题时,要有目标意识,通过虚设的策略,整体转化的思想,绕开复杂的运算过程,可使问题迅速得到解决.典例9 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 8-2S 4=5,则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为( )A.10B.15C.20D.25答案 C解析 由题意可得a 9+a 10+a 11+a 12=S 12-S 8,由S 8-2S 4=5可得S 8-S 4=S 4+5,由等比数列的性质可得S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等比数列,则S 4(S 12-S 8)=(S 8-S 4)2,综上可得,a 9+a 10+a 11+a 12=S 12-S 8=(S 4+5)2S 4=S 4+25S 4+10≥2√S 4×25S 4+10=20,当且仅当S 4=5时等号成立,综上可得,a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为20.方法二 适当引参,设而不求合理地引入参数,可使解题目标更加明确,已知和欲求之间的联系得以明朗化,使问题能够得到解决.典例10 已知对任何满足(x-1)2+y 2=1的实数x,y,如果x+y+k ≥0恒成立,求实数k 的取值范围.解析 将(x-1)2+y 2=1化为极坐标方程,得{x =1+cosθ,y =sinθ(θ∈R),则可设g(θ)=x+y+k=sin θ+cos θ+1+k=√2sin (θ+π4)+1+k ≥-√2+1+k, 令-√2+1+k ≥0,得k ≥√2-1. 方法三 巧设坐标,设而不求在解析几何问题中,对于有关点的坐标采用设而不求的策略,能促使问题定向化,简便化,起到以简驭繁的解题效果.典例11 设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F 的直线交抛物线于A,B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴,求证:直线AC 经过原点O.证明 如图,设点A(2p t 12,2pt 1),B(2p t 22,2pt 2),则点C (-p2,2pt 2).因为直线AB 过焦点F, 所以2pt 1·2pt 2=-p 2, 解得t 1t 2=-14.又直线OC 的斜率k OC =2pt 2-0-p2-0=-4t 2=1t 1,直线OA 的斜率k OA =2pt 1-02pt 12-0=1t 1,则k OC =k OA ,故A,O,C 三点共线,即直线AC 经过原点O.解题术十 “思维受限,攻坚突围”术思维受限一般出现在压轴题或计算量大的题上,有时也出现在一些条件特殊的选择题、填空题上,这些题不一定就是难度很大的题,反而可能是因某些运算或推理繁杂感到心理紧张而导致一下子想不出解决方法的题.一般来说,对此类问题的突围关键在于如何针对已有的信息与所求目标的差异进行综合分析,整合相关的结论(包括已推得的结论),注重信息的迁移.要注重考查命题所涉及的概念、定理,把握命题的结构特点,构建相应的数学模型进行模仿探索,力争做到求什么,想什么.在审查已做的运算、推理与所求结论的要求是否正确时,要注重隐含条件的挖掘与整合,仔细清查还有哪些条件未用上,还有哪些相关的解法未用到,力争做到给什么,用什么.在将条件与结论联系起来时,要勇于试探、创新思维,注重类比、猜想、凑形、配式,力争做到差什么,找什么.这就是我们常常说的“思维受限突围术”.常见的突围策略有以下两种:策略一 前难后易空城计对设有多问的数学命题,若前一问不会解,而后面的几问又是自己容易解的,或是可用第一问的结论来求解的,此时应放弃第一问的求解,着重攻后面的几问,并将第一问的结论作为后几问的条件使用,巧妙地配合题设条件或有关定理解答后面的问题.这种利用自己根本不懂或不会证明的问题条件来解后几问的做法,就是数学解题中的“空城计”,即前问难后问易,弃前攻后为上计(有时也说成:前难后易前问弃,借前结论攻后题).典例12 设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x ∈(1,+∞)时,1<x -1lnx <x; (3)设c>1,证明:当x ∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x . 解析 (1)由题设可知, f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1x -1,令f '(x)=0,解得x=1. 当0<x<1时, f '(x)>0, f(x)单调递增; 当x>1时, f '(x)<0, f(x)单调递减. (2)证明:由(1)知, f(x)在x=1处取得最大值, 最大值为f(1)=0. 所以当x ≠1时,ln x<x-1.故当x ∈(1,+∞)时,ln x<x-1,ln 1x <1x -1, 即1<x -1lnx <x.(3)证明:设g(x)=1+(c-1)x-c x (c>1), 则g'(x)=c-1-c x ln c. 令g'(x)=0, 解得x 0=lnc -1lnclnc.当x<x 0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>x0时,g'(x)<0,g(x)单调递减.由(2)知1<c-1lnc<c,故0<x0<1.又g(0)=g(1)=0,故当0<x<1时,g(x)>0,所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x.名师点拨(1)求出导函数f'(x),然后确定函数f(x)的单调性;(2)利用(1)的结论证明;(3)构造新函数,然后通过研究新函数的单调性来证明.解决本题时,由于第(2)问较麻烦,很多考生不会做或花费较长时间,从而延误了第(3)问的解答,由题意可知,第(3)的解答可直接利用第(2)问的结论,构造函数后易判断证明,因此求解时可跨过第(2)问先解决第(3)问,从而增大了本题的得分率.这是解决此类题的上策之举.策略二前解倒推混战术有些数学命题的求解,开始入手还较为顺畅,但一到最后就难以继续进行了.此时若知悉它的大致趋势和结果,则根据所求结论的形式、特点,进行反推、凑形,直到得出大致与所要达到的目标相当、相同或相似的式子,再来巧妙地进行求解也是可行的.这种不按常规方式出牌的解题方法我们称之为“混战术”.典例13已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.解析(1)f'(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).