第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数

上页下页返回结束1Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数全国工程硕士专业学位教育指导委员会推荐教材：矩阵论与数值分析----理论及其工程应用上页下页返回结束2Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数邱启荣华北电力大学数理系QQIR@第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束3Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束4Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束5Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束6Made by QQIR第三章矩阵的Jordan 标准型与矩阵函数上页下页返回结束7Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束8Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束9Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束10Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束11Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束12Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束13Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束14Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束15Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束16Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束17Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束18Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束19Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束20Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束21Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束22Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束23Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束24Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束25Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束26Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束27Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束28Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束29Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束30Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束31Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束32Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束33Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束34Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束35Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束36Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束37Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束38Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束39Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束40Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束41Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束42Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束43Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束44Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束45Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束46Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束47Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束48Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束49Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束50Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束51Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束52Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束53Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束54Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束55Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束56Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束57Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束58Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束59Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束60Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束61Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束62Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数上页下页返回结束63Made by QQIR 第三章矩阵的Jordan标准型与矩阵函数。

矩阵的Jordan 标准型介绍——Jordan 标准型是相似意义下零元素最多的矩阵吗？线性代数中的一个核心的结果(见[1,2])是Jordan 标准型定理：任何一个复数域上的方阵A 都相似于一个Jordan 矩阵1122()((),(),,())J A diag J J J σσλλλ=…，其中11()1i i i i i i J λλλλλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，1,2,,i σ=…，i λ为矩阵A 的特征值。

(注意：对i ，可能有j j ≠i λλ=成立)对于Jrodan 块的置换来说，Jordan 标准型是唯一的(见[2])。

由线性代数中的内容已知，所有与A 相似的矩阵都有与A 置换意义下相同的Jordan 标准型。

那么所有与A 相似的矩阵(包括A )中，是不是含有0元素最多的矩阵呢？答案是否定的。

例如：取()J A 0201100001000010A −⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则，11000100()00110001J A −⎛⎞⎜⎟−⎜=⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟A 有11个0元素，却只有10个0元素。

()J A 通过观察我们还能发现，矩阵A 的主对角线元素都为0，而且去掉主对角元素以后A 含有7个0元素，而则仍含有10个0元素，那么我们就要问：所有与()J A A 相似的矩阵(包括A )中，是不是含有非主对角线0元素最多的矩阵呢？答案是肯定的。

文献[3]给出了证明。

()J A参考文献[1]. R.A. Brualdi, The Jordan canonical form: an old proof, Amer. Math. Monthly 94(1987) 257–267.[2].R.A. Horn, C.R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985,121–127 and 150–153.[3].R. A. Brualdi, P. Pei, X. Zhan, An extremal sparsity property of the Jordancanonical form, Linear Algebra Appl. 429(2008) 2367-2372.。

矩阵的Jordan标准型及其求解方法矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中扮演着重要的角色。

在矩阵理论中，Jordan标准型是一种重要的矩阵分解形式，它可以帮助我们更好地理解和求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题。

一、Jordan标准型的定义和性质在矩阵理论中，Jordan标准型是指一个矩阵可以通过相似变换转化为一个由Jordan块组成的对角矩阵。

Jordan块是一个由特征值和特征向量构成的方阵，它具有一些特殊的性质。

首先，Jordan块是一个上三角矩阵，即除了对角线上的元素外，其余元素都为零。

其次，对于一个Jordan块，对角线上的元素都是特征值，而其余元素则是1或0。

这些1的位置与特征向量有关，具体来说，特征向量在Jordan块中的位置决定了1的个数和位置。

Jordan标准型的重要性在于它可以将一个复杂的矩阵分解为一组简单的Jordan 块，从而更容易求解相关问题。

例如，通过Jordan标准型，我们可以求解线性方程组的解、计算矩阵的幂等等。

二、求解Jordan标准型的方法求解矩阵的Jordan标准型有多种方法，其中最常用的方法是通过特征值和特征向量来进行计算。

首先，我们需要计算矩阵的特征值。

特征值是一个标量，它代表了矩阵的某种性质或特征。

通过求解矩阵的特征值，我们可以确定矩阵是否可逆、是否存在特殊结构等。

特征值的计算可以通过求解矩阵的特征多项式来进行，具体计算方法可以使用特征值分解、特征向量分解等。

接下来，我们需要计算矩阵的特征向量。

特征向量是一个非零向量，它与矩阵相乘后等于特征值与特征向量的乘积。

通过求解矩阵的特征向量，我们可以确定矩阵的行与列之间的关系，从而进一步求解Jordan标准型。

在求解特征向量时，我们可以使用多种方法，例如高斯消元法、雅可比迭代法等。

这些方法可以帮助我们求解特征向量的近似解或精确解，从而进一步求解Jordan标准型。

三、应用举例Jordan标准型在实际问题中有着广泛的应用。

求矩阵的Jordan 标准形的两种方法方法1. 利用矩阵的初等因子原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然。

求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形.方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形.原理： 在复数域上， 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似， 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形.例. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411301621A ， 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形.解: 方法1。

.)1(00010001120011000123101100014111102310411316212222)1(232132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为.11001000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J JJ方法2。

(1) 首先求A 的特征值。

3)1(||-=-λλA E ， 所以特征值为1,1，1。

(2) 求出相应的特征向量.求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解：.000000311311311622⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-A E相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基.(3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形。

由于A 不能对角化, 所以必存在一组基321,,βββ使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形. 再考虑到A 有两个线性无关的特征向量, 所以A 有一个二阶的Jordan 块. 即11ββ=A , 322βββ+=A ， 33ββ=A .可见131,V ∈ββ， 需要求出向量322)(βββ=-E A 满足。