第3章 矩阵的标准形-2
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第三章 矩阵的标准型与若干分解形式
ki ki
, Ps ) ( P 1, P 2, i 1, 2,
APi Pi J i
Pi ( Pi1 , Pi 2 ,
A( Pi1 , Pi 2 ,
, Pi ,ki )
APi Pi J i
, Pi ,ki )
i 1 i 1 ( Pi1 , Pi 2 , , Pi ,ki ) i 1 i APi , j i Pi , j Pi , j 1 j 1, 2, , ki 1 AP P i , k i i , ki i
性质1 （行列式因子的整除性质）
Dn ( ) E A , Dk 1( ) Dk ( ), k 2, 3,
定义3 （不变因式、初级因子）
,n
D3 ( ) D2 ( ) d1 ( ) D1 ( ), d 2 ( ) , d 3 ( ) D1 ( ) D2 ( ) Dk ( ) Dn ( ) , d k ( ) , , d n ( ) Dk 1 ( ) Dn1 ( ) 上述n个多项式称为 A( ) 的不变因式。把每个次数
1 1 1 k1 k2 ( E A, p3 ) 2 2 2 k1 1 1 1 k 2
1 1 1 k1 k2 k1 2 k 2 0 0 0 0 k1 2k2 k 2 k 0 1 2 0 0 0 k 2k 1 2 1 取 k 2, k 1 p 2 1 2 3 1 1 再求 ( E A) p p 2 3 p2 1 1 x1 1 1 1 1 2 2 2 x 2 2 1 1 1 x 1 3
矩阵等价标准形
矩阵等价标准形矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在矩阵的研究中，等价标准形是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
本文将介绍矩阵等价标准形的相关知识，包括定义、性质和应用等内容。
矩阵等价标准形是指通过一系列的行变换和列变换，将一个矩阵变换成一个特定的形式。
这个特定的形式可以帮助我们更好地理解矩阵的性质和结构。
在实际应用中，矩阵等价标准形可以帮助我们简化计算、解决方程组、求解特征值等问题。
矩阵等价标准形有多种形式，其中比较常见的包括行简化阶梯形、行最简形、对角形等。
这些形式都具有一些特定的性质，可以帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质。
比如，行简化阶梯形具有主元的特性，可以帮助我们求解方程组；对角形则可以帮助我们求解特征值和特征向量。
矩阵等价标准形的求解过程通常包括两个步骤，首先，通过一系列的行变换和列变换，将矩阵变换成一个特定的形式；其次，通过进一步的变换，将这个特定的形式进一步简化，使得矩阵的性质更加明显。
在这个过程中，我们需要运用一些基本的矩阵变换，比如交换两行、将某一行乘以一个非零常数、将某一行加上另一行等。
矩阵等价标准形在实际应用中有着广泛的应用。
比如，在线性代数中，我们经常需要求解方程组、求解特征值和特征向量等问题，而矩阵等价标准形可以帮助我们简化计算，提高效率。
在工程领域，矩阵等价标准形也有着重要的应用，比如在控制系统的设计和分析中，矩阵等价标准形可以帮助我们更好地理解系统的性质和行为。
总之，矩阵等价标准形是矩阵理论中的重要概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质。
通过对矩阵等价标准形的研究，我们可以更好地应用矩阵理论解决实际问题，提高计算效率，推动科学技术的发展。
希望本文对读者对矩阵等价标准形有所帮助，谢谢阅读！。
第3章 矩阵的标准形1
⇒ 设 A( λ )可逆，则存在B( λ ) ，使得 A( λ ) B( λ ) = B( λ ) A( λ ) = En
⇒ A(λ ) B (λ ) = 1 即 A(λ ) B (λ ) =1 由于 A(λ ) ， B (λ ) 均 B(λ ) 均为 λ 的多项式，所以 A(λ ) ， 为常数。
设 A(λ ) =C ≠ 0 ，则 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ adjA(λ ) ⎟ A(λ ) = A(λ ) ⎜ adjA(λ ) ⎟ = En ⎝c ⎠ ⎝c ⎠ 所以， A(λ )是可逆的。其中 adjA(λ ) 是 A(λ ) 的伴随矩阵。
