微波技术 第四章 规则波导理论
- 格式：doc
- 大小：1.82 MB
- 文档页数：77
第四章规则波导理论前面介绍了几种无色散的TEM波传输线，它们在结构上都属于双导体系统。
其中平行双线是用在米波波段和分米波低频端的一种传输线；同轴线是用在分米波~厘米波段的一种传输线；带状线和微带是最近20多年来发展起来的新型平面传输线，它们在微波集成电路（MIC）中做传输线或元器件之用，是属于厘米波高频端的一种传输线。
当频率再升高时，上述几种传输线出现了一系列缺点，致使它们失去了实用价值。
比如，随着频率的增高，趋肤效应显著，因而导体热损耗增加；介质损耗和辐射损耗也随之增加；横向尺寸减小，功率容量明显下降，加工工艺也愈加困难。
上述缺点促使人们寻找一种新的，适用于更高频率，具有大功率容量的传输手段，于是产生了波导管。
实际上早在第二次世界大战前的1933年就已在实验室内被证明，采用波导管是行之有效的微波功率的传输手段。
现代雷达几乎无一例外地采用波导作为其高频传输系统。
波导管的使用频带范围很宽，从915MHz（微波加热）到94GHz（F波段）都可使用波导传输线。
本章所讲的“波导”是指横截面为任意形状的空心金属管。
所谓“规则波导”是指截面形状、尺寸及内部介质分布状况沿轴向均不变化的无限长直波导。
最常用的波导，其横截面形关是矩形和圆形的。
波导具有结构简单、牢固、损耗小、功率容量大等优点，但其使用频带较窄，这一点就不如同轴线和微带线了。
导行波理论不仅用于分析各类波导传输线本身，还是下面分析谐振腔、各种微波元件等的理论基础。
§4-1 电磁场基础同前面讨论同轴线、双线传输线所用的“路”的方法不同，本章所讨论的规则波导采用的是“场”的方法，即从麦克斯韦方程出发，利用边界条件导出波导传输线中电、磁场所服从的规律，从而了解波导中的模式及其场结构（即所谓横向问题）以及这些模式沿波导轴向的基本传输特性（即所谓纵向问题）。
一、麦克斯韦方程麦克斯韦总结了一系列电磁实验定律，得出一组反映宏观电磁现象所服从的普遍规律的方程式，这就是著名的麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程的微分形式(4-1-1) 电磁场矢量满足的辅助方程(4-1-2)式中——磁场强度（A/m）——电场强度（V/m）——电位移矢量（C/m2）——磁感应强度（T）——面电流密度（A/m2）——自由电荷体密度（C/m3）——媒质的介电常数（F/m）——媒质的导磁率（H/m）——媒质的导电率（S/m）在微波技术中，常用的是均匀、线性、各向同性的媒质。
在这种媒质中，特、均不随空间位置而变化（即均匀性），与存在于其中的场性参量、强无关（即线性），各参量值与方向无关（即各向同性）。
对于这种媒质，有(4-1-3) 式中——真空中的介电常数；——真空中的导磁率；——媒质的相对介电常数；——媒质的相对导磁率。
，例如铜的，空气的除铁磁物质外，一般媒质的我们知道，若产生电磁波的波源在做一定频率的简谐振动，则在线性媒质中，由这种简谐源激励的所有场量，在稳态情况下一定都与波源具有同一频率的简谐场。
根据简谐函数的复数表示法，可以将式（4-1-1）化成复数形式的麦克斯韦方程组(4-1-4a)(4-1-4b)(4-1-4c)(4-1-4d)式中为电磁场的复矢量，为复介电常数、(4-1-4e) 其中——称为介质极化损耗角正切，它是表征介质损耗大小的一个参量。
当介质无耗时，和都等于零，变为了。
为书写方便，今后场强复矢量符号上的“·”将被略去，请读者注意。
二、边界条件上述麦克斯韦方程组只描术字在连续媒质中电磁场所遵循的规律，实际上常遇到两种或两种以上媒质的情况，却会遇到分界面。
