三角函数的最值问题(章节练习)

1三角函数最值问题的几种常见解法一 配方法 例1 函数3sin 3cos 2+--=x x y 的最小值为及y=4cos 5sin 2-+x 的最小值和最大值例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值 二 引入辅助角法 例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。

三 利用三角函数的有界性 例4求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域 函数 y=3cos 4cos 2++x x例5 （2003年高考题）已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值。

四 引入参数法（换元法）例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。

练习 求函数的最值。

五 利用基本不等式法 和利用均值不等式求解的最值 例7（1）函数的最值；（2） 求函数的最值。

（3）求函数xxy 22cos4sin1+=的最值。

六 利用函数在区间内的单调性 例8 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。

七 数形结合 例9 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值。

八 判别式法 例10 求函数xx x x y tan sectan sec 22+-=的最值。

2九 分类讨论法 例 11 设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a).三角函数 最值1设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M+m等于（ ）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2（2003北京春季）2、函数f(x)=2sin 1sin 3+-x x 的最大值是，最小值是3 求函数f(θ)=2cos 1--θθSin 的最大值与最小值是什么？（两种方法解答）4求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域5、(2000年高考)已知：212cos 12siny x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合． ．6、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值．37：已知[]πθ,0∈,f （θ）=sin(cos θ)的最大值为a,最小值为b ，g(θ)=cos(sin θ)的最大值为c,最小值为d,则a,b,c,d 的大小顺序为 。

三角函数的最值问题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020三角函数的最值问题三角函数最值问题散见于不同的章节，或作为问题的背景、或作为单独的数学问题、或作为解题的工具。

今天，我们就求解最值的方法层面展开讨论！一 化为单名函数的形式例1 函数f(x)=x x x x 44sin cos sin 2cos --① 求f(x)得最小正周期;② ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求f(x)的最小值。

解:(1) x x x x x f cos sin 2sin cos )(22--= x x 2sin 2cos -= )222sin 222(cos 2⋅-=x x )42cos(2π+=x ∴ f(x)最小正周期是π=T（2）20π≤≤x ∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+45,422πππx ∴ 442ππ=+x 即0=x 时最大值是1 ππ=+42x 即83π=x 时最小值是－2 注意① 辅助角公式)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a 的应用② 注意三角函数区间最值的正确取舍二 单名函数的复合型例2 31sin sin =+y x ，求x y 2cos sin -的最值解：∵ x y sin 31sin -= ∴ 1sin 311≤-≤-x ∴ 34sin 32≤≤-x ∴ 1211)21(sin cos sin 22--=-=x x y u ∴ 21sin =x u 的最小值为1211- ； 32sin -=x u 的最大值为94 注意：隐含条件不可忽视！三 关系代换x x cos sin ±与x x cos sin例3 求函数xx x x y cos sin 1cos sin ++=的最值 解：令x x t cos sin += 则 x x t cos sin 12+=∴ )1(211212-=+-=t t t y ∴ 22≤≤-t 且 1≠t∴ )12(21)12(21-≤≤+-y 且 1-≠y注意① 代换要等效 ；② 原函数中对代换量的现定！四 限量代换例4 求函数21x x y -+=的值域解：函数的定义域[]1,1-∈x令 θcos =x ， πθ≤≤0 )4sin(2sin cos πθθθ+=+=y ∴ 21≤≤-y注意：限量代换要求对代换量进一步分析并“定性”五 建立关系等式整体带入或转化例5 设A y x =+，求y x sin sin 的最值解：∵ y x y x y x sin sin cos cos )cos(+=- y x y x y x sin sin cos cos )cos(-=+∴ )cos(cos )cos()cos(sin sin 2y x A y x y x y x +-=+--=∴21cos sin sin 21cos +≤≤-A y x A ∴ y x sin sin 最大值为21cos +A ， 最小值为21cos -A 注意：找沟通已知与未知的一个或两个函数！练习：1求)3cos(sin 3π++=x x y 的最值 2 Rt ABC ∆中，090=∠C ，求B A sin sin +的最大值 3 求x x y cos sin +=的最大值与最小值4 求x x a x f 2cos sin 42)(--=的最值5已知A y x =+，求y x cos sin 的最值 6 )2sin(5)(ϕ+=x x f 对任意都有)3()3(x f x f +=-ππ （1）求ϕ的最小值；（2）ϕ取最小值时若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,6ππx ，求f(x) 的最小值。