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定义3.2.5 定义 3.2.5
形如
⎛ d1 (λ ) ⎜ ⎜ ⎜ J (λ ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
d r (λ ) 0
引理3.2.1 引理 3.2.1 如果 λ − 矩阵 A( λ ) 的左上角元素a11 ( λ ) ≠ 0, 且 A( λ ) 中至少有一个元素不能被 a11 ( λ) 整除，则可以 找到一个与 A( λ) 等价的 λ − 矩阵 B( λ ) ，其左上角 元素 b11 ( λ) ≠ 0, 且次数比 a11 ( λ) 的次数低。
二、行列式因子、不变因子与初等因子
定义3.2.6 定义 3.2.6 矩阵 A( λ ) 的所有非零 k 阶子式的首一 （最高次项系数为 1 ）最大公因式 Dk ( λ ) 称为 A( λ ) 的 k 阶行列式因子 阶行列式因子。 定义3.2.7 定义 3.2.7 矩阵 A( λ ) 的Smith标准形中的非零对角元
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λ - 矩阵及其Smith标准形 § 2、
矩阵的等价标准形
矩阵的等价标准形在线性代数中，矩阵的等价标准形是一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和特点。
在本文中，我们将深入探讨矩阵的等价标准形，包括其定义、性质和计算方法。
首先，让我们来看一下矩阵的等价标准形的定义。
矩阵的等价标准形是指对于一个给定的矩阵，经过一系列的行变换和列变换之后，可以得到一个特定的形式，这个形式具有一些特定的性质，比如对角线上的元素都是非零的，并且在对角线以下的元素都是零。
这个特定的形式就是我们所说的等价标准形。
接下来，让我们来讨论一下矩阵的等价标准形的性质。
首先，矩阵的等价标准形是唯一的，也就是说对于一个给定的矩阵，它的等价标准形是确定的，不会因为行变换和列变换的不同而有所改变。
其次，矩阵的等价标准形具有一些特定的性质，比如它的对角线上的元素都是矩阵的特征值，而对角线以下的元素都是零。
这些性质使得等价标准形在矩阵的分析和计算中具有重要的作用。
然后，让我们来看一下矩阵的等价标准形的计算方法。
计算矩阵的等价标准形的方法主要包括两种，一种是使用初等变换，另一种是使用相似矩阵。
使用初等变换来计算矩阵的等价标准形时，我们可以通过一系列的行变换和列变换，将矩阵化为特定的形式。
而使用相似矩阵来计算矩阵的等价标准形时，我们可以通过相似变换，将矩阵化为对角矩阵。
这两种方法各有其适用的场合，可以根据具体的情况选择合适的方法来计算矩阵的等价标准形。
综上所述，矩阵的等价标准形是一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和特点。
通过对矩阵的等价标准形的定义、性质和计算方法进行深入的探讨，我们可以更好地掌握这一概念，为进一步的研究和应用打下坚实的基础。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
矩阵的等价标准型
矩阵的等价标准型是矩阵的一种特殊形式，满足一定的条件。
在矩阵理论中，等价标准型通常是通过一系列的行变换和列变换将矩阵化简而得到的。
下面将详细介绍矩阵的等价标准型及其相关参考内容。
1.什么是矩阵的等价标准型？矩阵的等价标准型是矩阵经过一系列的行变换和列变换后所得到的一种特殊形式。
矩阵的等价标准型具有一些特殊的性质，因此在矩阵理论和线性代数中经常使用。
2.矩阵的行变换和列变换行变换和列变换是指对矩阵中的行和列进行一系列的操作，从而改变矩阵的形式。
行变换包括交换两行、用非零常数乘以某一行、将某一行乘以一个非零常数后加到另一行上等操作。
列变换包括交换两列、用非零常数乘以某一列、将某一列乘以一个非零常数后加到另一列上等操作。
3.矩阵的等价标准型的求解方法求解矩阵的等价标准型可以通过高斯消元法、特征值分解等方法来实现。
高斯消元法是一种基本的求解线性方程组的方法，它可以通过一系列的行变换将矩阵化为行最简形。
特征值分解是将矩阵分解为特征向量矩阵和特征值矩阵的乘积的过程，其中特征向量矩阵是可逆矩阵，特征值矩阵具有对角线形式。
4.相关参考内容在线性代数的教材和专业书籍中都有关于矩阵的等价标准型的详细讲解和求解方法的介绍。
以下是一些相关参考内容：《线性代数及其应用》：本书是Gilbert Strang教授的经典教材，其中有关于矩阵的等价标准型的章节，详细介绍了高斯消元法和特征值分解等方法。