在不同介质的分界面上，场量将发生不连续变化，其变化规律由边界条件给出。
关于边界条件的推导过程已在电磁场理论中讲过，这里不再赘述，我们直接给出结果。
由于一般规则波导均由良导体构成，所以在具体求解时，只要记住下更理想导体边界条件即可(4-1-5)(4-1-6)(4-1-7)式中，是波导内表面法向单位矢量。
前二式说明，在理想导体表面上，电场总是垂直于导体表面，而磁场总是平行于导体表面，换言之，在导体表面上不存在电场的切向分量，也不存在磁场的法向分量。
式（4-1-7）则表示波导内表上流过的线电流密度，其大小与表面上的磁场矢量的大小相等，其方向与的方向垂直，指向收所决定的右旋方向。
三、波动方程将式（4-1-4b）两边取旋度再代入式（4-1-4a）得到应用矢量公式并考虑到式（4-1-4d）得到(4-1-8) 同理可得(4-1-9) 式中(4-1-10) 式（4-1-8）、（4-1-9）称为介质中的波动方程，又称齐次亥姆霍兹方程，称为介质相位常数（介质波数）。
在真空中，，则式（4-1-10）变为(4-1-11) 称为自由空间相位常数（自由空间波数）。
而式（4-1-8）、（4-1-9）变为(4-1-12)(4-1-13) 这就是真空中的波动方程。
四、复数功率定理交变电磁场的能量共有4种表现形式：场所贮存的电能、磁能、媒质的损耗功率以及伴随电磁波传播的能流。
复数功率定理把这四种能量的内在联系用公式表达出来。
我们知道，静电场内各点的电能密度为(4-1-14) 电磁波在媒质中损耗功率的密度为(4-1-15) 式中，为媒质的导电率。
恒流磁场内各点的磁能密度为(4-1-16) 对交变电流，上述三式仍然适用，但因E、H皆为瞬时值，故为瞬时电能密度，为瞬时磁能密度，为瞬时损耗功率密度。
我们感兴趣的是它们在一个周期内的时间平均值。
设T为周期，则别为(4-1-17)(4-1-18)(4-1-19) 场强的瞬时值可用它们的复振幅表示，例如(4-1-20)为E之复振幅，、分别为的实部和虚部。
将上式代入式式中，（4-1-16），积分后得电能密度的时间平均值为(4-1-21)同理可证明(4-1-22)(4-1-23)根据坡印亭定理有，将其任一闭合曲面上积分，有(4-1-24)利用矢量恒等，并以和代入，得(4-1-25)式中，为体积V内所贮的总电能平均值，为贮存总磁能平均值，为媒质总损耗功率平均值。
式（4-1-25）即为复数功率定理。
等式左方代表流入S面包围的体积V的总复数切率；等式右方第一项代表流入体积V的净无功功率，而第二项代表流入体积V的净有功功率，其值等于媒介质的总损耗功率。
因此我们说复数功率定理实质上是交变电磁场中的能量守恒定律。
§4-2 矩形波导现在分析截面形状为矩形的无限长直波导内电磁场的分布。
为际解简单，作如下假设：1．波导内壁的导电率无限大；2．波导内的介质是均匀无耗、线性、各向同性的；）和传导电流（），就是说波导远离波源3．波导内无自由电荷（或波导处在无源场中4．波导中的场为简谐场，即它们应满足式（4-1-4）所示的麦克斯韦方程组。
由于波导截面是矩形的，故采用图4-2-1所示的直角坐标系较为方便。
一、波动方程的一般解现在研究导行波在其中的传播情况，即求出传输系统中任一点的和的表达式。
由于采用复数表示，场量中的时间因子已通过简谐场复数表示法将它分离出去，故式（4-1-4）中各场量均为x、y、z的函数，进而导出了真空中的矢量波动方程式（4-1-12）、（4-1-13）图4-2-1 规则波导及坐标系、、为直角坐标系的三个方向的单位矢量，则电、磁场矢量可若令表示为于是就可以得到六个独立的标量波动方程由此可见，在直角坐标系中这六个方程式具有安全相同的形式，因而场分量的求解将大为简化。
