空间几何 体的表面 积和体积
教案
高中数学
适用年级
高一
适用区域 人教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 几何体的表面积，几何体的体积，几何体的三视图与体积和表面积; 教学目标 掌握球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
通过几何体的探究，渗透空间想象能力；通过对表面积和体积求解，
提高学生的推理论证能力、运算求解能力．
教学重点 球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．
教学难点 球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式． 【教学建议】 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问 题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。 即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟 练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要 学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求 积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解， 会运用“割补法”等求解。 （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问 题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；
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对于几何体表面积和体积的求解，学生的学习困难主要在两个方面： （1） 要求准确的使用几何体的特征，例如：锥体中没有直棱柱，四
面体是三棱锥，棱柱的上下底面平行且全等.. （2）要有好的运算求解能力. 【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮
助学生尽快进入学习状态。 导入的方法很多，仅举两种方法： ① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； ② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识
与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。 提供一个教学设计供讲师参考： 1、思路 1
被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在 1889 年巴黎埃 菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世 界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及 人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如 此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正 四棱锥外形的建筑，塔底边长 230 米，塔高 146.5 米，你能计算建
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此金字塔用了多少石块吗？ 设计意图：提出现实问题引起学生兴趣，激发学习的动力，从而调 动学生积极性.
二、知识讲解
考点 1 多面体的面积和体积公式
【教学建议】通过前面的引导，得到单调函数的定义，建议用三种语
言对比的形式来加深理解；得到增函数的定义后，可以让学生来类比
写出减函数的定义：
1. 直棱柱与圆柱的侧面积：等于它的底面周长和高（母线）的乘
积．
S直棱柱侧(S圆柱) ? ch ，其中 c 为底面的周长， h 为直棱柱（圆柱）的 高，也即侧棱（母线）长；
2. 正棱锥（圆锥）的侧面积：等于它的底面周长和斜高（母线）
乘积的一半．
S正棱锥侧
?
1 2
ch
'
?
1 2
nah
'
，其中
a
为底面边长，
h
'
为斜高；
S圆锥侧
?
1 2
cl
?
πrl
，其中
c
为底面周长，r
为圆锥的底面半径，l
为
母线长；
3. 正棱台（圆台）的侧面积：等于它的上下底面周长之和与斜高
（母线）乘积的一半．
S正棱台侧
?
1 2
(c
?
c
')h
'
?
n 2
(a
?
a
')h
'
，其中
a,
a
'
分别是正棱台上下底面
的边长， h ' 为斜高；
S正圆台侧
?
1 2
(c
?
c
')l
?
π(r
?
r
')l
，其中
r,
r
'
分别是圆台上下底面的半
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径， l 为母线长；
4. 球面面积：等于它的大圆面积的四倍． S球 ? 4πR2 ， R 为球的半径．
【教学建议】 (1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开,其侧面展开图分别是平行四边形、
若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形,侧面展 开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的 和. (3) 除了球面，这里提到的其它几何体的表面都可以展开，侧面积公 式和表面积公式可以直接推导出来． (4)要提醒学生注意空间与平面问题的转化，对这几种 几何体的侧面展开图，轴截面的图等有个比较清晰的印 象，在计算时能灵活转化．
考点 2 几何体的体积公式
1．柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V柱体 ? Sh ，其中 S 为底面积，h
为高；
2．棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：V棱体
?
1 3
Sh
，其中
S
为底面积，
h 为高；
3．台体（棱台，圆台）的体积公式：V台体
?
1 3
h(S
?
SS ' ? S ') ，其中 S ', S
分别是台体上，下底面的面积， h 为台体的高；
4．球的体积：V球
?
4 3
πR3
，
R
为球的半径．
【教学建议】 对柱体与锥体体积公式的推导，课本上是以长方体的体积公式为基础
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的，根据祖暅原理得到的． 祖暅原理：幂势相同，则积不容异．即夹在两个平行平面间的 两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得 的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体体积相等．祖暅 提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面 积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容 异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”．卡瓦列利在他的名著 《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于 1635 年．
课本对柱体和锥体体积公式的推导过程： ⑴长方体的体积V ? Sh ； ⑵利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的
体积相等， 故柱体的体积为：V ? Sh ； ⑶利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相
等； ⑷三棱柱可以分割成三个体积相等的锥，故锥体的体积为
V ? 1 Sh ；
3
⑸利用两个锥体做差可得台体的体积公式V ? 1 (S '? SS ' ? S)h ．
3
三 、例题精析
类型一 柱体、锥体、台体的表面积和体积
例题 1
1.(2019·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面 积为 ( )
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A. 3?
B. 4?
C. 2? ? 4
D. 3? ? 4
【解析】1.选 D.该几何体为圆柱体的一半,可得上下两个半圆的表面 积 s1 ? ? r2 ? ? ,侧面积 s2 ? 2 ? 2 ? 2? r2 ? 4 ? 2? ,所以此几何体的 表面积 s ? s1 ? s2 ?? 4 ? 3? . 【总结与反思】 空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展 为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
例题 2
【教学建议】本题有一定难度，视学生掌握程度选择使用.第二问可 以放在类型二中放在例题 1 之后来讲. 1.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16 2? ,则圆锥的体积是
()
A
64?
3
D 128 2?
B
128?
3
C 64?
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2.已知一个三棱台的两底面是边长分别为 20cm 和 30cm的正三角形,侧 面是全等的等腰梯形,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高和
体积
.
【答案】1. A ,
2. h ? 4 3 ,V ? ?1900 cm3 ? .
【解析】1.设圆锥的母线长为l ,底面半径为 r ,高为 h (如图所示), 则由题意得 l ? 2r , h ? r , 2.如图所示,三棱台 ABC-A′B′C′中,O,O′为两底面的中心,D、
D′
是 BC 、 B ′ C ′ 的 中 点 , 则 DD ′ 是 梯 形 BCC ′ B ′ 的 高 , 所 以
s侧
?
1 2
? 20
?
30?
DD' 3
?
75DD' .
又 A ′ B ′ =20,AB=30, 则 上 、 下 底 面 面 积 之 和 为
s上 ? s下 ?
3 ?202 ? 302? ? 325
4
3
.
所以 DD' ? 13 3 .
