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有限元与变分原理有限元方法和变分原理是结构力学和计算力学中常用的数值计算方法和理论基础。
本文将从概念、原理、应用和发展等方面介绍有限元方法和变分原理的相关知识。
一、有限元方法有限元方法是一种将连续物体离散化为有限个小区域的数值计算方法。
它将连续的物理问题转化为离散的代数问题，并通过求解代数方程组来获得物理问题的数值解。
有限元方法的基本思想是将复杂的连续介质分割成有限个简单的子域，即有限元，并在每个有限元上建立代数模型。
在建立完整的模型后，根据物理方程和边界条件，通过求解代数方程组，得到所求解的物理量。
有限元方法的优点在于能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于各种材料和结构力学问题。
二、变分原理变分原理是解决物理问题的一种重要数学工具。
它通过构造一个泛函，将物理问题转化为极值问题，通过求解泛函的极值问题来得到物理问题的解。
在结构力学和计算力学中，常用的变分原理包括极大势能原理、最小势能原理和最小总势原理。
这些变分原理的基本思想是，在满足一定边界条件的前提下，通过对位移场进行变分，使得系统的势能或总势能取得极值，从而得到系统的平衡位置和应力分布。
三、有限元方法与变分原理的应用有限元方法和变分原理在结构力学和计算力学中得到了广泛的应用。
它们可以用于求解各种结构的静力学、动力学和热力学问题。
在工程实践中，有限元方法常用于求解杆件、梁、板、壳和体等不同类型的结构。
通过将结构分割成有限个小单元，建立有限元模型，并利用变分原理进行求解，可以得到结构的应力、位移、变形等物理量的分布情况，从而评估结构的可靠性和安全性。
有限元方法还可以用于优化设计和参数优化，以满足结构的性能要求。
四、有限元方法与变分原理的发展有限元方法和变分原理的发展已经有几十年的历史。
随着计算机技术的进步和计算软件的不断发展，有限元方法已经成为结构力学和计算力学研究和工程实践中不可或缺的工具。
目前，有限元方法已经广泛应用于航空航天、汽车、船舶、建筑、能源等领域。
变分法原理变分法是一种用于求解泛函和微分方程问题的数学方法。
它通过对一个函数进行微小的变化，并计算出在这个微小变化下泛函的变化量，从而得到泛函的极值。
变分法在物理学和工程学等领域有广泛的应用，如优化问题、经典力学中的作用量原理以及量子力学中的路径积分等。
要理解变分法的原理，首先需要了解泛函的概念。
泛函是一种将函数映射到实数集上的函数，例如能量泛函、作用泛函等。
对于一个给定的泛函，我们希望找到使其取得最大或最小值的函数。
而变分法就是一种通过对函数进行微小变化，从而使得泛函的变化量趋于零的方法。
以最简单的泛函问题为例，考虑一个函数y(某)在区间[a,b]上的泛函J，即J[y(某)]，例如J[y]=∫(a到b)F(某,y,y')d某，其中F是已知的函数，y'表示导数。
我们的目标是找到函数y(某)，使得泛函J[y(某)]取得极值。
为了寻找这样的函数，我们引入一个变分函数δy(某)，它表示函数y(某)关于自变量某的微小变化量。
于是，我们可以将函数y(某)写成y(某)+εδy(某)，其中ε是一个小的实数。
然后，将变分函数代入泛函中得到J[y(某)+εδy(某)]。
将J[y(某)+εδy(某)]展开成泛函J[y(某)]关于ε的幂级数，取一阶项，得到J[y(某)+εδy(某)]≈J[y(某)]+ε∫(a到b)(∂F/∂y)δyd某+ε∫(a到b)(∂F/∂y')δy'd某。
由于δy(某)是任意的，我们要使得泛函J[y(某)+εδy(某)]的变化量趋于零，只需使得∂F/∂y- d/d某(∂F/∂y')=0，即Euler-Lagrange方程。
根据Euler-Lagrange方程解出δy(某)，再令δy(某)的边界条件为零，即δy(a)=δy(b)=0。
这样，我们就可以得到函数y(某)的特解。
总结起来，变分法的原理是将函数表示为原函数与微小变化的函数之和，将其代入泛函中展开，并取一阶项，最后通过求解Euler-Lagrange 方程得到特解。
第二章 变分原理变分原理是力学分析中重要数学工具之一，能量法、有限元法、加权残值法等力学方法都是以变分原理为数学工具的。
变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。
关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。
1872年Betti 提出了功的互等定理。
1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。
德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。
我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。
