高中数学学案：三角函数的最值问题

数学三角板块 第4课 三角函数的最值已知f (x )=4m sin x -cos2x (x ∈R ).若f (x )的最大值为3，求实数m 的值.分析 将sin x 整体代换成变量t ，通过学习过的正弦函数的值域赋予变量t 的取值范围，再运用二次函数的理论求得满足题意的结果.解f (x )=4m sin x -cos2x =2sin 2x +4m sin x -1=2(sin x +m )2-(2m 2+1),令t =sin x ,则f (x )可化为g (t )=2(t +m )2-(2m 2+1)(-1≤t ≤1).①当-m ≤0时，则在t =1处,f (x )max =1+4m , 由⎩⎨⎧≤-=+0341m m 得m =21;②当-m >0时，则在t =-1处，f (x )max =1-4m ,由⎩⎨⎧>-=-0341m m ;综上，m =±21.点评 本题主要考查三角函数的值域问题和二次函数的值域问题. 一、选择题(9×3′＝27′)1．函数y =2sin x sin2x 的最大值是 ( ) A .398 B.2764C.932D.2 2．若函数y =1-2cos x -2sin 2x 的值域为［a ,b ］，则b 2+4a 的值为 ( )A.1B.2C.3D.43．函数y =(sin 2x +csc 2x )+(cos 2x +sec 2x )的最小值是 ( ) A.4 B.3 C.5 D.不存在4．函数y =cos2x +3sin x 的最小值与最大值分别是 ( )A.-4,4B.817,4 C.-4, 817 D-817,817 5．函数y =log 2(1+sin x )+log 2(1-sin x )，当x ∈［-6π,4π］时的值域为 ( )A.［-1,0］B.(-1,]0C.［0,1］D.［0,1］6．函数f (x )=sin(2π-x )·sin(2π+2x )·cos(25π+x )的最大值和最小值分别为 ( )A.41,-41 B 21,-21C.1,-1D.1,0 7．函数y =x 21x -,x ∈［-1,1］的最大值、最小值分别是 ( )A .1，0 B.1,-1 C.21，-21 D 21，0 8．函数y =x2sin 3+sin 2x (x ≠k π,k ∈Z )的值域是 ( ) A.［23,+)∞ B.(1,2]3 C.(0,]4 D.［4,+∞］9．当0<x <4π时，函数f (x )=xx x x22sin sin cos cos -的最小值是 ( )A.41 B.21C.2D.4 二、填空题(4×3′＝12′)10．y =sin(x -6π)cos x 的最大值是 ，最小值是 . 11．函数y =2sin(kx -12π)的周期为T ,且T ∈(1,3)，则正整数k 的最大值是 . 12．函数f (x )=2sin 1sin 3+-x x 的最大值和最小值分别为 和 .13．已知函数y =a cos x +b 的最大值为1，最小值为-7,则a cos x +b sin x 的最大值是 . 三、解答题(7′＋3×8′＋10′＝41′)14．求函数f (x )=xxx x x 2sin 2cos sin cos sin 2244-++的最小正周期，最大值和最小值.15．求下列函数的最值：(1)y =2sec 2x +cot 4x .(2)y =(1+cos x )·sin2x(0<x <π). 16．求函数y =sin x ·cos x +a (sin x +cos x )的最值.17．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且cos A =31. (1)求sin 22CB ++cos2A 的值;(2)若a =3,求bc 的最大值.18．欲修建一横断面为等腰梯形(如图1)的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S ，渠深h ， 则水渠壁的倾角α(0<α<90)应为多大时，方能使修建成本最低? 四、思考与讨论 (2×10′＝20′) 19．求函数y =x 2sin 41-+|sin x |的值域. 20．记x 的函数y =1-2a -2a cos x -2sin 2x 的最小值为f (a ),试用a 表示f (a ).图1数学参考答案1．A y =4sin 2x cos x =2.3983cos 2sin sin 22cos 2sin sin 23222222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≤∙∙∙x x x x x x 2．C y =cos2x -2cos x =2cos 2x -2cos x -1=2(cos x -21)2-23. 当cos x =21时,y min =-23=a ;当cos x =-1时,y max =3=b .∴b 2+4a =9+4×(-23)=3. 3．C y =1+csc 2x +sec 2x =3+cot 2x +tan 2x ≥3+2=5. 4．C y =1-2sin 2x +3sin x =-2(sin x -43)2+817.sin x =43时，y max =817;sin x =-1时，y min =-4. 5．A y =log 2(1-sin 2x )=log 2cos 2x .x ∈［-6π,4π］时，cos x ∈［22,1］，cos 2x ∈［21,1］∴y ∈［-1,0］.6．A ∵f (x )=cos2x ·cos x ·(-sin x )=-41sin4x ,∴最大值和最小值分别为41.-41. 7．C 设x =sin α,α∈［-2π,2π］,则y =sin αcos α=21sin2α，2α∈［-π,π］，∴-21≤y ≤21.8．D 设t =sin 2x ,t ∈(0,1)，y =t +t3在(0,1］上为减函数，∴y ≥1+13=4.9．D ∵0<x <4π,∴cos 2x ≠0,∴f (x )=41)21(tan 1tan tan 122+--=-x xx ,∴f (x )min =4,此时，tan x =21. 10．41;-43 y =21［sin(2x -6π)-sin 6π］=21sin(2x-6π)-41.y max =21-41=41,y min =-21-41=-43. 11．6 由题意1<32,1231,3||2π<π<∴<πk k <k <2π,∴k 的最大值为6. 12．32;-4 由y =2sin 732sin 1sin 3+-=⇒+-x y x x ,sin x =1时，y max =32;sin x =-1时，y min =-4. 13．5 .34||7||1||⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+-=+b a b a b a a cos x +b sin x =22b a +sin(x +φ)≤22b a +=5. 14．分析 将f (x )化简成y =A sin(ωx +φ)+k 形式，再由周期公式T =||2ωπ，及三角函数性质求最值.解 f (x ) =)cos sin 1(2cos sin 1cos sin 22cos sin )cos (sin 2222222x x x x x x x x x x --=--+=21(1+sin x cos x )=41sin2x +21.所以函数f (x )的最小正周期是π,最大值是43,最小值是41. 点评 本题是一道基础题，难度系数不大，主要考查三角公式的简单变形，化简以及三角函数的周期性和最值性.15．解 (1)y =2(1+tan 2x )+cot 4x =2+tan 2x +tan 2x +cot 4x ≥2+3422cot tan tan x x x ∙∙=2+3=5，当且仅当x =n π±4π时等号成立(n ∈Z ),∴y min =5,无最大值. (2)∵0<x <π,∴sin 2x >0,y 2=4cos 42x ·sin 22x=2cos 22x ·cos 22x ·2sin 22x≤2271632sin 22cos 2cos 3222=++xx x ， 当且仅当tan2x =22时等号成立，∴y ≤394，即y max =394,无最小值. 16．解 设sin x +cos x =t ,则sin x ·cos x =21(t 2-1),t =sin x +cos x =2sin(x +4π)∈［-2,2］,y =21(t 2-1)+at =21t 2+at -21=21(t +a )2-21a 2-21(t ∈［-2,2］) (1)若-a <-2,即a >2时 当t =-2时,y min =-2a +21;当t =2时,y max =2a +21; (2)若-2≤-a ≤0即0≤a ≤2时 当t =-a 时,y min =-21a 2-21;当t =2时,y max =2a +21; (3)若0<-a ≤2,即-2≤a <0时 当t =-a 时,y min =-21a 2-21;当t =-2时y max =-2a +21; (4)若-a >2,即a <-2时 当t =2时,y min =2a +21;当t =-2时,y max =-2a +21. 点评 一个看似简单的题目，讨论却很繁琐，本题将三角函数与二次函数结合，是三角函数中经常命题的一种方式，值得注意.17．分析 （1）分别用降幂公式、二倍角公式，化简所求式子再求值.(2)三角形中出现bc 联想用余弦定理解题.数学解 （1）sin 22C B ++cos2A =21［1-cos(B +C )］+(2cos 2A -1) =21(1+cos A )+(2cos 2A -1)=21(1+31)+ (92-1)=-91. (2)∵bc a c b 2222-+=cos A =31,∴32bc =b 2+c 2-a 2≥2bc -a 2.∴bc ≤43a 2,又∵a =3,∴(bc )max =49.当且仅当b =c =23时，bc =49,故bc 的最大值是49.点评 本题通过以三角函数为载体，考查了三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理等知识，更以三角函数为载体考查了均值不等式，以及考查了学生的运算能力. 18．解 作BE ⊥DC 于E (图略)，在Rt △BEC 中，BC =αsin h,CE =h cot α，又AB -CD =2CE =2h cot α,AB +CD =h S 2,故CD =hS-h cot α. 设y =AD +DC +BC ,则y =αα-+=α+α-sin )cos 2(sin 2cot h h S h h h S (0°<α<90°)， 由于S 与h 是常量，欲使y 最小，只需u=αα-sin cos 2取最小值，u 可看作(0，2)与(-sinα,cos α)两点连线的斜率，由于α∈(0°,90°),点(-sin α,cos α)在曲线x 2+y 2=1(-1<x <0,0<y <1)上运动，当过(0，2)的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为(-23，21)，则有sin α=23,且cos α=21，那么α=60°，故当α=60°时，修建成本最低. 19．解 设t =|sin x |，则有t ∈［0,21］，故y =241t -+t . 由于t ∈［0, 21］,令t =21sin θ,θ∈［0, 2π］,∴y =θ-2sin 4141+21sin θ=22sin(θ+4π). ∵θ∈［0, 2π］，θ+4π∈［4π,43π］，∴sin(θ+4π)∈［22,1］． ∴22sin(θ+4π)∈[21,22].∴原函数的值域为［21，22］．20．解 y =1-2a -2a cos x -2sin 2x =1-2a -2a cos x -2(1-cos 2x )=2(cos x -2a )2-22a -2a -1∴f (a )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧----1411222a a a（-2≤a ≤2） （a >2）（a <-2）。