《数学分析与线性代数》：本书是数学系常用的教材之一，在其中有关于矩阵的等价标准型的章节，包括求解方法和应用等内容。
该教材详细介绍了矩阵的特征值分解和奇异值分解等内容。
《线性代数导论》：本书是线性代数的入门教材，其中有关于矩阵的等价标准型的章节，包括最简形、行最简形和阶梯形等相关内容。
此外，还可以参考线性代数相关的学术论文、研究报告和在线教育平台等资源，如arXiv、ResearchGate、Coursera等平台提供的线性代数课程。
矩阵理论-第三章 矩阵的Jordan标准型
A( ) )
En ，
所以 A() 是可逆的， A( ) 1 1 A( ) ，其中 A( ) 是 A() 的伴随矩阵．
c
整理版ppt
6
例 3.1 –矩阵
A(
)
1 2 3
3 2 5
4
Hale Waihona Puke ，B()
3 2
1
2
中，因为 det A() 4 ， det B() 3 2 ，所以
A() 是可逆的， B() 是不可逆的．
所以对应于特征值 i 1 有 2 个线性无关的特征向量.
1 0 0 故 A 的 Jordan 标准形为： J 0 1 1
0 0 1
整理版ppt
31
3.3 Hamilton-Coyle定理
设 A C nn ，其特征多项式为
() det( E A) n a1 n1 a2 n2 an1 an
1
1
c 1 c3 c2c3
(1)
(1)2
化为 Smith 标准形，其不变因子为 d1() 1 ， d2() ( 1) ，
d3() ( 1)2 .
整理版ppt
18
方法二 用定义计算 根据最大公因式的计算，知行列式因子为
D1() 1 D2() ( 1) D3() 2( 1)3
ri mi
定理 3.10 如果矩阵 A 的每个特征值的代数重数 都等于它的几何重数，则矩阵与对角阵相似.
当 A 不满足定理 3.10 时，它肯定不与对角阵相似， 但在与其相似的矩阵中可以找到形式最简单的矩阵， 这就是它的 Jordan 标准形.
整理版ppt
27
定义 3.8 设 i 为 A 的互异特征值，共 s 个． mi 为 i 的代数重数，
线性代数第三章第三节 矩阵的秩 相抵标准形(2014版)
2 1 4 1 0 00 0
1
2
11
33 12
33 00
故
1
1, 2 可由
1
1
31 3
1,
2
2,
0
3
线性表示，且
1
2
3 2 31 3
2
03
12 2
例4 设 A 4 3
t的值。
t 3 ，B是3阶非零矩阵，且AB=0,求
11
解：因方程组Ax=0有非零解，故 |A|=0,所以有t=-3
定理3：矩阵的行秩＝矩阵的列秩
证明：当秩(A)=r,由推论2、推论3和任何矩阵都可经有限
次初等变换变为相抵标准形，故A等价于 Ir 0 故A的最
高阶非零子式的阶数为r。
0
0
当 A的最高阶非零子式的阶数为r，则存在Dr 0
又等价的向量组有相同的秩，
A 的行秩＝ A2 的行秩， 即A的行秩不变。
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上1 1 来自i i A
kri
A3
j
j
k i
显然，A3 中的行向量组 可以由 A的行向量组线性表示
m
m 而 A的行向量组可以由
A3 中的行向量组线性表示。
所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。
2
1
1
3
7 1 3 5
11
8
4
0
1
2
4
11
1 5 1 7 1
0
9
1
11
0
0 36 4 44 3
0
63
7
77
0
1 5 1 7 1
第三章 矩阵的标准形与若干分解形式-2
§5 多项式矩阵的互质性与既约性一、多项式矩阵的最大公因子定义3-10 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个右公因子，如果存在多项式矩阵)(λN 和)(λD 使得：()()()()()()λλλλλλR D D R N N ==,。
类似地可以定义左公因子。
定义3－11 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个最大右公因子（记为gcrd ），如果：（1）()λR 是()()λλD N ,的右公因子；（2）()()λλD N ,的任一右公因子()λ1R ，都是()λR 的右乘因子，即存在多项式矩阵()λW ，使得()()()λλλ1R W R =。