3
在直角梯形 O′ODD′中, 即棱台的高为 h ? 4 3 . 由棱台的体积公式,可得棱台的体积为
? ? ? ? V ? h S ? S' ? 3
SS '
?
43 3
? ? ???
3 ? 202 ? 4
3 ? 302 ? 4
3 4
?
20 ?
30
? ???
?
1900
cm3
【总结与反思】
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求几何体体积的常用方法 (1)公式法:直接代入公式求解. (2)等积法:例如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用 底面积和高都易求的形式即可. (3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱,棱台 补成棱锥等. (4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积. .
类型二 球体的表面积和体积
例题 1
1．如图 1-3-17 是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何
体的表面积为( )
图 1-3-17
A．18π
B．30π
C．33π
D．40π
【答案】 C
【解析】 由三视图知该几何体由圆锥和半球组成．球半径和圆锥底
面半径都等于 3，圆锥的母线长等于 5，所以该几何体的表面积 S＝
2π×32＋π×3×5＝33π.
【总结与反思】 球体的表面积公式 S ? 4? R2 ,扇形面积公式 S ? 1 lR .
2
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个
球面上，则该球的表面积为( )
A．πa2
B.73πa2
C.131πa2
D．5πa2
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【答案】 B 【解析】 [由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，
均为
a，如图，P
为三棱柱上底面的中心，O
为球心，易知
AP＝23×
3 2
a＝
33a，OP＝12a，所以球的半径
R＝OA
满足
R2＝
? ???
3 3
2
? ???
?
? ??
1 2
a
?2 ? ?
＝172
a2，故 S 球＝4πR2＝73πa2. 【总结与反思】几何体内接于球体的问题,由球半径和截面半径构造 的 ?OPA最重要.
四 、课堂运用
基础
1．正三棱锥的底面边长为 a，高为 6 a ，则此三棱锥的侧面积
6
为( )．
A． 3 a2
4
B． 3 a2
2
C． 3 3 a2
4
D． 3 3 a2
2
2．长方体的高等于 h，底面积等于 a，过相对侧棱的截面面积等
于 b，则此长方体的侧面积等于( )．
A． 2 b2 ? ah2
B． 2 2b2 ? ah2
C． 2 b2 ? 2ah2
D． b2 ? 2ah2
3．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截
面的面积与球的表面积之比为( )．
A． 3
16
B． 9
16
C． 3
8
D． 9
32
4．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )．
A．372
B．360
C．292
D．280
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答案与解析 1. 【答案】A 2. 【答案】C
??xy ? a
【解析】设长方体的底面边长分别为
x，y，则
? ??
x2 ? y2 ?h ? b
①
②，
由②得 x2
?
y2
?
b2 h2
，∴ (x ?
y)2
?
b2 h2
? 2a
.
3. 【答案】A
4. 【答案】B
【解析】该几何体是由两个长方体组成，下方的长方体长为
10，宽为 8，高为 2，故表面积为 232，上方的长方体长为 6，宽为 2，
高为 8，故表面积为 152.总的表面积为 232＋152－2×2×6＝360.
巩固
1．已知三个球的半径 R1、R2、R3 满足 R1＋2R2＝3R3，则它们的 表面积 S1、S2、S3 满足的等量关系是______．
2．有两个相同的直三棱柱，高为 2 ，底面三角形的三边长分别
a
为 3a、4a、5a(a＞0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能 的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则 a 的取值范围是______．
答案与解析 1. 【答案】 S1 ? 2 S2 ? 3 S3
【解析】由球的表面积公式得 S1 ? 4πR1 2 ，S2 ? 4πR2 2 ，S3 ? 4πR3 2 ，将
R1 ?
S1 4π
，R2
?
S2 4π
，R3
?
S3 4π
代入
R1＋2R2＝3R3
得
S1 ? 2
S2 ? 3
S3 .
2. 【答案】 0 ? a ? 15
3
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【解析】 由图可知，若拼成一个三棱柱，只能把原三棱柱底面相
接，全面积确定，为
S1
?
2?
1 2
?
3a
?
4a
?
2
?
2 a
(3a
?
4a
?
5a)
?
12a2
?
48
；
若拼成一个四棱柱，可能有把以 3a 为底的侧面相接．以 4a 为底
的侧面相接和以 5a 为底的侧面相接三种方案，相接的面积不在表面
积中，故相接面的面积越大，得到的全面积越小，上述三种方案中把
以 5a 为 底 的 侧 面 相 接 时 ， 得 到 的 四 棱 柱 表 面 积 最 小 ， 为
S2
?
4a ?3a ? 2
?
2? a
2
(4a
? 3a)
?
24a2
?
28
.
为使表面积最小的为四棱柱，只需 S2＜S1，
即 24a2＋28＜12a2＋48，
解得 0 ? a ? 15 .
3
拔高
1．已知正三棱锥 S－ABC，一个正三棱柱的一个底面的三顶点在棱锥 的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为 15 cm，底面边长为 12 cm，内接正三棱柱的侧面积为 120 cm2.
(1)求三棱柱的高； (2)求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比． 2．已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a， ∠DCB＝60°，在平面 ABCD 内，过 C 作 l ⊥CB，以l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周，求旋转体的表面积．
答案与解析
1. 【答案】同解析 【解析】(1)设正三棱柱的高为 h，底面边长为 x，如图所示． 则 15 ? h ? x ，
15 12
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又 S 三棱柱侧＝3x·h＝120，
∴xh＝40.
②
解①②得
?x ??h
? ?
4, 10
或
?x ?? h
? ?
8, 5.
故正三棱柱的高为 10 cm 或 5 cm.
(2)由棱锥的性质得
或 SS?A1B1C1 侧 ? ( 15 ? 5 )2 ? 4 .
SS ? ABC侧
15
9
2. 【答案】同解析 【解析】如图，在梯形 ABCD 中，
因为∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
所以 CD ? BC ? AD ? 2a .
cos 60?
DD′＝AA′－2AD＝4a－2a＝2a.
所以 DO ? DD' ? a .