课题：三角函数的最值教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题． 教学重点：求三角函数的最值．（一） 主要知识： 求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：①sin y a x b =+，设s i n t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之； ②sin cos y a x b x c =++，引入辅助角(cos ,sin )ϕϕϕ==，化为)y x c ϕ=++求解方法同类型①；③2sin sin y a x b x c =++，设s i n t x =，化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；④sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+，设s i nc o t x x =±化为二次函数2(1)2a t y bt c -=++±在闭区间[t ∈上的最值求之；⑤tan cot y a x b x =+，设tan t x =化为2at by t+=用∆法求值；当0ab >时，还可用平均值定理求最值； ⑥sin sin a x by c x d+=+根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”．（二）主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法；⑥导数法 （三）典例分析：问题1． 求函数的最大值和最小值：()1sin cos()6y x x π=+-； ()2(sin 2)(cos 2)y x x =--问题2．求下列各函数的最值：()1求函数213sin y θθ=+(0,)x π∈的最大值；()22sin sin y x x=+(0,)x π∈的最小值．()32cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．问题3．()1（95全国文）函数cos cos 3y x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值是()2()()()3sin 105sin 70f x x x =+︒++︒的最大值是 .A 5.5 .B 6.5.C 7.D 8()3 ( 05全国Ⅰ文) 当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x++=的最小值为.A 2 .B .C 4 .D（四）课后作业：1.2cos y x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最大值时，x 的值是 .A 0.B 6π.C 3π.D 2π2.函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值3.已知sin sin αβ+=，则cos cos y αβ=+的最大值是4.当函数213sin cos 22y x a x a =+--的最大值为1时,求a 的值.（五）走向高考：5. (04全国)函数()1cos cos 22f x x x =-的最大值是6.已知1sin sin ,3x y +=求2sin cos y x -的最大值.7.（07全国Ⅱ）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =设内角B x =，周长为y ． ()1求函数()y f x =的解析式和定义域；()2求y 的最大值．8.(06重庆)设函数2()cos sin cos f x x x x aωωω=++ (其中0ω>,a R ∈),且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为6x.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ上的最小值为3，求a 的值.9.（07湖北文）已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（Ⅰ）求()f x 的最大值和最小值；（Ⅱ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．。