对任意的n n ⨯与n m ⨯的多项式矩阵)(λD 与)(λN ，它们的gcrd 都存在。
因为T T T N D R ))(),(()(λλλ=便是一个。
定理3－13 (gcrd 的构造定理) 对于给定的n n ⨯和n m ⨯多项式矩阵()()λλN D ，，如果能找到一个)()(m n m n +⨯+的单模矩阵()λG ，使得()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡022211211λλλλλλλλλλR N D G G G G N D G 3-13 则n n ⨯多项式矩阵()λR ，即为()λN 和()λD 的gcrd 。
证明：（1）证明()λR 是右公因子。
设()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-λλλλλ222112111F F F F G ，则()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλλλλλλλλλλR F R F R F F F F N D 2111222112110。
（2）证明()λR 是gcrd 。
设()λ1R 也是()()λλD N ,的右公因子，故有()()()()()()λλλλλλ1111,R D D R N N ==。
矩阵的标准形
(3) 零元素：f ( x) 0 f ( x)
(4) 负元素: f (x)( f (x))0
5
杭
数乘多项式
州
顶
正 包
kf ( x) kan xn kan1 xn1 ka1 x ka0
材
n
kai xi
i0
运算规律:
(1) 结合律：() f (x)( f (x))
(2) 分配律: ( ) f (x)f (x) f (x)
n
(ai bi )xi i0
(a1 b1 )x (a0 b0 )
deg( f ( x) g( x)) max{deg f ( x),deg g( x)}
4
杭
州
顶
正 包
运算规律:
材
(1) 交换律：f (x) g(x) g(x) f (x)
(2) 结合律: ( f (x) g(x))h(x) f (x)(g(x)h(x))
(3)分配律：( f ( x) g( x)) f ( x) g( x)
(4) 单位元:1 f (x) f (x)
6
杭
多项式乘法
州
顶
正 包
f (x)g(x)
材
anbm xnm (anbm1 an1bm )xnm1 (a1b0 a0b1 )x a0b0
mn
ai
bj
xk
k o i jk
f ( x) q( x)g( x) r( x)
并且q(x)和 r(x)是唯 一其中的de，g r(x) deg g(x) 或 r(x) 0
若r(x)=0，则称 g(x)是 f(x)的因式， f(x)是 g(x 也称 g(x)能整除 f(x)，并记作 g(x)| f(x)。
矩阵的等价标准形
矩阵的等价标准形
矩阵的等价标准形是矩阵理论中一个重要的概念，它在代数、几何和计算机科学等领域都有着广泛的应用。
在矩阵的等价标准形中，我们主要涉及到相似矩阵和合同矩阵两个概念。
首先，我们来看相似矩阵。
两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，那么我们称矩阵A和B是相似的，P 就是相似变换矩阵。
相似矩阵具有许多相似的性质，比如它们的特征值和秩是相同的。
在实际应用中，相似矩阵可以用来简化矩阵的计算和分析，从而方便我们进行后续的工作。
其次，我们来看合同矩阵。
两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP=B，那么我们称矩阵A和B是合同的，P 就是合同变换矩阵。
合同矩阵也具有许多重要的性质，比如它们的惯性指数相同。
在实际应用中，合同矩阵可以用来描述二次型的规范形，从而方便我们进行二次型的分析和求解。
在矩阵的等价标准形中，我们可以利用相似矩阵和合同矩阵的性质，将一个复杂的矩阵化简为一个更加简单的形式，从而方便我们进行后续的计算和分析。
比如，我们可以利用相似矩阵将一个矩
阵对角化，从而方便我们求解矩阵的幂和指数函数；我们也可以利
用合同矩阵将一个二次型化为规范形，从而方便我们进行二次型的
分类和规范化。
总之，矩阵的等价标准形是矩阵理论中一个非常重要的概念，
它在代数、几何和计算机科学等领域都有着广泛的应用。
通过对相