2
由于以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后所形成的几何体为圆柱中
被挖去一个底向上的圆锥，且圆锥的高等于圆柱的高．
由以上的计算知圆柱的母线长为 3a ，圆柱的底面半径为 2a，被
挖去圆锥的母线长为 2a，底面圆的半径为 a，
所 以 圆 柱 的 侧 面 积 S1 ? 2π?2a? 3a ? 4 3πa2 ， 圆 锥 的 侧 面 积
S2 ? π ? a ? 2a ? 2πa2 ，
圆柱的底面积 S3 ? π ??2a?2 ? 4πa2 ，
圆锥的底面积 S4 ? π ? a2 ? πa2 ，组合体的上底面积 S5＝S3－S4＝3πa2.
所
以
组
合
体
的
表
面
积
? ? S ? S1 ? S2 ? S3 ? S5 ? 4 3πa2 ? 2πa2 ? 4πa2 ? 3πa2 ? 4 3 ? 9 πa2 .
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本节五讲、了课3堂个小重结要内容： 1． 几何体的表面积公式 2． 几何体的体积公式 3． 球体
六 、课后作业
基础
1．设正方体的表面积为 24，那么其外接球的体积是( )
4
8π
A.3π
B. 3
C．4 3π
D．32 3π
2．两个球的体积之比为 8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2∶3
B．4∶9
C. 2∶ 3 D. 8∶ 27
3．体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
()
A．12π B.332π
C．8π
D．4π
4．一平面截一球得到直径是 6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是
4 cm，则该球的体积是( )
A. 100? cm3
3
B. 208? cm3
3
C. 500? cm3
3
D. 416 13? cm3
3
5．等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，它们的表
面积的大小关系是( )
A．S 球 < S 圆柱 < S 正方体 B．S 正方体 < S 球 < S 圆柱
C．S 圆柱 < S 球 < S 正方体 D．S 球 < S 正方体 < S 圆柱
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答案与解析
1.【答案】C 【解析】设正方体边长为 a，由题意可知， 6a2 ＝24，∴a＝2.
设正方体外接球的半径为 R，则 3a＝2R，∴R＝ 3，∴V 球＝34πR3＝4 3π.
2.【答案】B
【解析】
? ??
4 3
?
r
3
? ??
:
? ??
4 3
?
R3
? ??
?
r
3
:
R3
＝8∶27，
∴r∶R＝2∶3，∴S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9. 3.【答案】A
【解析】设正方体棱长为 a，则 a3＝8，所以 a＝2.
所以正方体的体对角线长为 2 3，所以正方体外接球的半径为 3，所
以球的表面积为 4π·? ?3 2 ＝12π，故选 A.
4.【答案】C
【解析】根据球的截面性质，有 R＝ r2＋d2＝ 32＋42＝5，
∴V 球＝34π R3 ＝5300π(cm3)． 5.【答案】A
【解析】 设等边圆柱底面圆半径为 r，
球半径为 R，正方体棱长为 a，
则
π
r
2
·2r＝43π
R3
＝
a3
，
? ??
R r
3
? ??
＝32，
? ??
a r
3
? ??
＝2π，
S 圆柱＝6π r2 ，S 球＝4π R2 ，S 正方体＝6 a2 ，
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SS圆球柱＝
4? R2 6? r2
＝23·???
R r
?2 ??
＝
3
23<1，
SS正圆方柱体＝
6a2 6? r 2
＝1π·???
a r
?2 ??
＝
3
4π>1，故选 A.
巩固
1．一个几何体的三视图(单位：m)如图 1-3-19 所示，则该几何体的体 积为________m3.
图 1-3-19 2．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个 直径为 6 cm，深为 1 cm 的空穴，则该球半径是________cm，表面积 是________cm2. 3．如图 1-3-20，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 3 cm，瓶里所装的 水深为 8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到 8.5 cm， 求钢球的半径．
图 1-3-20 4．如图 1-3-21 所示(单位：cm)四边形 ABCD 是直角梯形，求图中阴 影部分绕 AB 旋转一周所成几何体的表面积和体积．
图 1-3-21 答案与解析 1.【答案】9π＋18 【解析】由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为32；上面是长 方体，其长、宽、高分别为 6、3、1，所以 V＝43π×???32???3×2＋1×3×6＝9π ＋18. 2.【答案】5 100π
【解析】设球心为 O，OC 是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球 得到的小圆圆心为 D，AB 为小圆 D 的一条直径，设球的半径为 R，
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则 OD＝R－1， 则(R－1)2＋32＝R2， 解得 R＝5 cm， 所以该球表面积为 S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．
3.【答案】1.5 【解析】设球的半径为 R，由题意可得 34πR3＝π×32×0.5， 解得 R＝1.5(cm)，所以所求球的半径为 1.5 cm.
4. 【答案】同解析
【解析】
1 2S
球＝21×4π×22＝8π(cm2)，
S 圆台侧＝π(2＋5) 5－2 2＋42＝35π(cm2)， S 圆台下底＝π×52＝25π(cm2)， 即该几何体的表面积为
8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．
又 V 圆台＝π3×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，
V 半球＝12×43π×23＝163π(cm3)． 所以该几何体的体积为
V 圆台－V 半球＝52π－163π＝1430π(cm3)．
拔高
1．如图 1-3-22，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中
两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是
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()
图 1-3-22
A．17π
B．18π
C．20π
D．28π
2．轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为
2，求球的体积.
答案与解析
1.【答案】A 【解析】由三视图可知其对应几何体应为一个切去
了18部分的球，由43πr3×78＝238π，得 r＝2，所以此几何 体的表面积为 4πr2×78＋3×41πr2＝17π，故选 A.
2.【答案】同解析 【解析】如图所示，作出轴截面，
因为△ABC 是正三角形， 所以 CD＝12AC＝2，
所以 AC＝4，AD＝ 23×4＝2 3， 因为 Rt△AOE∽Rt△ACD， 所以OAOE＝CACD. 设 OE＝R，则 AO＝2 3－R，
所以 2
3R－R＝21，所以
R＝2
3
3 .
所以 V 球＝34πR3＝43π·???23 3???3＝32273π.
