矩阵理论-第三章 矩阵的Jordan标准型

矩阵的Jordan 标准形一、矩阵的相似对角化定义1 设A 、B 是两个n 阶方阵，如果存在阶可逆矩阵n P ，使得 B AP P =−1则称B 相似于A ，记为B A ~，可逆矩阵P 称为将A 变成B 的相似变换矩阵。

如果矩阵A 能与一个对角矩阵Λ相似，则称矩阵A 可相似对角化，也说矩阵A 可对角化。

若方阵A 不能与对角矩阵相似，则称矩阵A 不能相似对角化，也说矩阵A 不能对角化。

线性代数课程已给出了矩阵A 可对角化的充要条件：定理1（1）阶方阵n A 可对角化的充要条件是A 有个线性无关的特征向量。

n （2）若阶方阵n A 有个互不相同的特征值n n λλλ,,,21L ，则A 可对角化。

把阶方阵n A 对角化的步骤如下：（1）求出A 的特征值，设互不相同的特征值为s λλλ,,,21L ；（2）对每个特征值i λ（s i ≤≤1），求齐次方程组 0x =−)(E A i λ 的基础解系，得到对应于i λ的线性无关特征向量组{}k i i i p p p L ,,21；若全体线性无关特征向量的个数小于，则矩阵n A 不可对角化。

若线性无关特征向量的个数为，则进行下一步骤。

n （3）将对应于互不相同特征值 s λλλ,,,21L 的特征向量全体作为个列向量构成方阵，则 n ()n P p p p ,,,21L =Λ=−AP P 1为对角矩阵，其对角线上元素为A 的特征值，方阵P 的列向量的顺序与对角矩阵Λ对角线上元素顺序相对应。

二、矩阵的Jordan 标准形一个阶方阵不一定有个线性无关的特征向量，因此不一定存在与之相似的对角矩阵。

我们问：如果一个阶方阵不能与对角矩阵相似，它能否与一个分块对角矩阵相似呢？ Jordan 标准形就是为了解决这个问题。

n n n 本段中的λ可以为复数。

定义2 形如m m J ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=λλλλλ1111)(O 的阶方阵称为一个阶Jordan 块，其中m m λ为复数。

