苏教版数学高二-北京市房山区房山中学高二数学(理)b层《类比推理》教案

高二数学 选修1-2 课案合情推理与演绎推理 第二课时【教学目标】1.理解类比推理的概念2.理解类比推理的特点，类比推理的运用 【重点难点】理解类比推理的概念，类比推理的运用 【导学问题】 一.自主学习1.根据两类不同事物之间具有某些类似（一致）性，推测其中一类事物具有另一类事物类似（或相同）的性质的推理叫做_______________2.类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的__________或____________；②用一类事物的性质去推测_____________,得到一个明确的命题3.一般情况下，如果类比的相似性质越多，相似的性质与推测的性质之间越________,那么类比得出的命题就越有可能为真4.类比推理与归纳推理的区别于联系类比推理的结论与归纳推理一样也是__________，归纳推理是由_________________的推理，类比推理是______________的推理，或是____________________的推理。

5.类比推理的关键是______________________________________________________ 6.为了提高类比推理的可靠性，应尽量满足哪些条件？二.举例应用 1. 在等差数列｛a n ｝中，公差为d ，若m+n=p+r ，，则r p n m a a a a +=+，()n n a n S ⋅-=-1212，()d m n a a m n -+=，…类比上诉性质，写出等比数列的相应性质2.在平面几何里，有勾股定理，“设△ABC 的两边，AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，试写出正确结论3.类比圆的下列特征，找出球的相关特征（1）在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆； （2）平面内不共线的三点确定一个圆； （3）圆的周长和面积可求。

类比的方法
类比的价值；数学的价值
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同学 们辛苦 (tóng xué)
了
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内容(nèiróng)总结
类比推理。仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明(fāmíng)了潜水艇.。科学家 对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征。3)火星上大部分时间的温度适合地球
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
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学会 类比 (xuéhuì) 几何中的类比
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给
出空间中四面体性质(xìngzhì)的猜想．
分析(fēnxī):找出已知的相似性直角三角形
A
和直四面体，寻找对应的相似性
Ｂ
c2=a2+b2
a
c
s1 o s2
s3
Ｃ
b
Ａ
B
由 平 面 到 空 间
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
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小试牛刀(xiǎo shì niú
•
在RtABC
dāo)
中，，两直角边分别为a,b，设h
为斜边上的高，则 1 1 1 ，
h2 a2 b2
由此类比：三棱锥S-ABC中的三条侧棱 SA,SB,SC两两垂直，且长度(chángdù)分别为 a,b,c ,设棱锥底面ABC上的高为h，则（ ）
No 上某些已知生物的生存,等等.。利用平面向量的基本定理类比得到空间向量的基本定理.。
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．。S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC。圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦。同学们辛苦了

“类比推理”教案泰兴市第三高级中学杨翠“类比推理”是苏教版选修2—2的第二章第一节的内容，本节课是其中的第二课时.课程标准要求：“结合已经学过的数学案例和生活实例，了解合情推理的含义，能利用类比的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用”.并指出：“合情推理是数学发现过程和数学体系建构过程中的一种重要思维形式”.要求“在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点”根据课程标准的要求，结合教材实际，我将从重难点分析、目标定位、教法学法、教学设想、教学评价等五个方面对本节课的教学设计进行说明.一、重难点分析重点:了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理.难点：用类比进行推理，做出猜想.二、目标定位1、知识与能力：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去.2、过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.3、情感态度与价值观：（1）正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识.（2）认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善正确的数学意识.三、教法学法针对本节课的特点，在教法上，我采用以教师引导为主，学生合作探索、积极思考为辅的探究式教学方法；在教学过程中，我注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们结合实际、大胆联想，让同学们积极主动分享自己的发现和感悟；在教学手段上，我灵活运用黑板板书和多媒体展示，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解；在教学思想上，我以建构主义为主，强调数学知识的建构过程，让学生亲历逻辑推理的发现之旅.课时安排：1课时.四、教学设想3、师生合作、共探新知——进一步体会类比推理五、教学评价1、教学内容:类比推理作为合情推理的第二课时，必须把学生的认知力引导到类比上来，让学生理解并区分两类合情推理.故事形式开讲————激发学习兴趣生活实例讨论————学生全情投入例题演练巩固————延续求知热情课堂小结反思————分享自身成长2、教学理念：始终贯彻以学生为中心的教育理念.关注学生的认知过程，重视学生的自由发挥，随时发现、肯定学生的闪光点，让学生及时享受成功的愉悦.同时，结合学生暴露出的思想或方法上的问题，给予适时点拨.在教学设计中，我突显了教学的有效性：引导学生.3、教学预想：“类比推理”概念枯燥抽象，学生似懂非懂，道理似易实难.题目浅深度难以把握，而且对具体题目的处理，没有确信的统一方法.思辨之美，难以体会.笔者根据新课程标准的要求，更多的专注于推理的形式，引用多个实例，带领学生亲历思维过程即推理过程，真正理解推理概念.同时，笔者也希望通过这节课的教学，能让学生体会数学和生活的联系，体会数学应用的广泛性，认识数学的文化价值.当然，课堂是一个动态的过程，为使严谨的课堂更具弹性，我还做了其他准备，比如仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇；利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理；科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;2)有大气层,在一年中也有季节变更;3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.等学生感兴趣的且与本节课相关的问题，以便适时的给学生拓宽知识，让学生更充分地感受到数学知识在其他方面的广泛应用.。