令L为电场或磁场分量之一，即可得到具有偏微分形式的标量波动方程式(4-2-1)上述方程可以利用分离变量法求解。
假定方程（4-2-1）的解具有任意三个乘数之积的形式，其中每一个乘数仅是一个坐标的函数，即(4-2-2)将上式微分后代入式（4-2-1），得用除上式各项得到(4-2-3)X、Y、Z是相互独立的，欲使上式左边各项之和在任意的X、Y、Z值情况下都等于右边的常数，则左边每一项都必须等于某一常数。
于是分别写成(4-2-4)(4-2-5)(4-2-6) 根据式（4-2-3）~式（4-2-6），得几个常数的关系为(4-2-7) 这样，式（4-2-4）~（4-2-6）可化成二阶线性常微分方程上述三方程的求解，分别为(4-2-8)(4-2-9)(4-2-10)这里得到的三个解均是一维坐标的函数，将它们代入（4-2-2）中，就可求得任意场分量波动方程的解。
根据欧拉公式可以方便地把乘数X和Y表示成三角函数的形式(4-2-11)(4-2-12)式中将关系式（4-2-11）、（4-2-12）及（4-2-10）代入式（4-2-2）中，得(4-2-13) 式中的新常数D1和D2分别为由式（4-2-13）不难看出，这个解答给出了两个以相反方向沿纵轴（z轴）传播着的电磁波。
已经假设，我们所研究的无限长直波导，无“反射”波存在，故只研究沿正z方向传播的“入射”波即可。
今后在需要研究反射波时，可借用分析入射波的整个结果。
这样，电磁场波动方程解的普遍形式可以写成(4-2-14) 或简写成(4-2-15) 对于正弦电流，麦克斯韦第一和第二方程为，则上二式展开后，按分量写成注意到(4-2-16a)(4-2-16b)(4-2-16d)(4-2-16e)(4-2-16f)得式（4-2-17c））合并（4-2-16）中各式（例如将(b)、(d)合并，消去则有(4-2-17a)(4-2-17b)(4-2-17c)(4-2-17d) 式中(4-2-18)式（4-2-17）示出电、磁场的横分分量用纵向分量表示的关系。
所以只要设法解和，代入式（4-2-17）中就可以求出其它分量。
我们把求出纵向场分量解分成两点：①令这就是TE（或H）型波的解；②令出其它分量，这就是TM或（E）型波的解。
由于麦氏方程是线性的，故这两组解的和也是解。
场的纵向分量的波动方程可写成(4-2-20)二、TE（H）波的场方程，满足式（4-2-20）。
这是一个对于横电波（TE），偏微分方程。
应用分离变量法，设（为书写方便省掉因子），代入式（4-2-20），得用XY除上式项，有分别令且(4-2-21) 则其解为(4-2-22)(4-2-23)、都是待定积分常数。
式中，A、B、于是(4-2-24) 其中，。
、、、五个常数。
但因仅取决于场幅度的绝对值，对场的结构及传播特性不起作用，故暂不定它。
注意到，由式（4-2-17a、b）可得(4-2-25a)(4-2-25b)的矩形波导，将有根据边界条件式（4-1-5），对横截面尺寸为即 (4-2-26a)时，即 (4-2-26b)时，将式（4-2-24）分别对x和y微分分别代入式（4-2-26a）、（4-2-26b）中即可确定常数时，，则；当当(4-2-27)时，，则当当(4-2-28) 将上述结果代入式（4-2-24）中，得(4-2-29a)，有将上式代入式（4-2-17）中，并注意到(4-2-29b)(4-2-29c)(4-2-29c)(4-2-29e)(4-2-29f) 式中(4-2-30)上列式（4-2-29a）~（4-2-29f）即为电磁波沿无限长波导管无衰减传播时，TE （H）型波的场方程式。