我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。
1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。
1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义 分原理的方法。
1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。
1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。
§ 2.1 历史上著名的变分法命题历史上有三个著名的变分法命题，即最速降线问题、短程线线问题和等周问题。
这三个命题的提出和解决推动了变分法的发展。
1、最速降线命题1695年，Bernoulli 以公开信方式提出了最速降线命题。
如图2-1所示，设有不在同一垂线上的A 、B 两点，在此两点间连一曲线，有一重物沿此曲线下滑，忽略各种阻力的理想情况，什么曲线能使重物沿曲线AB 光滑下滑的时间最短。
设A 点与坐标原点O 重合，B 点的坐标为(x 1,y 1)，滑体质量为m ，从O 点下滑至P 点时的速度为v ，根据能量恒原理，有：221mv mgy =(2-1)用s 表示弧长，则沿弧切向方向的速度为： 图2-1 最速降线图gy dt ds v 2==(2-2)曲线弧长为：dx dx dy dydx ds 2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=(2-3)于是，时间为：()dx gyyvds dt 212'+==(2-4)下降时间为：()⎰⎰+==12'021x Tdx gyydt T (2-5)经过求解，最速降线为圆滚线，其参数方程为：()()θθθcos 12sin 2-=-=C y C x (2-6)2、短程线命题设()0,,=z y x ϕ是如图2-2所示的曲面，在此曲面上有A 、B 两点，试问如何连接可使此曲面上A 、B 两点间的距离最短。
变分原理及其在量子力学中的应用引言变分原理是一种数学方法，用于求解泛函问题。
它在物理学中有着广泛的应用，尤其在量子力学中发挥了重要作用。
本文将简单介绍变分原理的基本概念，并阐述其在量子力学中的应用。
一、变分原理的基本概念1.1 定义变分原理是一种用于求取极值的数学原理。
它是自变量取一族函数中的某个函数，使它满足一定的条件，使得函数能满足极值的求取过程。
变分原理通过泛函的极值问题来推导出微分方程的解析解。
1.2 变分运算变分运算是变分原理中的核心概念。
它是对函数进行微小变化，并通过一系列数学操作，找到函数使泛函满足最值条件的关键步骤。
变分运算包括欧拉-拉格朗日方程、最优性条件等。
1.3 函数空间在变分原理中，函数空间是变分函数取值的范围。
它可以是函数空间的一般空间，如连续函数空间，或者特定的空间，如有界函数空间。
在量子力学中，波函数的函数空间通常是在一定的边界条件下满足某些物理性质的函数集合。
二、量子力学中的变分原理2.1 时间无限制下的变分原理在量子力学中，变分原理最早被应用于多体系统的基态能量求解。
根据变分原理，我们可以通过波函数的变分来寻找能量的最小值。
通过优化变分波函数，我们可以得到近似于真实波函数的解。
2.2 特殊形式下的变分原理除了基态能量的求解，变分原理在量子力学中还被广泛应用于寻找近似解。
比如，变分原理可以用于求解能量本征值问题，从而得到系统的能级结构和能级随参数变化的行为。
2.3 变分推导量子力学中的变分推导通常根据变分原理和对应的哈密顿量进行。
将波函数代入哈密顿量的本征值方程，并进行合理的变分运算，我们可以得到近似的本征值和本征函数。
通过适当的选择变分函数和参数，可以得到更高精度的近似解。
三、具体实例：一维谐振子以一维谐振子为例，介绍变分原理在量子力学中的应用。
一维谐振子的哈密顿量为H = (p^2)/2m + (1/2)mω^2x^2，其中p为动量，m为质量，ω为谐振子的频率，x为位置。
§9 变分原理9.1 弹性变形体的功能原理学习要点：本节讨论弹性体的功能原理。
能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。
而功能关系是能量原理的基础。
首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．态，二者彼此独立而且无任何关系。
．．．．．．．．．．．．．．．．建立弹性体的功能关系。
功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。
9.1.1 静力可能的应力：假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。
表面积为S 可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为Su；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ。