①设a=0,则f(x)=(x-2)e x,f(x)只有一个零点,不符合题意.②设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,故f(x)存在两个零点.③设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-e,则ln(-2a)≤1,2故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.,若a<-e2则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围是(0,+∞).(2)证明:不妨设x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),又f(x)在(-∞,1)内单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(1-x2)2,而f(x2)=(x2-2)e x2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)e x2,设g(x)=-xe2-x-(x-2)e x,则g'(x)=(x-1)(e2-x-e x).所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.名师点拨(1)由函数有两个零点,得出关于a的不等式进行求解;(2)构造函数证明不等式.解答本题第(2)问利用了逆向解答,把要证明的x1+x2<2巧妙地转化为f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0,从而确定出f(2-x2)的表达式,再构建函数证明不等式.。
2020年高考数学冲刺逆袭必备卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．若集合{|12}A x x =-<≤，则A =R ð（ ） A ．{|1x x <-或2}x > B ．{|1x x ≤-或2}x > C ．{|1x x <-或2}x ≥ D ．{|1x x ≤-或2}x ≥【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义，即可求得A 的补集. 【详解】∵{|12}A x x =-<≤，∴A =R ð{|1x x ≤-或2}x >， 故选：B 【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，属于基础题. 2．设3i12iz -=+，则z =A ．2 BCD ．1【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ． 【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．3．“方程221 71x ym m+=--表示的曲线为椭圆”是“17m<<”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据方程表示椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得m的取值范围，由此判断充分、必要条件. 【详解】由于方程22171x ym m+=--表示的曲线为椭圆，所以701071mmm m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得17m<<且4m≠.所以“方程22171x ym m+=--表示的曲线为椭圆”是“17m<<”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题主要考查方程表示椭圆的条件，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.4．若函数()f x的导函数()f x'的图象如右图所示，则函数()y xf x'=的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据导函数()f x'的零点和函数值的符号，判断出()y xf x'=的图象.由于()f x '的图象可知2x =-是()f x '的零点，所以()y xf x '=的零点为0和2-.当2x <-时，()'0f x >，所以()'0xf x <；当20x -<<时，()'0f x <，所以()'0xf x >；当0x >时，()'0f x <，所以()'0xf x <.由此可知正确的()y xf x '=的图象为D.故选：D 【点睛】本小题主要考查主要考查导函数图象的运用，属于基础题. 5．若sin 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A ．12 B ．12-C．2D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件和二倍角公式，先计算出cos 26πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值，再将所要求的2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式进行化简，得到答案. 【详解】因为sin 122πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以2cos 2126πα⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭12=- 2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭12=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.6．已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，则双曲线C 的离心率为（ ） AB ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先得到双曲线C 的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到a 和c 的关系，求出离心率，得到答案. 【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为b y x a =±因为两条渐近线均与圆222()4b x a y -+=相切，所以点(,0)a 到直线b y x a =的距离等于半径2b即2ab b d c ===，又因为222c a b =+ 整理得到2c a =， 故双曲线C 的离心率为2ce a==. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题. 7．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．[2,3]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[2,7]【答案】C 【解析】 【分析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果. 【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF Q 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE Ì平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD I 平面11BDD B BD =，GE Ì平面ABCD //GE BD ∴E Q 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max AF AH ==min EF ∴==max EF ==则线段EF 长度的取值范围为：本题正确选项：C 【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.8．若直线2x y m =-+与曲线y =m 的取值范围是（ ）A ．B ．11)C ．(11)+D ．1) 【答案】A 【解析】试题分析：由题意知，曲线y =的图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成，故直线2x y m =-+与曲线y =恰有三个公共点的临界直线有：当直线2xy m =-+过点()2,0时，即01m =-+，故1m =；当直线2xy m =-+与椭圆的上部分相切，即'12y ==-，即x y ==时，此时m =，故实数m 的取值范围是，选项A 为正确答案．考点：1、直线与圆锥曲线的位置关系；2、数形结合的思想．【易错点晴】本题主要考查的是直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题；要求满足条件：直线2x y m =-+与曲线y =恰有三个公共点，实数m 的取值范围，可以转化为直线2x y m =-+的图象与曲线y =m 的取值范围，作出两个函数的图象，通过图象观察临界直线，从而求出m 的取值范围；本题曲线y =的图象是易错点，画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．二、多选题9．甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000，12000，15000，其成本构成如图所示，则关于这三家企业下列说法正确的是（ ）A ．成本最大的企业是丙企业B ．费用支出最高的企业是丙企业C ．支付工资最少的企业是乙企业D ．材料成本最高的企业是丙企业【答案】AB D【解析】由题意甲企业产品的成本为10000，其中材料成本1000060%6000⨯=、支付工资1000035%3500⨯=、费用支出500；乙企业产品的成本为12000，其中材料成本1200053%6360⨯=、支付工资1200030%3600⨯=、费用支出2040；丙企业产品的成本为15000，其中材料成本1500060%9000⨯=、支付工资1500025%3750⨯=、费用支出1500015%2250⨯=.所以成本最大的企业是丙企业，费用支出最高的企业是丙企业，支付工资最少的企业是甲企业，材料成本最高的企业是丙企业，A 、B 、D 选项正确，C 选项错误. 故选：AB D. 【点睛】本题主要考查扇形统计图的识图及应用，属基础题.10．关于函数()1f x cosx +=，,23x pp 骣琪Î琪桫的图象与直线y t =（t 为常数）的交点情况，下列说法正确的是（ ）A ．当0t <或2t ≥时，有0个交点B ．当0t =或322t ≤<时，有1个交点 C ．当302t <≤时，有2个交点 D ．当02t <<时，有2个交点【答案】AB 【解析】 【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况,进一步确定结果． 【详解】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A ：当0t <或2t ≥时,有0个交点,故正确．②对于选项B ：当0t =或322t ≤<时,有1个交点,故正确． ③对于选项C ：当32t =时,只有一个交点,故错误． ④对于选项D ：当322t ≤<,只有一个交点,故错误． 故选：AB【点睛】函数的图象的应用,利用函数的图象求参数的取值范围,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ） A ．若59S S =，则必有140S = B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则必有78S S > D ．若67S S >，则必有56S S >【答案】AB C 【解析】 【分析】直接根据等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+逐一判断． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和公式()112n n n dS na -=+， 若59S S =，则11510936a d a d +=+， ∴12130a d +=，∴1132da =-，∵10a >，∴0d <， ∴1140a a +=，∴()1141407a a S +==，A 对；∴() 112nn n dS na-=+()11322n n dnd-=-+()27492d n⎡⎤--⎣⎦=，由二次函数的性质知7S是n S 中最大的项，B对；若67S S>，则7160a a d=+<，∴16a d<-，∵10a>，∴0d<，∴615a a d=+6d d<-+0d=->，8770a a d a=+<<，∴5656S S S a<=+，7878S S S a>=+，C对，D错；故选：AB C．【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，属于中档题．12．如图，在四边形ABC D中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且3BC EC=u u u r u u u r，F为AE的中点，则（）A．