似矩阵和合同矩阵的研究，我们可以将复杂的矩阵化简为简单的形式，从而方便我们进行后续的计算和分析。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
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解：
则 令
矩阵 A 的特征多项式为
f (λ ) = | λ E − A | = λ 3 − 4 λ 2 + 5λ − 2 f ( A) = O ϕ (λ ) = λ 5 − 4λ 4 + 6λ 3 − 6λ 2 + 6λ − 3
可知 ϕ (λ ) = (λ 2 + 1) f (λ ) + λ − 1 因此 ϕ ( A) = ( A 2 + E ) f ( A) + A − E
例3
求矩阵 A 的 最小多项式 m(λ ) ，其中
2 1
A
=
2
1 1
−2 4
解：矩阵 A 的特征多项式
f (λ ) = (λ − 3)(λ − 2) 3 .
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因此 A 的最小多项式仅有下述三种可能 (λ − 3)(λ − 2) (λ − 3)(λ − 2)2 (λ − 3)(λ − 2) 3 .
r(λ) = 0
1
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定理3.3.3 矩阵 A 的最小多项式 m(λ ) 是唯一的。
证：设m1( x), m2( x)都是A的最小多项式. 由带余除法，m1( x)可表成
m1( x) = q( x)m2( x) + r( x) 其中 r( x) = 0 或 ∂(r( x)) < ∂(m2( x)). 于是有 m1( A) = q( A)m2( A) + r( A) = 0
λi
的最小多项式 m(λ ) 。
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解：矩阵 J 的特征多项式 f (λ ) = (λ − λi ) k .
而
( J − λi E )k−1 ≠ 0
故J 的最小多项式为 m(λ ) = (λ − λi ) k .
2
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例 2 求矩阵 A 的 最小多项式 m(λ ) ，其中 1 1 0
A = 0 1 0 0 0 1
解：矩阵 A 的特征多项式 f (λ ) = (λ − 1) 3 .
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因此 A 的最小多项式为 (λ − 1)3 的因式 显然，A − E ≠ 0,而( A − E)2 = 0. 因此 A 的最小多项式为(λ − 1)2 .
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例 4 求下面Jordan矩阵 J 的 最小多项式 mJ (λ )
2
21
J
=
2
21
2 1
2
3
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解：矩阵 J 的特征多项式 f (λ ) = (λ − 2)6.
因此 A 的最小多项式仅有下述六种可能 (λ − 2)i i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
直接计算得， ( A − 3E )( A − 2E ) ≠ 0, ( A − 3E )( A − 2E )2 = 0 因此 A 的最小多项式为(λ − 3)(λ − 2)2 .
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注：（1）准对角阵的特征多项式等于各个子块的 特征多项式的乘积。
（2）准对角阵的最小多项式等于各个子块的最小多 项式的公倍数。
−2 1 0
=
A
−
E
=
−
4
2
0
1 0 1
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二、最小多项式
定义3.3.1 φ( λ)是关于 λ 的多项式。若 φ( A) = 0 则称 φ( λ) 是矩阵 A 的零化多项式。
显然矩阵 A 的特征多项式 f ( λ) =| λE - A | 是矩 阵 A 的一个零化多项式。且零化多项式无最高次 数者，因此我们关心的是次数最低的零化多项式。 定义3.3.2 在矩的最小多项式，记为 m( λ) .