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所以球的体积等于32273π
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《长方体的表面积》教学设计 丘北县双龙营镇中心小学校——肖正国教学内容：长方体的表面积（人教版小学五年级数学下册第33、34的内容） 教材分析： 长方体的表面积这部分内容是在学生认识并掌握了长方体特征的基础上进行教学的。本课的教学内容包括三个方面：1、理解表面积的意义；2、探究长方体表面积的计算方法；3、联系生活，解决有关表面积的简单实际问题。本节课的教学难点在于，学生往往因不能根据给出的长方体的长、宽、高，想象出每个面的长和宽各是多少，以致于在计算中出错。教学中鼓励学生独立思考，合作交流，并运用多媒体帮助学生培养空间想象能力。通过多媒体演示长方体表面展开的过程，使学生把展开后每个面与展开前这个面的位置联系起来，更清楚地看出长方体相对的面的面积相等，每个面的长和宽与长方体的长、宽、高之间的关系。这样，既帮助学生理解了表面积的意义，又为学习表面积的计算做好准备。 学情分析： 学生已经掌握了平面图形长方形面积的计算，初步认识了一些简单的立体图形，认识了长方体的特征。本节课在这些知识的基础上学习长方体的表面积，它是研究其它立体图形的基础。学生由认识平面图形到认识立体图形，是空间观念的一次飞跃，探究表面积的知识需要学生有一定的空间想象能力和发散思维能力。为此本节课充分运用多媒体技术，帮助学生克服认识上的难点，同时鼓励学生观察思考、合作交流，培养学生的自主探究能力。 教学目标： 1、通过观察操作，使学生建立长方体表面积的概念。 2、使学生初步学会长方体表面积的计算方法，并能根据实际情况计算物体的表面积。 3、建立空间观念，培养解决实际问题的能力。
教学准备：多媒体课件、长方体若干个。 教学重点、难点：重点是建立表面积的概念以及理解并掌握长方体表面积的计算方法。难点是根据给出的长方体的长、宽、高，想象出每个面的长和宽各是多少，迅速确定每个面的面积是多少。 教学方法：自主探索式尝试教学法引导分析法 学法：教会学生通过观察、思考，自主探究，引导学生掌握获取知识的方法，教学运用新知识来解决实际问题的方法。 教学过程： 一、复习导入 1、课件呈现“长方形的面积怎么计算？”，“左图的面积怎么求？”(请一位同学起来口述，并给予激励） 2、长方体有什么特征？（学生通过观察长方体，说出长方体有哪些特征，教师用动作显影呈现出它的特征。学生说完特征后，老师以“同学们对前面学过的知识掌握得非常牢固，那么下面让我们一起来继续学习长方体新的内容吧！导入课题“长方体的表面积”，请学生齐读课题）。 二、新课探究 1、建立长方体表面积的概念。 通过电子白板上课件中“长方体表面展开的视频演示”，引导学生观察并说说“你发现了什么？”让学生思考并回答之后，教师追问：“展开后六个面的面积和原来长方体表面的面积有什么关系呢？”（生：展开后六个面的面积和原来长方体表面的面积是相等的。）师：呈现问题“想一想，什么叫长方体的表面积呢？”（生：归纳并总结出长方体表面积的概念。） 2、探求表面积的计算方法。 师：长方体6个面面积的和就是长方体的表面积，那么我们就要会计算长方体每个面的面积，下面我们一起来看，计算长方体某个面的面积应该具备哪些条件呢？（引导学生根据长方体的长、宽、高，确定出每个面的长和宽，并计算出相对面的面积来）。 师：上面和下面的长和宽是长方体的什么？
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、教学目标 1、知识与技能 （1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 （2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 （1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。 （2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值 通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。 二、教学重点、难点 重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点：台体体积公式的推导 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：实物几何体，投影仪 四、教学设想 1、创设情境 （1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。 （2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。 2、探究新知 （1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图 （2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？ （3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维 （1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式: )''22rl l r r r S +++=（圆台表面积π r 1 为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长 （2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
空间几何体的表面积和 体积公式汇总表 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 3.（1）圆柱的侧面展开图是一个 ，设底面半径为r ，母线长为l ，那么圆柱的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （3）圆锥的侧面展开图是一个 ，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么它的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （4）圆台的侧面展开图是一个 ，设上、下底面圆半径分别为r '、r ，母线长为l ，那么上底面面积=上底S ，下底面面积=下底S 那么表面=S 。 4、正四面体的结论：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积：S 全2a ； (2)体积：3a ； (3)对棱中点连线段的长：a ； (4)对棱互相垂直。 (5)外接球半径：R= a ； (6)内切球半径; r= a 5、正方体与球的特殊位置结论; 空间几何体练习题 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则 1V ：2V 是（ ） A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ） A. ππ221+ B. ππ421+ C. ππ21+ D. π π241+ 3.一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为0120，已知 底面圆的半径为1，求该圆锥的体积。 4. 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体ABC S -，求它的表面积。
长方体的表面积教学设计 通泉第二小学缪骏超 一、教学目标 1、知识目标：让学生在操作、观察活动中，自主探索并理解长方体、正方体的表面积及其计算方法，并能正确计算。能结合具体情境，解决生活中一些简单的问题体会数学与生活的联系。 2、能力目标:培养学生自主探索、合作交流的能力；丰富学生对现实空间的认识发展初步的空间观念。培养学生的动手操作能力和共同研究问题的习惯。 3、情感目标:调动学生学习的积极性，培养学生积极自主探索、互助学习的精神在评价中获取更多情感，同时学会欣赏他人；通过亲身参与探索实践活动，去获得积极的成功的情感体验；体验数学问题的探索性、感受数学思考过程的合理性并从中体验数学活动充满着探索与创造。 二、教学重、难点 重点:理解长方体表面积的含义；理解并掌握长方体表面积的计算方法。 难点:根据给出的长方体的长、宽、高,迅速确定每个面的长和宽，这也是正确计算长方体的表面积的关键。 三、教学用具： 长方体纸盒、长方体展开图等。 四、教学过程：教学过程： （一）、实物引入、提示课题、明确目标（创设问题情境） 师:同学们,昨天我们结识的朋友一一长方体,它要去做客,请大家帮它设计一件