第2课时类比推理学习目标导航1•结合实例，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理.（重点\难点）2.区别归纳推理与类比推理，了解合情推理的合理性.（易混点）［基础•初探］教材整理1类比推理阅读教材P34“例1”以上部分，完成下列问题.根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也竺或週5像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法.其思维过程为: I观察、比较IT联想、类推IT猜测新的结论I。

微体验1.判断正误：(1)类比推理是特殊到特殊的推理.()(2)类比推理的结论一定正确.() 【答案】(1)7⑵X2•对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四面各正三角形的.【导学号：97220011] 【解析】“边的中点”类比为“各面的中心”.【答案】中心教材整理2合情推理阅读教材P35”练习”以上部分，完成下列问题.1.合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.2•合情推理的特点(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确；(2)合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明的思路利方向的作用.-------- 0微体验0 --------如图2-1-9所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>l, 个点，每个图形总的点数记为如则a6= __________ , a n=*_______ (n>b /i^N).0000000 00000 00 000000000000000n=2n=3n=4n=5图2-1-9【解析】依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点, 因此“6=3X6-3=15.由“=2,3,4,5,6的图形特点归纳得给=3炉3（〃＞1,胆N）.【笞条】15 3n-3［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1: ____________________________________________解惑：_____________________________________________疑问2： ____________________________________________解惑：_____________________________________________疑问3： ____________________________________________在等差数列｛如中,若〃io=O,则有等式〃i+〃2 a n =a[-\~a 2+・・・+〃19.心＜19, “WN ）成立•类比上述性质，相应地，在等比数列｛仇｝中，若 饲=1，则有什么样的等式成立？阶段2E8WW 分组讨论疑难细究 类型1 ►数列中的类比推理＞例【精彩点拨】在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积,差类比商,积类比幕.【自主解劄在等差数列如中，"10=0,•••〃1+〃2 + ・'・+给+・・・+〃19 = 0,即〃1+〃2+・・・+给=-〃19-〃18"'5+1・又由如0 = 0,得〃］+ “］9二〃2 + "18二…二〃“ + ^20-/i= 〃”+］+ 〃］9・"=2〃］0二0, • •〃］ = -〃］9，〃2 =・〃18，…，”19叨=・覘+1，•••〃1+〃2 + ・・・+〃" = 〃1+〃2+八・+〃19・"，右〃9 = 0，同理可得〃1+〃2+…+给=〃1+〃2+…+"17说, 相应的，在等比数列｛九｝中，若加=1，则可得0］仇…仇=如2"力17•血＜17，名师區1•有关数列的类比推理必须寻找合适的类比对象，从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前〃项和公式探求，充分挖掘事物的本质及内在联系.2.类比推理的一般步骤为：（1）找岀两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；（2）用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得岀一个猜想；（3）检验这个猜想.［再练一题］1若数列是等差数列，则有数列你/+"卄：4"%詢) r t也是等差数列•类比上述性质，相应地：若数列{c…}(neN*)是等比数列，且c“>0,则数列d,=_______ (”GN*)也是等比数列.【解析】和类比积，高类比开方，因此妒勺C|-C2-C3，,,,-C…【答案】Ci・C2・C3・・・・・C〃如图2-1-10所尔，在平面上，设九，论九分别是AA5C三条边上的高，P为AABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为类型2►类比推理在几何中的应用＞例C仇，卩決Pc，可以证明此结论，通过类比写岀在空间中的类似结论，并加以证明.【精彩点劇三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某-面为底面的高.•'△PBC +S △刊 c+^PAB =^ABC^ S APBC+S △刊 C +S △刊 BS HABC【自主解答】 S AABC 'jBC-h aA类比上述结论得岀以下结论：如图所示,在四面体仙CD中，设九，加, h加分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为仇,Pb，Pc，P"石6 8^.^ H辛f + + 82^ +・倉；£ 仝 壇上—乞旱f —eMCD ’£XDa/svi名师區1•一般地，平面图形与空间图形类比如下:平面图形占小\线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2.