10.2 数项级数及审敛法(同济少学时)

(方法 比较法 un 方法2) 方法
−n−( −1)n =2
≤ 2−n ⋅ 2 =
1 2n−1
(n ≥ 1)
Q ∑
. 收敛，∴ 原级数收敛 收敛， n−1 n=1 2
∞
1
注 对于∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
, 比值法失效！ 比值法失效！
2, n偶数 −1+2(−1)n = 1 =2 ， n奇数 8
但 p > 1, 级数收敛 ; p ≤ 1, 级数发散 .
判别下列级数的收敛性: 例11 判别下列级数的收敛性 ∑2
n=1
∞
−n−(−1)n
.
方法1) 方法 解 (方法 根值法
(−1)n −1− n Q lim n un = lim 2 n→∞ n→∞
. = 2−1< 1 ∴ 原级数收敛
−n ⋅ 2( −1)n+1 =2
n=1 n=1 ∞ ∞
(c ≠ 0) 同敛散 同敛散.
(ⅰ) 若 ⅰ 则 (ⅱ) 若 ⅱ 则
收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 .
c
(n ≥ N ),
c
(n ≥ N ),
比较法的使用思路： 比较法的使用思路： 欲证收敛(发散 ，则放大(缩小 缩小) 欲证收敛 发散)，则放大 缩小 发散
2 . 的敛散性 例2 判断正项级数 ∑ n=1 n(n + 1)
n
3d x
o
1 2 n −1 n
= 1+ ∫
n
1
1 1 1 1 d x= 1+ (1 − p−1 ) < 1 + (n = 2,3,L) p p −1 p −1 x n
级数收敛. 级数收敛 p -级数部分和 n有上界， 级数部分和 级数部分和S 有上界， 故当p > 1时, p -级数收敛 时

第十一章 函数级数 级数的收敛、求和与展开
一、数项级数的审敛法√ 二、求幂级数收敛域的方法
4、5、7节
三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数
展开法
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三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限
• 利用幂级数性质，借用已知幂级数的和函数求解 （在收敛区间内）

anxn
n0
难
逐项求导或求积分

an xn
n0
求和
S(x)
对和式积分或求导
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 求部分和等 求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
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常用函数的幂级数（或常用幂级数的展开式）
ex 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
x (, )

ln(1 x)
x
1x2 2
1 x3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x (1, 1]
sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
x (, )
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(1 x)m 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn x (1, 1) n!
当 m = –1 时
1 1 x x2 x3 (1)n xn , 1 x
x (1, 1)

项 （定义判别法）
审
级 （2）级数的性质
敛
法
数 （ 敛 （5）级数收敛的必要条件
择 思 路
法
解
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
注意
此时应选用其他的审敛方法
例7 判别下列正项级数的敛散性
解 收敛，由比较审敛法，∴原级数收敛.
由比较审敛法，∴原级数收敛.
例8 讨论级数 解
的敛散性.
级数发散， 级数收敛，
级数发散.
定理4 （根值审敛法—柯西判别法)
设 是正项级数，且
（1）当ρ<1时,级数收敛; （2）当ρ>1时,级数发散; （3）当ρ=1时,比值审敛法失效.
分析
定理2 （比较审敛法的极限形式） 设级数 和 都是正项级数，且
（1）当
时，若
收敛；
（2）当
时，若
发散.
收敛，则 发散，则
解
故原级数收敛.
原级数发散.
解 所以原级数收敛.
所以原级数发散.
结论
定理3 （比值审敛法—达朗贝尔判别法 )
设 是正项级数，且
（1）当ρ<1时,级数收敛; （2）当ρ>1时,级数发散; （3）当ρ=1时,比值审敛法失效.
收敛； 发散.
（小散则大散）
证明 即部分和数列有界
不是有界数列
推论
利用比较审敛法或其推论进行级数敛散性判别， 关键是构造不等式
例1 判别级数的敛散性
解
而 发散
发散.
证明
例3 讨论p-级数的收敛性.
解
∴p－级数发散
（1）
（2） （3）
用“比较法”判别级数敛（散），需要找一个 通项较大（小）的敛（散）级数作比较，而不 等式的放大（缩小）常常比较困难。

1
解 因为 lim n 2 a 2 1 ( 即 = 1 为常数 )
n
1
n
又
1 是调和级数, 它是发散的,
n1 n
故

原级数
n1
1 n2 a2
发散.
例5
判别级 1!2 数 ! n!的敛.散性
n1 (2n)!
解 un1!2(!2 n )!n!n (2 (n n)!!)
当 0 a 1 时 ,n l in 1 m a a n 2 n n l in 1 m a a 2 n a 1 ,
1n
当a1时 , nl i m n1aan2n
nl i m n1aa12n
11, a
故 a0且 a1时 ,原级.数收敛
第二节 正项级数及其审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、小结 思考题
常数项级数都有哪些形式呢？
常数项级数有下 面几种形式。
常数项级数
正项级数
任意项级数 交错级数 一般项级数
1.正项级数的定义

定义 若级数 u n 满足
n 1
0 (n1 ,2, ),
则称之为正项级数.
实质上应是非负项级数
n 1
1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有 01 1 , n np
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故p1时, P级数是发 . 散的
当 p >1 时, 按 1, 2, 22, 23, …, 2n, …项 对 P 级数加括号, 不影响其敛散性：
n 1 n 1 p 1 2 1 p 3 1 p 4 1 p 5 1 p 7 1 p