显然S=S u+Sσ假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程在面力已知的边界Sσ，满足面力边界条件这一组应力分量称为静力可能的应力。
静力可能的应力未必是真实的应力，．．．．．．．．．．．．．．．．因为真实的应力还．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．必须满足应力表达的变形协调方程．．．．．．．．．．．．．．．，但是真实的应力分量必然是静力可能的应力。
．．．．．．．．．为了区别于真实的应力分量，我们用表示静力可能的应力分量。
9.1.2 几何可能的位移：假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij，它们在弹性体内部满足几何方程在位移已知的边界S u上，满足位移边界条件这一组位移称为几何可能的位移。
几何可能的位移未必是真实的位移，因为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程．．．．．．．．．．；在面力已知的边界．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
但是，真实的位移必然是．．．S．σ．上，必须满足以位移表示的面力边界条件几何可能的。
变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。
泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。
【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。
泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。
要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。
步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。
变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。
步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。
变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。
步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。
然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。
这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。
步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。
这个最优解是使得泛函取得极值的函数。
【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。
【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。
此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。
【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。
它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。
变分原理变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律，或称最小作用原理。
例如：实际上光的传播遵循最小能量原理：在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
一、举一个例子（泛函）变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论。
在理论上和实践上均需要放宽解的条件。
因此，引入弱解以及边值问题的弱的形式即变分形式。
在讨论二阶椭圆边值问题时的Lax-Milgram 定理。
Poisson 方程的Neumann 问题设Ω是单连通域，考察Poisson 方程的Neumann 问题(N) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∆-Γ,g n u f u u ，在Ω内，，使得求函数这里)(),(2/12Γ∈Ω∈-H g L f ，且满足01,=+ΓΩ⎰g f d x其中的对偶积表示)()(,2/12/1Γ⨯Γ∙∙-ΓH H .问题（N ）的解，虽然是不唯一的，但是，若把问题（N ）局限于商空间)(V 1Ω=H 内求解，且赋予商范数ΩΩ∈Ω=,1)(/)(11i n f ˆv vH v RH ,V v ∈ˆ 可以得到唯一解。
