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例 3
求矩阵 A
JA 的 Jordan标准型
，其中
和
P 相应的Jordan变换矩阵
⎡ −1 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ A = −4 3 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 1 0 2⎥ ⎦
数学系 李继根（jgli@）
解： A
所以设
特征值为 λ`1 = 2, λ`2
= λ`3 = 1
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例 4
用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组
⎧ d x1 ⎪ d t = − x1 + x2 ⎪ ⎪ d x2 = −4 x1 + 3 x2 ⎨ ⎪ d t ⎪ d x3 = x1 + 2 x3 ⎪ ⎩ d t
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第四章 矩阵的标准型
数学系 李继根（jgli@）
标准型的理论源自矩阵的相似性，因为相 似矩阵有许多相似不变量：特征多项式、特征 n 值（包括代数重数和几何重数）、行列式、迹 及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相 似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似 矩阵集合中的“代表矩阵”的问题。“代表矩 阵”当然越简单越好。对于可对角化矩 阵，“代表矩阵”就是特征值组成的对角矩阵。 特别地，对于正规矩阵，可逆的相似变换矩阵 特殊化为酉矩阵或正交矩阵。但是令人非常遗 憾的是：一般矩阵未必与对角矩阵相似！！！
J A ≡ diag ( A1 ( λ 1 ), A2 ( λ 2 ),L , At ( λ t )) ( n 1 + n 2 + L + n t = n)
(n 个阶数为 i 1 + ni 2 + L + ni k i = ni )
其中 Ai ( λ i )
ni j 矩阵，有
ni
是
ki 子 阶的Jordan
解： | λ I − A |= λ 3 − 3λ − 2 = (λ − 2)(λ + 1) 2 = 0
A 的特征值为 λ`1 = 2, λ`2 = λ`3 = −1
故设
⎛ A1 (2) J A = ⎜ ⎝
⎞ ⎟ A2 ( −1) ⎠
因为特征值 并从
λ`1 = 2
A1 (2) = 2 为单根，所以
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最后，由可逆线性变换 方程组的解
t
x=Py
t
得原
⎧ x1 = c2e + c3t e ⎪ t t ⎨ x2 = 2c2e + c3 (2t + 1)e ⎪ x = c e 2 t − c e t − c ( t + 1) e t 2 3 ⎩ 3 1
⎯⎯⎯ →L ⎯⎯⎯ → p ⎯⎯⎯ →θ
A−λi I
A−λi I
其中， p
λi 是矩阵
则称为 的
( j = 1, 2,L , ki ) A ( ni j ) ( 2) λi 关于特征值pi j ,L , 的一个特征向量， pi j ( ni j ) λ ,i称 ni j pi j 的广义特征向量 为
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例 5
现代控制理论中，线性定常系统(Linear time
invariant , LTI )的状态空间描述为
&= Ax + Bu ⎧ x ⎨ ⎩ y = Cx + Du
这里矩阵 A 矩阵 C 表示了系统内部状态变量之间的联系， 称为输入矩阵或控制矩阵； 称为系统矩阵；矩阵 B 称为直接观测矩阵。
解：
为
方程组的矩阵形式
dx = Ax dt
T
dx dx1 dx2 dx3 T 这里 x = ( x1 , x2 , x3 ) , =( , , ) , dt dt dt dt
⎡ −1 1 0 ⎤ A = ⎢ −4 3 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 1 0 2⎥ ⎦
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J ≡ diag ( J 1 ( λ 1 ), J 2 ( λ 2 ),L , J s ( λ s ))
称J 阵
A 为
的Jordan标准型。并称方
1
⎛ λi ⎜ J i ( λi ) ≡ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
Байду номын сангаас
λi
O O
⎞ ⎟ ⎟ , 1 ⎟ λi ⎟ ⎠ mi ×mi
i = 1, 2,L , s
阶矩阵。
p i j ( j = 1, 2,L , ki )
A pi = pi Ai (λi )
A pi j = pi jJ j ( λi )
( j = 1, 2,L , ki )
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最后，根据 J j ( λ i )
的结构，设
(1) ij
pi j = ( p
⎛ A1 (2) J A = ⎜ ⎝