专题 三角形中的最值与取值范围
要领·目标
（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
（2）体会函数、化归、数形结合思想在解题中的应用；
（3）掌握三角函数最值或取值范围的常见题型；
（4）掌握二元最值或取值范围的常见题型．
感悟·合作
题型一 与角有关的最值或范围问题
例1 设锐角三角形ABC 的内角为A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A ． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos A ＋sin C 的取值范围．
练习 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．
（Ⅰ）证明：B －A ＝ 2
；（Ⅱ）求sin A ＋sin C 的取值范围． 例2 设△ABC 的内角为A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝ 3 5
c ． （Ⅰ）求tan A tan B
的值； （Ⅱ）求tan(A －B )的最大值． 总结：
题型二与边有关的最值或范围问题
例3已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，且a＝2，则△ABC面积的最大值为________．
变式1 求△ABC周长的最大值．
变式2 求2b＋c的最大值．
总结：
课后思考题在△ABC中，AC＝BC，中线BD＝3，则S△ABC的最大值为________．。

十一种类型的三角函数最值问题1.利用三角函数的有界性求最值利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx ∣≤1,∣cosx ∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A ≠0, φ≠0)的函数最值.例:已知函数y=12 cos 2x+32 sinxcosx+1,x ∈R,当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.2.反函数法 例:求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c bx a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解。

3.配方法—---转化为二次函数求最值例：求函数y=f(x)=cos 22x-3cos2x+1的最值.4.引入辅助角法y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。

Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。

例：已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。

[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。

5. 利用数形结合 例： 求函数y xx=+s in c o s 2的最值。

解：6、换元法例：若0<x<2π，求函数y=(1+1sinx )(1+1cosx )的最小值.7. 利用函数在区间内的单调性8. 例： 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。

[分析] 此题为xax sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。

三角函数的最值问题三角函数的最值问题是本学期高一的一个重要的专题，本文可作为课外辅导材料，也可作为三角函数的一个专题复习内容。

三角函数的最值问题的训练可提高学生灵活运用三角公式、三角函数图象性质的能力。

求三角函数的最值要注意其特殊性（正、余弦的有界性），同时也要注意运用求一般函数最值的通法（如运用函数的单调性，配方法等）。

求三角函数的最值往往先通过适当的三角变换或代数换元化归为基本类型的三角函数或代数函数。

常见的三角函数最值的基本类型有： （1）y=asinx+b （或y=acosx+b ）型，利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。

（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。

Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。

（3）y=asin 2x+bsinx+c （或y=acos 2x+bcosx+c ），型，可令t=sinx （t=cosx ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。

（4）Y=d x c b x a ++sin sin （或y=dx bx a ++cos cos ）型，解出sinx （或cosx ）,利用()1c o s 1sin ≤≤x x 或去解；或用分离常数的方法去解决。

（5）y=d x c b x a ++cos sin （y=dx c bx a ++sin cos ）型，可化归为sin （x+ϕ）g （y ）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c 时，还可利用数形结合的方法去处理上。

（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2≤t ,将sinxcosx 转化为t 的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。

