3向量组与矩阵的秩 - 副本

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13 17 1 0 5 1 3 4 4 4 1 1 1 1 r3 3 r2 r1 3 r2 0 1 0 1 1 r2 4 4 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0
的一个最大线性无关向量组, 简称最大无关组.向量组Ω的
最大无关组所含向量的个数r称为向量组Ω的秩,记作 R
只含零向量的向量组没有最大无关组, 并规定它的秩为0. 2
例1
设向量组 A: 1 = [1, 1, 1]T ,2 =[2,1, 0]T , 3 =[3,2,1]T 求A的一个最大无关组 解 因 1 , 2线性无关 , 3 = 1+ 2 1 , 2为A的一个最大无关组 1 , 3和2 , 3也都是A的最大无关组
如果对矩阵A的转置AT作行初等变换,由定理2.3.3, 行初等变换不改变矩阵AT的行秩与列秩.即对应于A 作列初等变换不改变矩阵A的列秩与行秩 推论2.3.6 矩阵的列初等变换不改变矩阵的行秩与列秩 据 定理2.3.3 和 定理2.3.6 得 定理2.3.4 矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩 定理2.3.5 矩阵的行秩和列秩相等且即为矩阵的秩 14
向量组最大无关组的四个基本问题 存在、唯一、个数、求法 需要进一步讨论两个向量组之间的关系
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二、向量组的等价 定义2.3.2 设有两个n维向量组A与B, 如果向量组A的每个向量可由向量组B线性表出, 则称向量组A可由向量组B线性表出,如果向量组A和 向量组B可以互相线性表出,则称向量组A与向量组 B是等价的,记为 向量组A ≌向量组B 5
向量组A,B,C之间的等价具有下列性质
(1) 自反性 A A (2) 对称性 A B => B A (3) 传递性 A B, B C =>A C

Th 3.7 ( P .132 )
个向量线性相关， → r + 1个向量线性相关，
又因（ ）线性无关， 又因（II）线性无关， （II）是极大无关组。 ）是极大无关组。
由定义 →
显然：向量组（ ）与极大无关组（ ）等价。 显然：向量组（I）与极大无关组（II）等价。
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（二）向量组的秩 定义3.9 定义 极大无关组（ ） 极大无关组（II）中向量个数 r ， 称为向量组 （I）的秩，记为 ： ）
⋯ α1，α 2， ，α s ( A), 极大无关组 α1，α 2， ，α r ( A′) ⋯ 1 ⋯ β 1，β 2， ，β t ( B ), 极大无关组 β 1，β 2， ，β r2 ( B′ ) ⋯
定理3.12 (P.139) 定理 若（A）与（B）等价 ） ）
证 可由(B)表示及例 由(A)可由 表示及例 知 r1 ≤ r2 ， 可由 表示及例2知 又由(B)可由 表示及例 又由 可由(A)表示及例 知 r1 ≥ r2 , 可由 表示及例2知
求极大无关组、秩及用极大无关组表示其余向量的方法 极大无关组、 用极大无关组表示其余向量的方法
α1，α 2， ，α s ⋯
A = (α 1，α 2， ，α s ) ⋯
列向量行变换！ 列向量行变换！ 行变换
列向量
初等行 初等行变换 ( β 1，β 2， ，β s ) ⋯
=B
可证： 可证：P.137 (1) r( α1，α 2， ，α s ) = r ( B ) （已证） ⋯ 已证）
r ( AB ) ≤ r ( A ), r ( AB ) ≤ r ( B ) 即证： 即证： 证 设 A = (α 1 α 2 ⋯α n ), B = (bij ), AB = C = (γ 1 γ 2 ⋯γ s ) b1 j b1 s b11 b2 j b2 s AB = C = (γ 1 γ 2 ⋯γ s ) = (α1 α 2 ⋯α n ) b21 ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ b bnj bns n1

（3） 传递性 若向量组(Ⅰ)与向量组 （Ⅱ）等价，向量组（Ⅱ）也与向量组 (Ⅲ)等价，则向量组（Ⅰ）也与向量组 (Ⅲ)等价。
（4）向量组都与它的任一极大线性 无关组等价；
定理3.3.3 若向量组（Ⅰ）：
1, 2 ,, s
可由向量组（Ⅱ）：
1, 2 ,, t
线性表出,且向量组（Ⅰ）的秩为p ，向量 组（Ⅱ）的秩为q，则 p≤q。
!!!例3.3.6 设A是m×k矩阵,B是k×s矩 阵，则
R(AB) minR(A),R(B)
证 设A的列向量组为A1,A2, …,Ak， 矩阵B=(bij)k×s，矩阵C=AB的列向量组为 C1,C2,…,Cs ,则
C j b1 j A1 b2 j A2 bkj Ak ( j 1,2,, s)
例3.3.2 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它 的一个极大线性无关组及该向量组的秩。
解 由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
全由零向量组成的向量组的秩规定为零。
由向量组秩的定义，一个向量组线性 无关的充要条件是该向量组的秩等于向量 组中所含向量的个数；
Question: 任意一个非零向量组α1,α2, …,αm是否必定 存在一个极大线性无关组？
回答是肯定的。
对于向量组α1,α2, …,αm ，我们可用如 下方法求它的极大线性无关组：
要证s=r。
j1 , j2 ,, jr
由于 i1 , i2 ,, is为极大线性无关组，
所以 j1 , j2 ,, jr可由其线性表出，又 j1 , j2 ,, jr 线性无关，由定理 3.3.2

r +1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)． 结论： 矩阵的秩 = 矩阵中最高阶非零子式的阶数 = 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数
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(一)、向量组等价 1。向量组等价的定义
（Ⅰ）A
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∴ a4 = -3a1+0a2+ a3
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例6．求向量组为 a1=(2, 4, 2) T，a 2=(1, 1, 0) T，a 3=(2, 3,1 ) T， a 4=(3, 5, 2) T的秩及它的一个极大线性无关组，并把其余向量 用此极大线性无关组线性表示 解： （1）∵A=（a1，a2，a3 ，a4） 2 1 2 3 2 1 2 3 初等行 = 4 1 3 5 0 1 1 1 =B 0 0 0 0 2 0 1 2 变换 ∴向量组a1，a 2，a 3 ， a 4的秩为2
一系列初 矩阵B， （1）可以证明：如矩阵A 等行变换 则A的列向量组与B的列向量组有相同的线性关系 结论： ①矩阵的初等行变换不改变其列向量间的线性关系 ②矩阵的初等列变换不改变其行向量间的线性关系 （2）阶梯形矩阵B的列向量组的一个极大线性无关组是 其非0行首元对应的列向量构成的向量组
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最大无关组的意义
结论：向量组 A 和它自己的最大无关组 A0 是等价 的．

用 A0 来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向 量组的全体． 特别，当向量组 A 为无限向量组，就能用有限向 量组来代表．