漂亮的外衣，你们能帮助长方体实现它的愿望吗？ 生:能 师:请同学们拿出准备好的长方体和彩笔，想怎么给长方体穿才能显得它更加的漂亮？想好了吗？看谁在最短的时间设计的最合理。 生:动手操作。 师:停。说一说你是怎么涂的？ 生:有的穿的是条形的有的穿的是格格的还有的涂成一个色。 生:我是相对的两个面涂成了一种颜色。 师生:共同评价 师:谁能说说你涂了几个面他们的面积各是多少？ 生:我涂了一个上面。它是长方形。面积是长乘宽 12平方厘米。 生:的是前后两个面。它们分别是长方形，。面积是…… 二、自主探索、形成表象、建立概念(提出数学问题) (1) 感受长方体表面积的意义。 师:同学们说的非常好。刚才我们想对长方体的那些部分进行包装？ 生:长方体的6个面。 师:那么,什么是长方体的表面积呢？ 师:老师手中有一个展开的长方体，你发现了什么？ 生1:我发现原来的立体图形变成了平面图形。 生2:我发现长方体的外表展开后是由 6个长方形组成的。 师:说得对!请你把你刚才涂色的长方体，展开,看看展开后的形状，然后在展开后
教学内容： 教科书第98页例4及做一做。 教学目标： 1．学生在整理、复习的过程中，进一步熟悉立体图形的表面积和体积的内涵，能灵活地计算它们的表面积和体积，加强知识之间的内在联系，将所学知识进一步条理化和系统化。 2．在学生对立体图形的认识和理解的基础上，进一步培养空间观念。 3．让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的联系，体会数学的价值，进一步培养学生的合作意识和创新精神 重点、难点： 1.灵活运用立体图形的表面积和体积的计算方法解决实际问题。 2.沟通立体图形体积计算方法之间的联系。 教学准备： 课件 教学过程 一、回忆旧知，揭示课题一 1、谈话揭示课题。 师：昨天我们对立体图形的认识进行了整理和复习，今天我们来走入立体图形的表面积和体积的整理与复习。（板书：立体图形表面积和体积的整理与复习） 2、看到课题，你准备从哪些方面去进行整理和复习。（板书：意义、计算方法） 二、回顾整理、建构网络 1、立体图形的表面积和体积的意义。 （1）提问：什么是立体图形的表面积？你能举例说明吗？ （2）提问：什么是立体图形的体积？你能举例说明吗？ （3）教师小结：立体图形的表面积就是指一个立体图形所有的面的面积总和，立体图形的体积就是指一个立体图形所占空间的大小。 2、小组合作，系统整理――立体图形的表面积和体积的计算方法。 （1）独立整理。 刚才我们已经对立体图形的表面积和体积的意义进行了整理。下面，请同学们用
自己喜欢的方式，将对立体图形的计算方法进行整理。 （2）整理好的同学请在小组中说一说你是怎样进行整理的？ 3、汇报展示，交流评价 哪一个同学自愿上讲台展示、汇报你的整理情况。其余的同学要注意认真地看，仔细地听，待会对他整理情况说说你的看法或者有什么好的建议。（注意计算公式与学生的评价） 4、归纳总结，升华提高 （1）公式推导。 刚才，我们已经对立体图形表面积和体积的计算公式进行了整理。那么，这些计算公式是怎样推导出来的？请同学们选择1-2种自己喜欢的图形，自己说一说。（2）反馈：谁自愿来说一说自己喜欢图形表面积或者体积公式的推导过程。 根据学生的回答，教师随机用课件演示每种立体图形的体积计算公式的推导过程。还有没有不同的？ （3）教师小结：从立体图形的表面积和体积计算公式的推导过程中，我们不难发现有一个共同的特点：就是把新问题转化成已学过的知识，从而解决新问题，这种转化的方法、转化的思想，是我们数学学习中一种很常见、很重要的方法。（4）整理知识间的内在联系 ①同学们。我们已经对立体图形的表面积和体积计算公式进行了整理，并且也知道了这些公式的推导过程。那么，这些立体图形的表面积计算公式之间有什么内在联系？体积计算公式之间又有什么内在联系？对照自己整理的公式，想一想，然后把你想的法说给同桌听听。 ②反馈学生交流情况，明确其内在联系： a、立体图形的表面积计算公式的内在联系：长方体和圆柱体的表面积都可以用侧面积加两个底面积； b、立体图形的体积计算公式的内在联系：长方体体积计算公式推导出了正方体和圆柱的体积计算公式，也就是说正方体、圆柱的体积计算公式都是在长方体体积计算公式的基础上推导出来的；长方体、正方体、圆柱的体积都可以用底面积乘高来计算；等底等高的圆柱体的体积是圆锥的3倍，等体积等高的圆柱体的底面积是圆锥的，等体积等底的圆柱体的高是圆锥的。
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空间几何体的表面积和体积公式汇总表 1.多面体的面积和体积公式 2.旋转体的面积和体积公式 3.（1）圆柱的侧面展开图是一个 ，设底面半径为r ，母线长为l ，那么圆柱的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （3）圆锥的侧面展开图是一个 ，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么它的底面积 =底S ，侧面积=侧S ，表面积S = 。 （4）圆台的侧面展开图是一个 ，设上、下底面圆半径分别为r '、r ，母线长为l ，那么上底面面积=上底S ，下底面面积=下底S 那么表面=S 。 4、正四面体的结论：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积：S 全2a ； (2)体积：V=312a ； (3)对棱中点连线段的长：d= 2 a ； (4)对棱互相垂直。 (5)外接球半径：R= a ； (6)内切球半径; r= a 5、正方体与球的特殊位置结论; 空间几何体练习题 1.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为1V 和2V ，则1V ：2V 是（ ） A. 1：3 B. 1：1 C. 2：1 D. 3：1 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ） A. ππ221+ B. ππ421+ C. ππ21+ D. π π241+ 3.一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为0120，已知 底面圆的半径为1，求该圆锥的体积。 4. 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体ABC S -，求它的表面积。 5.圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和π4的矩形，求圆柱的体积。 6.若圆台的上下底面半径分别为1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（ ） A. 2 B. C. 5 D. 10 7.圆柱的侧面展开图是长为12cm ，宽8cm 的矩形，则这个圆柱的体积为（ ）
空间几何体的表面积和体积 [基础要点] 1.圆柱的表面积公式： 2.圆锥的表面积公式： 3.圆台的表面积公式： 4.圆锥的体积公式： 5.棱锥的体积公式： 6.圆台的体积公式： 7.球的表面积公式： 8.球的体积公式： 题型一、柱体的体积、表面积公式 例1、直平行六面体的底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积为12,Q Q ，求它的侧面积 变式：如图是一个平面截长方体得剩余部分，已知4,3,AB BC ==5,8AE BF ==, 12C G =,求几何体的体积 题型二、锥体、球体的体积和表面积公式 例2、正四面体棱长为a ,求其外接球和内切球的表面积 变式：一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球，求： （1）圆锥的侧面积 （2）圆锥的内切球的体积 题型三、台体的表面积与体积公式 例3、如图，已知正三棱台111A B C ABC -的两底面边长分别为2和8，侧棱长等于6，求三棱台的体积V D1 O1C1 D C B1 B A1 A O H