实际上，由定理5.8推出RH v/)(1ˆΩ等价于半范Ω→,1ˆv v. 定义双线性泛函R V V →⨯:V v u v v u u v u v u B ∈∈∈∀∇∇=ˆ,ˆ,ˆ,ˆ),,()ˆ,ˆ（ 和线性泛函V v vv u g fdx vl ∈∈∀+→ΓΩ⎰ˆ,ˆ,,ˆ:. 其右端与v v ˆ∈无关。
因此v ˆ中的元素仅仅相差一个任意常数，同时，可以判定'V l ∈，实际上,,2/1,2/1,0,0)ˆ(ΓΓ-ΩΩ+≤v gvf vl利用范数)(2/1ΓH 定义，有vv v gf v l ˆ,)()ˆ(,1,2/1,0∈∀+≤ΓΓ-Ω， 从而 Γ-Ω+≤,2/1,0'gflV由范数等价性定理，可得V Vvu c v u v uB ˆˆ)ˆ,ˆ(,1,1≤≤ΩΩ 22,1ˆ)ˆ,ˆ(V u u u uB γ≥=Ω 也就是，双线性形式)ˆ,ˆ(v uB 在R H V /)(1Ω=上是对称、连续和强制的。
变分原理表达式以及每一项意义结构化学摘要：1.变分原理简介2.变分原理表达式3.各项意义结构化学解释4.变分原理在实际应用中的优势5.总结正文：【1】变分原理简介变分原理，作为量子力学、量子场论以及量子引力等领域的基础理论，是一种描述物理系统演化的数学方法。
它通过寻找一个函数，使该函数关于物理量的期望值达到极小，从而得到系统在给定条件下的最优性质。
【2】变分原理表达式变分原理的表达式一般形式为：δS = 0其中，S 是作用量，δ 表示微小变化，这个方程表明在物理量发生微小变化时，作用量的变化率为零。
【3】各项意义结构化学解释1.波函数：描述量子系统状态的复数值函数，用符号Ψ表示。
在变分原理中，波函数的模方表示系统在给定状态下的概率。
2.哈密顿算符：描述量子系统演化的算符，包含系统能量、动量等物理量。
在变分原理中，我们要找到一个合适的哈密顿算符，使得对应的波函数满足薛定谔方程。
3.拉格朗日算符：描述力学系统演化的算符，包含系统广义坐标和速度。
在变分原理中，拉格朗日算符与哈密顿算符相结合，用于求解系统的运动方程。
【4】变分原理在实际应用中的优势1.普适性：变分原理适用于各种量子力学体系，包括粒子物理、凝聚态物理、光学等领域。
2.准确性：通过寻找使作用量极小的波函数，变分原理可以得到精确的物理结果。
3.灵活性：变分原理可以与其他数学方法相结合，如微扰论、路径积分等，从而拓展其在理论物理中的应用。
【5】总结变分原理作为量子力学的基础理论，在描述物理系统演化的过程中具有重要作用。
通过掌握变分原理的表达式和各项意义结构化学，我们可以更好地理解量子系统的性质，并为实际应用提供理论依据。
变分原理
泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
对于弹性力学问题，根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。
弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数，当然应力或者应变分量是坐标的函数。
因此，应变能就是泛函。
在数学分析中，讨论函数和函数的极值。
变分法讨论泛函的极值，是极值问题的推广。
下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。
如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。
§1 泛函和泛函的极值
首先引入泛函的概念。
泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
因此泛函也称为函数的函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值
作为变分法的简单例题。
考察x，y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y（x）中的最短曲线。
（补充图）
设P1（x1，y1）和P2（x2，y2）为平面上给定的两点，y（x）为连接两点的任意曲线。
于是，这一曲线的长度为
连接P1，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。
满足边界条件的y（x）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式，L [y]依赖于y（x），而y（x）是x的函数，因此称y（x）为自变函数；L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。