∴sin－π 12＜sin －π 18， ∴g－π 12＜g－π 18， ∴f－π 18＞f－π 12.
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第一章 三角函数
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[规律方法] 求三角函数值域或最值的常用方法
(1)可化为单一函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的最大值为|A| ＋k，最小值为－|A|＋k(其中 A，ω，k 为常数，A≠0，ω≠0)．
(2)可化为 y＝Asin2x＋Bsin x＋C 或 y＝Acos2x＋Bcos x＋C(A≠0)的最大、最小 值，利用二次函数在区间[－1,1]上的最大、最小值的求法来求．(换元法)
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◎ 变式训练 3.若函数 y＝a－bcos x(b＞0)的最大值为32，最小值为－12，求函数 y＝－4acos bx 的最值和最小正周期.
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解析： (1)∵函数 f(x)＝sin x－1 与 g(x)＝sin x 的单调区间相同， ∴f(x)＝sin x－1 的增区间为 2kπ－π2 ，2kπ＋π2 (k∈Z). 减区间为2kπ＋π2 ，2kπ＋32π(k∈Z).
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第一章 三角函数
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[思想方法] 三角函数相关的恒成立问题 ◎若cos2θ＋2msin θ－2m－2＜0恒成立，求实数m的取值范围. 【分析】 本题主要考查三角函数的性质与一元二次不等式的知识，可将原 不等式化为sin2θ－2msin θ＋2m＋1＞0，令sin θ＝t，由于－1≤sin θ≤1，故－1≤t≤1 ，只要求出使函数f(t)＝t2－2mt＋2m＋1(－1≤t≤1)的最小值大于0的m的取值范围 即可.

[基础巩固]1．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期是( ) A ．πB ．π2C ．2πD ．3π2 解析 由f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 得最小正周期为π.答案 A2．函数f (x )＝sin 4x ＋2sin x cos x －cos 4x 的最小正周期为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π 解析 f (x )＝sin 4x ＋2sin x cos x －cos 4x＝(sin 2x －cos 2x )(sin 2x ＋cos 2x )＋2sin x cos x＝sin 2x －cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π.故选C. 答案 C3．(多选)关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ，下列命题是真命题的是( )A ．函数y ＝f (x )的周期为πB ．直线x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴 C ．点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心D ．函数y ＝f (x )的最大值为2解析 ∵f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， ∵ω＝2，故T ＝2π2＝π，故A 为真命题； 当x ＝π4时，2x －π4＝π4终边不在y 轴上， 故直线x ＝π4不是y ＝f (x )的一条对称轴，故B 为假命题；当x ＝π8时，2x －π4＝0，终边落在x 轴上， 故点⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心，故C 为真命题；函数y ＝f (x )的最大值为2，D 为假命题．故选A 、C.答案 AC4．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析 y ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以其最小正周期为2π2＝π. 答案 π5．已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为____________ .解析 f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数． ∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6. 答案 π66．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值、最小值．解析 (1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.[能力提升]7．(2021·全国乙卷)函数f (x )＝sin x 3＋cos x 3的最小正周期和最大值分别是( ) A ．3π和 2 B ．3π和2C ．6π和 2D ．6π和2解析 ∵f (x )＝sin x 3＋cos x 3＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π4，∴T ＝2π13＝6π.当sin ⎝⎛⎭⎫x3＋π4＝1时，函数f (x )取得最大值 2；∴函数f (x )的周期为 6π，最大值为 2.故选C.答案 C8．如果α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于() A ．425 B ．－425 C.325 D ．－325解析 由已知cos α＝－35，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π4＝2cos α＝－35 2.答案 D9．函数f (x )＝3sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x 的最大值为________．解析 f (x )＝3sin x ＋cos π3cos x －sin π3sin x＝12cos x ＋32sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∴f (x )max ＝1.答案 110．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解析 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin2ωx ＋cos2ωx )＋ 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0，从而有2π2ω＝π，故ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减． [探索创新]11．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的取值范围． 解析 (1)∵角α的终边经过点P (－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α ＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α ＝cos x ，x ∈R ，∴g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， ∵0≤x ≤2π3， ∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1， 故函数g (x )＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的取值范围是[－2,1]．。

三角函数的值域或最值常见的三角函数最值的基本类型有：（1）y=asinx+b （或y=acosx+b ）型，利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。