题目 第四章三角函数三角函数的最值及综合应用高考要求1掌握求三角函数最值的常用方法：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等2三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响 知识点归纳1y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法：常转化为y =22a b +sin （x +ϕ）2y =a sin 2x +b sin x +c 型常通过换元法转化为y =at 2+bt +c 型： 3y =dx c b x a ++cos sin 型（1）当x R ∈时，将分母与y 乘转化变形为sin （x +ϕ）＝()f y 型 （2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R 时，必须这样作） 4．同角的正弦余弦的和差与积的转换：同一问题中出现s i n c o s ,s i n c o s ,s i n c o sx x x x x x +-∙，求它们的范围，一般是令sincos x x t+=或21sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒∙=或21sin cos 2t x x -∙=-，转化为关于t 的二次函数来解决5．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：如已知tan 2x =，求22sin 2sin cos cos 4x x x x +⋅++的不包括常数项的式子的分母1用22sin cos x x +代换，然后分子分母同时除以2cos x 化为关于tan x 的表达式6．几个重要的三角变换：sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；1±sin α 可化为⎪⎭⎫⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式； 或21sin sin cos 22ααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭()ϕααα++=+sincos sin 22b ab a （其中 ab =ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握．7 单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x 、y = cos x 、y = tan x 、y = cot x 的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的．8 三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图． 9三角函数的奇偶性① 函数y = sin (x ＋φ)是奇函数πϕk =⇔()Z ∈k ．② 函数y = sin (x ＋φ)是偶函数()Z ∈+=⇔k k 2ππϕ． ③ 函数y =cos (x ＋φ)是奇函数()Z ∈+=⇔k k 2ππϕ．④ 函数y = cos (x ＋φ)是偶函数()Z ∈=⇔k k πϕ． 10正切函数的单调性正切函数f (x ) = tan x ，2ππ+≠k x ()Z ∈k ，在每一个区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，()Z ∈k 上都是增函数，但不能说f (x) = tan x在其定义域上是增函数．注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为2tan θ的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁．题型讲解例1 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值分析：函数y =a cos x +b 的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论解：当a ＞0时，⇒⎩⎨⎧=+-=+71b a b a a =4，b =－3；这时 b sin x +a cos x =－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）≤5（tan ϕ=－34）；当a =0时，不合题意； 当a ＜0时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a a =－4，b =－3这时b sin x +a cos x =－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）≤5（tan ϕ=34）综上述，当a =4，b =－3或a =－4，b =－3时，b sin x +a cos x 的最大值为5例2 求函数y =cot2x sin x +cot x sin2x 的最值分析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题解：y =xx sin cos 1+·sin x +xx sin cos ·2sin x cos x =2（cos x +41）2+87∵sin x ≠0，∴cos x ≠±1∴当cos x =－41时，y 有最小值87，无最大值点评：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件例3 求函数y =xx cos 2sin 2--的最大值和最小值分析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）解法一：去分母，原式化为 sin x －y cos x =2－2y ， 即sin （x －ϕ）=2122yy+-故21|22|yy +-≤1，解得374-≤y ≤374+∴y max =374+，y min =374-解法二：令x 1=cos x ，y 1=sin x ，有x 12+y 12=1它表示单位圆，则所给函数y 就是经过定点P （2，2）以及该圆上的动点M （cos x ，sin x ）的直线PM 的斜率k ，故只需求此直线的斜率k 的最值即可由21|22|kk +-=1，得k =374±∴y max =374+，y min =374-评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此要有足够的重视例4 已知函数12)6(,8)0(,cos 2cos sin 2)(2==+=πf f x b x x a x f 且（１）求实数,a b 的值；（２）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值（１）函数.2cos 2sin )(b x b x a x f ++=解：(0)8,()12,6f f π==（1）由可得33(0)28,()12,6224,4 3.(2)()43sin 24cos 248sin(2)4,6f b f a b b a f x x x x ππ===+====++=++所以22,,626x k x k k Z πππππ+=+=+∈故当即时，函数f (x )的最大值为12点评 结论()22sin cos sin a b a b θθθϕ+=++是历年高考命题的热点之一．1-1M(cosx,sinx)P(2,2)o y x例5 已知函数()b a x x a x a x f ++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为 [ －5，1 ]，求常数,a b 的值．解：∵ ()b a x a x a x f ++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π ．∵ 20π≤≤x ，∴ 32323πππ≤-≤-x ，∴ 1 32cos 21≤⎪⎭⎫⎝⎛-≤-πx ．当a > 0时，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b ， ∴ ⎩⎨⎧-==+.513b b a ， 解得 ⎩⎨⎧-==.52b a ，当a < 0时，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ． ∴ ⎩⎨⎧=-=+.153b b a ， 解得 ⎩⎨⎧=-=.12b a ， 故a 、b 的值为 ⎩⎨⎧-==52b a 或 ⎩⎨⎧=-=12b a点评：三角函数作为函数，其定义域和值域也是它的要素，要待定表达式中的常数值，需注意常数变化对值域的影响．