蒋殿春《高级微观经济学》 第10章 不确定性下的交换跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．假设个体1的效用函数是()()1log u y y c =+，个体2的效用函数是()22u y y ay =-，这里c 和a 都是正的常数。
有人说个体1购买保险会比个体2更积极，判断这种说法是否正确，并陈述理由。
解：在状态空间中某一点()12,y y ，个体购买保险的意愿取决于该点处无差异曲线的斜率。
若约定状态2为灾害发生的自然状态()12y y >，灾害发生的概率为p ，则无差异曲线斜率为：()()121u y p p u y '--' 在条件12y y >下，()()1121211u y y c u y y c '+=<'+ ()()21122221121u y ay u y ay '-=>'-这表明，在面临相同的灾害环境时（相同的灾害概率p ），个体1的无差异曲线较为平坦，这意味着他愿意以更多的状态1财富来换取一单位状态2财富（或说他比个体2更看重状态2下的消费）。
所以，在其他条件相同时，个体1购买保险更为积极是正确的。
2．假设某人是风险厌恶的，有2万元的初始财富；假设某种事故发生的概率是50%，在事故发生的情况下这个人的财富会损失一半。
（1）如果由一个保险公司向该个体提供事故保险，公平保费率应该是多少？用图解释， 在公平保费率下，这个人会购买完全保险。
（2）如果有A 和B 两个保险公司同时以公平保费率提供保险服务，但A 公司要求客户只能购买完全保险，而B 公司不允许客户的投保财产超过他所有财产的一半。
证明这个人会购买A 公司的保险。
解：（1）公平保费率就是保险公司提供的保费率不改变初始的期望收益，而为全部可能的损失投保就为完全保险。
如图10-1所示，个体最开始处于A 点，所在的无差异曲线为0I ，在保险市场上，他支付q π换取灾难时刻数额为q 的赔偿，于E 点达到最优。
如果保险公司提供的保费率为公平保费率π*，个体的预算线变为图中线段AB 所在的直线，并在B 点达到最优。
注意B 点处于45o 角平分线上，这是因为在45o角平分线与无差异曲线的交点，后者的切线斜率为()1p p --，等于在公平保费率π*下个体的无差异曲线斜率，而p π*=。
在B 点，个体为他可能遭受的全部损失L 买了保险：他预先支付L π*的保费给保险公司，换取灾难状态下L 的索赔权。
这个保险契约保证他无论在何种状态下都确定地拥有收益m L π*-。
这里公平保费率应该是事故发生的概率0.5。
在公平保费率下这个人会购买完全保险（1万元）。
图10-1（2）在完全保险限制下，购买保险q L =所获期望效用为：()()()()1Eu p u m L pu m L L L u m L πππ=--+--+=-在部分保险2q L ≤约束下，个体的期望效用为： ()()()1Eu p u m q pu m q L q ππ=--+--+()()()1u p m q p m q L q ππ≤--+--+⎡⎤⎣⎦ ()()u m q pL pq u m q ππ=--+≤-比较可得，这个人会购买A 公司的保险。
3．有A 和B 两个人各自有一套价值为W 的住房，假设两人都相信地震发生的概率是p ，在那种情况下每套住房的价值将损失L ，0L W <<。
保险公司以保费率p π>为居民提供住房保险服务。
如果A 的风险厌恶程度高于B ，证明A 投保的金额也高于B 。
证明：由Arrow-Pratt 定理，存在一个严格单增和严格凹的函数()G g ，使得：()()A B u y G u y ≡⎡⎤⎣⎦约定状态2为灾害状态，在保费率高于灾害概率条件下，投保人只可能订立部分保险合同，所以12y y >；因()B u y 为单增函数，而()G 'g 严格单减，所以有：()()12B B G u y G u y ''<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦从而得到：()()()()()()()()11112222B B A B A B B B G u y u y u y u y u y G u y u y u y '''⎡⎤'⎣⎦=<''''⎡⎤⎣⎦ 这意味着A 的无差异曲线较B 的无差异曲线平坦，在其他条件相同的情况下，A 的保险需求更高。
4．考虑下面保险需求的比较静态问题：（1）证明：如果其他条件不变，那么灾害发生的概率越高，或者是灾害损失越大，则个体投保的金额越高；（2）如果灾害发生的概率p 增加时，保险公司按比例提高保费率：()00p p ππβ=+-，讨论灾害发生概率从0p 增加到p 时保险需求的变化。
证明：（1）个体的最优保险需求条件是：()()()()12110p u y pu y ππ''--+-=其中1y m q π=-，2y m L q q π=--+。