类比推理的一般步骤⑴找岀两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论.［再练一题］2.在上例中,若MBC的边长分别为〃，b, c,其对角分别为A, B, C,那么由a=bcos C+c・cos B可类比四面体的什么性质？【解】在如图所示的四面体中，Si，S2, S3, S分别表示△刊从APBC,猜想S=Si・cos a+S2・cos Sy cos y.APCA, MBC的面积,Ba, B，卩依次表示平面刊B,平面PBC,平面PCA与底面ABC所成二面角的大小.［探究共研型］探究1鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的.因此，它们在形状上也应该类似, “锯子”应该是齿形的.你认为该过程为归纳推理还是类比推理？【提示】类比推理.猜想S=Si・cos a+S2・cos Sy cos y.探究2在计算"1X2+2X3+…+〃（〃+1）”时，有如下方法: 先改写第k 项：綿:+1）二広伙+1）伙+2）-伙-1敝+1）］,由此得1X2=^（1X2X3-OX1X2）,2X3吕（2X3X4-1X2X3）,〃（〃+1）=亍［〃（〃 +1 ）（〃+2）-（〃-1 +1）］,相加得lX2+2X3+・・・+〃（卄1）=神+1）（〃+2）.类比上述方法，请你计算“1X3+2X4+…+灾+2）” ,其结果写成关于〃的一次因式的积的形式为【提示】1X3=&X(1X2X9-OX1X7),2X4=*X(2X3X11-1X2X9),3X5=*X(3X4X13-2X3X11),"(〃+2)=§["("+1 )(2〃+7)-(〃-1 )n(2n+5)],各式相加，得1X3+2X4+3X5+…+"(〃+2)=子(“+1)(2”+7).已知椭圆具有性质：若M, N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点，当直线PM PN的斜率仏力R PN都存在时，那么kpM2 2与畑V之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线》点=1（〃>0, 0>0）具有类似特征的性质，并加以证明.【精彩点拨】双曲线与椭圆类比椭圆中的结论2 2【自主解答】类似性质：若M, N为双曲线》点=1(">0, b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM, PN的斜率你护kpN 都存在时，那么与你“之积是与点P的位置无关的定值.证明如下：设点M, P的坐标分别为(m, n), (x, y),则N(-m, -n).因为点M(加，“)是双曲线上的点，>2 ,2所以，二严2-/.同理# =尹2-於I 2 2 2 2丿、M PA A V—“兀+〃厂『训2—代2训名师區1•两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征.2•进行类比推理时，首先，找岀两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想.［再练一题］3.三角形的面积为S=*/+b+c）门“、b、c为三角形的边长，厂为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为____ •【解析】blBC的内心为0,连结0A, OB, 0C（图略），将分割为二个小二角形’这二个小三角形的髙都是/*,底边长分别为"，b, c；类比：设四面体A-BCD的内切球球心为0,连结04, OB, 0C, 0D,将四面体分割为四个以0为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r,所以有y=js[+S2 +S3+S4）/:【答案】亍（Si+Sz+Ss+SJHSi，S2, S3, S4为四个面的面积，/为内切球的半径）［构建•体系］合情推理|—_____________ P定义匚类比推理一ZZ思维过程•体验落实评价［课堂回馈即时达标）1•在平面上，若两个正三角形的边长的比为1 : 2,则它们的面积比为1 : 4, 类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体积比为【解析】由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1 ：2,则它们的体积之比为1 ： 8.【答案】1：82.正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是 ----------- ，结论是_______ .【导学号：97220012] 【杏条】正方体正方体的体积为棱长的立方上30列｛阳中，若九是｛如的前〃项和.可类比得到的结论是___単也成等比数列，且公比为4叫类比上述结论，相应地，在公差为3的等差数【解析】因为等差数列｛如的公差d二3,所以©30*20)-©20$0)二(“21 + “22 〃30卜@ 11 + 〃12 “20) =10〃+10〃+・・・ + 10〃= 100Q300,10个同理可得：(54O-53O)-(53O-52O)=3OO,所以数列520-S10, SaSM，S40-S30是等差数列，且公差为300.即结论为：数列%510, S30-S20, S40-S30也是等差数列，且公差为300.跆菜】数列S20-S1O，S30-S20，S40-S30也是等差数列，且公差为300 4•类比圆的下列特征，找出球的相关特征.(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;(2)平面内不共线的3个点确定一个圆;(3)圆的周长与面积可求.【解】⑴在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球;(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球的表面积与体积可求.我还有这些不足：(1) ___________________⑵___________________ 我的课下提升方案；(1) ___________________(2) __________________学业分层测评（四）点击图标进入…。