例6设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12(=πf ，（1）求ω、a 、b 的值；（2）若,αβ是方程()0f x =的两根，,αβ的终边不共线，求tan()αβ+的值解：(1) )x sin(b a )x (f 22ϕ+ω+=， π=∴T ， 2=ω∴，又 )x (f 的最大值()412f π=，22b a 4+=∴ ① ， 且 122cosb 122sina 4π+π= ②，由 ①、②解出 2,23a b ==(2)∵ )3x 2sin(4x 2cos 32x 2sin 2)x (f π+=+=， ()()0f f αβ==，)32sin(4)32sin(4π+β=π+α∴，32k 232π+β+π=π+α∴， 或 )32(k 232π+β-π+π=π+α，即 β+π=αk (βα、 共线，故舍去) ， 或 6k π+π=β+α，33)6k tan()tan(=π+π=β+α∴ )Z k (∈点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性例7 已知函数)(1cos sin 23cos 212R x x x x y ∈++=(1)求函数y 的最大值，并求此时x 的值(2)该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：(1)45)62sin(211cos sin 23cos212++=++=πx x x x y ，47max ,,6=∈+=∴y Z k k x 时当ππ；（2）将函数x y sin =的图象依次进行如下变换：① 把函数x y sin =的图象向左平移6π，得到函数)6sin(π+=x y 的图象；② 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)62sin(π+=x y 的图象；③ 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数)62sin(21π+=x y 的图象；④把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数)62sin(21π+=x y +45的图象；综上得函数1cos sin 23cos212++=x x x y 的图象说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx 的齐次式，降幂后最终化成y=22b a +sin (ωx+ϕ)+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx ≠0时，y=xx xx x 222cossincos sin 23cos21+++1=xx2tan1tan 2321+++1化简得 2(y －1)tan 2x －3tanx+2y －3=0∵tanx ∈R ，∴△=3－8(y －1)(2y －3) ≥0,解之得：43≤y ≤47∴y max =47，此时对应自变量x 的值集为{x|x=k π+6π,k ∈Z}例8 已知：定义在]4,(-∞上的减函数)(x f ，使得(sin )f m x -27(12cos )4f m x ≤+-+对一切实数x 均成立，求实数m 的范围解：由题意可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+≥-4sin cos 4721sin 2x m xm x m ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-+-≥+-x m x x m m sin 443sin sin212恒成立对R x ∈，又 23111sin 2sin (sin )4222x x x -+-=---≤-， 3sin 4≥+x ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-32121m m m ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+32121m mm ，∴21-=m ， 或323≤<m点评：利用三角函数的值域来求解变量的取值范围，是较为常见的解题思路，在利用单调性列出不等式时，不能忘记函数的定义域 小结：1求三角函数最值的常用方法有：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等2三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响 3注意题中的隐含条件学生练习1若0＜α＜β＜4π，sin α+cos α=a ，sin β+cos β=b ，则A a ＜b ＜1B a ＞b ＞1C ab ＜1D ab ＞1解析：a =2sin （α+4π），b =2sin （β+4π），0＜α+4π＜β+4π＜2π，∴1＜a ＜b ，ab ＞1答案：D2函数f （x ）=cos 2x +sin x 在区间［－4π，4π］上的最小值是A212- B －221+ C －1D221-解析：f （x ）=1－sin 2x +sin x =－（sin x －21）2+45∴当x =－4π时，y min =221-答案：D3函数y =x －sin x 在［2π，π］上的最大值是 A2π－1 B2π3+1 C2π3－22 D π解析：y =x －sin x 在［2π，π］上是增函数，∴x =π时，y max =π答案：D 4y =xx sin 2sin +的最大值是_________，最小值是_________解析一：y =xx sin 22sin 2+-+=1－xsin 22+当sin x =－1时，得y min =－1， 当sin x =1时，得y max =31解析二：原式⇒sin x =yy -12（∵y ≠1）⇒|yy -12|≤1⇒－1≤y ≤31∴y max =31，y min =－1答案：31， －15y =xx sin cos 2-（0＜x ＜π）的最小值是________解析：y 可视为点A （－sin x ，cos x ），B （0，2）连线的斜率k AB ，而点A 的轨迹⎩⎨⎧='-='，，x y x x cos sin x ∈（0，π）是单位圆在第二、三象限的部分（如右图），易知当A （－23，21）时，y min =k AB =3答案：36函数y =log 2（1+sin x ）+log 2（1－sin x ），当x ∈［－6π，4π］时的值域为A ［－1，0］B （－1，0］C ［0，1）D ［0，1］解析：y =log 2（1－sin 2x ）=log 2cos 2x当x =0时，y max =log 21=0；当x =4π时，y min =－1∴值域为［－1，0］答案：A7当y =2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是A23B －23 C 13D 4解析：y =13sin （ϕ－x ）（其中tan ϕ=32）y 有最大值时，应sin （ϕ－x ）=1⇒ϕ－x =2k π+2π⇒－x =2k π+2π－ϕ∴tan x =－tan （－x ）=－tan （2k π+2π－ϕ）=－cot ϕ=－ϕtan 1=－23答案：B 8函数y =2sin 1sin 3+-x x 的最大值是_______，最小值是_______解析：∵y =2sin 1sin 3+-x x =2sin 72sin 3+-+x x ）（=3－2sin 7+x ，∴当sin x =1时，y max =3－37=32；当sin x =－1时，y min =－4答案：32 －49在△ABC 中，a =sin （A +B ），b =sin A +sin B ，则a 与b 的大小关系为____ 解析：a =sin A cos B +cos A sin B ＜sin A +sin B =b答案：a ＜b1-1M(-sinx,cosx)B(0,2)oyx10已知向量a =（cos θ，sin θ），向量b =（3，－1），则|2a－b |的最大值是_____解析：∵2a－b =（2cos θ－3，2sin θ+1）， ∴|2a－b |=22sin 23cos 2）（）（1++-θθ=）（3πsin88-+θ≤4∴|2a－b |的最大值为4答案：410求y =1+sin x +cos x +sin x cos x 的值域解：设t =sin x +cos x ，则t ∈［－2，2］由（sin x +cos x ）2=t 2⇒sin x cos x =212-t∴y =1+t +212-t=21（t +1）2∴y max =21（2+1）2=2223+，y min =0 ∴值域为［0，2223+］11已知对任意x ，恒有y ≥sin 2x +4sin 2x cos 2x ，求y 的最小值 解：令u =sin 2x +4sin 2x cos 2x ，则u =sin 2x +sin 22x =21（1－cos2x ）+（1－cos 22x ）=－cos 22x －21cos2x +23=－（cos2x +41）2+1625，得u max =1625由y ≥u 知y min =162512．已知3sin 2α+2sin 2β=2sin α, 求cos 2α+cos 2β 的最大值和最小值答案：（注意三角函数值域的限制）0≤sin α≤2/3, ∴ 最大值为2,最小值为14/9 13．求半径为1的球的外切圆锥的全面积的最小值解：利用轴截面，设球心与底角的连线与底边的夹角为α, 则 S=πctg 2θ +π ctg 2αsec2θ =2π/[tg 2θ (1–tg 2θ)]≥8π课前后备注。