+
aE 0
=
0
由Cayley-Hamilton定理可以简化矩阵计算。
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例 1 求矩阵 A 的矩阵多项式 ϕ ( A)，其中 −1 1 0
A = −4 3 0 , 1 0 2
ϕ( A) = A5 − 4A4 + 6A 3 − 6A 2 + 6A − 3E .
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一、Cayley-Hamilton定理
定理3.3.1 （Cayley-Hamilton定理）
n阶方阵 A 是其特征多项式 f (λ ) 的“根”，即
f ( A) = O
即设f
(λ
)
=
λ
n
+
λ a n−1 n−1
++
a1λ
+
a 0
,
则
f
( A)
=
An
+
an−1 An−1
++
a 1
A
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定理3.3.4 矩阵 A 的最小多项式 m(λ ) 的根必定是 A 的特征值；反之， A 的特征值也必定是 A 的最小多 项式 m(λ ) 的根。
定理3.3.4说明若两矩阵相似，则两矩阵必有相同 的最小多项式，（但最小多项式相同的矩阵不一 定是相似的，P76例3.3.3），同时也得到求最小 多项式的一个方法，即可以从矩阵的特征多项式 中寻找矩阵的最小多项式。
3
3 1
3
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解：矩阵 J 的特征多项式 f (λ ) = (λ − 2)5(λ − 3)3 .
直接计算得， J 的最小多项式为mJ (λ ) = (λ − 2)3(λ − 3)2 .
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设A ∈ C n×n , λ1 , λ 2,, λ s是A的所有互不 相同的特征值，则
4
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矩阵 A 的特征多项式
ϕ (λ )
=
|
λE
−
A|
=
(λ
−
λ
)m1
1
(λ
−
λ
)ms
s
那么 A 的最小多项式必具有如下形式
m(λ )
=
(λ
−
λ
)d1
1
(λ
−
λ
)ds
s
这里 d i≤ mi
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例如 求k级 Jordan块
λi 1
λi 1
J=
1
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定理3.3.2 矩阵 A 的最小多项式 m(λ ) 整除 A 的 任一零化多项式。特别地，m(λ ) 整除 A 的特征多项 式 f (λ ) 。
证明： 若 φ( λ) 为 A 的任意零化多项式，则有
φ( λ) = q(λ)m( λ) + r( λ) 因此 φ( A) = q( A)m( A) + r( A) 由于 φ( A) = m( A) = O 所以 r( A) = O 由于 r( λ) 的次数小于 m( λ)的次数，所以
mA(λ )
=
mJ
(λ )
=
(λ
−
λ
)q1
1
(λ
−
λ
)qs
s
其中qi 是A的特征值λi 对应的Jordan块 的最高阶数. i = 1, 2,, s
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综上有下述定理成立。
定理3.3.5 A ∈ C n×n ，则矩阵 A 的最小多项式为 A 的第 n个不变因子 dn (λ ) 。 定理3.3.6 A ∈ C n×n ，则矩阵 A 可对角化的充要条 件是 A 的最小多项式没有重根。
直接计算得， (J − 2E )3 = 0, (J − 2E )2 ≠ 0, (J − 2E ) ≠ 0 因此 J 的最小多项式为mJ (λ ) = (λ − 2)3 .
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例5
求下面Jordan矩阵 J 的 最小多项式 mJ (λ )
2 1
2
21
J
=
21 2
∴ r( A) = 0
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由最小多项式的定义， r( x) = 0,
即， m2( x) m1( x).
同理可得， m1( x) m2( x).
∴ m1( x) = cm2( x), c ≠ 0 又 m1( x), m2( x)都是首1多项式, 故 m1( x) = m2( x).
∴c =1
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§3、Cayley-Hamilton定理与
矩阵的最小多项式
Jordan标准形的计算复杂，而特征多项式
与之关系密切。由于Cayley和Hamilton 发现矩阵的特征多项式是矩阵的零化多
项式，故类比多项式的带余除法理论，以 适当的零化多项式为商，将矩阵多项式转 化为相应的余式，从而降低多项式的次数， 就成了另一种思路。