变式：用一块矩形铁皮作圆台形铁桶的侧面，要求铁桶的上底半径是24㎝，下底半径为16㎝，母线长为48㎝，则矩形铁皮的长边长是多少？ 题型四、实际问题与几何体面积、体积的结合 例4、如图示，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R ，正四棱台的上、下底面边长分别是2.5R 和3R ，斜高为0.6R ， （1）求这个容器盖子的表面积（用R 表示，焊接处对面积的影响忽略不计） （2）若R=2㎝,为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg 可以涂1㎡，计算为100个这样的盖子涂色约需要多少千克。（精确到0.1kg ） 变式：某人买了一罐容积为V 升、高为a 米的直三棱柱型罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距底高度分别为,b c 的地方（单位：米），为了减少罐内液油的损失，该人采用罐口朝上，倾斜灌口的方式拿回家，试问罐内液油最理想的估计能剩多少？ [自测训练] 1、已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则T S 等于（ ） A 、 19 B 、49 C 、 14 D 、 13 2、圆柱的轴截面是边长为5㎝的正方形ABCD ，从A 到C 圆柱侧面上的最短距离为（ ） A 、10㎝ B 、 2 542 π+㎝ C 、52㎝ D 、2 51π+㎝ 3、棱锥的高为16㎝，底面积为2 512cm ，平行于底面的截面积为2 50cm ，则截面与底面的距离为（ ） A 、5㎝ B 、10㎝ C 、11㎝ D 、25㎝
长方体的表面积 教学目标： 1、在操作、观察活动中，探索并理解长方体、正方体的表面积及其计算方法，并能正确计算。 2、丰富对现实空间的认识，发展初步的空间观念。 3、结合具体情境，解决生活中一些简单的问题，体会数学与生活的联系。 教学重点： 在操作、观察活动中，探索并理解长方体、正方体的表面积及其计算方法，并能正确计算。 教学难点： 探索并理解长方体、正方体的表面积及其计算方法。 教学时数：2课时 教学过程： 一、探索长方体、正方体的表面积及其计算方法。 1、长方体的表面积及其计算方法。 师：请同学们仔细观察16页的长方体纸盒和它的展开图，完成下面两项活动。 （1）长方体的6个面分别对应于展开图的哪个部分？分别将它们涂上相应的颜色。 （2）展开图的各条边与长方体的长、宽、高有什么关系？在展开图的方框中填上适当的数。(3)估一估，做这样的一个纸盒至少需要用多少纸板？再算一算。 学生交流，小结长方体的表面积的计算方法。 （对于学生出现的不同的方法，教师都给予肯定，关键是让学生说清解题的基本思路，然后引导学生比较各种方法之间的联系。） 提示：在计算实物的表面积时，要根据实际选用不同的方法灵活计算。（要弄清物体的表面积是指哪些面的面积之和。） 2、正方体的表面积及其计算方法。 学生尝试探讨：教科书第16页“试一试”。 学生交流，小结正方体的表面积的计算方法。 二、课堂练习 1、教科书第17页“练一练”第1、3题。 学生独立完成，指名板演。
2、教科书第17页“练一练”第2题。 先让学生结合实际想一想，一个电视机布罩要做几个面，哪个面是不需要做的，再让学生尝试计算。 3、教科书第17页“练一练”第4题。 先让学生独立尝试计算再交流。 4、教科书第17页“练一练”第5题。 如果学生列综合算式有困难，允许分步计算。 5、教科书第17页“练一练”第6题。 让学生综合运用知识解决实际问题。
空间几何体的表面积与体积教学设计教案 1、教学目标 1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。（3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。 2、教学重点/难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点：台体体积公式的推导 3、教学用具投影仪等、 4、标签数学，立体几何教学过程 1、创设情境（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。
2、探究新知（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。如图： （4）教师指导学生思考，比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在的关系。(s’,s分别我上下底面面积，h为台柱高) 4、例题分析讲解（课本）例 1、例 2、例 35、巩固深化、反馈矫正教师投影练习 1、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为。 （答案：） 2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。 （答案：2352cm3）
空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全（表）面积（含侧面积） 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥：h c S ‘ 底棱锥侧21= ② 圆锥：l c S 底圆锥侧2 1 = 3 、 台体 ① 棱台：h c c S )(2 1 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台：l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2 、 锥体 ① 棱锥 ② 圆锥
3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 球体 ① 球： r V 33 4 π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h ' 计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2 的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的3 2 。
分析：圆柱体积：r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积：r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此：球体体积：r r V 333 4 23 2ππ=?=球 球体表面积：r S 24π=球 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） + = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式： )(3 1 S S S S h V 下下 上 上台++= 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。 易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=， 则h h PF +=1 由相似三角形的性质得： PF PE AB CD =
《长方体的表面积》公开教案教学目标：1、通过动手操作，理解长方体的表面积的意义，由此建立表面积的概念。 2、能根据现实情景和信息，通过动手操作、小组合作、 观察思考等方法，去探求长方体的计算方法，初步培养学生的探求意识和探求能力。 3、使学生感受数学与生活的密切联系，培养初步的数学应用意识，并在探究过程中获得积极的数学情感体验。 教学重点：理解长方体的表面积的意义，建立表面积的概念。 教学难点：掌握长方体的表面积的计算方法。教学流程： 一、复习旧知，引入新、复习长方体的特征。师：同学 们，我们上节已经认识了长方体，知道它们是 由 6 个长方形围成的立体图形。那么它们都有哪些特征？生：长方体有6个面，12条棱，8个顶点，相对的面完全相同（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的棱长度相等。 2、师：同学们说得真好，都已经掌握了长方体的特征。那么今天我们继续来研究长方体，一起来探究一下长方体的面。 二、实践操作、探究新知 、教学长方体表面积的概念。师：现在老师手中有一个长方体纸盒，昨天同学们回家也都做了一个，刚才我们说长方体有6 个面，他们分别是，（边说边指），那么如果我们沿着长方体
的某些棱剪开，再展开，会是什么形状呢？ 接下来学生动手剪（强调要求）师：请同学们仔细观察，展开后，你发现了什么？生：我发现原来的立体图形变成了平面图形。 生：我发现长方体展开后还是由6 个长方形组成的。师：同学们观察得真仔细！演示（实物展开后贴在黑板上）师：同学们，你们现在还能像中一样找到刚才指出的前面吗？后面又在哪里呢？你还能找出上、下、左、右分别在什么地方吗？ 生：能。师：那么请你们在自己的长方体展开图中标出上、下、左、右、前、后。 师：观察长方体展开图，回答下面的问题： （1）我们知道长方体有 6 个面，哪些面的面积是相等 的？ 生：前后面，左右面，上下面是相等的 师：为什么？ 生：长方体相对的面完全相同。 （2）每个面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系？（同桌合作） 生：上、下每个面的长和宽是长方体的长和宽，每个面的面积是长x 宽；前、后每个面的长和宽是长方体的长和高，每个面的面积是长x 高；左、右每个面的长和宽是长方体的高和