求解最短程线问题，即在满足边界条件
在x=x1时，y（x1）=y1，y'（x1）= y'1
在x=x2时，y（x2）=y2，y'（x1）= y'2
的函数y（x）中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。
因此y（x）称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函
在边界条件y(x1)=y1，y(x2)=y2的极小值问题。
§2 泛函极值的必要条件-欧拉方程
假设函数y（x）是使得泛函L [y]为最小的特定函数（真实的）。
变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数引起泛函L [ ]的改变。
设
其中ε 为小参数，而η (x)为边界值为零的任意函数。
当x固定时，容许函数
与y（x）的差 δ y称为泛函自变函数的变分，即
类似地，容许函数的斜率与y（x）斜率的差δ y'，称为泛函自变函数斜率的变分，即
应该注意δ y与函数y（x）的微分d y之间的差别，d y是自变量x的改变量d x 引起的y（x）的无穷小增量。
而变分δ y是y（x）的任意一个微小的改变量。
设泛函增量
按泰勒级数展开，则
设泛函的增量由泛函的变分表示，有
分别定义为泛函的一阶，二阶或k阶变分，分别为 的一次，二次或者k次齐次式。
根据假设，y（x）是使得泛函J[y]为最小的特定函数。
从而泛函增量ΔJ大于零。
注意到当参数ε 减小时，函数趋近于y（x），泛函增量ΔJ趋近于零。
首先讨论泛函J[y]为极值的条件，考虑泛函增量各项相对量阶的大小。
由于一阶变分δ y与小参数ε成正比，而二阶变分δ 2y与小参数ε2 成正比，一般的讲，而k阶变分δk y与小参数εk成正比。
因此，当ε充分小时，二阶以上各项变分与一阶变分δJ 比较，可以忽略不计。
所以，泛函增量ΔJ趋近于零的条件为
Δ J =0
在泛函极值条件确定后，如果分析泛函的极值是最小值还是最大值，需要考虑泛函的二阶变分δ2J。
在泛函极值条件确定后，如果分析泛函的极值是最小值还是最大值，需要考虑泛函的二阶变分。
因为满足极值条件时
由于二阶变分δ 2J与小参数ε 成正比，而k阶变分δ k J与小参数ε k成正比。
因此，当ε充分小时，三阶以上变分与二阶变分δ 2J比较，可以忽略不计。
因此，如果
δ 2J≥0，则 ΔJ＞0，泛函J[y]为极小值的；反之，如果δ 2J≤0，则ΔJ＜0，泛函J[y]为极大值的。
因此可以得出结论，泛函J具有极值的条件是其一阶变分δ J=0，如果二阶变分δ 2J是正定的，则此极值是最小值；如果二阶变分δ 2J是负定的，则此极值是最大值。
上述条件为泛函极值的充分条件。
以下讨论泛函J [y]极值的必要条件。
对于泛函J[y]的一阶变分
由于变分δ y和δ y'不是独立无关的，因此上式第二项积分可以写作
回代则
回代，则
由于函数y（x）在P1，P2 两点的值为已知，δ y在这两点不可能有变化，即在x=x1和x=x2时，δ y=0，所以
由于δ y在区间（x1，2）是x的任意函数，所以上式成立的必要条件为积分函数在区间（x1，x2）内为零。
即y（x）能使得泛函为最大或者最小的必要条件是
上式称为欧拉(Euler)方程。
求解此方程并且利用相应的边界条件，就可以确定y（x）。
欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件，并不是充分条件。
如果要确定泛函J为极大值或者极小值，还需要判断其二阶变分δ 2 J大于还是小于零。
例题III-1 已知泛函
满足边界条件，试求泛函在什么曲线上取极值。
解：欧拉方程为
通解
根据边界条件，可得：C=0，D=1
所以
即泛函在正弦函数曲线上达到极值。
§3 自然边界条件
前面，讨论的泛函极值问题，假设自变函数y（x）在x=x1和x=x2处的值是固定不变的。
下面讨论自变函数y（x）在x=x1和x=x2边界处的值不确定时，泛函的极值问题。
如果自变函数在边界的数值不能确定，则
为了满足极值条件，则欧拉方程仍旧必须满足。
原因是虽然边界和函数边界值都可以改变，但是可以选择的变量函数中，含有边界和函数边界值不变的这一类函数在内。
这就是说容许函数中除了选取与所研究的变量函数具有相同边界之外，也可以选取变边界的函数。
例如泛函
中，坐标x1，x2和函数y（x1），y（x2）的值都是可以改变的，即曲线y（x）的端点位置是可变的。
如果在端点可变的曲线中，y（x）使得泛函取极值，则在端点固定曲线中，y（x）也必然使泛函取极值。
这就是说，对于可变边界问题，首先必须满足边界不变的极值条件。
因此，欧拉方程必须满足。
除此之外，对于边界变化的泛函极值问题，还必须满足条件
否则，泛函不可能取极值。
这种根据极值条件而引入的在变分过程中得到的条件，称为自然边界条件。
§4 泛函变分的基本运算法则
泛函变分法则和微分运算法则基本相同。
设F1，F2均为x，y，y' …的函数，则。