（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。

Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。

（3）y=asin 2x+bsinx+c （或y=acos 2x+bcosx+c ），型，可令t=sinx （t=cosx ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。

（4）Y=d x c b x a ++sin sin （或y=dx bx a ++cos cos ）型，解出sinx （或cosx ）,利用()1cos 1sin ≤≤x x 或去解；或用分离常数的方法去解决。

（5）y=d x c b x a ++cos sin （y=dx c bx a ++sin cos ）型，可化归为sin （x+ϕ）g （y ）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c 时，还可利用数形结合的方法去处理上。

（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2≤t ,将sinxcosx 转化为t 的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。

一、利用三角函数的有界性．求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为sin()y A x k ωϕ=++的形式．在化简过程中常常用到公式：22sin cos sin(),tan ,ba xb x x aab ϕϕϕ+=++=其中由及点(a,b)的位置确定. 例1 、(2000年高考)已知：2123sin cos 12sin y x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合． 解：∵2123sin cos 12sin y x x x =+⋅+1cos 2315sin 21sin(2)44264x x x π+=++=++，∴当sin(2)16x π+=时，max 157244y=+= ．此时，2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+． 所以y 的最大值为74，此时x 的集合为{|}6x x k k Z ππ=+∈，．例2、求函数1cos 3cos xy x-=+的值域．解： 1cos 3cos x y x -=+⇒(1)cos 2y x +=-⇒2cos 1x y=-+，由|cos |1x ≤得2||11y -≤+， |1|2y +≥即，解得31y y ≤-≥或，所以函数1cos 3cos xy x-=+的值域是3][1-∞-∞ （，，+）二、利用二次函数最值性质求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为2sin sin y x b x c a =++的形式．例3、求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域． 解：278c o s 2s i n y x x =--＝278cos 2(1)cos x x ---＝223,(cos 2)x --∵[,]63x ππ∈-，∴1cos [1]2x ∈，，∴3[1]2y ∈-，．例4、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值． 解：设sin cos x x t +=，[22]t ∈-，，则21sin cos 2x x t -=，所以()y f t =＝211,2(1)t ⋅-+([2,2])t ∈-，当1[22]t =-∈-，时，y 有最小值1-．三、利用均值不等式*利用均值不等式求三角函数时，一定要注意均值不等式中的使用条件：一正、二定、三相等．例6、当0x π<<时，求sin 2cos xy x=+的最大值．解：设2223tan 0,(0),,23233x t t t x y t t π=><<=≤=⋅+则（当且仅当tan 32xt ==时取等号）。

＝

sin
2
2
（sin＋cos）
sin
＝
π
4
）
sin
2
1
（1＋
），
2
tan
π
π
因为 B ∈［ ， ），所以tan
6
4
因为函数 y ＝
sin（＋
B ∈［
3
，1），
3
2
1
3
（1＋ ）在［ ，1）上单调递减，
2

3

所以 的取值范围为（

2，
6＋ 2
］.
2
＝
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2. （2024·湖北三校联考）记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为
π
≤ ）的图象离原点最近的对称轴为 x ＝ x 0，若满足｜ x 0｜≤
2
π
，则称 f （ x ）为“近轴函数”.若函数 y ＝2
6
“近轴函数”，则φ的取值范围是（
）
sin （2 x －φ）是
高中总复习·数学
解析： y ＝2 sin
π
（2 x －φ），令2 x －φ＝ ＋ k π， k ∈Z，∴图象
6
6
π
［0， ］上的值域为[－1，2].故选D.
2
高中总复习·数学
2.
4
3
sin+5
函数 y ＝
的最大值是
2−sin
6 ，最小值是
解析：法一
2−5
sin x ＝
，而－1≤
+1
原函数可化为
.
sin x ≤1，所以
2−5
4
－1≤
≤1，所以 ≤ y ≤6，因此原函数的最大值是6，最小值