特征根(按重数计Jordan 标准形定理 每个n 阶复数矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵J 相似：121;00s J J P AP J J -⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭除了Jordan 块的排列次序可以改变外，Jordan 矩阵J 是唯一的， 称它为A 的Jordan 标准形.注意 A 的Jordan 标准形J 的主对角元就是A 的全部 例1 求矩阵2111213211011122 A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪----⎝⎭的Jordan 标准形J .解 求出A 的特征多项式()31I A λλλ-=+，全体特征值为 0,1,1,1 ---.若A 与相似于Jordan 标准形J ： A ∽J ，则它们有相同的特征值，从而有0111J ⎛⎫ ⎪-* ⎪= ⎪-* ⎪-⎝⎭其中的*等于1或0.特别注意 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 由相似关系A I+∽100J I ⎛⎫⎪*⎪+= ⎪* ⎪⎝⎭可得秩数1111232()()21111121 2 1 r J I r A I rank ----⎛⎫ ⎪ ⎪+=+== ⎪ ⎪----⎝⎭可知J I +中的2个*只有一个等于1，另一个为0，因此011101J ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭或010111J ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭这两个J 本质上是相同的(都含有3个Jordan 块)，只是Jordan 块的排列次序不同.注意 如果两个Jordan 矩阵只是Jordan 块的次序不同，则认为它们本质上相同. 在这个意义上，本题中的J 由A 唯一决定.可写A∽01111 J ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭.另外，可找到一个可逆阵1011310010102101P -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪--⎝⎭使得01111AP P PJ ⎛⎫⎪- ⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭即1P AP J-=.例2 设 110430102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，(1)求Jordan 标准形J ，并判断A 可否对角化；(2)求相似变换阵P ，使1P AP J -=.解 A 的特征多项式为：2||(2)(1)I A λλλ-=--,特征值为2,1,1 .所以A∽ 200011001J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.注意， 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 由于J 含有2阶Jordan 块，可知A 不能对角化.令123(,,)P X X X =，(1,2,3)i X i =为列向量，则 AP=PJ ，即123123200(,,)(,,)011001A X X X X X X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即 11223232,,AX X AX X AX X X ===+.所以1X 为A 的关于2λ=的特征向量；2X 为A 的关于1λ=的特征向量；3X 是非齐次方程32()A I X X -=的解（广义特征向量）.由1(2)0I A X -= 解出1(0,0,1)T X =， 由2()0I A X -= 解出2(1,2,1)T X =-，由32()A I X X -= 解出3(1,1,0)T X =--，或3(0,1,1)T X =-令123011(,,)021110P X X X -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，或010021111P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭可知 200011 001AP P P J ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭即 1P AP J -=.例3 试证：每个Jordan 块k J 都相似于它的转置T k J . 证 计算可知11001011111001001λλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 注 由此例可知，每个Jordan 矩阵J 都相似于它的转置：J ∽T J (下三角矩阵).利用此例3与Jordan 标准形定理可得：推论3 每个方阵A 都相似于它的转置T A ： A ∽TA .例4 设k 为自然数，0kA =，试证：||1A I +=证 由0kA =知A 的特征值全为零， 从而Jordan 标准形J 的主对角线元素全为零. 利用1A PJP -=，可知 11||||||||||1A I PJP I P J I P --+=+=+=.小结 两个看上去很不相同的矩阵可以相似，因此，一条确定两个矩阵是否相似的途径是，设想有某个具有指定简单形式的矩阵集合，然后看这两个已知矩阵是否可以通过相似化成这些简单形式中的一个.如果它们能做到，那么它们必定是相似的（因为相似关系是传递的和对称的），Jordan 标准形就是符合这个要求的简单形式. 本节的主要结果是，每个复矩阵都相似于一个实质上是唯一的Jordan 矩阵.Jordan 标准形定理可以说是矩阵相似理论的一个制高点. 有了Jordan 标准形许多问题就很清楚了.注 相应于每个单独的Jordan 块()m J λ，恰好有矩阵J 的一个特征向量：它是属于矩阵J 中每个()m J λ的第一个对角元素. 从而J 中Jordan 块的个数就是A 的线性无关特征向量个数.补充若干论断和应用利用参考书：R .Horn and C.Johnson. Matrix Analysis, 1985 . 我们不加证明给出下列补充结论.(1) 给定Jordan 标准形J ，可以得到如下几点结论： (2).每个Jordan 块()k J λ恰好对应着属于λ的一个特征向量；(3) 每个值λ，其对应Jordan 块()k J λ的个数等于它的几何重数：()n r A I λ--； (3).Jordan 块的总数(按重复计)等于J 的线性无关特征向量个数利用相似关系 A ∽J 对应的秩数公式: ()()k k rank A bI rank J bI -=-， 可建立以下差分格式，求出方阵A 的Jordan 标准形J. 给定特征值λ(1) 计算秩数 ：()kr A I λ- 1, 2,k =规定 0r n = ， 1()r r A I λ=-， 22()r r A I λ=-，(2) 计差：1k k k d r r +=-，0, 1, 2,k =01d n r =-， 112d r r =-， 223d r r =- ，(3) 计差：1k k k l d d -=-，1, 2,k =101l d d =-，212l d d =-，323l d d =-，则(1) J 中含有λ的Jordan 块共有 0()d n r A I λ=-- 个； (2) J 中含λ的k 阶Jordan 块恰有 k l 个，1, 2,k= .注1 若A 的特征值λ是单根，则必有1阶Jordan 块()λ. 注2 可以证明：必有一个自然数k 使得，1()()kk r A I r A I λλ+-=-==常数.从而有 10k k d d +===.补充例子例5 用求秩法求以下矩阵的Jordan 标准形3411451100320021A --⎛⎫⎪-- ⎪=⎪-⎪-⎝⎭. 解 特征多项式为：223432||(1)(1)4521I A λλλλλλλ---==+--+-+.计算秩数令1:λ=-()3r A I +=，2()2r A I +=，3()2r A I +=. 令 01234, 3, 2, 2r r r r ====，按差分格式，有124103 1 1202l l •== 得知，1λ=-恰有1个2阶Jordan 块1101 -⎛⎫⎪-⎝⎭； 同理可知，含有1λ=的Jordan 块为1101 -⎛⎫⎪-⎝⎭，从而可得A∽ 1100010000110001J -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭.习 题 1. 如果A 与B 相似，C 与D 相似，试证： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛C O O A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛D O O B 相似. 2. 若A 与B 都是方阵，证明 00 A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭与00 B A ⎛⎫⎪⎝⎭相似.3. n 阶矩阵A 叫做幂零的，如果存在一个自然数m 使A m =0. 证明: (1) A 是幂零矩阵当且仅当它的特征多项式的根全是0；(2) 如果一个幂零矩阵A 可以对角化，那么A 一定是零矩阵； (3) 如果A 是幂零阵，且0A ≠，则A 不能对角化；(4) 如果A 是幂零阵，则 ||1A I +=.4. 证明: 每个阶数大于1的Jordan 块都不能对角化.5. 设0ε>，证明：下列两个矩阵A 与B 不能相似101011100b b A bb ⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 10101110b bB bb ε⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ . 6. 求下列矩阵的Jordan 标准形J 及其相似变换阵P .(1) 301121103⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (2) 170250109013-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(3)120020221⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦(4) 460350361⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(5) 211212112--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦7. 用求秩方法求下列矩阵的Jordan 标准形.(1) 1231123123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (2)3131131331311313 --⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎪--⎝⎭ (3)3411451100320021--⎛⎫⎪--⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭(4) 111333222-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ (5)308316205⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(6) 142034043⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(7) 211221121-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(8)131011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (9) 126103114--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. (10)4000040030400304⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(11)1110110100240012-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭，(12)(0)n na a a a a aa A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪=≠ ⎪ ⎪⎝⎭8. 试写出两个矩阵，它们的Jordan 标准形都是200011001J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 9. 设1221A --⎛⎫=⎪-⎝⎭，求00A B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭与0A I C A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的Jordan 标准形.10. 利用Jordan 标准形证明： 每个方阵A 都相似于它的转置T A ： A ∽TA .11. 已知A 的Jordan 标准形J ，b 为复数. 证明：()()k k rank bI A rank bI J -=-. 12. 已知5阶方阵A 适合条件223, 2, ()4, ()3rankA rankA rank A I rank A I ==+=+=.求A 的Jordan 标准形J . 13. 已知n 阶方阵A 满足10nn A A-=≠，求其Jordan 标准形为J .14. 利用方阵A 的Jordan 标准形证明：如果1()()k k rank A rank A r +==，则对任何自然 数l 必有 ()k l rank A r +=.15. 设b 是n 阶方阵A 的k 重特征值，证明：()k rank A bI n k -=-.16. 设n 阶上三角阵0A ≠，且主对角元都是0.则A 的Jordan 标准形不是对角阵.∽∽∽例 已知8阶方阵A 适合：23(2)4, (2)1, (2)0rank A I rank A I A I -=-=-=， 求A 的Jordan 标准形J .解 按差分格式， 有 1284143 211l l •==2100210022102210202J ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.另外可知100001000012,00010000J I ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦200100000000(2)00000000J I ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 3(2)0J I -=例 求以下矩阵的Jordan 标准形，并求变换阵P ，使1P AP J -=.111111201232011212202A ⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解 特征多项式为5||(1)(2)I A λλλ-=-- 令2λ=1111110012300112012000A I -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭， 2111033000120000()000000A I --⎛⎫⎪⎪⎪+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3111021000000000()000000A I ---⎛⎫⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2)4r A I -=， 2(2)2r A I -=， 3(2)1r A I -=， 4(2)1r A I -=令 012346, 4, 2, 1, 1r r r r r =====，按差分格式，有 123620421 21111l l l •===得知2λ=共有2个Jordan 块（1个2阶块，1个3阶块）： 2102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 210021002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭另外1λ=是单根，它对应1阶的Jordan 块为 1(1) J =，可知Jordan 标准形为 1210212212J ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 另外可求得变换矩阵为 131040034010003033003000000102000201P --⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭， 它满足AP JP =，即 1P AP J -=。