方程两边同时对p 求导，有：()()()()()()()2211221110q q u y p u y u y pu y p pππππ∂∂''''''+-+-+-=∂∂ 进一步得到：()()()()()()()122121011u y u y qp p u y pu y ππππ''+-∂=->''''∂-+- 同理，在一阶条件等式两端对L 求导，则：()()()()22121110q q p u y pu y L L ππ∂∂⎛⎫''''-+--= ⎪∂∂⎝⎭进一步得到：()()()()()()2222121011pu y qL p u y pu y πππ''-∂=>∂''''-+- 从而可以证明，其他条件不变，那么灾害发生的概率越高，或者是灾害损失越大，则个体投保的金额越高。
（2）保险公司的保费率调整政策()00p p ππβ=+-可以改写为p πβ∆=∆或者d d p πβ=。
假定一开始在事故概率p 时投标人在()12,y y 达到了均衡，满足条件本章中（10.11）的等价形式为：()()()()121111u y f u y p f p ππ'-='-@ （1） 其中，()11f z z =-。
若事故概率上升为p p p *=+∆，那么保费率相应提高为p p πππβ*=+∆=+∆，那么新的均衡点()12,y y **满足：()()()()12u y f u y f p π****'='利用微分中值定理，存在,z z z *⎡⎤∈⎣⎦，使得()()()()f z f z z z f z **'=+-，于是：()()()()()()()()212211111u y f pu y f p p p pππβπ****'--∆=='--∆ （2） 比较（1）（2）两式，其结果取决于下式是否成立：22111110p p βππ⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3） 在0p ∆>的前提下，若（3）式成立，则（2）≥（1），表明()1u y *'相对()1u y '来说较大，而因为0u ''<，所以11y y *≤，这意味着q q *≥。
反之，若（3）式不成立，则（1）≥（2），表明()1u y *'相对()1u y '来说较小，11y y *≥，这意味着q q *≤。
5．假设有一个投资项目，有50%的机会产生2万元纯收益，50%的机会产生1.84万元净损失；某人的效用函数为()u y y 2万元确定的财产。
（1）证明这个人将拒绝投资。
（2）如果我们组织若干与上述完全相同的人对该项目进行联合投资，最少需要多少人投资才是可行的？（3）上一问题中投资联合体包含多少人时，联合体的期望效用达到最大？解：（1）投资后的期望效用为0.5220.52 1.84 1.2Eu =+-=，初始的效用()22 1.2u =>，所以这个人不会投资。
（2）如果n 个人均摊损益，每一个体的期望效用为：()0E u y y n +=⎡⎤⎣⎦%最小人数ˆn 满足等式()()00E u y y n u y +=⎡⎤⎣⎦%于是7.7n ≈。
所以至少需8人联合投资才可行。
（3）由于每个人是对称的，个人达到期望效用最大化时联合体的期望效用也达到最大，所以问题变为：max ⎡⎣利用一阶条件，解得11.8n ≈。
所以当投资团队人数为12时，期望效用最大。
6．假设某人可选择的投资对象为n 只收益分布相同但相互独立的证券，证明： （1）该投资者将其投资总额均分为n 份分投于这n 只证券，所得组合收益的标准差p σ 最小；（2）当n →∞时，0p σ→。
证明：（1）记投资总额为a ，i w 为i 的投资权重（相应的投资金额为i aw ），满足：11ni i w ==∑由于这n 支证券是独立同分布的，记其方差为2σ，则投资组合的方差为：()22222211var nnpii ii i awy a wσσ====∑∑由Cauchy-Schwartz 不等式：222111n n ni i i i i i i a b a b ===⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦∑∑∑得22222222211nn pii i i a a a w w n n σσσσ==⎡⎤=≥=⎢⎥⎣⎦∑∑。
等式右边的22a nσ恰好是平均分配投资额时的组合方差，也就证明了这种组合的方差2pσ最小。
（2）因为22lim 0n a nσ→∞=，结合（1）中的计算，可得0p σ→。
7．在状态依赖收入交换的Edgeworth 方框中，契约线是否一定处于两条045角平分线之间？解：不一定。
一个相反的例子是：当两种状态下的社会总收入相等时，两条045角平分线相重合，但契约线不一定在这条045线上。
当两种状态下的社会收入不等时，假设12y y >%%，在此条件下，任何帕累托有效配置中至少有一个个体的状态1收入高于状态2收入，不妨设12a a y y >，根据帕累托有效条件（10.39）：()()()()11112222a a ab bb a aa b bb p u y p u y p u y p u y ''=''但条件12a a y y >并不能推出12b b y y >，所以也不能断言契约线一定在两条045线之间。