第40课 三角函数的最值◇考纲解读①理解正弦函数.余弦函数在区间 [0 ， 2π] 的最大和最小值.②三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间◇知识梳理1.sin y a x b =+ 型：设sin t x =化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]t ∈-上的最值求之； 2.sin cos y a x b x c =++型：引入辅助角(cos sin ϕϕϕ==，化为)y x c ϕ=++；3.2sin sin y a x b x c =++ 型：设sin t x =，化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之； 4. sin sin a x b y c x d+=+型根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”． 5. y =dx c b x a ++cos sin 型（1）当x R ∈时，将分母与y 乘转化变形为sin （x +ϕ）＝()f y 型（2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R 时，必须这样作） 6．同角的正弦余弦的和差与积的转换：同一问题中出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-∙，求它们的范围，一般是令sin cos x x t+=或21sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒∙=或21sin cos 2t x x -∙=-，转化为关于t 的二次函数来解决◇基础训练1.设函数()sin 2(0)f x a x b a =+<，则()f x 的最大值是 .2.函数sin cos 2y x x =++的最小值是 .3.函数2()cos sin f x x x =+在区间[,]44ππ-上的最大值是 ，最小值是 .4.函数sin sin 2x y x =+的最大值是 ，最小值是 .◇典型例题例1. 求函数2sin 2cos x y x-=-的最大值和最小值例2.求sin cos sin cos y x x x x =++的值域◇能力提升1. 函数|sin |2sin y x x =-的值域为（ ）A.[3,1]--B.[－1,3]C.[0, 3]D.[－3, 0] 2.函数sin y x x =-在［2π，π］上的最大值是( )A2π－1 Bπ3+1 Cπ322 D π3.2y sin x(sin x cos x )=+的最大值是 .4.函数3f (x )cos x cos(x )π=++的最小值是 .5.已知函数12)6(,8)0(,cos 2cos sin 2)(2==+=πf f x b x x a x f 且（１）求实数,a b 的值；（２）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值6．(2008华附)如图，四边 形ABCD 是一个边长为100米的正方形地皮，其中A TPS 是一半径为90米的扇形小山，其余部分都是平地，P 是弧TS 上一点，现有一位开发商想在平地上建造一个两边落在BC 与CD 上的长方形停车场PQCR.（Ⅰ）若∠PA T=θ，试写出四边形RPQC 的面积S 关于θ 的函数表达式，并写出定义域； （Ⅱ）试求停车场的面积最大值第40课 三角函数的最值◇基础训练1. b a -2. 2-5412- 4.131-◇典型例题例1. 解法一：去分母，原式化为sin cos 22x y x y -=-，即sin()x ϕ-=故21|22|yy +-≤1，解得374-≤y ∴max y =374+，m in y =解法二：令1sin x x = ，1cos y x =有22111x y +=它表示单位圆，则所给函数y 就是经过定点P （2，2）以及该圆上的动点(cos ,sin )M x x 的直线PM 的斜率k ，故只需求此直线的斜率k 的最值即可由21|22|kk+-=1，得k ∴maxy =374+，m in y =374-例2.求sin cos sin cos y x x x x =++的值域解：设sin cos t x x =+，则t∈［－2，2］由221(sin cos )12sin cos sin cos 2t x x x x x x -+=+⇒=。

三角函数最值问题求解三角函数最值问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形，还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识．这类问题往往概念性较强，具有一定的综合性和灵活性，下面结合例子给出几种求最值的方法，供大家学习时参考。

1、利用三角函数的单调性求最值例1：求函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(-⋅-= ⎢⎣⎡⎥⎦⎤∈2,0πx 的最值 解:x x x x x x x x f 2sin 2cos 2sin )sin )(cos sin (cos )(2222-=--+=)42cos(2π+=x 45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x ,由余弦函数的单调性及图像知： 当442ππ=+x ， 即0=x 时 ，)42cos(π+x 取最大值22； 当ππ=+42x ，即83π=x 时，)42cos(π+x 取最小值-1； 故2)(,1)(min max -==x f x f方法评析：本题虽然含有的三角函数的项的次数不尽相同，但最终能通过变形变为形如θθcos sin b a +的形式，再用辅助角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 化为标准形式结合三角函数的单调性加以解决，这是一种最常见的求最值的方法。

2、利用三角函数的有界性或数形结合求最值例2：求1cos 2sin --=x x y 的最小值 解：(方法一)由1cos 2sin --=x x y 得：y x y x -=-2cos sin ，y x y -=-+∴2)sin(12ϕ 即212)sin(y yx +-=-ϕ，故11212≤+-≤-y y ，解之得43≥y ， 故y 的最小值为43 方法评析：通过变形，借助三角函数的有界性求函数最值是一种很常见的方法，一般在分式型且对自变量无特殊限制条件下使用。