41中高三数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积 一．命题走向 由于本讲公式多反映在考题上，预测008年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 二．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。 2．旋转体的面积和体积公式 表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：?? ?=++=++24 )(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16 所以l =4(cm)。
P A D O 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。 解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh 。 ∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴S △AEF = 4 1S, V 1= 31h(S+4 1S+41?S )=127 Sh V 2=Sh-V 1= 12 5 Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5。 点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。 题型2：锥体的体积和表面积 例3．（2006上海，19）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60 ，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60 ，求四棱锥P －ABCD 的体积？ 解：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角，∠PBO=60°。 在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO ， 于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23。 ∴四棱锥P －ABCD 的体积V= 3 1 ×23×3=2。 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。 例4．（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ， DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ） A ．S 1S 2 C ．S 1=S 2 D ．S 1，S 2的大小关系不能确定 C
空间几何体的表面积与体积公式大全 一、全（表）面积（含侧面积） 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥： ②圆锥： 3、台体 ①棱台： ②圆台： 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略 二、体积 1、柱体 ①棱柱 ②圆柱 2、锥体 ①棱锥 ②圆锥
3、台体 ①棱台 ②圆台 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线计算。 三、拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的。
分析：圆柱体积： 圆柱侧面积： 因此：球体体积： 球体表面积： 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） += 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式 公式： 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形。 延长两侧棱相交于一点。 设台体上底面积为，下底面积为 高为。 易知：∽，设， 则 由相似三角形的性质得：
即：(相似比等于面积比的算术平方根) 整理得： 又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴ 代入：得： 即： ∴ 4、球体体积公式推导 分析：将半球平行分成相同高度的若干层（），越大，每一层越近似于圆柱，时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为，则：每个圆柱的体积= 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。 ……
《长方体和正方体的表面积》教案 教学目标 1、知识与技能 结合具体情境，经历自主探索长方体和正方体的表面积的计算方法的过程。在活动中，进一步发展空间观念和数学思维。 2、过程与方法 让学生在操作、观察活动中，通过自主探究，理解长方体和正方体的表面积及计算方法，并能正确计算。 3、情感态度与价值观 调动学生的学习积极性，培养学生自主探索、互助学习的精神。 教学重点 理解并掌握长方体和正方体的表面积的计算方法。 教学难点 根据给出的长方体的长、宽、高，迅速确定每个面的长和宽，这也是正确计算长方体的表面积的关键。 教学准备 长方体和正方体纸盒、展开图、彩笔。 教学方法： 讲授法、实践法。 教学用具： 长方体、正方体纸盒、课件等。 教学过程： 一、创设情境、激发兴趣 1、课件出示： 口答填空。 （1）正方体有（）个面，它们都是（），正方体各面的（）相等。 （2）这是一个（），它的棱长是（）厘米，它的棱长之和是（）厘米。
一个长方体有（）个面，一般都是（），相对的面（）相等。 2、说一说长方体和正方体的区别？我们已经掌握了长方形和正方形的特征，它们的表面积都是6个面，今天就来研究它们表面的大小。（板书课题：长方体和正方体的表面积） 二、合作学习，自主探究 1、请同学们拿出准备好的长方体纸盒在上面分别标出“上”“下”“前”“后”“左”“右”六个面，边观察边回答下面的问题： 长方体有几个面？ 每个面都是什么形状？ 长方体有哪些面的形状是完全相同的？ 它们的面积怎么样？ 有几组面积相等的长方形？ 请同学们沿长方体纸盒的前面和上面相交的棱剪开。（出示课件） 2、请同学们拿出准备好的正方体纸盒，分别标出“上”“下”“前”“后”“左”“右”六个面，边观察边回答下面的问题： 正方体有几个面？ 每个面都是什么形状？ 正方体有几组面积相等的正方形？ 让学生分别沿正方体的棱剪开。（出示课件） 3、（课件展示）观察长方体展开图，看一看哪些面的面积相等，每个面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系。 观察后，小组议一议。 引导学生总结长方体和正方体的概念。 教师板书：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 4、学习长方体表面积的计算方法。 （1）出示教材第24页的例1。 做一个微波炉的包装箱，至少要用多少平方米的硬纸板？ （2）学生读题，理解题意。
高中数学必修二空间几何体的体积教案 教学目标： 1．了解柱、锥、台的体积公式，能运用公式求解有关体积计算问题； 2．了解柱体、锥体、台体空间结构的内在联系，感受它们体积之间的关系； 3．培养学生空间想象能力、理性思维能力以及观察能力． 教材分析及教材内容的定位： 通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合． 教学重点： 柱、锥、台的体积计算公式及其应用． 教学难点： 运用公式解决有关体积计算问题． 教学方法： 通过分析柱体、锥体和台体空间结构的内在联系，让学生感受柱体、锥体和台体的体积之间的关系，体会数与形的完美结合． 教学过程： 一、问题情境 类似于用单位正方形的面积度量平面图形的面积，我们可以用单位正方体（棱长为1个长度单位的正方体）的体积来度量几何体的体积． 一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍，那么这个几何体的体积的数值就是多少． 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为 V长方体＝abc或V长方体＝Sh （这里，S，h分别表示长方体的底面积和高．） 二、学生活动 阅读课本P65“祖暅原理”．