第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值学 习 目 标核 心 素 养1.掌握y ＝sin x 和y ＝cos x 的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 2．掌握y ＝sin x 和y ＝cos x 的单调性,并能利用单调性比较大小．(重点)3．会求函数y ＝Asin (ωx＋φ)和y ＝Acos (ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性和最大(小)值等性质,提升学生的数学抽象素养．2．通过三角函数单调性等性质的学习,培养学生的运用数形结合研究问题的思想,提升学生的数学运算素养.正弦、余弦函数的图象与性质 解析式y ＝sin xy ＝cos x图象值域[－1,1][－1,1]单调性在⎣⎢⎡－π2＋2kπ，π2＋2kπ],k ∈Z 上递增,在⎣⎢⎡π2＋2kπ，3π2＋2kπ],k ∈Z 上递减在[－π＋2kπ,2k π],k ∈Z 上递增, 在[2kπ,π＋2kπ],k ∈Z 上递减最值x ＝π2＋2kπ,k ∈Z 时,y max ＝1；x ＝－π2＋2kπ,k ∈Z 时,y min ＝－1x ＝2kπ,k ∈Z 时,y max ＝1；x ＝π＋2kπ,k ∈Z 时,y min ＝－1对称轴 x ＝kπ＋π2(k∈Z)x ＝kπ(k∈Z)对称中心 (kπ,0)k∈Z⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0k ∈Z思考：y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间(m,n)(其中0＜m ＜n ＜2π)上都是减函数,你能确定m 、n 的值吗？ [提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m ＝π2,n ＝π.1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的值域是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．[－1,1]A [这里A ＝2,故值域为[－2,2]．]2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的一个对称中心是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 D ．⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝cos 2x,令2x ＝kπ＋π2(k∈Z)得x ＝kπ2＋π4(k∈Z),令k ＝0的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0,故选B.]3．函数y ＝2－sin x 取得最大值时x 的取值集合为________．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2kπ－π2，k ∈Z [当sin x ＝－1时,y max ＝2－(－1)＝3,此时x ＝2kπ－π2,k ∈Z.]4．函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π8，k π＋5π8(k∈Z) [令2kπ≤2x －π4≤2k π＋π,k ∈Z,得kπ＋π8≤x ≤k π＋5π8(k∈Z),故单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π8，k π＋5π8(k∈Z)．]正弦函数、余弦函数的单调性【例1】 (1)函数y ＝cos x 在区间[－π,a]上为增函数,则a 的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1,求函数f(x)的单调递增区间．思路点拨：(1)确定a 的范围→y＝cos x 在区间[－π,a]上为增函数→y＝cos x 在区间[－π,0]上是增函数,在区间[0,π]上是减函数→a 的范围．(2)确定增区间→令u ＝π4＋2x→y＝2sin u ＋1的单调递增区间．(1)(－π,0] [因为y ＝cos x 在[－π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有－π＜a≤0时满足条件,故a∈(－π,0]．](2)[解] 令u ＝π4＋2x,函数y ＝2sin u ＋1的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ,k ∈Z,由－π2＋2kπ≤π4＋2x≤π2＋2kπ,k ∈Z, 得－3π8＋kπ≤x ≤π8＋kπ,k ∈Z.所以函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋kπ，π8＋kπ,k ∈Z.1．本例(2)中条件不变,问⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4是该函数的单调递增区间吗？[解] 令2x ＋π4＝u,∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4, ∴π4≤2x ＋π4≤3π4,即u∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4. 而y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上不单调,故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上不是单调递增的． 2．本例(2)中条件不变,求在[－π,π]上的单调递增区间． [解] 对于y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1,由2kπ－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k∈Z)得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k∈Z)．∵－π≤x ≤π,令k ＝－1时,－π≤x ≤－78π,令k ＝0时,－3π8≤x ≤π8,令k ＝1时,5π8≤x ≤π,∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1在[－π,π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－78π、⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，π.3．本例(2)中把条件中的“π4＋2x”改为“π4－2x”,结果怎样？ [解] y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＋1＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1,令2kπ＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k∈Z),得kπ＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k∈Z)．故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ＋1的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋3π8，k π＋7π8(k∈Z)．1．求形如y ＝Asin (ωx＋φ)＋b 或形如y ＝Acos (ωx＋φ)＋b(其中A≠0,ω>0,b 为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x 的系数化为正；②在A>0,ω>0时,将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0,ω>0时,同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．1．(1)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________． (2)已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ,则它的单调递减区间为________． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，k π＋2π3(k∈Z) [(1)由π2＋2kπ≤3x ＋π6≤3π2＋2kπ(k∈Z ), 得π9＋2kπ3≤x ≤4π9＋2kπ3(k∈Z)． 又x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3, 所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3.(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,由2kπ≤2x －π3≤2kπ＋π,k ∈Z,得kπ＋π6≤x ≤k π＋2π3,k ∈Z,∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，k π＋2π3(k∈Z)．]利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 思路点拨：用诱导公式化简→利用函数的单调性，由自变量的大小推出对应函数值的大小 [解] (1)∵－π2＜－π10＜－π18＜π2,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°,cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°, ∵0°＜16°＜66°＜90°, ∴sin 16°＜sin 66°, 从而－sin 16°＞－sin 66°, 即sin 196°＞cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0＜π4＜35π＜π,且y ＝cos x 在[0,π]上是减函数,∴cos 35π＜cos π4,即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2内；对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[－π,0]或[0,π]内．(2)不同名的函数化为同名的函数．(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．2．(1)已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是( ) A ．