12BC AB AD=-+u u u r u u u r u u u rB．1133AF AB AD=+u u u r u u u r u u u rC．2133BF AB AD=-+u u u r u u u r u u u rD．1263CF AB AD=-u u u r u u u r u u u r【答案】AB C【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题．【详解】解：∵AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，由向量加法的三角形法则得BC BA AD DC =++u u u v u u u v u u u v u u u v 12AB AD AB =-++u u u v u u u v u u u v 12AB AD =-+u u uv u u u v ，A 对；∵3BC EC =u u u r u u u r ，∴23BE BC =u u u r u u u r 1233AB AD =-+u u uv u u u v ，∴AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r 1233AB AB AD ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭u u uv u u u v u u u v 2233AB AD =+u u u v u u u v ，又F 为AE 的中点，∴12AF AE =u u u v u u u v 1133AB AD =+u u u v u u u v，B 对；∴BF BA AF =+u u u v u u u v u u u v 1133AB AB AD =-++u u u v u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u uv u u u v ，C 对；∴CF CB BF =+u u u v u u u v u u u v BF BC =-u u u v u u u v 2133AB AD =-+u u u v u u u v 12AB AD ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v 1263AB AD =--u u uv u u u v ，D 错；故选：AB C ． 【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题．第II 卷（非选择题)三、填空题13．曲线C ：2()ln f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线方程为__________． 【答案】320x y --= 【解析】分析：根据切线方程的求解步骤即可，先求导，求出切线斜率，再根据直线方程写法求出即可. 详解：由题可得：1'()2f x x x=+(),1f =1，'(1)3,f ∴=∴切线方程为：y -1=3（x -1） 即320x y --=，故答案为：320x y --=点睛：考查导数的几何意义切线方程的求法，属于基础题. 14．已知向量a r、b r满足|a r|＝2，且b r 与b a rr-的夹角等于6π，则|b r |的最大值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】在OAB V 中，令,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，可得6π∠=OBA ，可得点B 在半径为R 的圆上，22sin R A=，可得R ，进而可得||b u u r的最大值． 【详解】∵向量a r 、b r 满足|a r |＝2，且b r 与b a -r r 的夹角等于6π，如图在OAB V 中，令OA a =uu u r r ，OB b =uuu r r ，可得6π∠=OBA可得点B 在半径为R 的圆上，2R 2sinA==4，R ＝2． 则|b r|的最大值为2R ＝4【点睛】本题考查了向量的夹角、模的运算，属于中档题．15．设a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值，则二项式6a x x ⎛ ⎝展开式中含2x 项的系数是_____. 【答案】192-【解析】由题意设a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值，则二项式6a x x ⎛ ⎝展开式中含2x 项的系数是.因为a 为()sin 3cos x x x R ∈的最大值 所以2a =代入到二项式6a x x ⎛⎝中，得62x x ⎛⎝，其第1r +项为(616rrr r T C-+⎛= ⎝()63612rr rr C x --=-⋅⋅⋅含2x 项，则1r =其系数是()151612192C -⋅⋅=-【点睛】本题考查三角函数化简，二项式展开式中指定项的系数.16．已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线1ln()y x b y x b '⎛⎫=+=⎪+⎝⎭相切于点()00x y ，，则11a b+的最小值是______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用切点和斜率列方程组，化简求得,a b 的关系式，进而利用基本不等式求得11a b+的最小值. 【详解】依题意令11y x b '==+，解得01x b =-，所以()00001ln ln10y x a b a y x b =-=--⎧⎨=+==⎩，所以10b a --=，所以1a b +=，所以()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭224b a a b =++≥+=，当且仅当12a b ==时等号成立，所以11a b+的最小值为4. 故答案为：4【点睛】本小题主要考查导数与切线有关的计算问题，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.四、解答题17．若向量,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->r r，在函数()()f x m m n t =⋅++r r r 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为,4π且当[0,],()3x f x π∈时的最大值为1．