思考：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的体积如何？ 三、建构数学 1．柱体的体积． 棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积． V 柱体= sh 2．锥体的体积． 类似地，底面积相等,高也相等的两个锥体的体积也相等． 13 V sh =锥体 3．台体的体积． 上下底面积分别是S’，S ，高是h ，则 1 (')3 V h S S =台体 柱体、锥体、台体的体积公式之间有怎样的关系呢？ 4．球的体积． 一个底面半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积有什么样神奇的关系呢？——相等． 223112233V R R R R R πππ=-=球，所以343 V R π=球． 四、数学运用 例1 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8kg/cm 3）六角螺帽共重6kg ，已知底面是正六边形，边长为12mm ，内孔直径为10mm ，高为10mm ，问这堆螺帽大约有多少个（π取3．14，可用计算器）？ 分析：六角螺帽的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由密度算出一个六角螺帽的质量． 解：22331012610 3.14()102956(mm ) 2.956(cm )42 V =??-??≈=， 所以螺帽的个数为
空间几何体的表面积和体积 一．课标要求： 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。 二．命题走向 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。 由于本讲公式多反映在考题上，预测2009年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式； （2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题； 三．要点精讲 1．多面体的面积和体积公式 长。 2．旋转体的面积和体积公式 12
下底面半径，R 表示半径。 四．典例解析 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是20cm 2 ，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：? ??=++=++24)(420 )(2z y x zx yz xy )2()1( 由（2）2 得：x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2 =16 即l 2 =16 所以l =4(cm)。 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、切）与面积、体积之间的关系。 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD= 3 π。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。 图1 图2 解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。∵∠A 1AM=∠A 1AN ， ∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON 。 ∴点O 在∠BAD 的平分线上。 （2）∵AM=AA 1cos 3 π =3×21=23 ∴AO=4 cos πAM =223 。 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2 =AA 12 – AO 2 =9－ 29=2 9，
长方体的表面积教案 长方体的表面积教学设计 一、创设情景导入新课 在这个盒子红纸粘上红纸～求所需红纸的面积就是求什么,这节课我们就来学 习计算长方体的表面积。,板书课题,同时让学生拿出学具先观察然后动手摸一摸长方体的表面积。 二、探究新知( 同学们对长方形的面积都会计算了～那么整个长方体6个面的面积怎么计算呢,这节课我们就来学习这个内容( ,一,建立长方体表面积的概念( 1、教师提问:长方体有什么特征,,课件, 长方体有6个面～12条棱, 相对的面完全相同 ,用手按前、后～上、下～左、右的顺序摸一遍, 棱长分成三组～分别是4条长、4条宽、4条高 2、教师提问:你还记得长方形的面积公式吗,长方形的面积=长×宽 3、教师展开长方体表面积～分别标明“上”、“下”、“前”、“后”、“左” 、“右”6个面。,课件,让学生观察 后回答: A、长方体哪几组面的面积相等, B、长方体的每个面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系, 长方体上下每个面的长和宽就是长方体的, ,, 前后每个面的长和宽就是长方体的, ,。 左右每个面的长和宽就是长方体的, ,。 4、什么叫长方体的表面积呢,
板书:长方体6个面的总面积叫做它的表面积。 ,二,推出长方体表面积公式 如何求长方体的表面积呢,,课件, 1、议一议:长方体的上下每个面的面积:, ,×, , 长方体的前、后每个面的面积=, ,×, , 长方体的左、右每个面的面积=, ,×, , 长方体的表面积=,长×宽+长×高+宽×高,×2 S=,ab+ah+bh,×2 长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 S=2ab+2ah+2bh 单位:厘米 2、考考你:根据所提供的条件～回答问题:,课件, 它的上下面是, ,形～长, ,厘米～宽, ,厘米。 6 4 它的左右面是, ,形～长, ,厘米～宽, ,厘米。 10 它的前后面是, ,形～长, ,厘米～宽, ,厘米。试求出它的表面积: ,三,、教学例1 做一个微波炉的包装箱,如下图,～至少要用多少平方米的硬纸板,求至少要用 多少平方米的硬纸板就是求什么, 提示:求至少要用多少平方米的硬纸板就是求什么,,长方体的表面积, 完成:上下每个面,长 ,宽 ,面积是。 前后每个面,长 ,宽 ,面积是。
1.3空间几何体的表面积与体积 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、教学目标 1、知识与技能 （1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 （2）能运用公式求柱 体、锥体和台体的全面积和体积，并且熟悉柱体、锥体与台体之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 （1）让学生经历几何全的侧面展开过程，体验用平面的知识来研究空间几何体的性质的方法。 （2）让学生学会用比较方法，思考柱体、锥体、台体的面积和体积公式之间的关系. 3、情感与价值 通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的应用价值，增强学习的积极性. 二、教学重点、难点 重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点：台体侧面积公式和体积公式的推导 三、教学方法与教学用具 1、教学方法： 启发式，探究. 2、教学用具：实物几何体，投影仪 四、教学设想 （一）创设情境、导入新课 （1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？ 借助媒体投影，引导学生回忆，互相交流，教师归类. （2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入新课. （二）师生互动、探究新知 1. 探究棱柱、棱锥、棱台的表面积公式或求法 （1）利用多媒体设备向学生投放长方体、椎体、台体的侧面展开图，引导学生得出棱柱、棱锥、棱台的表面积的一般求法. （2）组织学生分组讨论：这三类空间几何体的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？ （3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评. 2. 探究圆柱、圆锥、圆台的表面积公式或求法 （1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式: ）（圆柱表面积l r S +=π2（其中l 为母线长，r 为底面半径） )2rl r S +=（圆锥表面积π（其中l 为母线长，r 为底面半径） )''22rl l r r r S +++=（圆台表面积π