三角函数求值运算须注意题设隐含条件
孙汉中
【期刊名称】《中学生理科月刊（高中版）》
【年(卷),期】2004(000)005
【摘要】三角函数求值运算中，题设条件及解题过程中往往隐含了角的范围，解题者如不注意就会导致错解．下面拟通过对几道题错解的剖析予以说明．
【总页数】2页(P38,36)
【作者】孙汉中
【作者单位】湖北省黄石市下陆中学,435004
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.三角函数求值问题的简化运算例析 [J], 黄邦活
2.例析三角函数求值化简运算的快捷方法 [J], 赵凯
3.三角函数中一类求值问题的解法--由一道错题谈如何挖掘隐含条件 [J], 刘炜
4.三角求值时应注意隐含条件的挖掘 [J], 费新慧
5.基于数学运算素养培养的三角函数教学——以“三角函数的条件求值”为例 [J], 蔡敬发;汪秀琴
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解三角问题应注意隐含条件对角范围的制约翁龙宇解某些三角问题时，如果只凭明显的几个条件去确定有关角的范围，就很容易造成解题的错误，究其原因，忽视了题设中的隐含条件对这些角范围的进一步制约。
本文通过典型例子的剖析，帮助同学们增强挖掘隐含条件的意识，提高应变与解题能力。
一、注意三角函数值中的隐含条件三角求值或求角的大小时，不仅要注意有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值把角的范围缩小到尽可能小的范围内，不然容易出错。
例1. 已知α，β为锐角，()cos sin ααβ=+=175314，，求β。
错解：由α，β为锐角，知0<+<αβπ，所以()cos αβ+=±1114又()[]()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++=7198或cos β=12得β=arccos7198或βπ=3剖析：在上面的解法中，未能就题设条件进一步缩小αβ+的范围，引起增解。
我们可以作如下进一步分析：因为()sin αβ+=<531432，且0<+<αβπ所以03<+<αβπ或23παβπ<+<又cos α=<1712，得παπ32<<从而有23παβπ<+<于是()cos αβ+=-1114，故cos β=12，即βπ=3例2. 已知-<<-<<παππβπ2222，，且t a n t a n αβ，是方程x x 23340++=的两个实根。
求αβ+。
错解：由韦达定理得：tan tan tan tan αβαβ+=-=334，· 所以()tan tan tan tan tan αβαβαβ+=+-=13·又αβππ，，∈-⎛⎝⎫⎭⎪22，知-<+<παβπ 故αβπ+=3或αβπ+=-23剖析：事实上tan tan αβ+=-<330，tan tan αβ·=>40，可以推出tan α<0，tan β<0，从而有αβπ，，∈-⎛⎝ ⎫⎭⎪20，故αβ+的范围可缩小为-<+<παβ0，所以αβπ+=-23。
解三角形的隐藏条件全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三角形是几何学中非常重要的一个概念，解三角形题目在学生学习过程中经常出现，掌握解题技巧是非常关键的。
在解三角形题目中，除了表面上给出的三个角或三边之外，还存在一些隐藏条件，这些隐藏条件可能会对我们的解题过程造成一定的影响。
下面我们就来详细介绍一下解三角形的隐藏条件。
我们需要知道的是在解三角形时，我们通常只需要知道三个条件，可以是三个角、两个角一边或者三个边，通过这些条件我们就可以确定三角形的形状和大小。
但是在实际解题中，常常会出现一些隐藏的条件，这些隐藏的条件可能来源于题目的背景或者题目设计者的用意。
一、隐藏的辅助线在解三角形的过程中，我们有时会受到一些限制，难以直接利用给定的条件解题。
这时候我们可以考虑引入一些辅助线，通过引入辅助线，可以使得原问题更容易解决。
在辅助线的引入过程中，我们需要注意保持几何图形的对称性或相似性，使得问题更具有可解性。
二、隐藏的三角形关系在解三角形问题中，有时我们会看到一些看似独立的三角形，但事实上它们之间存在一定的关系。
这种关系可以是相似三角形、共顶点三角形或者共边相等的三角形等。
如果我们能够发现这些三角形之间的关系，就可以通过这种关系来推导出原问题的解。
三、隐藏的垂直关系在解三角形问题中，垂直关系也是一个常见的隐藏条件。
在几何图形中，垂直关系往往能够帮助我们确定角度或边长的大小，从而解决问题。
当我们在解题的过程中感觉困难时，可以尝试考虑是否存在垂直关系，通过垂直关系来推导出问题的解。
通过上面的介绍，我们可以看到解三角形题目中隐藏的条件是多种多样的，有时候我们需要通过观察和思考才能够发现这些隐藏的条件。
在解题的过程中，我们需要灵活运用几何知识，勇于尝试引入辅助线、三角形关系、垂直关系和平行关系来解决问题。
只有不断积累经验，提升解题能力，才能更好地应对各种类型的三角形问题。
希望通过本文的介绍，能够帮助大家更好地掌握解三角形题目中的隐藏条件，提高解题的效率和准确性。