(方法二)设),(),sin ,(cos 21M x x P ,则1cos 2sin --=x x y 表示单位圆上的动点P 与平面内定点M 连线的斜率，当斜率存在时，设过P 、M 两点的直线方程为)1(2-=-x k y ，由距离公式得1122=+-k k ，解之得43=k ，结合图形可知函数的最小值为43。

高三理科数学二轮复习最值专题（2）三角函数篇类型一：形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)。

例1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0 D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 例2．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.类型二：形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)。

例3、求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． [思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x ．转化为二次函数最值问题．[解]：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 类型三：形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．例4、求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[解] 令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]．又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1，∴sin x cos x ＝t 2－12， ∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53，y 大＝f (2)＝32＋ 2. 类型四：“逆向题”，即已知函数的最值去求某参数的值。

解三角形求最值问题1.已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且2223sin 3sin 2sin sin 3sin ,B C B C A a +-==AB AC ⋅的最大值.2. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(1,cos ),(cos 21,2)m A n A λλ==---，已知//m n（1）若2λ=，求角A 的大小； （2）若b c +=，求λ的取值范围.3. 设ABC ∆的内角所对的边分别为,,a b c ，且1cos 2a C cb += （1）求角A 的大小； （2）若1a =，求ABC ∆周长的取值范围.4. 已知ABC ∆是半径为R 的圆的内接∆且222(sin sin ))sin R A C b B -=-（1）求角C ； （2）求ABC ∆面积的最大值.5. 已知向量(2,1),(sin ,cos())2A m nBC =-=+，角,,A B C 分别为ABC ∆的三边,,a b c 所对的角， （1）当m n ⋅取得最大值时，求角A 的大小；（2）在（1）的条件下，当a =22b c +的取值范围.6．已知(2cos ,1)a x x =+，(,cos )b y x =且//a b（1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；（2）记()f x 的最大值为,,,M a b c 分别为ABC ∆的三个内角A B C 、、对应的边长，若(),2A f M =且2a =，求bc 的最大值.7. 在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，设2B A =，求b a 的取值范围.8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且241b ac =. （1）当45=p ，1=b 时，求c a ,的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围.9.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且.3)(2222ab c b a =-+ （1）求2sin 2B A +； （2）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值.10.如图，ABC ∆中，2,332sin==∠AB ABC ，点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD . (1)求BC 的长；(2)求DBC ∆的面积.A B D C。

三角函数最值问题的几种常见解法一 、配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。

例1 函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为（ ）.A ． 2B . 0C . 41- D . 6 [分析]本题可通过公式x x 22cos 1sin -=将函数表达式化为2cos 3cos 2+-=x x y ，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t ，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y ,选B.例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。

()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 二 、引入辅助角法例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。

[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。

解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ三 、利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。

高考数学真题总结——三角函数最值真题一、直接最值（基础题）1. （2017新课标二13）函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 ．2. （2011上海4）函数2sin cos y x x =-的最大值为 ．3. （2016上海5）若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a = ．4. （2009上海10）函数()22cos sin2f x x x =+的最小值是 ．5. （2011上海8）函数sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为 ． 6. （2018新课标8）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 7. （2017新课标三6）函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为 A ．65 B ．1 C ．35 D ．158. （2013江西13）设()3cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有()f x a ≤，则实数a 的取值范围是 ．二、范围最值 （基础题）9. （2004全国三14）函数sin y x x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为 ． 10. （2012山东8）函数的最大值与最小值之和为 A ． B ．0 C ．－1 D ． 11. （2018北京16）已知函数2()sin cos f x x x x =．(1)求()f x 的最小正周期；2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭21-(2)若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32，求m 的最小值． 12. （2017北京16）已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x -≥13. （2014天津15）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅰ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 14. （2013山东18）设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值． 15. （2013天津15）已知函数．(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期；(Ⅱ) 求f (x )在区间上的最大值和最小值．三、换元二次函数最值（中档题）16. （早期全国10）函数2cos 3cos 2y x x =-+的最小值为（ ）A ．2B ．0C ．14- D ．6 17. （早期全国11）如果||,4x π≤那么函数()2cos sin f x x x =+的最小值是（ ）AB． C ．1- D2()sin cos (0)2f x x x x ωωωω=->()y f x =4πω()f x 3[,]2ππ2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦18. （2008海南11）函数()cos22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ）A ．3,1-B ．2,2-C ．33,2--D ．32,2- 19. （2019新课标一15）函数()3sin 23cos 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小值为 ． 20. （2016新课标二11）函数()cos 26cos 2f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．721. （2017新课标二14）函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的 最大值是 ．四、换元均值/求导最值 （提升题）22. （2005全国一7）当02x π<<时，函数()21cos 28sin sin 2x xf x x++=的最小值为（ ）23. （2008辽宁16）设0,,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．24. （早期全国19）函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是 ． 25. （2009全国一16）若,42x ππ<<则函数3tan 2tan y x x =的最大值为26. （2014全国16）若函数()cos2sin f x x a x =+的区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，则a 的取值范围是 ． 27. （2018新课标一16）已知函数()2sin sin 2,f x x x =+则()f x 的最小值是_______．28.。