⎞ ⎟ A2 (1) ⎠
解得对应的
T
因为特征值 并从 特征向量为
λ`1 = 2
A1 (2) = 2 为单根，所以
( A − 2I ) x = θ
α 1 = (0, 0,1)
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对于二重特征值
λ`2 = λ`3 = 1
J = diag (λ 1 ,L , λ 1 , λ 2 ,L , λ 2 ,L , λ t ,L , λ t ) 14 2 4 3 14 2 4 3 14 2 4 3
n1 n2 nt
即矩阵
A
是可对角化矩阵。显然正规矩阵是一
类最特殊的可对角化矩阵。
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T
( A − I )x ，= θ
对重根有几个特 征向量，就有几 个约旦块
由 只解得唯一的特征向量为
α 2 = (1, 2, −1)
因此
A2 (1)
中只有一个Jordan
块，即
⎛ 1 1 ⎞ A2 (1) = ⎜ ⎟ ⎝ 0 1 ⎠
，可得所需的
求解
( A − I )β = α 2
广义特征向量
D 称为输出矩阵或观测矩阵；矩阵
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做可逆线性变换
&= P x ，则 x −1 −1 −1 −1 & & ⎧ x = P x = P APP x + P Bu ⎪ ≡ Ax + Bu ⎨ ⎪ y = CP x + Du ≡ C x + Du ⎩
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§1、矩阵的Jordan标准型
由于一般矩阵与对角矩阵不相似，因此我 们“退而求其次”，寻找“几乎对角 的”矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各 种标准型问题，其中Jordan标准型是最接 近对角的矩阵，只在第1条对角线上取1或 0。弄清楚了矩阵相似的本质，理论上、 计算上以及应用上的许多问题就容易处理 了，当然花费也大了。
阶的矩阵。 ，
pi n × 是n i AP = P J A
可知
A p i = p i Ai ( λ i ) ( i = 1,2,L , t )
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进一步，根据 Ai ( λ i ) 列分块为 其中 是 由 可知
pi 的结构，将 n × ni j
p i = ( p i1 , p i 2 ,L , p i ki )
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即 解得
2t t 2t t
d y3 d y1 d y2 = 2 y1 , = y2 + y3 , = y3 dt dt dt
y1 = c1e , y2 = c2e + c3t e , y3 = c3e ,
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一、 Jordan标准型的概念
定理 1 如果 A 设 T 是复数域 C 上的线性空间 V 上的 线性变换 。令 T 在 V 的一组基下的矩阵表示为 ，
A 的特征多项式可分解因式为
ϕ (λ ) = (λ − λ 1 ) L (λ − λ s )
则V 可分解成不变子空间的直和
的Jordan块，即
Ai ( λ i ) ≡ diag ( J 1 ( λ i ), J 2 ( λ i ),L , J k i ( λ i ))
数学系 李继根（jgli@）
根据 J A 分块为 其中 由
的结构，将Jordan变换矩阵 P
列
P = ( p 1 , p 2 ,L , p t )
级根向量。
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当所有的
pi 此时矩阵没有广义特征向量，
ni j = 1
时，可知 k i = ni
J j (λJordan = 1,L 的线性无关的特征向量，因此 i) ( j 块
λi
的各列是
, ki;
i = 1,L , t ) 都是一阶的，此时Jordan标准型为
，
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解这个方程组，可得到Jordan链
{p
( ni j ) ij A−λi I
(1) ij
,p
( 2) ij
,L , p
( ni j ) ij
}
(1) ij A−λi I
这个名称也可以这样理解：
p
⎯⎯⎯ →p
(1) ij
( ni j −1) ij
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ &= Ax + Bu = 0 0 1 x + 0 u x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 3 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ | λI − A| 这里矩阵 A 是特征多项式
的友矩阵。
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β = (0,1, −1)T
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