（I ）求函数()f x 的解析式； （II ）求函数()f x 的单调递增区间．【解析】（I ）由题意得()()f x m m n t =⋅++r r r2m m n =+⋅r r r23sin cos 33cos 2sin 22223)32x x x t x x t x tωωωωωπω=+⋅+=-++=-++ ∵对称中心到对称轴的最小距离为4π ()f x ∴的最小正周期为T π=2,12ππωω∴=∴=. 3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时2,()333x x f x πππ∴-==即时取得最大值3t +max ()1,31,21()).32f x t t f x x π=∴+=∴=-∴=--Q （II ）222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈.55222,2612125()[,]()1212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈函数的单调递增区为18．定义：对于任意*n N ∈，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列. （1）若()2*8n a n n n =-+∈N，证明：数列{}na 是T 数列；（2）设数列{}n b 的通项为502n b n =- ⎪⎝⎭，且数列{}n b 是T 数列，求常数M 的取值范围； （3）设数列()*1,12n pc n p n=-∈<<N ，若数列{}n c 是T 数列，求p 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭；（3）615p <≤. 【解析】 【分析】（1）根据题中的新定义代入即可证出.（2）设1n n b b +≥， 1n n b b -≥，2n ≥，代入通项3502nn b n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解不等式组，使()max n M b ≥即可求解.（3）首先根据12p <<可求1n =时，11c p =-，当2n ≥时，1n pc n=-，根据题中新定义求出13220c c c +-≤成立，可得615p <≤，再验证2120n n n c c c +++-<恒成立即可求解. 【详解】（1）Q ()22841616n a n n n =-+=--+≤，且()()()()22221282822116120n n n a a a n n n n n n +++-=-+-+++++-+=-<， 则满足212n n n a a a +++≤，则数列{}n a 是T 数列. 综上所述，结论是：数列{}n a 是T 数列. （2）设1n n b b +≥， 1n n b b -≥，2n ≥则()()11335050122335050122n n n n n n n n +-⎧⎛⎫⎛⎫-≥+-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-≥-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 得3322log 1001log 100n ≤≤+，n N *∈Q ，12n ∴=，则数列{}n b 的最大值为126002b =- ⎪⎝⎭， 则1236002M ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭（3）Q 12p <<112n pc ∴=-<， 当1n =时，11c p =- 当2n ≥时，1n p c n=-， 由132521122033p p c c c p p +-=-+--+=-+≤，得615p <≤， 当2n ≥时，()()2122211202112n n n p p p pc c c n n n n n n ++-+-=-+--+=<++++恒成立， 则要使数列{}n c 是T 数列，则p 的取值范围为615p <≤. 【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化.19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）34. 【解析】（1）因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A I 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ，90ACB ∠=︒，所以BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC A C ⊥. 因为11B C BC ∥，所以111AC B C ⊥. 因为11ACC A 是平行四边形，且1AA AC =， 所以四边形11ACC A 是菱形，则11A C AC ⊥. 因为1111AC B C C =I ，所以1A C ⊥平面11AB C .又1AC ⊂平面11A B C ，所以平面11AB C ⊥平面11A B C . （2）如图，取AC 的中点M ，连接1A M ， 因为四边形11ACC A 是菱形，160A AC ∠=︒， 所以1△ACA 是正三角形，所以1A M AC ⊥，且132A M AC =. 令122AA AC CB ===，则13A M =.以C 为坐标原点，以CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过点C 且平行于1A M 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()11,0,3C -，()0,1,0B，()11,0,3A ，()2,0,0CA =u u u r，()()111111,0,30,1,0CB CC C B CC CB =+=+=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r ()1,1,3=-，()11,0,3CA =u u u r.设平面1ACB 的法向量为(),,x y z =n ，则100CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，所以2030x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，得0x =，令1z =，则3y =-，所以()0,3,1=-n .由（1）知1A C ⊥平面11AB C ，所以()11,0,3CA =u u u r是平面11AB C 的一个法向量，所以111cos ,CA CA CA ⋅<>=⋅u u u ru u u r u u u r n n n 3341331==+⨯+. 