2018年全国1卷理科第16题(三角函数的最值问题) -2018年高考数学经典题分析及针对训练Word 版含解析一、典例分析，融合贯通典例【2018年全国1卷理科第16题】已知函数f(x)=2sinx+sin2x ,则f(x)的最小值是______. 解法一：引导：首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.点评：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值. 解法二：()=2sin +sin2=2sin (1+cos )f x x x x x22222()=4sin (1+cos )4(1-cos )(1+cos )f x x x x x ∴=4(3-3cos )(1+cos )(1+cos )(1+cos )3x x x x =443-3cos +1+cos +1+cos +1+cos )34x x x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭44327324⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭ ()f x 易知是奇函数1cos = 2()sin =2x f x x ⎧⎪⎪∴≥⎨⎪-⎪⎩当，()f x ∴的最小值是 点评：另辟蹊径，联系均值不等式求最值（和定积最小）。

解法三：解法3：公式搭桥，函数领路，导数建功。

解法四：()=2sin +sin2f x x x ，tan 2xt R =∈令则2223418 2sin(1cos)(1)1112t ty x xt t t tt-=+=+=++++，31t2,t ttϕ=++令()4222221321t32,0t tt tt tϕμ+-'=+-==≥()令，原式得；(1)(31),μμμ+-=显然13μ=时，取tϕ()到极值经检验当t=tϕ()有最大值，则y有最小值得：min812(yϕ==-解法4：替换消元，导数建功。

求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。

（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。

例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。

作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。

结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。

解法一：去分母，原式化为
sinx－ycosx=2－2y，
即 sin（x－ ）= 2 2 y 故 | 2 2 y | ≤1，解得 4 7 ≤y≤ 4 7
1 y2
1 y2
3
3
∴ymax=
4
3
7
，ymin=
4
3
7
解法二：令 x1=cosx，y1=sinx，有 x12+y12=1 它表示单位圆，则所给函数 y 就是经过定点 P（2，2）以及该圆上
2
2
2
当 t 2 时， y 1 2 ，即 sin x cos x 2 ， 2
解得，∴ x

2k
4
(k
z) 时，
y max

1 2

2。
小结： sin cos，sin cos，sin cos 这三者之间有着相互制约，不可分割的密切联系。 sin cos 是纽
4
2
∴ y 1 (t 2 1) t 1 (t 1)2 1
2
2
∵当 t [ 2,1] 时，函数 y 是减函数 ∴ y [1, 1 2] 2
∵当 t [1, 2] 时，函数 y 是增函数 ∴ y [1, 1 2] 2
∴ y [1, 1 2] [1, 1 2] 即 y [1, 1 2]
g(x)min h(
2) 3 ( 2
2)2 k(
2) k 2 3 k 2 2
2k 3 3 22
k 2 2k 3 0
解得 k 2 14 ，因为 k 3 2 ，所以此时无解．………………9 分 2
②当 2 k 2 即 3 2 k 3 2 时， 3

三角函数的值域或最值常见的三角函数最值的基本类型有： （1）y=asinx+b （或y=acosx+b ）型，利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。

（2）y=asinx+bcosx 型，引入辅助角ϕ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1s i n≤+ϕx 即可求解。

Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。

（3）y=asin 2x+bsinx+c （或y=acos 2x+bcosx+c ），型，可令t=sinx （t=cosx ）,-1≤t ≤1,化归为闭区间上二次函数的最值问题。

