第三章矩阵的标准形和若干分解形式

第三章 矩阵的标准形与若干分解形式§1 矩阵的相似对角形一、知识回顾1．线性变换在两组基下的矩阵相似，相似变换矩阵是两组基下的过渡矩阵。

2．特征值与特征向量，特征子空间λV 及其维数，特征值的代数重数与几何重数。

3．矩阵与对角形相似的充要条件：有n 个线性无关的特征向量。

4．矩阵与对角形相似的充分条件：有n 个不同的特征值。

若A 为n 阶矩阵，矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a aa a a A E λλλλ212222111211称为A 的特征矩阵。

又多项式n i n i n n a a a A E f +++++=-=-- λλλλλ11||)(称为A 的特征多项式，这里A aa ni ii∑=-=-=11tr ，||)1(A a n n -=，i a 是A 的所有i 阶主子式的和与i)1(-的乘积。

A tr 叫A 的迹。

属于矩阵A 的同一个特征值0λ的所有特征向量连同零向量一起，构成一个线性空间0λV ，称为A 的特征子空间。

特征子空间0λV 的维数不超过特征根0λ的重数。

二、寻找矩阵的相似对角形的方法例3-1 研究下列矩阵是否能与对角形相似(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=121101365A ，(2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，(3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=284014013A 。

提示：(1) 31,31,2321-=+==λλλ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3213,3213,011321x x x ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+----=32320111332P ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---++--=-633321332163332133210311P 。

(2) 5,1321=-==λλλ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=3213,3213,011321x x x ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111110101P ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-111121112311P 。

（3） 2,1321-===λλλ；1λ的特征子空间是一维的；不存在三个线性无关的特征向量。

例3-2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=163053064A ，求A 的相似对角形及100A 。

§2 矩阵的约当标准形当矩阵nn ij Ca A ⨯∈=)(不能和对角形矩阵相似时，能否找到一个构造比较简单的分块对角矩阵和它相似呢？当我们在复数域C 内考虑这个问题时，这样的矩阵确实是存在的，这就是约当（Jordan ）形矩阵，称之为矩阵A 的约当标准形。

定义 若数域P 上多项式)(),(),(x g q f λλ满足)()()(λλλg q f =，则称)(λg 整除)(λf ，记为)(|)(λλf g 。

定义3－1 设)(),(λλg f 是P 上多项式，如果存在P 上多项式)(λd 满足 （1）)(|)(λλf d ，)(|)(λλg d （即)(λd 可以整除)(),(λλg f ）；（2）若有P 上多项式)(1x d ，)(|)(1λλf d ，)(|)(1λλg d ，则有)(|)(1λλd d ，则称)(λd 是)(),(λλg f 的一个最大公因式，记))(),((λλg f 表示首项系数为1的最大公因式。

三个多项式)(),(),(λλλh g f 的最大公因式))(),(),((λλλh g f 可定义为))()),(),(((λλλh g f1．行列式因子设n n ij C a A ⨯∈=)(，A E -λ是A 的特征矩阵，记为)(λA 。

定义3－2 )(λA 中所有非零的k 阶子式的首项（最高次项）系数为1的最大公因式)(λk D 称为)(λA 的一个k 阶行列式因子（n k ,,2,1 =）。

||)(A E D n -=λλ，并且)(|)(1λλk k D D -（n k ,,3,2 =）。

例3－3 求下列矩阵的特征矩阵的行列式因子：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=211A ；（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a A 11 2．不变因子，初等因子定义3－3 下列n 个多项式)()(11λλD d =，)()()(122λλλD D d =，)()()(233λλλD D d =，…，)()()(1λλλ-=n n n D D d称为)(λA 的不变因子。

把每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现次数计算），称为)(λA 的初等因子。

由于这里的A E A -=λλ)(完全由A 决定，所以这里)(λA 的不变因子及初等因子也常称为矩阵A 的不变因子及初等因子。

例3－4 求下列矩阵的不变因子及初等因子（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=2121A ；（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=122020021A例3－5 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--a b a b a （各个0≠i b ），求A 的初等因子。

3．约当标准形设矩阵A 的全部初等因子为：()()()s ks kkλλλλλλ---,,,2121 。

相对于每个初等因子()i ki λλ-构造一个k i 阶的Jordan 矩阵块：s i J i ii i ,,1,11=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ。