所以二面角11C AB C --的余弦值为34. 20．某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从A 农场购进一批优质棉花，厂方技术人员从A 农场存储的优质棉花中随机抽取了100朵棉花，分别测量了其纤维长度（单位：cm ）的均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：（1）求这100个样本数据的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）将收集到的数据绘制成直方图可以认为这批棉花的纤维长度()2~,X N μσ，其中22,x s ≈≈μσ.①利用正态分布，求()2P X >-μσ；②纺织厂将A 农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取20朵测量其纤维均值()1,2,,20y i =L 的数据如下：若20个样本中纤维均值2Y >-μσ的频率不低于①中()2P X >-μσ，即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送是掺杂了次品，判断该批棉花不合格.按照此依据判断A 农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由. 附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827,P Z -<<+=μσμσ()220.9543.P Z -<<+=μσμσ12.28 3.504≈.【答案】（1）平均数为31，方差为12.28；（2）①0.97715；②该批优质棉花合格，理由见解析.【解析】（1）1(4249261628100x =⨯⨯+⨯+⨯2430183214341036+⨯+⨯+⨯+⨯538)31+⨯=， 22221(4795163241100s =⨯⨯+⨯+⨯+⨯22218114310557)12.28+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）棉花的纤维长度()2~,X N μσ，其中31,12.28 3.504=≈≈μσ，①利用正态分布，则()()12110.95432P X >-=-⨯-μσ0.97715=. ②因为2312 3.50423.992-=-⨯≈μσ， 故()()223.9921P Y P Y >-=>=μσ>0.97715， 故满足条件，所以认为该批优质棉花合格.21．如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是F ，准线是l .（Ⅰ）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）已知点()8,8P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A 、B （均与P 不重合），直线PA 、PB 分别交l 于点M 、N 求证：MF NF ⊥.【答案】（Ⅰ）()2,0F ，准线l 的方程为2x =-；（Ⅱ）见解析.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据抛物线C 的标准方程可得出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（Ⅱ）设直线AB 的方程为2x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，求出点M 、N 的坐标，计算出0MF NF ⋅=u u u r u u u r，即可证明出MF NF ⊥. 【详解】（I ）抛物线C 的焦点为()2,0F ，准线l 的方程为：2x =-；（Ⅱ）设直线AB 的方程为：()2x my m R =+∈，令()11,A x y ，()22,B x y ， 联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程228x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=， 由根与系数的关系得：1216y y =-.直线PB 方程为：228888y x y x --=--，()2222288888888y y xy x y y -+=-+=+-， 当2x =-时，228168y y y -=+，228162,8y N y ⎛⎫-∴- ⎪+⎝⎭，同理得：118162,8y M y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.228164,8y FN y ⎛⎫-∴=- ⎪+⎝⎭u u u r ，118164,8y FM y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭u u u u r ,()()()()()()21212121211688816816816816168888y y y y y y FN FM y y y y +++----∴⋅=+⨯=++++u u u r u u u u r ()()()()()()122121801680161608888y y y y y y +-+===++++，FN FM ∴⊥u u u r u u u u r，MF NF ∴⊥.【点睛】本题考查利用抛物线方程求焦点坐标和准线方程，同时也考查了直线与抛物线的综合问题，涉及到两直线垂直的证明，一般转化为两向量数量积为零来处理，考查计算能力，属于中等题. 22．已知1()ln mf x x m x x-=+-，m ∈R . （1）讨论()f x 的单调区间；（2）当202e m <≤时，证明：2()1x e x xf x m >-+-.【答案】（1）()f x 在(1,1)m -上单调递减；在(0,1)和(1,)m -+∞上单调递增.（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，再进行求导得2(1)[(1)]()x x m f x x---'=，对m 分成1m £，12m <<，2m =三种情况讨论，求得单调区间；（2）要证由2()1xe x xf x m >-+-，等价于证明ln x e mx x >，再对x 分01x <≤，1x >两种情况讨论；证明当1x >时，不等式成立，可先利用放缩法将参数m 消去，转化成证明不等式2ln 2xe e x x >成立，再利用构造函数22()ln x e g x x x -=-，利用导数证明其最小值大于0即可。