（4）Y=d x c b x a ++sin sin （或y=d x bx a ++cos cos ）型，解出sinx （或cosx ）,利用()1cos 1sin ≤≤x x 或去解；或用分离常数的方法去解决。

（5）y=d x c b x a ++cos sin （y=dx c b x a ++sin cos ）型，可化归为sin （x+ϕ）g （y ）去处理；或用万能公式换元后用判别式去处理；当a=c 时，还可利用数形结合的方法去处理上。

（6）对于含有sinx±cosx,sinxcosx 的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t,2≤t ,将sinxcosx 转化为t 的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。

一、利用三角函数的有界性．求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为sin()y A x kωϕ=++的形式．在化简过程中常常用到公式：sin cos ),tan ,b a x b x x aϕϕϕ+=+=其中由及点(a,b)的位置确定.例1 、(2000年高考)已知：212cos 1siny x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合．解：∵212cos 1siny x x x =⋅+1cos 21521sin(2)4264x x x π+=+=++，∴当sin(2)16x π+=时，max 157244y =+= ．此时，2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+． 所以y 的最大值为74，此时x 的集合为{|}6x x k k Z ππ=+∈，．例2、求函数1cos 3cos xy x-=+的值域．解：1cos 3cos xy x-=+⇒(1)cos 2y x +=-⇒2cos 1x y =-+，由|cos |1x ≤得2||11y -≤+， |1|2y +≥即，解得31y y ≤-≥或，所以函数1cos 3cos xy x-=+的值域是3][1-∞-∞（，，+）二、利用二次函数最值性质求解这类问题，首先利用有关三角函数公式化为2sin sin y x b x c a =++的形式．例3、求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域． 解：278cos 2sin y x x =--＝278cos 2(1)cos x x ---＝223,(cos 2)x --∵[,]63x ππ∈-，∴1cos [1]2x ∈，，∴3[1]2y ∈-，．例4、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值．解：设sin cos x x t +=，[]t ∈则21sin cos 2x x t-=，所以()y f t =＝211,2(1)t ⋅-+([t ∈，当1[]t =-∈时，y 有最小值1-．三、利用均值不等式*利用均值不等式求三角函数时，一定要注意均值不等式中的使用条件：一正、二定、三相等． 例6、当0x π<<时，求sin 2cos xy x=+的最大值．解：设22tan0,(0),233x t t x y tπ=><<=≤=+则（当且仅当tan 2x t ==时取等号）。

三角函数的值域与最值【知识回顾】1. 辅助角公式的应用：y=()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。

2. 化二次或高次函数，如y=x x 2cos 2sin - 【基础练习】1.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 ．2.函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ______．3.函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是___________________．4.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 _____ ．5.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k(cosx －1)的最小值是 _____ ．6.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为________． 【范例解析】例1.（1）已知1sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值与最小值．（2）求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值．例2.求函数2cos (0)sin xy x xπ-=<<的最小值．例3. 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋ϕ)，x∈R (其中A>0，ω>0,0<ϕ<π2)的周期为π，且图象上一个最低点为M(2π3，－2)． (1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[0，π12]时，求f(x)的最值．例4．扇形AOB 的半径为1，中心角为60︒，PQRS 是扇形的内接矩形，问P 在怎样的位置时，矩形PQRS 的面积最大，并求出最大值． ，ABORS PQ【反馈演练】1．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于___________．2．已知函数()3s i n f x x =，3()sin()2g x x π=-，直线m x =和它们分别交于M ，N ，则=m a x MN _________．3．当04x π<<时，函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是_____________．4．函数sin cos 2xy x =+的最大值为_______，最小值为________.5．函数cos tan y x x =⋅的值域为 .6．已知函数11()(sin cos )|sin cos |22f x x x x x =+--，则()f x 的值域是 .7．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于_________．8．（1）已知(0,)θπ∈，函数y =的最大值是_______. （2）已知(0,)x π∈，函数2sin sin y x x=+的最小值是____________. 9．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ_____________ ． 10．已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．11．若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+，试确定常数a 的值.12．已知函数2()2sin sin 2f x x x =+．（1）若[0,2]x π∈．求使()f x 为正值的x 的集合；（2）若关于x 的方程2[()]()0f x f x a ++=在[0,]4π内有实根，求实数a 的取值范围.专题十二： 三角函数的值域与最值【知识回顾】3. 辅助角公式的应用：y=()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。