sin α＜sin β B ．cos α＜sin β C ．cos α＜cos β D ．cos α ＞cos β(2)比较下列各组数的大小： ①cos 15π8,cos 14π9；②cos 1,sin 1.(1)B [α,β为锐角三角形的两个内角,α＋β＞π2,α＞π2－β,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以cos α＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β.](2)[解] ①cos 15π8＝cos π8,cos 14π9＝cos 4π9,因为0＜π8＜4π9＜π,而y ＝cos x 在[0,π]上单调递减,所以cos π8＞cos 4π9,即cos 15π8＞cos 14π9.②因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1,而0＜π2－1＜1＜π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＜sin 1,即cos 1＜sin 1.正弦函数、余弦函数的最值问题1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x∈[0,π]上的最小值是多少？提示：因为x∈[0,π],所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4,由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.2．函数y ＝Asin x ＋b,x∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？提示：不是．因为A>0时,最大值为A ＋b,若A<0时,最大值应为－A ＋b. 【例3】 (1)函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为________．(2)已知函数f(x)＝asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b(a ＞0)．当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,f(x)的最大值为3,最小值是－2,求a和b 的值．思路点拨：(1)先用平方关系转化,即cos 2x ＝1－sin 2x,再将sin x 看作整体,转化为二次函数的值域问题．(2)先由x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求2x －π3的取值范围,再求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的取值范围,最后求f(x)min ,f(x)max ,列方程组求解．(1)[－4,0] [y ＝cos 2x ＋2sin x －2 ＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2. 因为－1≤sin x ≤1,所以－4≤y≤0,所以函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为[－4,0]．] (2)[解] ∵0≤x≤π2,∴－π3≤2x －π3≤2π3,∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1,∴f(x)max ＝a ＋b ＝3, f(x)min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.1．求本例(1)中函数取得最小值时x 的取值集合．[解] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2, 所以当sin x ＝－1时,y min ＝－4,此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2kπ－π2，k ∈Z .2．本例(2)中,函数变成f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,求其最大值和最小值,并求取得最大值及最小值时的集合．[解] (1)因为－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1, 所以当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时,y max ＝5；这时2x ＋π3＝2kπ(k∈Z),即x ＝kπ－π6(k∈Z)．当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时,y min ＝1. 这时2x ＋π3＝2kπ＋π(k∈Z),即x ＝kπ＋π3(k∈Z)．综上,f(x)max ＝5,这时x 取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝kπ－π6（k∈Z）；f(x)min ＝1,这时x 取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝kπ＋π3（k∈Z）.3．本例(2)中,函数变成f(x)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,且加上条件x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时,求最大值、最小值． [解] 因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12,所以0≤2x＋π3≤π2,所以0≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1,所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时,y max ＝5； 当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0,y min ＝3. 所以函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12的最大值为5,最小值为3.三角函数最值问题的常见类型及求解方法：(1)y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c(a≠0),利用换元思想设t ＝sin x,转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值,t 的范围需要根据定义域来确定．(2)y ＝Asin (ωx＋φ)＋b,可先由定义域求得ωx＋φ的范围,然后求得sin (ωx＋φ)的范围,最后得最值．1．求函数y ＝Asin (ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)单调区间的方法：把ωx＋φ看成一个整体,由2kπ－π2≤ωx ＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x 的范围,所得区间即为增区间,由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2(k∈Z)解出x 的范围,所得区间即为减区间．若ω＜0,先利用诱导公式把ω转化为正数后,再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较,再利用单调性作出判断．3．三角函数最值问题的求解方法有：(1)形如y ＝asin x(或y ＝acos x)型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对a 正负的讨论． (2)形如y ＝Asin (ωx＋φ)＋b(或y ＝Acos (ωx＋φ)＋b)型,可先由定义域求得ωx＋φ的范围,然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围,最后求得最值．(3)形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c(a≠0)型,可利用换元思想,设t ＝sin x,转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定.1．下列命题正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数B ．存在x∈R 满足sin x ＝ 2C ．在区间[0,2π]上,函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1D ．正弦函数y ＝sin x 有无穷多条对称轴和无数个对称中心D [A 错,y ＝sin x,y ＝cos x 在定义域没有单调增区间也没有减区间；B 错,sin x ≤1；C 错,y ＝cos x (x∈[0,2π])当x ＝0或2π时,函数取得最大值；D 对,根据正弦曲线可以知道正弦曲线有无数条对称轴,写成x ＝kπ＋π2(k∈Z),也有无穷多个对称中心(kπ,0)(k∈Z)．]2．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤5π6的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [因为π4≤x ≤5π6,所以12≤sin x ≤1,即所求的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.]3．sin 2π7________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8(填“＞”或“＜”)． ＞ [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8,因为0＜π8＜2π7＜π2,y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数,所以sin π8＜sin 2π7,即sin 2π7＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8.] 4．求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．[解] 求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间,转化为求函数y ＝sin 2x 的单调递减区间, 由π2＋2kπ≤2x ≤3π2＋2kπ,k ∈Z, 得π4＋kπ≤x ≤3π4＋kπ,k ∈Z,即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z)．。