由所有这些Jordan 块构成的对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s J J J J21 称为矩阵 A 的Jordan 形矩阵，或A 的约当标准形。

定理3－4 每个n 阶复数矩阵A 都与一个约当形矩阵J 相似J AP P =-1；除去约当块的排列次序外，约当形矩阵J 是被矩阵A 唯一决定的。

这个定理用线性变换的语言来说就是：设T 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，则在V 中必定存在一个基，使T 在这个基下的矩阵是约当形矩阵；除去约当块的排列次序外，这个约当块矩阵是被T 唯一决定的。

推论 复数矩阵A 与对角形矩阵相似的充要条件是A 的初等因子全为一次因式。

注意：由于||||||||||2211s s J E J E J E J E A E -⋅⋅-⋅-=-=-λλλλλs ks kk)()()(2121λλλλλλ---=所以约当形矩阵J 的主对角线上的元素s λλλ,,,21 全为A 的特征值，并且n ksi i=∑=1。

但j i ≠时可能有j i λλ=，故i λ不一定是A 的i k 重特征根，故一般由矩阵的特征多项式不能写出矩阵的约当形矩阵。

例3－6 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=211212112A 的Jordan 标准形及所用的矩阵P 。

解： （1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+--=-341022100012112121122λλλλλλλλλA E()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→2100010001λλ所以 A 的初等因子为()21,1--λλ，故 A 的Jordan 标准形为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111J 。

（2）设()321,,x x x =P 。

由J AP P =-1，得()()J A 321321,,,,x x x x x x =， 即()()3321321,,,,x x x x x x x +=A A A 。

于是有()θ=-1x A E （1） ()32x x -=-A E （2） ()θ=-3x A E （3）方程组（1）、（3）的基础解系为：()()TT1,0,1,0,1,121==e e 。

取()T0,1,11=x ，而()Tc c c c c c 212122113,,+=+=e e x 。

为使（2）有解，选择c 1, c 2 的值是下面两矩阵的秩相同：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-2121111222111,111222111c c c c A E ，的c 1=2, c 2=-1。

所以()T1,2,13-=x 。

将所求的3x 代入方程（2）并解之得：()T1,1,12=x 。

易证321,,x x x 线性无关。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110121111P 。

例3－7 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=163053064A 特征多项式、初等因子及约当标准形。

解 易得A 的特征多项式为)2()1(||)(2+-=-=λλλλA E f并且可以求得不变因子为1)(1=λd ，1)(2-=λλd ，)2)(1()(3+-=λλλd故初等因子为1-λ，1-λ，2+λ 因此约当标准形为对角形矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=211J例3－8 求线性微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+-=+-=313212211234xx dtdx x x dtdxx x dt dx 的通解。

解：方程组可以写成x x A dtd =。

其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=201034011A ，()T x x x 321,=x 。

（1）求A 的初等因子及Jordan 标准形。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1112J 。

（2）求相似变换矩阵。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111210100P 。

（3）作满秩线性变换y x P =，其中()Ty y y 321,,=y ，则有y yAP P dtd 1-=。

即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===32322112yy dtdy y dt dy y dt dy （*） （上述过程实际上是将系统解藕的过程）。

（4）求（*）的通解，进而求原方程组得通解。

()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==t tt e k t k e k e k P 32221111210100y x 。

例3－9 利用约当标准形证明：若n 阶矩阵A 的特征值为n λλ,,1 ，则mA 的特征值为mn m λλ,,1 。

证明：设A 的约当形矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s J J J J21 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i ii i J λλλ11因AP P J 1-=，故P A P Jm m1-=但是有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m s mm mJ J J J21，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m i mi m i m iJ λλλ***显然mJ 的特征值就是J 的特征值的m 次幂，而相似矩阵有相同的特征值，故m A 的特征值就是mJ 的特征值，即A （或J ）的特征值的m 次幂。

证毕。

§3 哈密顿—凯莱定理及矩阵的最小多项式一、哈密顿—凯莱（Hamilton-Cayley ）定理定理 1 每个矩阵都是它的特征多项式的根。

即若矩阵 A 的特征多项式是()n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111 ，则有()0111=++++=--E a A a A a A A f n n n n 。