市级公开课 课题：三角函数的最值问题【教学设计思想】 （一） 学情分析求解三角函数的最值问题是近几年高考常常出现的问题，是三角函数解答题的主要题型。

解决这类问题不仅需要应用三角函数的定义域、值域、单调性、图像以及三角函数的恒等变形，还常常涉及到函数、不等式、方程、解析几何等众多知识。

这类问题概念性较强，具有一定的综合性和灵活性。

前面学生已经掌握了三角函数的图象变换和有关性质,结合所授班级为理科平衡班,学生程度中等,差生面不大,计算能力差是班级学生特点。

因此，正确理解和深入探究三角函数的最值问题对于发展学生的思维，提高学生分析问题和解决问题的能力，提高学生的自身素质，大有裨益。

（二） 教学思路本节课的教学，大致按照“回顾旧知——问题导入——合作学习，问题探究——问题化归——适时反馈归纳，推陈出新——强化应用”环节进行组织．通过对具体的问题案例分析与讨论，引导学生共同探究三角函数最值问题，利用正弦函数和余弦函数的有界性；通过变换，化归为代数的函数最值问题，可用换元法、配方法等。

培养学生解题的综合能力，合作探究精神。

【教学目标】（一）知识与能力: 1、懂的化为一个角的三角函数形式，如sin()y A x k ωϕ=++等，利 用三角函数的有界性求解三角函数的有关最值。

2、用数形结合以及化归的思想、换元法等求三角函数的最值。

3、培养学生类比、归纳、总结、语言表达能力。

（二）过程与方法：提出问题并引导学生共同合作探究。

（三）情感态度价值观: 通过学生参与，培养学生严谨的科学态度、分析和解决问题的能力、数形结合思想以及互助合作精神，激励学生积极探索，勇于创新。

教学重点: 三角函数的有关最值问题教学难点: 三角函数的有关最值问题的方法 课时安排：1课时【教学模式】问题-合作-探究【教学过程】在前段时间的复习中我们研究了三角函数的一些基本知识，如：三角函数的图像和性质、同角三角函数的关系、两角和差的三角函数、倍角公式、积化和差、和差化积公式等。

三角函数的最值问题分类例析三角函数式的最值问题是函数最值的重要组成部分，也是历屉高考的热点之一。

三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次议程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。

因此，三角函数的最值问题的求解，往往要综合应用多方面的知识。

三角函数的最值问题的类型很好，其常见类型有以下几种： 一、y=asinx+b （或y=acosx+b ）型 处理方法：利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。

例1 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值. 剖析：函数y =a cos x +b 的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论.解：当a ＞0时，⇒⎩⎨⎧=+-=+71b a b a a =4，b =－3； 当a =0时，不合题意；当a ＜0时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a a =－4，b =－3. 当a =4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=－34）； 当a =－4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=34）. ∴b sin x +a cos x 的最大值为5.例2．例3已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为[5,1]-，求常数a 、b 的值. 解：∵()b a x a x a x f++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π .∵20π≤≤x ，∴32323πππ≤-≤-x ，∴1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx .当0a >时，()3b f x a b ≤≤+.∴⎩⎨⎧-==+.513b b a ，解得⎩⎨⎧-==.52b a ，当0a <时，3()a b f x b +≤≤.∴⎩⎨⎧=-=+.153b b a ，解得⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值为⎩⎨⎧-==52b a 或⎩⎨⎧=-=12b a感悟：分类讨论是重要的数学思想方法，本例若不对常数a 进行讨论，将会出错。

三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

《与三角函数有关的最值》教学设计执教者 杨进堂一 、学情、考情分析三角函数的最值与值域问题，是历年高考重点考查的知识点之一。

三角函数的最值与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与前面复习过的函数、不等式、联系密切，综合性强，解法灵活，能力要求高，在复习完三角公式后，把三角函数的最值与值域作为专题复习，不仅可以帮助学生灵活运用三角公式，而且可以帮助学生掌握求最值和值域的方法，综合能力得到增强。

二、教学三维目标1．（知识结构）会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域；2．（能力方法）运用转化思想，通过变形、换元、数形结合等方法转化为代数问题求其给定区间内的值域和最值。

3．（情感态度）通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。

体现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。

三、教学重点：求三角函数的最值与值域四、教学难点：求三角函数的最值与值域的方法多样，针对题目，如何在最短的时间内灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域五、教学过程设计1、复习提问：求函数最值与值域有哪些常用的方法？2、自主探究：（1）在下列说法中：（1）函数x y cos 2-=的最大值为3；（2）函数x xy sin sin 4+=最小值是4；（3）函数322+-=x x y 在区间[]4,2的最小值是2；(4) 函数]32,6[,s i n ππ∈=x x y 的值域为]1,21[．正确的是 （ ） A ．（1）（2） B ．（2）（4） C ．（1）（3） D ．（1）（4）（2）函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=2,0cos 23sin 21πx x x y 在区间的最小值为 （3）函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=36,cos 3sin ππ，在区间x x y 的最大值 设计意图：这3道检测题难度不大，但涵盖了三角函数求最值和值域的一些基本方法，通过批改学生的作业，在课前充分了解学生的掌握程度，为课堂上重点解决学生的薄弱点和盲点做好准备。

高中数学：三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数中的基本内容，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用能力要求较高．同求解其他函数最值一样，解决这一类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为我们所熟知的函数（如二次函数）的最值问题．下面通过几道高考题，对三角函数的最值问题作一归纳总结．一、转化为的形式形如的函数可以利用辅助角公式转化成的形式，再利用正、余弦函数的有界性求得最值，不是这种类型的可通过三角恒等变换变形为这种类型．例1、设函数（其中，），且的图象在轴右侧的第一个最高点的横坐标是．（1）求的值；（2）如果在区间上的最小值为，求的值；解：（1）．依题意，得，；（2）由（1）知．又当时，，故，从而在区间上的最小值，故．注意：（1）当自变量有范围限制时，与的范围也要相应地因受限制而缩小．（2）要熟悉下列公式：，，，，等等．另外，把求三角函数最值问题与向量结合起来，即在已知条件中不直接给出三角函数，而是给出几个向量，通过这几个向量的运算构造一个三角函数，再将这个三角函数转化为的类型．例2、已知向量，，．（1）若，求；（2）求的最大值．解：（1）∵，∴，即，．又，则．（2）由，，得，当时，取得最大值，即当时，取得最大值为．二、转化为二次函数的形式这类问题可通过换元法，将三角函数的最值问题转化为二次函数的最值问题：例3、已知的三个内角，求当满足何值时取得最大值，并求出这个最大值．解：．∵，∴，∴令，则，原式可化为．当，即，时，原式取得最大值．求三角函数的最值，除了上面介绍的方法外，还有均值不等式法、单调性法、数形结合法等等．▍▍ ▍▍。